Произведение матрицы на число: определение, свойства и примеры решения задач

Умножение матрицы на число.

Навигация по странице:

• Умножение матрицы на число
• Свойства умножения матрицы на число
• Примеры умножения матрицы на число

Онлайн калькулятор. Умножение матрицы на число.

Определение.

Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

b_i,j = k · a_i,j

Свойства умножения матрицы на число

• 1 · A = A
• 0 · A = Θ, где Θ — нулевая матрица
• k · (A + B) = k · A + k · B
• (k + n) · A = k · A + n · A
• (k · n) · A = k · (n · A)

Примеры задач на умножение матрицы на число

Пример 1.

Найти произведение матрицы A =		4	2		и числа 5.
		9	0

Решение:

5·A=	5·		4	2		=		5·4	5·2		=		20	10
			9	0				5·9	5·0				45	0

Пример 2

найти произведение матрицы A =		2	-2		и числа (-2).
		-1	0
		5	-1

Решение:

(-2)·A = (-2)·		2	-2		=		(-2)·2	(-2)·(-2)		=		-4	4
		-1	0				(-2)·(-1)	(-2)·0				2	0
		5	-1				(-2)·5	(-2)·(-1)				-10	2

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Матрицы. вступление и оглавлениеМатрицы: определение и основные понятия.Сведение системы линейных уравнений к матрице.Виды матрицУмножение матрицы на число.Сложение и вычитание матриц.Умножение матриц.Транспонирование матрицы.Элементарные преобразования матрицы.Определитель матрицы.Минор и алгебраическое дополнение матрицы.Обратная матрица.Линейно зависимые и независимые строки.Ранг матрицы.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Лекции по алгебре

Лекции по алгебре

Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА § 1. Теория делимости целых чисел 2. Деление с остатком. 3. Наибольший общий делитель. 4. Алгоритм Евклида. 5. Взаимно простые числа. 6. Простые числа. § 2. Теория сравнений 2. Действия над классами. 3. Приведенная система вычетов и примитивные классы. § 3. Некоторые общие понятия алгебры 2. Кольца и поля. 3. Изоморфизм. ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА § 1. Обоснование комплексных чисел 3. Свойства действий. 4. Возвращение к обычной форме записи. 5. Вычитание и деление комплексных чисел. § 2. Тригонометрическая форма комплексного числа 2. Модуль и аргумент комплексного числа. 3. Тригонометрическая запись комплексного числа. 4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел. 5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи. 6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра. 7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений. § 3. Извлечение корня из комплексного числа 2. Исследование формулы извлечения корня. 3. Извлечение квадратного корня. § 4. Корни из единицы § 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ § 1. Полиномы от одной буквы 2. Высший член и степень полинома. 3. Степени элемента в ассоциативном кольце. 4. Значение полинома. 5. Схема Хорнера и теорема Безу. 6. Число корней полинома в коммутативной области целостности. 7. Теорема о тождестве. § 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени 2. Исследование формулы Кардано. 3. Решение уравнений четвертой степени. § 3. Полиномы от нескольких букв 3. Теорема о тождестве. 4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств. ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ § 1. Матрицы и действия над ними 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. 3. Умножение матриц. 4. Транспонирование матриц. 5. Обзор действий над матрицами. § 2. Теория определителей 2. Элементарные сведения теории перестановок. 3. Определитель порядка n. Определение. 4. Свойства определителя. 5. Алгебраические дополнения и миноры. 6. Вычисление определителей. 7. Определитель Вандермонда. 9. Некоторые следствия из теоремы Крамера. § 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов) 2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками. 3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций. 4. Базис и ранг совокупности строк. 5. Линейно эквивалентные совокупности строк. 6. Ранг матрицы. 7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы. 8. Ранг матрицы в терминах определителей. 9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. § 4. Системы линейных уравнений общего вида § 5. Дальнейшие свойства определителей 2. Умножение матриц, разбитых на клетки. 3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). 4. Определитель произведения двух квадратных матриц. 5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей. 6. Теорема Бине — Коши. § 6. Обращение квадратных матриц § 7. Характеристический полином матрицы 2. Теорема Кэли—Гамильтона. ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ § 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв § 2. Закон инерции квадратичных форм 2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы. 3. Закон инерции квадратичных форм. § 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду 2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы. 3. Построение ортогональных матриц. 4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду. 5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы. 6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду. § 4. Эрмитовы формы 2. Свойства эрмитовых форм. ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ § 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы § 2. Производная 2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена. 3. Разделение множителей различной кратности. § 3. Рациональные дроби 2. Поле частных. 3. Правильные рациональные дроби. 4. Разложение рациональной дроби на простейшие. 5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел. 6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел. 7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители. § 4. Интерполяция 2. Интерполяционная формула Лагранжа. 3. Способ интерполяции Ньютона. 4. Приближенная интерполяция. ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ § 1. Сравнения в кольце полиномов над полем § 2. Расширение полей 2. Конструирование простых расширений. ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ § 1. Полиномы с целыми коэффициентами § 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА § 1. Существование корней в С § 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной 2. Принцип аргумента. 3. Теорема Руше. 4. Непрерывность корней полинома. § 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами 2. Теорема Штурма. 3. Построение ряда Штурма. § 4. Обобщенная теорема Штурма § 5. Приближенное вычисление корней полинома 2. Метод непрерывных дробей. ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП § 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы § 3. Гомоморфизм § 4. Прямое произведение групп § 5. Группы преобразований 2. Классы сопряженных элементов. 3. Строение однородных пространств. 4. К теории подстановок. 5. Примеры из геометрии. 6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы. 7. Центр p-группы. 8. Преобразования. 9. Автоморфизмы группы. § 6. Свободная группа § 7. Свободные произведения групп § 8. Конечные абелевы группы § 9. Конечно порожденные абелевы группы ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ § 1. Выражение симметрических пэлииов через основные § 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома 2. Степенные суммы. 3. Дискриминант полинома. 4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов. § 3. Результант 2. Другой способ построения результанта. 3. Линейное представление результанта. 4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. 5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной. ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость. 3. Координаты вектора. 4. Замена базиса и преобразование координат. § 2. Подпространства 3. Прямая сумма подпространств. 4. Относительная линейная независимость и относительный базис. 5. Факторпространство. § 3. Линейные функции § 4. Линейные отображения векторных пространств § 5. Линейные операторы в векторном пространстве 2. Действия над операторами. 3. Инвариантные подпространства. 4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора. 5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином. 6. Минимальный полином оператора. 7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств. 8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств. 9. Модули над кольцом главных идеалов. 10. Некоторые следствия. 11. Каноническая форма матрицы оператора. 12. Оператор проектирования. 13. Полуобратные линейные отображения. § 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 2. Корневые векторы. 3. Нильпотентный оператор. 4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора. 5. Пример. § 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Скалярное произведение. § 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства § 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами § 4. Операторы в унитарном пространстве § 5. Операторы в евклидовом пространстве § 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду § 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное § 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ § 2. Действия над тензорами § 3. Симметричные и антисимметричные тензоры § 4. Тензорные произведения векторных пространств ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ 1. Определение и простейшие свойства алгебр. 2. Структурные константы алгебры. 3. Некоторые классы алгебр. 4. Идеалы алгебры. 5. Присоединение единицы. 6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц. § 2. Алгебра кватернионов § 3. Внешняя алгебра СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Умножение матрицы на скаляр

Марко Табога, доктор философии

В этой лекции объясняется, как умножить матрица скаляром.

Table of contents

1. Definition

2. Properties

3. Solved exercises

   1. Exercise 1

   2. Exercise 2

   3. Exercise 3

Definition

Помните, что скаляр — это всего лишь одно число, то есть матрица, имеющая измерение .

Определение Позволять быть матрица и быть скаляром. Продукт к Другой матрица, обозначаемая , такой, что его -й вход равен произведению посредством -й запись , что для и .

Продукт можно было бы определить таким же образом. Тем не менее, порядок продукта не имеет особого значения, потому что . Поэтому, можно рассматривать так же, как .

Пример Позволять и определить матрица продукт

Недвижимость

В основном все свойства, которыми обладает умножение действительных чисел, наследуется умножением матрицы на скаляр.

Предложение (ассоциативное свойство) Умножение матрицы на скаляр ассоциативно, т.е. для любая матрица и любые скаляры и .

Доказательство

Пусть быть матрица. Мы знаем это Другой матрица такая, что ее -й вход равен произведению посредством -й запись , что есть, кроме того, это матрица такая, что ее -й вход равен произведению посредством -й запись , что как есть следствие, мы имеем там мы использовали определения в ногу , в ногу и в ногу . В ногу мы воспользовались ассоциативностью обычного умножения. Таким образом, у нас есть доказал, что -й запись равно -й запись . Потому что это справедливо для каждого и , утверждение доказано.

Предложение (распределительное имущество 1) Умножение матрицы на скаляр является дистрибутивным относительно сложение матриц, что для любой скаляр и любые матрицы и таким образом, чтобы их сложение было осмысленно определено.

Доказательство

Пусть и быть матрицы. По определению сложения матриц Другой матрица такая, что ее -й запись равна сумме -й запись и -й запись , что есть, кроме того, это матрица такая, что ее -й вход равен произведению посредством -й запись , что как есть следствие, мы имеем там мы использовали определения в ногу , в ногу , и в ногу и в ногу . В ногу мы использовали дистрибутивность обычного умножения. Таким образом, у нас есть доказал, что -й запись равно -й запись . Потому что это справедливо для каждого и , утверждение доказано.

Предложение (распределительное имущество 2) Умножение матрицы на скаляр является дистрибутивным относительно сложение скаляров, что для любые скаляры и и любая матрица .

Доказательство

Пусть быть матрица. Мы знаем это Другой матрица такая, что ее -й вход равен произведению посредством -й запись , что как есть следствие, мы имеем там мы использовали определения в ногу , и в ногу , в ногу . В ногу мы использовали дистрибутивность обычного умножения. Таким образом, у нас есть доказал, что -й запись равно -й запись . Потому что это справедливо для каждого и , утверждение доказано.

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять быть следующим матрица Пусть . Вычислить продукт .

Решение

Продукт Другой матрица такая, что для каждого и , в -й элемент равно произведению между и -й элемент :

Упражнение 2

Позволять быть вектор-строка определен мимо а матрица определена byCompute в продуктгде обозначает транспонирование .

Раствор

Транспонирование это продукт между и его транспонирование который является скаляром. Как следствие, мы имеем что

Упражнение 3

Определите два ряд векторы:Найти скаляр такой thatwhere

Решение

Применяя определение умножение матрицы на скаляр, мы получитьПо применяя определение сложения матриц, мы получитьПоэтому, в уравнение удовлетворен, если и только если какой в свою очередь удовлетворяется, если и только еслино этот подразумевает

Как цитировать

Пожалуйста, указывайте как:

Taboga, Marco (2021). «Умножение матрицы на скаляр», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-алгебра/умножение матрицы на скаляр.

Умножение матриц Обзор | Penji

Обзор

Матрицы — это способ группировки чисел, организованный в строки и столбцы. Матрицы часто используются как способ представления нескольких уравнений в более удобном для организации формате, однако для решения этих систем уравнений мы должны иметь возможность выполнять матричные операции, такие как умножение.

Строки и столбцы

Приведенная ниже матрица является примером матрицы [3×2]. Матрицы описываются в форме [RxC], где R представляет количество строк матрицы, а C представляет количество столбцов матрицы.

Приведенная выше матрица имеет размер [3×2], потому что она имеет 3 строки и 2 столбца.

Умножение на скаляр

Любую матрицу можно умножить на так называемую скалярную величину. В этом случае скаляр представляет собой действительное число, умноженное на всю матрицу. Например:

Умножение матриц

Также можно перемножать две матрицы вместе, однако матрицы можно перемножать только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Если две матрицы соответствуют этому критерию, их можно перемножить. Результатом будет третья матрица с таким же количеством строк, как и в первой матрице, и таким же количеством столбцов, как во второй матрице.

Пример

Можно ли перемножать следующие матрицы? Каковы будут размеры ответа?

1. [2×3] * [2×2]
2. [3×2] * [2×2]
3. [2*3] * [3*1]

Ответ

1. Мы не можем умножать эти матрицы, потому что матрица 1 имеет три столбца, а матрица 2 имеет только две строки.

2. Мы можем перемножить эти матрицы, потому что матрица 1 имеет два столбца, а матрица 2 — 2 строки. Результирующая матрица будет иметь столько строк, сколько матрица 1, и столбцов, как матрица 2, поэтому она будет [3×2].

3. Мы можем перемножить эти две матрицы, потому что матрица 1 имеет три столбца, а матрица 2 — три строки. Результатом будет [2×1].

Примечание: Это упражнение должно было показать, что порядок имеет значение при умножении двух матриц. Попробуйте изменить порядок любого из приведенных выше примеров и посмотрите, изменится ли результат.

Правила умножения матриц

Как только мы узнали, можно ли перемножить две матрицы, пришло время выполнить это умножение. Умножение двух матриц также известно как «точечный продукт». Каждое число в матрице ответов является результатом умножения одной из строк матрицы 1 на один из столбцов матрицы 2.

Чтобы найти первую строку, первый столбец матрицы ответов, умножьте первую строку матрицы 1 на первый столбец матрицы 2. Чтобы найти строку 1, второй столбец матрицы ответов, умножьте первую строку матрицы 1 на второй столбец матрицы 2. При умножении строки на столбец совпадающие термины умножаются и складываются.