Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным методом: Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Учебное пособие по линейной алгебре

Учебное пособие по линейной алгебре

А. П. Громов. Учебное пособие по линейной алгебре. Изд-во «Просвещение». М. 1971 г. Линейные пространства, линейные преобразования, евклидовы пространства, квадратичные формы. Для студентов заочных отделений физико-математических факультетов педагогических институтов по курсу высшей алгебры. Оглавление Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА § 2. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ § 3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ § 4. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА ОТНОСИТЕЛЬНО БАЗИСА § 5. РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА § 6. ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ § 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ БАЗИСА § 8. ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА § 9. ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА ИЛИ ПОДПРОСТРАНСТВО, НАТЯНУТОЕ НА ДАННУЮ СИСТЕМУ ВЕКТОРОВ § 10. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ § 11. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ. ЛИНЕЙНОЕ МНОГООБРАЗИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 12. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЕЙ § 13. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ § 14. СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В РАЗЛИЧНЫХ БАЗИСАХ § 15. ДЕЙСТВИЯ НАД ЛИНЕЙНЫМИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ И МАТРИЦАМИ. КОЛЬЦО ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КОЛЬЦО МАТРИЦ § 16. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РАНГ И ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 17. ОБ ИНВАРИАНТНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВАХ И ИНДУЦИРОВАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ § 18. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 19. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ § 20. О ПРИВЕДЕНИИ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К ДИАГОНАЛЬНОЙ ФОРМЕ § 21. О СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРАХ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ Глава III. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА § 22. ПОНЯТИЕ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. ПРИМЕРЫ § 23. ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. НЕРАВЕНСТВО КОШИ—БУНЯКОВСКОГО § 24. ПОНЯТИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА § 25. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ВЕКТОРОВ. ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ОРТОГОНАЛЬНО-ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО § 26. ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ § 27. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ § 28. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА § 29. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА § 30. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕВЫРОЖДЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА СИММЕТРИЧЕСКОЕ § 31. ТЕОРЕМА О ТРАНСФОРМИРОВАНИИ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ В ДИАГОНАЛЬНУЮ МАТРИЦУ С ПОМОЩЬЮ ОРТОГОНАЛЬНОЙ Глава IV. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 32. ПОНЯТИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ § 33. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ПРИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ § 34. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ § 35. НАХОЖДЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРИВОДЯЩЕГО ВЕЩЕСТВЕННУЮ КВАДРАТИЧНУЮ ФОРМУ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ § 36. МЕТОД ЛАГРАНЖА ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ § 37. ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ § 38. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ § 39. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду

Теорема (о приведении действительной квадратичной формы к главным осям). Всякая действительная квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство. Применим метод индукции по числу n переменных. При n=1 утверждение очевидно. Допустим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы от n-1 переменных. Рассмотрим квадратичную форму от n переменных: . Пусть – нормированный собственный вектор матрицы С, соответствующий собственному значению . Примем за первый столбец ортогональной матрицы

.

Матрица преобразованной квадратичной формы есть . Так как первый столбец матрицы Т есть собственный вектор , то . Тогда

так как столбцы матрицы Т ортогональны и нормированы.

Матрица симметрична, поэтому имеет вид

,

где – симметричная матрица.

Рассмотрим квадратичную форму с матрицей В. В силу индуктивного предположения найдется ортогональная матрица Q такая, что

.

Положим .

Матрица Q₁ ортогональна, так как ее первый столбец нормирован и ортогонален остальным столбцам, а остальные столбцы попарно ортогональны и нормированы в силу ортогональности матрицы Q. Тогда

.

Теорема доказана.

Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, определяется не однозначно. Однако из доказанной теоремы следует, что каково бы ни было ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму , коэффициенты этого канонического вида равны собственным числам матрицы

С, причем каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность как корня характеристического уравнения.

Пример. Квадратичную форму

привести к каноническому виду.

Решение. Определяем собственные значения матрицы квадратичной формы

.

Характеристическое уравнение имеет вид

,

откуда .

Таким образом, канонический вид квадратичной формы следующий:

.

Найдем ортогональное преобразование, осуществляющее приведение к каноническому виду.

Решая уравнение , найдем собственные векторы

Преобразуя данную систему векторов в ортонормируемую систему, получим

.

Данная система векторов определяет ортогональную матрицу преобразования переменных . Действительно, Х=ТY, откуда .

Поэтому

Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма положительно определена.

Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных.

Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений.

Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными.

При n=1 квадратичная форма либо положительно определена (при a₁₁>0), либо отрицательно определена (при a₁₁<0). Неопределенные формы появляются при n≥2.

Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того чтобы квадратичная форма

была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:

.

Доказательство.

Используем индукцию по числу переменных, входящих в . Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной , и утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы , зависящей от n-1 переменных .

1. Доказательство необходимости. Пусть

положительно определена. Тогда квадратичная форма

будет положительно определенной, так как если , то при .

По предположению индукции все главные миноры формы положительны, т.е.

.

Остается доказать, что .

Положительно определенная квадратичная форма невырожденным линейным преобразованием Х=ВY приводится к каноническому виду

.

Квадратичной форме соответствует диагональная матрица

с определителем .

Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу . Но так как то .

2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: .

Докажем, что квадратичная форма положительно определена. Из предположения индукции вытекает положительная определенность квадратичной формы . Поэтому невырожденным линейным преобразованием приводится к нормальному виду . Сделав соответствующую замену переменных и положив , получим

,

где – какие-то новые коэффициенты.

Осуществляя замену переменных , получим

.

Определитель матрицы этой квадратичной формы равен , а так как знак его совпадает со знаком , то , и, значит, квадратичная форма – положительно определена. Теорема доказана.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы

была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы

были положительны. Но это означает, что

т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус.

Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной.

а) .

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид:

.

Вычислим главные миноры матрицы С:

Квадратичная форма положительно определена.

б) .

Решение. Вычислим главные миноры матрицы

Квадратичная форма является неопределенной.

В заключение сформулируем следующую теорему.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.

T D_j Q_j = H $$

$$ H = \left( \начать{массив}{ррр} 6 & — 1 & 0 \\ — 1 и 6 & — 1\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) $$

============================================

$$ E_{1} = \left( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) $$ $$ P_{1} = \left( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; Q_{1} = \влево( \начать{массив}{ррр} 1 & — \frac{ 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 и 1 и 0 \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; D_{1} = \влево( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \frac{ 35 }{ 6 } & — 1 \\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) $$

============================================

$$ E_{2} = \left( \начать{массив}{ррр} 1 и 0 и 0 \\ 0 & 1 & \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) $$ $$ P_{2} = \слева( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & \ frac { 1 }{ 35 } \\ 0 & 1 & \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; Q_{2} = \влево( \начать{массив}{ррр} 1 & — \frac{ 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 1 & — \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) , \; \; \; D_{2} = \влево( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \ гидроразрыв { 35 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 204 }{ 35 } \\ \конец{массив} \верно) $$ 9Т Н Р = D $$ $$\слева( \начать{массив}{ррр} 1 и 0 и 0 \\ \ frac { 1 }{ 6 } & 1 & 0 \\ \ frac { 1 }{ 35 } & \ frac { 6 }{ 35 } & 1 \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 6 & — 1 & 0 \\ — 1 и 6 & — 1\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 1 & \ frac { 1 }{ 6 } & \ frac { 1 }{ 35 } \\ 0 & 1 & \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) = \ влево( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \ гидроразрыв { 35 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 204 }{ 35 } \\ \конец{массив} \верно) $$ $$ Q^T D Q = H $$ $$\слева( \начать{массив}{ррр} 1 и 0 и 0 \\ — \ frac { 1 }{ 6 } & 1 & 0 \\ 0 & — \frac{ 6 }{ 35 } & 1 \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 6 и 0 и 0 \\ 0 & \ гидроразрыв { 35 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 0 & \frac{ 204 }{ 35 } \\ \конец{массив} \верно) \левый( \начать{массив}{ррр} 1 & — \frac{ 1 }{ 6 } & 0 \\ 0 & 1 & — \frac{ 6 }{ 35 } \\ 0 и 0 и 1 \\ \конец{массив} \верно) = \ влево( \начать{массив}{ррр} 6 & — 1 & 0 \\ — 1 и 6 & — 1\ 0 & — 1 & 6 \\ \конец{массив} \верно) $$ 92 + 2а_{12} х_{1}х_{2} + 2а_{13}х_{1}х_{3} + 2а_{23}х_{2}х_{3} \\ \поэтому A = \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

Теперь запишем

$A = IAI \ \ \поэтому \begin{bmatrix} 6 & -2 & 2 \\ -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Теперь при работе с изменением строки на L.