Произведение ненулевого вектора на число: Умножение вектора на число — урок. Геометрия, 9 класс.

Произведение вектора на число — презентация онлайн

Похожие презентации:

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Умножения вектора на число

Векторы в пространстве

Понятие вектора

Естественно
считать,
что одно
вектор
2v получается
Если мы чем
изобразим
первого
автомобиля
Прежде,
ввести скорость
еще
действие
– умножение
умножением
v на число
2, а вектор
-2v получается
вектором
v, число,
товектора
естественно
изобразить
скорость
второго
вектора на
обратимся
к примеру.
Представим
себе,
умножением
вектора vдвижется
число прямолинейно
-2.
Этот пример
автомобиля
вектором,
унакоторого
направление
что один автомобиль
стакое же,
показывает

каким
образом
вести виумножение
как
у вектора
v, а длина
в 2 следует
разадвижется
больше,
обозначить
этот
постоянной
скоростью,
второй
том
же
вектора
наСкорость
число
и что
при умножении
получается
вектор.
вектор
2v.
третьего
автомобиля
изобразиться
направлении
со скоростью,
вдвое
большей,
а третий
вектором,
противоположным
вектору т.е.
2v, в
т.е. вектором -2v.
автомобиль
движется им навстречу,
противоположном направлении, и величина его скорости
такая же, как у второго автомобиля.
v
2v
-2v
Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора
a
на число
k
b, длина которого равна k a ,
причем векторы a и b сонаправлены при k>0 и
притивоположно направлены при k<0.
называется такой вектор
a
3a
1
12
a
— 2a
Умножение вектора на число.
b
2b
a
2b b
2b = 2 b
1
a
2
1
a
2
1
a
2
a
=
1
2
a
Умножение вектора на число.
Для любого числа
kи
a
ka
любого вектора
векторы
a
и
коллинеарны.
1
2
— a
a
1
12
a
— 2a
Произведение нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
k o=o
Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
o a=o
Назовите вектор, который получится в результате
умножения.
A
B
C
D
N
M
R
E
S
F
Q
I
H
V
O
J
T
P
K
Y
X
L
U
G
Z
JO 3
1
ML
3
4 AB
4 ЕУ
3
NZ
4
х JO
СК = -4
JO = – х1
4 CK
XD =– х3
4 CK
A
B
C
D
N
0 XD
NN = х
M
R
E
S
F
ХТ = х XD
Q
V
T
Y
U
х не существует
х XT
XT = 1
I
O
P
X
G
х XT
TX = -1
H
J
K
L
Z
T
A
B
7
3
C
TВ = 7
AC = 3
х TВ
AC = 3
7
х AC
TB = 7
3
10
D
O
DO = 10
2,5
K
F
KF = 2,5
KF = – х1 DO
4
х KF
DO = –4
Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС
T
B
х АС
ТВ = 1,25
A
C
Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK
L
K
х LK
SD =-0,75
D
S
ABCD – трапеция.
В
С
8
х DA
BC = –0,8
х BC
DA = – 10
8
А
10
D
Умножение вектора на число обладает следующими
основными свойствами.
Для любых
равенства:
a, b
и любых чисел
1
(kl)a = k (l a)
2
(k+l)a = ka + la
k, l
справедливы
Сочетательный закон
Первый распределительный закон
3
k (a + b) = ka + kb
Второй распределительный закон
Рисунок иллюстрирует сочетательный закон.
Представлен случай, когда
k = 2, l = 3.
1
Сочетательный закон
(kl)a = k (l a)
a
a
a
A
O
OВ = 2OA = 2(3
a a
B
a)
a a a a
B
O
OВ = 6
a = (2 3) a
Рисунок иллюстрирует первый распределительный
закон. Представлен случай, когда
2
(k+l)a = ka + la
Первый
распределительный закон
B
la
a
ka
k = 3, l = 2.
A
OA =
ka;
AB =
la
O
OB =
(k+l)a = ka + la
3
k (a + b) = ka + kb
Второй
распределительный
закон
Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон.
На рисунке ОАВ
ОА1В1, коэффициент подобия
k
A
OA =
ka
AB =
kb
OB =
k(a+b)
OB = OA + AB =
ka+kb
A1
a
O
b
a+b
B1
С другой стороны,
Таким образом,
B
k(a+b) = ka+kb

English     Русский Правила

Произведение вектора на число

Вам уже знакомы правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника сложения векторов.

Чтобы сложить неколлинеарные векторы  и  по правилу треугольника, нужно от некоторой точки А отложить вектор , равный вектору . Далее от точки B отложить вектор , равный вектору . Вектор  является вектором суммы двух векторов  и .

Для сложения этих же векторов можно использовать правило параллелограмма. При этом нужно отложить от произвольной точки А векторы  и , равные векторам А и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор AC равен сумме векторов  и .

Для сложения нескольких векторов применяют правило многоугольника. При этом от некоторой точки последовательно откладывают векторы друг за другом, и вектором их суммы является вектор, проведённый от начала первого вектора к концу последнего.

Также вы владеете двумя способами построения вектора разности.

Можно от некоторой точки О отложить векторы   и , равные векторам  и . При этом вектором их разности будет вектор , направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов  и  можно представить в виде суммы вектора   и вектора, противоположного вектору .

Тогда, отложив от некоторой точки О вектор  =    , а от точки А — вектор  = -, по правилу треугольника получим вектор .

Он является вектором суммы вектора  и вектора, противоположного вектору .

И, соответственно, вектором разности векторов  и .

Сегодня мы познакомимся с ещё одним действием над векторами — умножением вектора на число.

Но, для начала, рассмотрим пример.

Парусник дрейфует прямолинейно с одной и той же скоростью, а один из лайнеров движется в попутном направлении со скоростью в пять раз большей. Второй лайнер движется им на встречу, то есть в противоположном направлении, с той же скоростью, что и первый лайнер.

Если изобразить скорость парусника вектором , то скорость первого лайнера, движущегося в попутном направлении, нужно изобразить в виде сонаправленного вектора, длина которого в пять раз больше. И выразить эту скорость можно через скорость b умножением на 5.

Вектор скорости второго лайнера должен иметь такую же длину, как и вектор скорости первого лайнера, но он должен быть ему противоположно направленным. Значит, его можно выразить через вектор  умножением на -5.

Этот пример поможет нам ввести понятие произведения вектора на число.

Определение. Произведением ненулевого вектора  на число  называется такой вектор , длина которого равна . Причем , .

Произведение числа  обозначают так .

Следствия.

1.     Произведение вектора  на ноль, равно нулевому вектору .

2.     Ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k   коллинеарны.

Ведь, если , то полученный вектор сонаправлен вектору , а если , то он противоположно направлен ему. Но в каждом из этих случаев они будут коллинеарны.

По данному вектору  построить векторы: ; ; ; .

 Длина вектора  должна быть в три раза больше длины вектора . И этот вектор будет сонаправлен вектору , ведь k в данном случае равно трём, а это больше нуля.

; .

Далее изобразим вектор , .

Длина вектора , .

Последним построим вектор .

, .

Чтобы умножить вектор  на произведение чисел k и l, можно вектор  сначала умножить на число l, а затем на число k: . Этот закон называют сочетательным, и его можно проиллюстрировать так.

Рассмотрим случай, когда , : .

Вторым свойством запишем, что . Это первый распределительный закон.

Проиллюстрируем его.

Также рассмотрим случай, когда , : .

Запишем второй распределительный закон .

Например, если рассмотреть подобные треугольники  с коэффициентом подобия k, то можно записать, что вектор , вектор , а вектор .

С другой стороны вектор . Отсюда получаем, что произведение .

Данные свойства произведения вектора на число позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Преобразуем выражения с векторами с помощью известных свойств.

Можно сделать вывод, что над выражениями с векторами можно выполнять все те же преобразования, что и над алгебраическими выражениями.

Задача. Начертить попарно неколлинеарные векторы ,  и . Построить векторы ,  и .

Построение.

 

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с новым действием над векторами: умножением вектора на число.

Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы  и  сонаправлены, если k больше либо равно 0, и противоположно направлены, если k меньше 0.

Также записали два следствия из определения:

произведение вектора  на ноль, равно ;

ненулевой вектор  коллинеарен вектору, заданному произведением данного вектора  на число k.

Исходя из того, что произведение вектора на число обладает тремя свойствами, мы получили сочетательный закон, а также первый и второй распределительные законы.

Они позволяют выполнять преобразования в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, так же как и в числовых выражениях.

Точечное произведение ненулевого вектора на нулевой вектор

Задать вопрос

спросил 8 лет, 4 месяца назад

Изменено 2 года, 3 месяца назад

Просмотрено 5к раз

$\begingroup$

Скалярное произведение двух векторов, скажем, $\vec{A}$ и $\vec{B}$ определяется как

$$\vec{A} \cdot \vec{B} \equiv AB\cos \theta,$$

, где $A$ и $B$ — величины векторов $\vec{A}$ и $\vec{B}$ соответственно. Скалярное произведение по своему определению включает не только величины векторов, но и угол между ними. Почему скалярное произведение равно нулю, если либо $\vec{A}$, либо $\vec{B}$ — нулевой вектор? Если $\vec{B}$, скажем, нулевой вектор, то его направление неопределенно. Что тогда можно сказать об угле $\theta$? Каким будет $\theta$, то есть угол между $\vec{A}$ и $\vec{B}$, если $\vec{B}$ является нулевым вектором? Как определить $\vec{A}\cdot\vec{B}$, если $\vec{B}$ — нулевой вектор?

Извините, если мой вопрос не соответствует стандартам, спасибо.

• векторный анализ

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Один из способов думать об этом состоит в том, что определение скалярного произведения сделано для того, чтобы сделать скалярное произведение непрерывным в $\vec{A}$ и $\vec{B}$. Если вы фиксируете $\vec{A}$ и допускаете $\vec{B}\to0$, то из теоремы о сжатии из Calc I следует, что $|\vec{A}\cdot\vec{B}|\to0$ (поскольку $-1\leq\cos(\theta)\leq1$ и $B\to0$).

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Обычно под скалярным (внутренним) произведением понимается симметрическая, невырожденная, билинейная форма $$\mathbb{V} \times \mathbb{V} \to \mathbb{F}$$ на векторном пространстве $\mathbb{V }$ над полем $\mathbb{F}$. (Иногда мы также требуем, чтобы он был положительно определенным, но это не тот случай, если существуют ненулевые нулевые векторы.) Смысл в этом утверждении просто в том, что угол между двумя векторами не является частью определения скалярного произведения, а скорее следствие этого определения, и мы можем просто сказать, что угол между нулевым вектором и другим вектором не определен, как мы делаем в известном случае, когда нулевой вектор является нулевым вектором.

Фактически, эта проблема не ограничивается нулевыми векторами: если скалярное произведение имеет определенную сигнатуру, то величина $|X|$ определяется как $\sqrt{X \cdot X}$. Но если она не определена (т. е. существуют ненулевые нулевые векторы), то существуют и такие векторы $X$, что $B(X, X) < 0$, так что $X \cdot X$ находится вне обычного домен $\sqrt{\cdot}$. Таким образом, нам необходимо ввести новые соглашения для интерпретации $|X|$ и, следовательно, определения угла $\theta$ в уравнении $A \cdot B = |A||B| \cos\тета$. Мы можем сделать это, но это не очень удовлетворительно, и, по моему опыту, в любом случае никто формально не говорит о конкретных углах в этой обстановке.

$\endgroup$

$\begingroup$

Если $\vec{A}$ или $\vec{B}$ является нулевым вектором, то $A$ соответственно $B$ будет равно нулю, и левая часть вашего определения также равна нулю. Как и все ожидают от скалярного произведения.

Да, угол неопределенный, но в таком случае это неинтересно.

$\endgroup$

$\begingroup$

Формула скалярного произведения двух векторов $\vec{A}=(A_x, A_y)$ и $\vec{B} = (B_x, B_y)$ равна $$A_xB_x + A_yB_y = \vec{A} \cdot \vec{B}$$

Доказательство того, что $A_xB_x+A_yB_y= |A||B|\cos(\alpha)$ с $\alpha \in [0,\pi]$, доказывается с помощью закона косинуса и, поскольку угол $\alpha$ не определено между ненулевым vero и нулевым вектором, поэтому равенство не выполняется.

Однако первое определение скалярного произведения хорошо определено и предположим, что $\vec{A}$ является нулевым вектором, а $\vec{B}$ является или не является нулевым вектором, у вас есть: $\vec{A}\cdot \vec{B}=0\cdot B_x+0\cdot B_y =0$.

Иногда, по соглашению, поскольку угол определен нечетко, однако скалярное произведение равно нулю, говорят, что угол равен $\pi/2.$

$\endgroup$

Математика 362 Карточки | Chegg.com

Векторы (3,-1,2) и (0,0,0) ортогональны.

Если u и v — ортогональные векторы, то для всех ненулевых скаляров k и m ku и mv — ортогональные векторы.

Ортогональная проекция u на a перпендикулярна компоненте вектора u, ортогональной a.

Если a и b — ортогональные векторы, то для каждого отличного от нуля вектора u имеем: projA(projB(u))=0

Если a и u ненулевые векторы, то projA(projA(u))=projA(u)

Если соотношение projA(u)=projA(v) выполняется для некоторого ненулевого вектора a, то u=v.

Для всех векторов u и v верно, что abs(u+v)=abs(u)+abs(v)

Векторное уравнение прямой можно определить по любой точке, лежащей на прямой, и ненулевой вектор, параллельный прямой.

Векторное уравнение плоскости можно определить по любой точке, лежащей на плоскости, и ненулевому вектору, параллельному плоскости. 93 являются скалярными кратными любого ненулевого вектора на прямой

Все векторы решений линейной системы Ax=B ортогональны векторам-строкам матрицы A тогда и только тогда, когда B=0.

Общее решение неоднородной линейной системы Ax=b можно получить, добавив b к общему решению однородной линейной системы Ax=0.

Если X1 и X2 — два решения неоднородной линейной системы Ax=b, то X1-X2 — решение соответствующей однородной линейной системы.

Векторное произведение двух ненулевых векторов u и v является ненулевым вектором тогда и только тогда, когда u и v не параллельны.

Вектор нормали к плоскости можно получить путем перекрестного произведения двух ненулевых и неколлинеарных векторов, лежащих в плоскости.

Скалярное тройное произведение u, v и w определяет вектор, длина которого равна объему параллелепипеда, определяемому u, v и w.

Если u и v — векторы в трехмерном пространстве, то abs(v-x-u) равно площади параллелограмма, определяемой u и v. 93, где u отлично от нуля и u-x-v=u-x-w, то v=w.

Вектор — это любой элемент векторного пространства.

Векторное пространство должно содержать не менее двух векторов.

Если u — вектор, а k — скаляр, такой что ku=0, то должно быть верно, что k=0.

Множество положительных действительных чисел является векторным пространством, если сложение векторов и скалярное умножение являются обычными операциями сложения и умножения действительных чисел.

В любом векторном пространстве векторы (-1) и -u совпадают. 9н.

Оболочка любого конечного набора векторов в векторном пространстве замкнута относительно сложения и скалярного умножения.

Пересечение любых двух подпространств векторного пространства V является подпространством V.