Производная минус е в степени минус х: Производная e в степени x и показательной функции

2

Правила дифференцирования — Алгебра — Подготовка к ЕГЭ по математике

Название производной происходит от слова «произведенная», т.е. образованная от другой величины. Производная характеризует темп изменения функции.

Процесс определения производной какой-либо функции называется дифференцированием. Если говорить совсем просто, то для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию.

ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ:

ЧИСЛО, СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ, ФУНКЦИЯ С КОЭФФИЦИЕНТОМ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННОЙ

И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ФУНКЦИЙ

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ

Сложная функция – это когда внутри функции находится другая функция. То есть аргументом функции является другая функция. Как понять, что функция сложная: если в функции вместо икс стоит что-то другое – это сложная функция.

Например:

Общая формула:

Что она означает: мы берем производную от внешней функции, сохраняя ее аргумент таким, какой он был (то есть сохраняем ту функцию, которая стояла внутри), а потом умножаем ее на производную внутренней функции.

Примеры:

АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ

Геометрический смысл производной: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициент k в уравнении) касательной, проведенной в данной точке.

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как можно анализировать функцию с помощью производной:

1. Функция возрастает. Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный . Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна. Функция возрастает

2. Функция убывает. Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна. Функция убывает

3. Экстремум. Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция находится в пиковом значении, она и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше). Точка экстремума Максимум. До него функция возрастает, после него убывает. В максимуме производная сменяет свой знак с плюса на минус. Максимум: Минимум. До него функция убывает, после него возрастает. В минимуме производная сменяет свой знак с минуса на плюс. Максисмум:

Отсюда можно вывести общий порядок действий при анализе функций:

1. Находим производную от функции.

2. Находим точки экстремума: приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.

3. Определяем знаки производной между точками экстремума.

• Если в точке знак производной меняется с плюса на минус – это максимум.
• Если в точке знак производной меняется с минуса на плюс – это минимум.

Вопрос Видео: Дифференцирование натуральных экспоненциальных функций с использованием цепного правила

Видеозапись

Определите производную от 𝑔 𝑥 равно минус пять 𝑒 в степени минус три 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥.

Теперь, если вы действительно хотите выделить эту функцию, мы сначала перепишем ее. И я на самом деле написал это, поскольку производная нашей функции равна отрицательной пятерке, умноженной на 𝑑 𝑑𝑥 от 𝑒 в степени отрицательных трех 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥. Причина, по которой я это сделал, заключается в том, что на самом деле отрицательная пятерка — это просто общий фактор. Так что мы можем разобраться с этим отдельно.

Итак, теперь нам нужно продифференцировать 𝑒 в степени минус три 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥. Теперь, чтобы действительно различать это, мы можем использовать цепное правило. Итак, цепное правило на самом деле гласит, что 𝑑𝑦 𝑑𝑥 или наша производная равна 𝑑𝑦 𝑑𝑢, умноженной на 𝑑𝑢 𝑑𝑥. И мы можем использовать это, когда 𝑦 находится в функции 𝑢, а 𝑢 находится в функции 𝑥.

Итак, первое, что нам нужно сделать, это спросить себя, что такое 𝑦 и 𝑢. Что ж, нам нужно решить, что у нас будет в качестве 𝑦 и 𝑢. Ну, во-первых, 𝑢 на самом деле будет нашим показателем. Так что это будет минус три 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥. И, следовательно, 𝑦 будет равно 𝑒 в степени 𝑢. Итак, как мы сказали, для фактического использования цепного правила необходимо, чтобы 𝑦 была функцией 𝑢, а 𝑢 — функцией 𝑥.

Теперь мне нужно найти 𝑑𝑢 𝑑𝑥 и 𝑑𝑦 𝑑𝑥. Начнем с 𝑑𝑢 𝑑𝑥. Итак, мы собираемся дифференцировать минус три 𝑥 в квадрате плюс три 𝑥. И когда мы это делаем, мы получаем минус шесть 𝑥 плюс три. В качестве быстрого напоминания о том, как мы на самом деле различаем это, я просто выберу первый термин. И у нас был показатель степени два, умноженный на отрицательный коэффициент три. Таким образом, это дает нам минус шесть. И у нас есть 𝑥 в степени два минус один, потому что мы вычитаем единицу из показателя степени, что просто дает нам 𝑥 в степени один или просто 𝑥. Таким образом, мы получаем минус шесть 𝑥.

Хорошо, отлично! Мы это различали. Теперь давайте двигаться дальше и дифференцировать 𝑦 равно 𝑒 в степени 𝑢. Что ж, когда мы дифференцируем 𝑒 в степени 𝑢, мы на самом деле просто получаем 𝑒 в степени 𝑢. И мы получаем это, потому что 𝑒 — это особое число, для которого градиент 𝑒 в степени 𝑥 равен 𝑒 в степени 𝑥. И, следовательно, если градиент 𝑒 в степени 𝑥 равен 𝑒 в степени 𝑥, а это означает, что когда мы дифференцируем 𝑒 в степени 𝑥, мы просто получим 𝑒 в степени 𝑥.

Хорошо, отлично! Итак, мы сделали это, давайте воспользуемся цепным правилом и соберем все вместе. Таким образом, мы можем сказать, что 𝑑𝑦 𝑑𝑥 равно отрицательной пятерке, потому что это была наша константа, которую мы на самом деле вынули в начале, умножили на 𝑒 в степени 𝑢, потому что это 𝑑𝑦 𝑑𝑢, а затем умножили на отрицательную шесть 𝑥 плюс три, потому что это была наша 𝑑𝑢 𝑑𝑥.

Теперь давайте немного приведем это в порядок. Итак, когда мы на самом деле убираемся, мы получаем 30 𝑥. И это потому, что у нас было минус пять, умноженное на минус шесть 𝑥, а затем минус 15, потому что у нас было минус пять, умноженное на три. Затем это умножается на 𝑒 в степени 𝑢.

Но мы закончили? Ну, нет, на самом деле мы еще не закончили, потому что наш дифференциал все еще находится в терминах 𝑥 и 𝑢. И мы на самом деле просто хотим этого с точки зрения 𝑥.