Производная корня из 3 степени: Обучение — учебные курсы и тесты

alexxlab / / Разное

Содержание

Лекции по алгебре

Лекции по алгебре

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Теория делимости целых чисел
2. Деление с остатком.
3. Наибольший общий делитель.
4. Алгоритм Евклида.
5. Взаимно простые числа.
6. Простые числа.
§ 2. Теория сравнений
2. Действия над классами.
3. Приведенная система вычетов и примитивные классы.
§ 3. Некоторые общие понятия алгебры
2. Кольца и поля.
3. Изоморфизм.
ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Обоснование комплексных чисел
3. Свойства действий.
4. Возвращение к обычной форме записи.
5. Вычитание и деление комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексного числа
2. Модуль и аргумент комплексного числа.
3. Тригонометрическая запись комплексного числа.
4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел.

5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи.
6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра.
7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.
§ 3. Извлечение корня из комплексного числа
2. Исследование формулы извлечения корня.
3. Извлечение квадратного корня.
§ 4. Корни из единицы
§ 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной
ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
§ 1. Полиномы от одной буквы
2. Высший член и степень полинома.
3. Степени элемента в ассоциативном кольце.
4. Значение полинома.
5. Схема Хорнера и теорема Безу.
6. Число корней полинома в коммутативной области целостности.
7. Теорема о тождестве.
§ 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени
2. Исследование формулы Кардано.
3. Решение уравнений четвертой степени.
§ 3. Полиномы от нескольких букв
3. Теорема о тождестве.
4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств.
ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Матрицы и действия над ними
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число.
3. Умножение матриц.
4. Транспонирование матриц.
5. Обзор действий над матрицами.
§ 2. Теория определителей
2. Элементарные сведения теории перестановок.
3. Определитель порядка n. Определение.
4. Свойства определителя.
5. Алгебраические дополнения и миноры.
6. Вычисление определителей.
7. Определитель Вандермонда.
9. Некоторые следствия из теоремы Крамера.
§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)
2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками.
3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.
4. Базис и ранг совокупности строк.
5. Линейно эквивалентные совокупности строк.
6. Ранг матрицы.
7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы.
8. Ранг матрицы в терминах определителей.
9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований.
§ 4. Системы линейных уравнений общего вида
§ 5. Дальнейшие свойства определителей
2. Умножение матриц, разбитых на клетки.
3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов).
4. Определитель произведения двух квадратных матриц.
5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей.
6. Теорема Бине — Коши.
§ 6. Обращение квадратных матриц
§ 7. Характеристический полином матрицы
2. Теорема Кэли—Гамильтона.
ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв
§ 2. Закон инерции квадратичных форм
2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы.
3. Закон инерции квадратичных форм.
§ 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы.
3. Построение ортогональных матриц.
4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы.
6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду.
§ 4. Эрмитовы формы
2. Свойства эрмитовых форм.
ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
§ 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы
§ 2. Производная
2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена.
3. Разделение множителей различной кратности.
§ 3. Рациональные дроби
2. Поле частных.
3. Правильные рациональные дроби.
4. Разложение рациональной дроби на простейшие.
5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел.
6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел.
7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители.
§ 4. Интерполяция
2. Интерполяционная формула Лагранжа.
3. Способ интерполяции Ньютона.
4. Приближенная интерполяция.
ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§ 1. Сравнения в кольце полиномов над полем
§ 2. Расширение полей
2. Конструирование простых расширений.
ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ
§ 1. Полиномы с целыми коэффициентами
§ 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом
ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
§ 1. Существование корней в С
§ 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной
2. Принцип аргумента.
3. Теорема Руше.
4. Непрерывность корней полинома.
§ 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами
2. Теорема Штурма.
3. Построение ряда Штурма.
§ 4. Обобщенная теорема Штурма
§ 5. Приближенное вычисление корней полинома
2. Метод непрерывных дробей.
ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы
§ 3. Гомоморфизм
§ 4. Прямое произведение групп
§ 5. Группы преобразований
2. Классы сопряженных элементов.
3. Строение однородных пространств.
4. К теории подстановок.
5. Примеры из геометрии.
6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы.
7. Центр p-группы.
8. Преобразования.
9. Автоморфизмы группы.
§ 6. Свободная группа
§ 7. Свободные произведения групп
§ 8. Конечные абелевы группы
§ 9. Конечно порожденные абелевы группы
ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
§ 1. Выражение симметрических пэлииов через основные
§ 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома
2. Степенные суммы.
3. Дискриминант полинома.
4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов.
§ 3. Результант
2. Другой способ построения результанта.
3. Линейное представление результанта.
4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.
5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной.
ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость.
3. Координаты вектора.
4. Замена базиса и преобразование координат.
§ 2. Подпространства
3. Прямая сумма подпространств.
4. Относительная линейная независимость и относительный базис.
5. Факторпространство.
§ 3. Линейные функции
§ 4. Линейные отображения векторных пространств
§ 5. Линейные операторы в векторном пространстве
2. Действия над операторами.
3. Инвариантные подпространства.
4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора.
5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином.
6. Минимальный полином оператора.
7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств.
8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств.
9.
Модули над кольцом главных идеалов.
10. Некоторые следствия.
11. Каноническая форма матрицы оператора.
12. Оператор проектирования.
13. Полуобратные линейные отображения.
§ 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел
2. Корневые векторы.
3. Нильпотентный оператор.
4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора.
5. Пример.
§ 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел
ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Скалярное произведение.
§ 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства
§ 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами
§ 4. Операторы в унитарном пространстве
§ 5. Операторы в евклидовом пространстве
§ 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду
§ 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное
§ 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве
ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
§ 2. Действия над тензорами
§ 3. Симметричные и антисимметричные тензоры
§ 4. Тензорные произведения векторных пространств
ГЛАВА XV. АЛГЕБРЫ
1. Определение и простейшие свойства алгебр.
2. Структурные константы алгебры.
3. Некоторые классы алгебр.
4. Идеалы алгебры.
5. Присоединение единицы.
6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц.
§ 2. Алгебра кватернионов
§ 3. Внешняя алгебра
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Покажите, как найти производную кубического корня из x, не используя правило степени для дифференцирования. (т.е. используйте четырехэтапный процесс, чтобы найти…

Цитата страницы Начать эссе значок-вопрос Спросите репетитора

Начать бесплатную пробную версию

Скачать PDF PDF Цитата страницы Цитировать Поделиться ссылкой Делиться 9(2/3))`

См.

eNotes без рекламы

Запустите 48-часовую бесплатную пробную версию , чтобы получить доступ к более чем 30 000 дополнительных руководств и более чем 350 000 вопросов помощи при выполнении домашних заданий, на которые наши эксперты ответили.

Получите 48 часов бесплатного доступа

Уже зарегистрированы? Войдите здесь.

Утверждено редакцией eNotes

Математика

Последний ответ опубликован 07 сентября 2010 г. в 12:47:25.

Что означают буквы R, Q, N и Z в математике?

14 ответов воспитателя

математика

Последний ответ опубликован 09 октября 2017 г. в 00:54:39

Добавьте 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4. . . вплоть до 100.

3 Ответы воспитателя

Математика

Последний ответ опубликован 25 февраля 2016 г. в 18:48:45.

Сколько времени (в часах) займет ваше путешествие, если вы проедете 350 км со средней скоростью 80 км/ч? Какова формула с данными: время, расстояние, скорость или скорость?

1 Ответ учителя

Математика

Последний ответ опубликован 3 октября 2011 г. в 14:12:01.

Этот предел представляет собой производную некоторой функции f при некотором числе a. укажите это f и a. lim h->0  [(4-й корень из)(16+h)-2]/h    a=? ф=? 9Икс».

1 Ответ воспитателя

Производная квадратного корня (3 ключевых понятия, которые вы должны знать) – JDM Educational

Нам часто приходится находить производную квадратного корня на курсах математического анализа. Мы можем вычислить производную квадратного корня, используя определение предела или используя ярлык, описанный ниже.

Итак, как извлечь производную из квадратного корня? Чтобы найти производную функции извлечения квадратного корня f(x) = √x, сначала приведите ее к виду f(x) = x 1/2 . Затем используйте правило степени для производных, чтобы найти f’(x) = (1/2)*x -1/2 . Затем упростите до вида 1/2√ x. Мы также можем использовать цепное правило, чтобы найти производную функции композиции квадратного корня.

Конечно, аналогичное правило применяется для извлечения производной кубического корня, корня четвертой степени и других радикальных функций.

В этой статье мы поговорим о том, как получить производную функции квадратного корня и когда использовать цепное правило. Мы также рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить концепцию.

Начнем.

Производная квадратного корня

Производная функции квадратного корня f(x) = √x определяется как:

  • f'(x) = 1/2√x

Мы можем это доказать формулу путем преобразования радикальной формы квадратного корня в выражение с рациональным показателем степени. Помните, что для f(x) = √x. у нас есть радикал с индексом 2.

Вот график квадратного корня из x, f(x) = √x.

Это дает нам рациональный показатель степени 1/2. Итак, имеем:

Использование квадратных корней

Пожалуйста, включите JavaScript что правило степени для производных говорит нам, что для g(x) = x N производная определяется как: (при N = ½] взятие производной от f(x) дает нам:

  • f'(x) = (1/2)*x (1/2) – 1  [здесь, N = 1/2]
  • f'(x) = (1/2)* x -1/2
  • f'(x) = 1/2x 1/2   [так как x -1/2 = 1/x 1/2 ]

    6 9 01116 9 (x) = 1/2√x

Вот график f'(x) = 1/2√x, производной f(x) = √x:

Это график производной квадратный корень из x, f'(x) = 1/2√x.

Аналогичным образом мы можем найти производную от кубических корней, корней четвертой степени и т. д.:

Function Derivative
Cube Root
f(x) = x 1/3 		f'(x) = 1/(3x 2/3 )
Корень четвертой степени
f(x) = x 1/4 		f'(x) = 1/(4x 3/4 )
Корень пятой степени
f(x) = x 09 9095		 f'(x) = 1/(5x 4/5 )
N-й корень
f(x) = x 1/N 		f'(x) = 1/(Nx (N-1)/N )
В этой таблице показаны различные радикальные функции
и их производные.

Производная квадратного корня с помощью цепного правила

Чтобы найти производную квадратного корня с функциональной композицией, нам нужно будет использовать цепное правило.

Помните, что цепное правило говорит нам: для функциональной композиции f(g(x)) производная равна f'(g(x))*g'(x):

  • Если h(x) = f(g(x)), то h'(x) = f'(g(x))*g'(x)

Предполагается, что функции дифференцируемы.

Применение цепного правила, когда f(x) является функцией квадратного корня, даст нам:

  • Если h(x) = √g(x), то h'(x) = (1/2)*g (x) -1/2 *g'(x)

После упрощения получаем h'(x) = g'(x)/2√g(x)

Как найти производную Квадратный корень с использованием определения

Мы также можем использовать определение предела, чтобы найти производную квадратного корня.

Помните, что предельное определение производной говорит нам, что:

  • f'(x) = lim h–>0 [f(x + h) – f(x)] / h

Используя f(x) = √x в приведенном выше уравнении получаем:

  • f'(x) = lim h–>0 [√(x + h) – √x] / h

Мы умножит верх и низ на √(x + h) + √x, сопряженное с числителем.

Новый числитель:

  • [√(x + h) – √x]*[ √(x + h) + √x] = (x + h) – x   [средние члены отменяются, когда мы используем FOIL]

Поскольку (x + h) – x = h, наш новый числитель равен h.

Новый знаменатель равен h*[√(x + h) + √x].

Итак, новый предел:

  • f'(x) = lim h–>0 [h] / h*[√(x + h) + √x]
  • f'( x) = lim h–>0 [1] / 1*[√(x + h) + √x]   [отменить h вверху и внизу]
  • f'(x) = [1] / 1*[√(x + 0) + √x]   [подставить h = 0]
  • f'(x) = [1] / 1*[√(x) + √x]
  • f'(x) = [1] / [2√(x)]   [объединить подобные термины внизу]
  • f'(x) = 1/2√x

Это то же самое, что (1/2)*x -1/2 , что мы получаем из правила степени для производных.

Как извлечь производную квадратного корня

Чтобы извлечь производную квадратного корня, лучше всего начать с преобразования радикала в выражение с рациональным показателем степени. Затем вы можете использовать правило степени для производных (и, если необходимо, цепное правило), чтобы найти производную.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Чему равна производная квадратного корня из 2x?

Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(2x). Его график показан ниже.

Это график функции f(x) = √(2x).

Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:

  • f(x) = √(2x)
  • f(x) = (2x) 1/2
Теперь , мы используем степенное правило и цепное правило, чтобы взять производную:

  • f'(x) = (1/2)(2x) -1/2 *(2)   [1/2 соответствует степенному правилу, а 2 соответствует цепному правилу]
  • f'(x) = (2x) -1/2    [(1/2)*2 = 1]
  • f'(x) = 1/(2x) 1/2
  • f'(x) = 1/√(2x)

Вы можете увидеть график f'(x) = 1/√(2x) ниже.

Это график функции f'(x) = 1/√(2x).
Пример 2. Чему равна производная квадратного корня из 3x?

Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(3x). Его график показан ниже.

Это график функции f(x) = √(3x).

Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:

  • f(x) = √(3x)
  • f(x) = (3x) 1/2
Теперь , мы используем степенное правило и цепное правило, чтобы найти производную:

  • f'(x) = (1/2)(3x) -1/2 *(3)   [½ из степенного правила, а 3 из цепного правила]
  • f'(x) = (3/2)(3x) -1/2    [(1/2)* 3 = 3/2]. f'(x) = 1,5/√(3x) ниже.

    Это график функции f'(x) = 1,5/√(3x).
    Пример 3. Чему равна производная квадратного корня из x + 1?

    Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(x+1). Его график показан ниже.

    Это график функции f(x) = √(x+1).

    Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:

    • f(x) = √(x+1)
    • f(x) = (x+1) 1/2

    Теперь воспользуемся степенным правилом и цепным правилом для получения производной:

    • f'(x) = (1/2)(x+1) -1/2 *(1) [½ — из правила степени, а 1 — из цепного правила]
    • f'(x) = 0,5*(x+1) -1/2
    • f'(x) = 0,5/(x+1) 1/2
    • f'(x) = 0,5/√(x+1)

      6 Вы можете увидеть график f'(x) = 0,5/√(x+1) ниже.

      Это график функции f'(x) = 0,5/√(x+1).
      Пример 4. Чему равна производная квадратного корня из 1 – x
      2 ?

      Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(1 – x 2 ). Его график показан ниже.

      Это график функции f(x) = √(1 – x 2 ).

      Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:

      • f(x) = √(1 – x 2 )
      • f(x) = (1 – x 2 ) 1/2

      Теперь воспользуемся степенным правилом и цепным правилом, чтобы найти производную: 1/2 *(-2x)   [½ соответствует степенному правилу, а -2x соответствует цепному правилу]

    • f'(x) = -x*(1 – x 2 ) -1/2    [(1/2)*(-2x) = -x]
    • f'(x) = — x/(1 – x 2 ) 1/2
    • f'(x) = -x/√(1 – x 2 )

    Вы можете увидеть график f'( x) = -x/√(1 – x 2 ) ниже.

    Это график функции f'(x) = -x/√(1 – x 2 ).
    Пример 5: Чему равна производная квадратного корня из x
    3 ?

    Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(x 3 ). Его график показан ниже.

    Это график функции f(x) = √(x 3 ).

    Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:

    • f(x) = √(x 3 )
    • f(x) = (x 3 ) 4 1/
    • f(x) = x 3*1/2
    • f(x) = x 3/2

    0003

    • f'(x) = (3/2)x 1/2
    • f'(x) = 1,5√x

    Вы можете увидеть график f'(x) = 1,5√x ниже.

    Это график функции f'(x) = 1,5√x.
    Пример 6. Чему равна производная квадратного корня из 1/квадратный корень из x?

    Допустим, мы хотим взять производную функции f(x) = √(1/√x). Его график показан ниже.

    Это график функции f(x) = √(1/√x).

    Сначала преобразуем радикал в выражение с рациональным показателем:

    • f(x) = √(1/√x)
    • f(x) = √(1/x 1/2 )   [√x = x 1/2 1/2 1 ] f(x) = √(x -1/2 )  [1/x 1/2 = x -1/2 ]
    • f(x) = (x -1/2 ) 1/2
    • f(x) = x (-1/2)*(1/2)
    • f(x) = x -1/9
        5

      • Теперь воспользуемся степенным правилом для получения производной:

        • f'(x) = (-1/4)x -5/4
        • f'(x) = -0,25/x 5/4

        Вы можете увидеть график f'(x) = -0,25/x 5/4 ниже.

        Это график функции f'(x) = -0,25/x 5/4 .

        Как найти вторую производную квадратного корня

        Чтобы найти вторую производную квадратного корня, мы используем правило степени, чтобы взять производную первой производной.

        No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *