Производная от произведения: Производная произведения функций (u*v)’

alexxlab / / Разное

29 Правила нахождения производная суммы разности произведения отношения функций

Производная суммы и разности

  1. (f + g)’ = f ’ + g ’

  2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Производная произведения

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Производная частного

30 Таблица производных основных элементарных функций

31 Производ. Слож. Функц

Производная сложной функции. Производная функции, заданной параметрически

Пусть y – сложная функция x, т.е. y = f(u), u = g(x), или

              

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

           

Производная функции заданной параметрически.

. 

.

32 Произв и диффер. Высш.Порядк

Пусть теперь производная -го порядкаопределена в некоторой окрестности точкии дифференцируема. Тогда

Если функция имеет в некоторой области Dчастную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от может иметь в некоторой точкечастные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной функцииэти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).

  или  

  или  

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Например,

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка(n — 1), то есть

  .

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

33 Монотон.Диффер.Высш.Функц.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Пусть дана функция Тогда

.

.

.

.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

  • если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

  • если производная функции 

    y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;

  • найти производную функции;

  • решить неравенства ина области определения;

  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

34 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке, то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.

Пояснение: 1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке. 2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке(это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке. 3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке, а своего наименьшего значения в точке(это точка минимума). 4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой. 5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке, а своего наименьшего значения точке(несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум). 6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке(это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке(это точка минимума).

Алгоритм решения задачи. 1) Найти производную функции . 2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение. Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной. 3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала. 4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

Формулы. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.Правила дифференцирования.

Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.


Поиск на сайте DPVA

Поставщики оборудования

Полезные ссылки

О проекте

Обратная связь

Ответы на вопросы.

Оглавление

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Интегральное и дифференциальное исчисление. Табличные производные и интегралы. Таблица производных. Таблица интегралов. Таблица первообразных. Найти производную. Найти интеграл. Диффуры. / / Формулы. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.Правила дифференцирования.

Поделиться:   

Формулы. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Правила дифференцирования. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.
Производная произведения (функции) на постоянную:

Производная суммы (функций):

Производная произведения (функций):

Производная частного (функций):
 
Производная сложной функции:
 

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

 Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator
\prime} = u’v + uv’.\]

Докажем приведенную выше формулу, используя определение производной. Для этого найдем приращение функций uv , считая, что аргумент изменяется на Δ x :

\[\Delta \left( {uv} \right) = u\left( {x + \Delta x} \right)v\left( {x + \Delta x} \right) — u\left( x \ вправо)v\влево( х \вправо).\]

Учитывать, что

\[u\left( {x + \Delta x} \right) = u\left( x \right) + \Delta u,\;\;\;v\left( {x + \Delta x} \right ) = v\left( x \right) + \Delta v,\]

, где \(\Delta u\) и \(\Delta v\) — соответственно приращения функций \(u\) и \(v\). Опуская для краткости аргумент \(x\) функций \(u\) и \(v\), мы можем записать приращение \(\Delta \left( {uv} \right)\) в следующем виде:

\[\require{cancel} \Delta \left( {uv} \right) = \left( {u + \Delta u} \right)\left( {v + \Delta v} \right) — uv = \ cancel{uv} + u\Delta v + v\Delta u + \Delta u\Delta v — \cancel{uv} = u\Delta v + v\Delta u + \Delta u\Delta v.

\] 9\prime = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta \left({uv} \right)}}{{\Delta x}} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{u\Delta v + v\Delta u + \Delta u\Delta v}}{{\Delta x}} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{u\ Delta v}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{v\Delta u}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v.\]

В первом пределе функция \(u\) не зависит от приращения \(\Delta x\). Поэтому его можно взять за предельный знак. То же относится и к функции \(v\) во втором члене. Вычисляем отдельно предел \(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v:\) 9\prime = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{u\Delta v}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{v \Delta u}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v = u\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta v}}{{\Delta x}} + v\lim\limits _{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} + \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta u}}{{\Delta x}} \cdot \ lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta v = uv’ + vu’ + u’ \cdot 0 = u’v + uv’.

\] 9\prime = — 2\left( {2 — 3x} \right) + \left( {3 — 2x} \right)\left( { — 3} \right) = -\color{red}{4} + \ цвет{синий}{6x} -\цвет{красный}{9} + \цвет{синий}{6x} = \цвет{синий}{12x} — \цвет{красный}{13}. \]

Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

ПРОИЗВОДНЫЙ ПРОДУКТ определение | Кембриджский словарь английского языка

Примеры производного продукта

производного продукта

Вместо подхода «ничего не делать» владельцы могли бы создать синтетический производный продукт из своей существующей облигации и дополнительный продукт .

Из NPR