6.3. Частные производные.
Пусть функция определена на множестве , точки , , , .
Определение. Частной производной функции по переменной x в точке называется предел отношения частного приращения функции z по переменной x в точке к приращению аргумента , когда . .
Определение. Частной производной функции по переменной y в точке называется предел отношения частного приращения функции z по переменной y в точке к приращению аргумента y, когда .
.
Замечание: 1) все правила дифференцирования функции одной переменной справедливы для функций многих переменных; 2) при нахождении частной производной функции по одной переменной все остальные переменные считают постоянными, то есть для функции при вычислении , при вычислении ; для функции при вычисления , при вычислении , при вычислении
Лекция 7. Дифференцируемость функции двух переменных.
7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных.
Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Дифференциалы высших порядков.
7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
7.3. Производная функции по направлению.
7.4. Градиент функции
7.5. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремумов.
7.1. Определение дифференцируемости функции двух переменных. Определение полного дифференциала. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Пусть функция определена в области , точка .
Определение.
Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если ее полное приращение в точке
представимо в виде где
числа A и B не зависят от
и
, , при
,
и , .
Определение. Главная линейная по и часть полного приращения функции в точке называется полным дифференциалом функции z в точке и обозначается .
Для независимых переменных x и y их приращения совпадает с дифференциалами, то есть , , поэтому
. В приближённых вычислениях при малых приращениях и или
.
Для вычисления приближённого значения функции используют формулу .
7.2. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.
Пусть функция
дифференцируема в области
и ее частные производные первого порядка
сами являются функциями двух переменных.
Определение. Частная производная от частной производной первого порядка называется частной производной второго порядка.
Определение. Частными производными порядка называются частные производные от частных производных порядка.
Определение. Частные производные по различным переменным называется смешанными. Их обозначают , …
Теорема. Если смешанные производные существуют и непрерывны, то они равны между собой, то есть .
Пример.
Определение. Полным дифференциалом второго порядка функции называется ее полный дифференциал от полного дифференциала первого порядка.
Определение. Полным дифференциалом порядка функции двух переменных называется ее полный дифференциал от полного дифференциала порядка и
7.
3. Производная функции по направлению.П усть функция определена в области , и функция z дифференцируема в точке , тогда .
Определение. Производной функции в точке в направлении вектора называется предел отношения приращения функции z в направлении вектора в точке к
величине , когда .
где — направляющие косинусы вектора (они же координаты единичного вектора ).
Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в точке в направлении вектора .
Пример. Найти производные функции в точке в направлении вектора где .
1)
2)
3) В точке М функции возрастает в направлении вектора .
| 1 | Множитель | x^2-4 | |
| 2 | Множитель | 4x^2+20x+16 | |
| 3 | График | y=-x^2 | |
| 4 | Вычислить | 2+2 | |
| 5 | Множитель | x^2-25 | |
| 6 | Множитель | x^2+5x+6 | |
| 7 | Множитель | x^2-9 | |
| 8 | Множитель | x^3-8 | |
| 9 | Вычислить | квадратный корень из 12 | |
| 10 | Вычислить | квадратный корень из 20 | |
| 11 | Вычислить | квадратный корень из 50 | |
| 12 | Множитель | x^2-16 | |
| 13 | Вычислить | квадратный корень из 75 | |
| 14 | Множитель | x^2-1 | |
| 15 | Множитель | x^3+8 | |
| 16 | Вычислить | -2^2 | |
| 17 | Вычислить | квадратный корень из (-3)^4 | |
| 18 | Вычислить | квадратный корень из 45 | |
| 19 | Вычислить | квадратный корень из 32 | |
| 20 | Вычислить | квадратный корень из 18 | |
| 21 | Множитель | x^4-16 | |
| 22 | Вычислить | квадратный корень из 48 | |
| 23 | Вычислить | квадратный корень из 72 | |
| 24 | Вычислить | квадратный корень из (-2)^4 | |
| 25 | Множитель | x^3-27 | |
| 26 | Вычислить | -3^2 | |
| 27 | Множитель | x^4-1 | |
| 28 | Множитель | x^2+x-6 | |
| 29 | Множитель | x^3+27 | |
| 30 | Множитель | x^2-5x+6 | |
| 31 | Вычислить | квадратный корень из 24 | |
| 32 | Множитель | x^2-36 | |
| 33 | Множитель | x^2-4x+4 | |
| 34 | Вычислить | -4^2 | |
| 35 | Множитель | x^2-x-6 | |
| 36 | Множитель | x^4-81 | |
| 37 | Множитель | x^3-64 | |
| 38 | Вычислить | 4^3 | |
| 39 | Множитель | x^3-1 | |
| 40 | График | y=x^2 | |
| 41 | Вычислить | 2^3 | |
| 42 | Вычислить | (-12+ квадратный корень из -18)/60 | |
| 43 | Множитель | x^2-6x+9 | |
| 44 | Множитель | x^2-64 | |
| 45 | График | y=2x | |
| 46 | Множитель | x^3+64 | |
| 47 | Вычислить | (-8+ квадратный корень из -12)/40 | |
| 48 | Множитель | x^2-8x+16 | |
| 49 | Вычислить | 3^4 | |
| 50 | Вычислить | -5^2 | |
| 51 | Множитель | x^2-49 | |
| 52 | Вычислить | (-20+ квадратный корень из -75)/40 | |
| 53 | Множитель | x^2+6x+9 | |
| 54 | Множитель | 4x^2-25 | |
| 55 | Вычислить | квадратный корень из 28 | |
| 56 | Множитель | x^2-81 | |
| 57 | Вычислить | 2^5 | |
| 58 | Вычислить | -8^2 | |
| 59 | Вычислить | 2^4 | |
| 60 | Множитель | 4x^2-9 | |
| 61 | Вычислить | (-20+ квадратный корень из -50)/60 | |
| 62 | Вычислить | (-8+ квадратный корень из -20)/24 | |
| 63 | Множитель | x^2+4x+4 | |
| 64 | Множитель | x^2-10x+25 | |
| 65 | Вычислить | квадратный корень из -16 | |
| 66 | Множитель | x^2-2x+1 | |
| 67 | Вычислить | -7^2 | |
| 68 | График | f(x)=2^x | |
| 69 | Вычислить | 2^-2 | |
| 70 | Вычислить | квадратный корень из 27 | |
| 71 | Вычислить | квадратный корень из 80 | |
| 72 | Множитель | x^3+125 | |
| 73 | Вычислить | -9^2 | |
| 74 | Множитель | 2x^2-5x-3 | |
| 75 | Вычислить | квадратный корень из 40 | |
| 76 | Множитель | x^2+2x+1 | |
| 77 | Множитель | x^2+8x+16 | |
| 78 | График | y=3x | |
| 79 | Множитель | x^2+10x+25 | |
| 80 | Вычислить | 3^3 | |
| 81 | Вычислить | 5^-2 | |
| 82 | График | f(x)=x^2 | |
| 83 | Вычислить | квадратный корень из 54 | |
| 84 | Вычислить | (-12+ квадратный корень из -45)/24 | |
| 85 | Множитель | x^2+x-2 | |
| 86 | Вычислить | (-3)^3 | |
| 87 | Множитель | x^2-12x+36 | |
| 88 | Множитель | x^2+4 | |
| 89 | Вычислить | квадратный корень из (-8)^2 | |
| 90 | Множитель | x^2+7x+12 | |
| 91 | Вычислить | квадратный корень из -25 | |
| 92 | Множитель | x^2-x-20 | |
| 93 | Вычислить | 5^3 | |
| 94 | Множитель | x^2+8x+15 | |
| 95 | Множитель | x^2+7x+10 | |
| 96 | Множитель | 2x^2+5x-3 | |
| 97 | Вычислить квадратный корень | квадратный корень из 116 | |
| 98 | Множитель | x^2-x-12 | |
| 99 | Множитель | x^2-x-2 | |
| 100 | Вычислить | 2^2 |
2}.
$$
92)$ является примером класса
кривых, каждая из которых называется ведьмой Аньези .
Нарисуйте кривую и найдите касательную к кривой в точке
$х= 5$. (Слово ведьма здесь является неправильным переводом
оригинальный итальянский, как описано на
http://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html и
http://witchofagnesi.org/.
(отвечать)Пример 3.4.9 Если $f'(4) = 5$, $g'(4) = 12$, $(fg)(4)= f(4)g(4)=2$ и $g(4) = 6$ , вычислить $f(4)$ и $\ds{d\over dx}{f\over g}$ в 4. (отвечать)
Правило частных, экспоненты и логарифмы – BetterExplained
В прошлый раз мы рассматривали производные с помощью «машинной» метафоры. Функции представляют собой машину с входным (x) и выходным (y) рычагом. Производная, dy/dx, показывает, насколько «покачивается выход» при изменении входных данных:
Теперь мы можем сделать большую машину из меньших (h = f + g, h = f * g, и т. д.). Производные правила (правило сложения, правило произведения) дают нам «общее колебание» с точки зрения частей.
Цепное правило особенное: мы можем «приблизиться» к одной производной и переписать ее в терминах другого ввода (например, преобразовать «миль в час» в «миль в минуту» — мы преобразуем ввод «время»).
На основе этого резюме давайте построим нашу интуицию для продвинутых производных правил. Вперед!
Деление (Частное Правило)
Ах, частное правило, которое никто не помнит. О, может быть, вы запомнили это с такой песней, как «Лоу-ди-хай, хай-ди-лоу…», но это непонимание!
Пришло время визуализировать правило деления (кто говорит «частное» в реальной жизни?). Ключ в том, чтобы рассматривать деление как тип умножения:
У нас есть прямоугольник, у нас есть площадь, но стороны равны «f» и «1/g». Вход x изменяется сбоку (на dx), поэтому f и g изменяются (на df и dg)… но как ведет себя 1/g?
Цепное правило на помощь! Мы можем обернуть 1/g в красивую, чистую переменную, а затем «увеличить масштаб», чтобы увидеть, что да, внутри есть деление.
Итак, давайте представим, что 1/g — это отдельная функция, m. Внутри функции m есть деление, но на минутку не обращайте на это внимания. Мы просто хотим объединить две точки зрения:
- f изменяется на df, внося площадь df * m = df * (1 / g)
- м изменяется на дм, площадь вклада дм * f = ?
Мы легко превратили m в 1/g. Отлично. Но что такое dm (насколько изменилось 1/g) по отношению к dg (насколько изменилось g)?
Нам нужна разница между соседними значениями 1/g: 1/g и 1/(g + dg). Например:
- Какая разница между 1/4 и 1/3? 1/12
- Как насчет 1/5 и 1/4? 1/20
- Как насчет 1/6 и 1/5? 1/30
Как это работает? Получаем общий знаменатель: для 1/3 и 1/4 это 1/12. А разница между «соседями» (вроде 1/3 и 1/4) будет 1/общий знаменатель, она же 1/(x*(x+1)). Посмотрим, сможешь ли ты понять, почему!
Если мы сделаем нашу производную модель совершенной и предположим, что между соседями нет разницы, +1 исчезнет, и мы получим:
101 = одна десятитысячная)
Разница отрицательна, так как новое значение (1/4) меньше исходного (1/3).
2 [как мы видели ранее] 92 * дг. Этот трюк с заменой используется во всем исчислении, чтобы помочь разделить корявые вычисления. «О, похоже, мы делаем прямое умножение. Упс, мы увеличили масштаб и увидели, что одна переменная на самом деле является делением — измените перспективу на внутреннюю переменную и умножьте на коэффициент преобразования».
Фух. Чтобы преобразовать наше покачивание «dg» в покачивание «dm», мы делаем:
И получаем:
Ура! Теперь ваш чрезмерно нетерпеливый учебник может упростить это до:
и он горит! Оно горит! Это «упрощение» скрывает то, что правило деления является всего лишь разновидностью правила произведения. Помните, что есть еще две части площади, которые нужно объединить:
- Часть «f» (числитель) растет, как и ожидалось
- Полоса «g» (знаменатель) отрицательная (по мере увеличения g площадь уменьшается)
Используя свою интуицию, вы знаете, что именно знаменатель способствует негативным изменениям.
x) 9фу. Больше не надо.
Но если foo контролируется чем-то другим, тогда нам нужно умножить скорость изменения на коэффициент преобразования (d(foo)/dx), когда мы прыгнем в эту внутреннюю точку зрения.
Натуральный логарифм
Производная ln(x) равна 1/x. Обычно это дается по факту.
Моя интуиция подсказывает, что ln(x) — это время, необходимое для роста до x:
- ln(10) — это время, чтобы вырасти от 1 до 10, предполагая 100% непрерывный рост
Хорошо, хорошо. Сколько времени требуется, чтобы вырасти до «следующего» значения, например 11? (x + dx, где dx = 1) 92 + 3: где бы мы умножили на du/dx?
Давайте задумаемся: du/dx играет роль только с точки зрения u (когда v изменяется, u является статическим значением, и не имеет значения, что u может быть далее разбито на x). Вклад u равен
. Если бы нам нужна была точка зрения «dx», мы бы включили сюда du/dx:
Мы умножаем на коэффициент преобразования «du/dx», чтобы получить данные из точки x.
зрения. Точно так же, если бы v было более сложным, у нас был бы термин dv/dx при вычислении точки зрения v.
Посмотрите, что произошло — мы выяснили общий d/du и при необходимости преобразовали его в более конкретный d/dx.
С бесконечно малыми проще
Отделение dy от dx в dy/dx «противоречит правилам» ограничений, но отлично работает с бесконечно малыми. Вы можете вычислить производные правила очень быстро:
Правило произведения:
Мы устанавливаем «df * dg» равным нулю, когда выпрыгиваем из бесконечно малого мира и возвращаемся к нашей обычной системе счисления.
Думайте с точки зрения «Насколько изменилось g? Насколько изменилось f?» и производные встают на место намного легче. «Разделить» на dx в конце.
Резюме: See the Machine
Наша цель — понять интуицию исчисления, а не заучивание. Мне нужно несколько аналогий, чтобы заставить меня задуматься:
- Функции — это машины, производные — это «покачивание»
- Производные правила находят «общее колебание» с точки зрения шевеления каждой части 9x для достижения следующего значения (x единиц/сек означает 1/x до следующего значения)
С практикой идеи начинают получаться.
Счастливая математика.
Приложение: Частные производные
Предположим, что наша функция зависит от двух входных данных:
Производную f можно рассматривать с точки зрения x (как f меняется с x?) или с точки зрения y (как меняется f меняется на y?). Это та же самая идея: у нас есть две «независимые» точки зрения, которые мы объединяем для общего поведения (это похоже на объединение точек зрения двух солипсистов, которые думают, что они единственные «настоящие» люди во вселенной).
Если x и y зависят от одной и той же переменной (например, t, время), мы можем написать следующее: погрузиться в его первопричину (время).
Если x и y в остальном независимы, мы представляем производную вдоль каждой оси в виде вектора:
