Произведение вектора на число: Умножение вектора на число — урок. Геометрия, 9 класс.

Произведение вектора на число: операции, свойства и примеры

Содержание:

1. Откладывание вектора от данной точки
2. Произведение вектора на число
3. Свойства произведения
4. Пример задачи с операцией умножения

Откладывание вектора от данной точки

Раскрытие операции произведения вектора на число невозможно без понимания операции откладывания вектора от данной точки. Рассмотрим определение.

Определение 1
Точка, от которой начинается вектор – это начало вектора, от которого откладывается вектор. На рисунке такая точка отмечена как точка А.

Следующий шаг – рассмотрение теоремы.

Теорема 1

От любой точки начала вектора можно отложить только один вектор.

Как доказать эту теорему?

Что мы имеем: два возможных варианта событий, согласно первому – вектор нулевой, согласно второму – ненулевой.

В первом случае искомый вектор – АВ, во втором случае требуется более детальное рассмотрение.

Если принять точку А за начало вектора, а В за конец и провести через К параллельную вектору a прямую, а затем отложим на этой прямой равные отрезки KL и AB, KM и AB, то один из векторов с буквой К будет иметь одинаковое направление с вектором а.

Что мы имеем в итоге: на рисунке видно, что один из векторов единственно возможен как равный и однонаправленный с вектором а.
Теорема, таким образом, доказана.

Произведение вектора на число

Перейдём непосредственно к операции умножения. Введём обозначения: мы имеем вектор а и число к.

Определение 2
Умножая вектор а на число к, мы получаем вектор b, который должен соответствовать следующим параметрам:

1. Его длина рассчитывается так: |b →|=|k||a →|;
2. И а, и b имеют одно направление, если к больше нуля или равно, и разное направление, если к меньше нуля.

С помощью символов данную операцию можно обозначить так: b →=ka →.

Примечание
Важно учитывать то, что при умножении вектора на число, мы получаем векторную величину, а не число.

Свойства произведения вектора на число

Если умножить вектор на 0, то результатом будет нулевой вектор.

Необходимо доказать данное утверждение.

Что мы имеем: |b →|=|k||a →|=0⋅|a →|=0, а значит b →=ka →=0→

Таким образом, при умножении вектора а на действительное число к, получается вектор ка, коллинеарный вектору а.

Построение доказательства:

Согласно определению, коллинеарность векторов зависит от значения к, независимо от их направления относительно друг друга.

Если взять числа n и m, на которые распространяется сочетательный закон (посмотреть более точно можно на рисунке), то мы получим следующую формулу: (mn)a →=m(na →)

Доказательство закона реализуется посредством этих операций:

Таким образом, при наличии двух действительных чисел и одного вектора, актуализируется и первый распределительный закон, а формула выглядит так: (m+n)a →=ma →+na →

Более подробно доказательство закона:

Согласно второму распределительному закону, при наличии одного числа и двух векторов, мы получаем следующее выражение: m(a →+b→)=ma →+mb →

Доказательство второго закона:

Рисунок 5. Второй распределительный закон

Пример задачи с операцией умножения

Пример 1
Пусть x→=a →+b→, y→=a →−b→. Найти векторы:

• 2x→+2y→
• x→+12y→
• −y→−x→

Решение.

• x→+2y→ = 2(a →+b→)+2(a →−b→) = 2a →+2b→+2a →−2b→ = 4a →
• x→+12y→ = a →+b→+12(a →−b→) = a →+b→+12a →−12b→ = 32a →+12b→ = 3a →+b→2
• −y→−x→ = −(a →−b→)−(a →+b→) = −a →+b→−a →−b→ = −2a →

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Длина волны Понятие, расчёты и функции НМП Экологические проблемы Земли Социальная адаптация: определение, виды и функции Кризис в психологии: понятие, типы и проявления

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

Привалов И. И. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1966. — 272 с. Учебник для студентов высших технических заведений. Содержит разделы: Аналитическая геометрия на плоскости, Аналитическая геометрия в пространстве. Много решенных примеров и задач. Оглавление ВВЕДЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ § 2. Координаты на прямой линии. § 3. Расстояние между двумя точками на прямой линии. § 4. Прямоугольные координаты на плоскости. § 5. Расстояние между двумя точками на плоскости. § 6. Деление отрезка в данном отношении. § 7. Угол между двумя осями. § 8. Основные положения теории проекций. § 9. Проекции направленного отрезка на оси координат. § 10. Площадь треугольника. § 11. Полярные координаты. Упражнения ГЛАВА II. ЛИНИИ И ИХ УРАВНЕНИЯ § 1. Составление уравнений заданных линий. § 2. Геометрический смысл уравнений. § 3. Две основные задачи. § 4. Пересечение двух линий. § 5. Параметрические уравнения линий. § 6. Уравнения линий в полярных координатах. ГЛАВА III. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ § 1. Угловой коэффициент прямой. § 2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. § 3. Геометрический смысл уравнения первой степени между двумя переменными. § 4. Исследование общего уравнения первой степени Ах + Ву + С = 0. § 5. Уравнение прямой линии в отрезках. § 6. Построение прямой линии по ее уравнению. § 7. Угол между двумя прямыми. § 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. § 9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. § 10. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. § 11. Уравнение пучка прямых. § 12. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. § 13. Условие, при котором три данные точки лежат на одной прямой. § 14. Нормальное уравнение прямой линии. § 15. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. § 16. Расстояние от дайной точки до данной прямой. § 17. Уравнение прямой в полярной системе координат. Упражнения ГЛАВА IV. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ § 2. Окружность. § 3. Эллипс. § 4. Гипербола и ее асимптоты. § 5. Парабола. § 6. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством циркуля и линейки. § 7. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. § 8. Эксцентриситет и директрисы эллипса. § 9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. § 10. Эксцентриситет и директриса параболы. § 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах. § 12. Диаметры зллипса. Сопряженные диаметры. § 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры. § 14. Диаметры параболы. § 15. Касательная. § 16. Эллипс как проекция окружности. § 17. Параметрические уравнения эллипса. Упражнения ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИЙ § 2. Перенос начала координат. § 3. Поворот осей координат. § 4. Общий случай. § 5. Некоторые приложения формул преобразования координат. § 6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего произведения переменных. § 7. Преобразование общего уравнения второй степени. § 8. Классификация линий. Упражнения ГЛАВА VI. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2-го и 3-го ПОРЯДКА § 2. Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными. § 3. Определители 3-го порядка. § 4. Основные свойства определителей 3-го порядка. § 5. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. § 6. Однородная система. § 7. Общее исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. § 8. Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии. Упражнения ЧАСТЬ ВТОРАЯ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ § 2. Основные задачи. § 3. Основные положения теории проекций в пространстве. § 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве. Упражнения ГЛАВА II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 2. Сложение векторов. § 3. Вычитание векторов. § 4. Умножение вектора на число. § 5. Проекции вектора. § 6. Действия над векторами, заданными своими проекциями. § 7. Скалярное произведение векторов. § 8. Основные свойства скалярного произведения. § 9. Скалярное произведение векторов, заданных проекциями. § 10. Направление вектора. § 11. Векторное произведение. § 12. Основные свойства векторного произведения. § 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями. § 14. Векторно-скалярное произведение. § 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях. § 16. Двойное векторное произведение. Упражнения ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ УРАВНЕНИЙ § 1. Уравнение поверхности. § 2. Геометрический смысл уравнений. § 3. Две основные задачи. § 4. Сфера. § 5. Цилиндрические поверхности. § 6. Уравнения линии в пространстве. § 7. Пересечение трех поверхностей. Упражнения ГЛАВА IV. ПЛОСКОСТЬ § 1. Нормальное уравнение плоскости. § 2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. § 3. Исследование общего уравнения плоскости. § 4. Уравнение плоскости в отрезках. § 5. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку. § 6. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. § 7. Угол между двумя плоскостями. § 8. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. § 9. Точка пересечения трех плоскостей. § 10. Расстояние от точки до плоскости. Упражнения ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ § 1. Уравнения прямой линии. § 2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой. § 3. Угол между двумя прямыми линиями. § 4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. § 5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. § 6. Угол между прямой и плоскостью. § 7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. § 8. Уравнение пучка плоскостей. § 9. Пересечение прямой с плоскостью. § 10. Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости. Упражнения ГЛАВА VI. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. ПОВЕРХНОСТИ 2-го ПОРЯДКА § 1. Классификация поверхностей. § 2. Цилиндрические поверхности (общий случай). § 3. Конические поверхности. § 4. Поверхности вращения. § 5. Эллипсоид. § 6. Однополостный гиперболоид. § 7. Двуполостный гиперболоид. § 8. Эллиптический параболоид. § 9. Гиперболический параболоид. § 10. Конус 2-го порядка. § 11. Цилиндры 2-го порядка. § 12. Прямолинейные образующие поверхностей 2-го порядка. Конструкции В. Г. Шухова. Упражнения Ответы

векторных операций | Определение, примеры и факты

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Обзор недели
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.
• Спасение Земли
  Британника представляет список дел Земли на 21 век. Узнайте об основных экологических проблемах, стоящих перед нашей планетой, и о том, что с ними можно сделать!
• SpaceNext50
  Britannica представляет SpaceNext50. От полёта на Луну до управления космосом — мы исследуем широкий спектр тем, которые подпитывают наше любопытство к космосу!

Содержание

• Введение

Краткие факты

• Связанный контент

Викторины

• Числа и математика

Векторный продукт: определение, формула и соотношение

Что такое умножение \(4\) на \(5\), это \(20\), легко. Умножать числа довольно легко, и каждый может это сделать, но что, если вас попросили умножить два вектора, \(\vec{a}=2\hat{i} + 3\hat{j}\) и \(\vec {b}=\шляпа{i} — 3\шляпа{k}\), ну не все так просто. Векторы — это очень отдельная сущность, классические правила числового умножения здесь малопригодны. Чтобы получить произведение двух или более векторов, нам нужно понять концепцию Векторный продукт .

Определение векторного произведения

Обычное умножение двух чисел на этом этапе хорошо определено. Но умножить два вектора не так просто. Произведение двух векторов можно выполнить двумя разными способами; либо по скалярному произведению, либо по векторному произведению. Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину, как следует из названия. В то время как векторное произведение двух векторов дает вектор, поэтому оно и называется векторным произведением.

Векторное произведение двух векторов дает вектор, который находится в направлении, перпендикулярном плоскости, образованной двумя векторами. Величина результирующего вектора является произведением величин двух исходных векторов и синуса угла между их направлениями.

Предположим, есть два вектора, которые образуют панель xy между собой. Векторное произведение этих векторов будет перпендикулярно плоскости xy, то есть оси z.

Векторный производный продукт

Пусть есть два вектора, \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), и \(\theta\) — угол между ними.

Векторное произведение между ними обозначается \(\vec{A}\times\vec{B}\) (‘\(\times\)’ не следует путать со знаком умножения, здесь оно обозначает векторное произведение ) из-за символа креста векторное произведение также известно как перекрестное произведение . Теперь, когда векторы и угол между ними установлены, давайте еще раз посмотрим на определение, но в математической манере:

Векторное произведение двух ненулевых векторов \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) равно \(\vec{A}\times\vec{B}=AB\ space \sin\theta\space\hat{n}\), где \(A\) и \(B\) — величины векторов, а \(\theta\) — острый угол между двумя векторами. И \(\шляпа{n}\) представляет собой единичный вектор в направлении, перпендикулярном плоскости, образованной двумя векторами.

Важно указать, что ни один из векторов не является нулевым вектором, т. е. нулевым вектором. В этом случае векторное произведение не имеет геометрического значения. В результате векторного произведения получается вектор, который имеет величину \(AB\space \sin\theta\) и указывает в направлении, которое перпендикулярно плоскости, образованной двумя векторами, то есть перпендикулярно обоим векторам одновременно.

Чтобы продемонстрировать, как это выглядит, рассмотрите диаграмму ниже:

Рис. 1. Два вектора A и B образуют другой вектор как их векторное произведение.

Предположим, что векторы ориентированы таким образом, что они лежат в плоскости xy, т. е. z-компонента векторов равна 0. Если мы возьмем векторное произведение, то его можно представить как поворот винта в направлении \( \vec{A}\) в \(\vec{B}\), то есть против часовой стрелки. Направление, в котором будет двигаться винт, — вертикально вверх, т. Е. Положительная ось z. Вертикальная стрелка — это в точности вектор, образованный их векторным произведением. На приведенной выше диаграмме \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) имеют одну и ту же начальную точку, но это не обязательно. На самом деле это могут быть любые два вектора, здесь они показаны только для наглядного представления концепции.

Обозначим полученный вектор как \(\vec{C}\), тогда по определению:

$$\vec{C}=AB\space \sin\theta\space\hat{n}$ $

, а величина определяется простым взятием абсолютного значения с обеих сторон,

$$|\vec{C}|=AB\space \sin\theta$$

Величина единичного вектора становится \( 1\), и все, что у нас осталось, это \(AB\space \sin\theta\). Помните, что \(|\vec{C}|=C\), это просто вопрос удобства, какое обозначение предпочитается (то же самое касается \(\vec{A}\) и \(\vec{B} \) или любой другой вектор).

Чтобы визуализировать направление, в котором будет указывать результирующий вектор, очень полезно правило правого винта. Просто поверните пальцы в направлении вектора вращения и наблюдайте за направлением большого пальца. Поверните пальцы от \(\vec{A}\) к \(\vec{B}\), и направление большого пальца задает направление результирующего вектора.

Компонентная форма векторного произведения

До сих пор вы знали, что геометрически означает векторное произведение. Теперь мы рассмотрим его алгебраическую форму более подробно. Чтобы обобщить векторное произведение:

Пусть A вектор такой, что \(\vec{A}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}\), где \ (a_{1},a_{2} \space и \space a_{3}\) являются вещественными константами, такими, что они не являются одновременно \(0\) (иначе это был бы нулевой вектор) и \(\ vec{B}=b_{1}\шляпа{i}+b_{2}\шляпа{j}+b_{3}\шляпа{k}\) , где \(b_{1},b_{2}\ ) и \(b_{3}\) являются вещественными константами и снова не являются одновременно \(0\). Здесь \(\hat{i}, \hat{j}\) и \(\hat{k}\) представляют единичные векторы по оси x, оси y и оси z соответственно. Оба вектора и соответствующие единичные векторы показаны на следующей диаграмме: 9{o}=0\), а величина всех единичных векторов равна \(1\). Точно так же \(\hat{j}\times\hat{j}=\vec{0}\) и \(\hat{k}\times\hat{k}=\vec{0}\), где \( \vec{0}\) представляет нулевой вектор. Вычисление других соотношений, например,

$$\шляпа{i}\times\шляпа{j}=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\шляпа{k}=\шляпа {k}$$

Поскольку угол между единичным вектором вдоль оси x и единичным вектором вдоль оси y равен \(\frac{\pi}{2}\) радианам, что дает синусоидальное значение \(1\). Точно так же мы можем вычислить другие сущности, а именно:

$$\шляпа{j}\times\шляпа{i}=-\шляпа{k}, \пробел \шляпа{i}\times\шляпа{k}=-\шляпа{j}, \пробел \шляпа {k}\times\hat{i}=\hat{j}, \space \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i} \space \text{and} \space \hat{k }\times\hat{j}=-\hat{i}$$

Теперь, используя приведенные выше объекты для единичных векторов, мы можем вычислить \(\vec{A} \times \vec{B}\) следующим образом :

$$\vec{A}\times\vec{B}=(a_{1}\шляпа{i}+a_{2}\шляпа{j}+a_{3}\шляпа{k})\ раз(b_{1}\шляпа{i}+b_{2}\шляпа{j}+b_{3}\шляпа{k})$$

$$\vec{A}\times\vec{B} =(a_{2}b_{3}-b_{2}a_{3})\шляпа{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\шляпа{j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\шляпа{k}$$

Взаимные произведения, которые привели к нулевому вектору, исключаются, и все, что у нас остается, это приведенное выше уравнение. Приведенное выше уравнение иногда может быть немного утомительным для запоминания и не очень удобным для записи. В результате приведенное выше уравнение часто представляется определителем \(3\) на \(3\), который равен:

$$\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix} \шляпа{i} & \шляпа{j} & \шляпа{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\b_{1} & b_{2} & b_{3} \ end{vmatrix}$$

, что в конечном итоге соответствует уравнению, полученному ранее. Но определитель относительно легко запомнить. Для словесного выражения элементов определителя первая строка состоит из единичных векторов, вторая и третья строки — из скалярных компонент векторов. Давайте рассмотрим пример, чтобы получить представление о вычислении таких определителей, в конечном счете, векторного произведения.

Тройное произведение векторов

Произведение векторов не ограничивается двумя векторами, но также может быть расширено до трех различных векторов. Пусть есть три ненулевых вектора \(\vec{A}, \space \vec{B} \space \text{and} \space \vec{C}\) и мы хотим вычислить векторное тройное произведение между ними : \(\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C})\), где порядок векторного произведения очень важен, так как \(\vec{A} \times (\vec{ B} \times \vec{C}) \neq (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}\) т. е. векторное тройное произведение не является ассоциативным. По сути, существует два способа вычисления векторного тройного произведения: во-первых, вычисление векторного произведения \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\), а затем выполнение его векторного произведения с \( \vec{С}\). Это включает в себя выполнение двух векторных продуктов, одного за другим.

Другой способ расчета векторного произведения — скалярное произведение:

$$ (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}=(\vec{A} \cdot \ vec{C}) \vec{B}-(\vec{B} \cdot \vec{C}) \vec{A} $$

Как видно, эта формула включает скалярное произведение \(\ vec{A}\) с \(\vec{C}\), а затем \(\vec{B}\) с \(\vec{C}\). На практике оба вышеуказанных способа одинаково удобны.

Для векторов: \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\), \(\vec{b}=2 \hat{i}-\ hat{k}\) и \(\vec{c}=\hat{j}-\hat{k}\), найдите векторное тройное произведение: \((\vec{a} \times \vec{b} ) \times \vec{c}\)

Решение:

Мы будем использовать следующую формулу

$$ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec {c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} $$

Шаг 1: Оценка \(\vec{a} \cdot \vec {c}\) :

$$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{c} &=(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\шляпа{j}-\шляпа{к}) \\ &=0+1-1 \\ \поэтому \vec{a} \cdot \vec{c} &=0 \end{aligned} $$

Шаг 2: Оценка \(\vec{b} \cdot \vec{c}\) :

$$ \begin{выровнено} \vec{b} \cdot \vec{c} &=(2 \шляпа{i}-\шляпа{k}) \cdot(\шляпа{j}-\шляпа{k}) \\ &=0+0+1 \\ &=1 \end{выровнено} $$

Шаг 3: Замена \(\vec{a} \cdot \vec{c}\) и \(\vec{b} \cdot \vec{c}\) в \((\vec {a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{b} \cdot \vec{ c}) \vec{a}\):

$$ \begin{aligned} (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} &=0-(1) \vec {a} \\ &=-\шляпа{i}-\шляпа{j}-\шляпа{k} \end{aligned} $$

Следовательно, \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=-\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}\). {2}\theta$$ 9{2}\) для векторов \(\vec{p}=2 \hat{i}-\hat{k}\) и \(\vec{q}=\hat{j}+\hat{k} \).

Решение:

Шаг 1:

Сначала оценим \(\vec{p} \cdot \vec{q}\):

$$ \begin{aligned} \vec{p} \cdot \vec{q} &=(2 \шляпа{i}-\шляпа{k}) \cdot(\шляпа{j}+\шляпа{k}) \\ &=0+0-1 \\ \ поэтому \vec{p} \cdot \vec{q} &=1 \end{aligned} $$

Шаг 2:

Вычислить \(\vec{p} \times \vec{q}\) :

$$ \begin{aligned} \vec{p} \times \vec{q} &=\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k } \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{массив}\right| \\ \поэтому \vec{p} \times \vec{q} &=\hat{i}(0+1)-\hat{j}(2+0)+\hat{k}(2-0) \\ \поэтому \vec{p} \times \vec{q} &=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $$ 9{2}\), мы уже вычислили его в шаге 3 :

$$ \text { RHS }=10 $$

Легко видеть, что

$$ \text{LHS}= \text {RHS} $$

Таким образом, личность подтверждена.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов, , также известное как Скалярное произведение, — это еще один способ умножения двух векторов помимо векторного произведения. Альтернативное, но одинаково используемое название для . Точечный продукт — 9.0145 Скалярное произведение.

Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину, а не другой вектор. Основная причина существования скалярного произведения заключается в том, чтобы измерить величину вектора вдоль направления другого вектора.

Пусть \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — два ненулевых вектора, образующих между собой острый угол \(\theta\). Формула для скалярного произведения дается следующим образом:

$$\vec{a} \cdot \vec{b}=ab \space \cos\theta$$

9{2}}) \space \cos(\pi/6)$$

$$\vec{p} \cdot \vec{q}=(5)(10) \space \left( \frac{1} {2} \right)$$

$$\vec{p} \cdot \vec{q}=25$$

Следовательно, скалярное произведение двух векторов \(\vec{p}=4\hat {i}+3\hat{j}\) и \(\vec{p}=6\hat{i}-8\hat{j}\) равно \(25\) единицам.

Примеры произведения векторов

Вычислить векторное произведение векторов \(\vec{C}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}\) и \(\vec{D }=-\шляпа{i}+2\шляпа{k}\).

Решение:

Поместив единичные векторы и компоненты в детерминантную форму, как упоминалось ранее, мы получим

$$\vec{C}\times\vec{D}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\- 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Раскладывая определитель, получаем

$$\vec{C} \times \vec{D}=6\hat{i}-3\hat{j }+3\hat{k}$$

, который является результирующим вектором, полученным векторным произведением \(\vec{C}\) и \(\vec{D}\).

Для двух векторов \(\vec{p}=\hat{i}-2\hat{j}\) и \(\vec{q}=-2\hat{i}+\lambda\hat{j }\) такие, что их векторное произведение равно \(\vec{p} \times \vec{q}=2\hat{k}\). Вычислите значение \(\лямбда\).

Решение:

Используя полученную ранее формулу для вычисления векторного произведения двух векторов, мы имеем

$$\vec{p} \times \vec{q}=\lambda\hat{k}- 4\hat{k}=(\lambda-4)\hat{k}$$

Но также дано, что векторное произведение равно \(\vec{p} \times \vec{q}=2\hat {k}\), поэтому, сравнивая коэффициент единичного вектора, мы получаем

$$\lambda-4=2$$

, что дает \(\lambda=6\).