Производная от сложной функции: Производная сложной функции (u(v(x))’

Глава 51. Производная сложной и обратной функций

Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы о непрерывности сложной функции и функция является для нее Обратной.

Теорема (о производной обратной функции)

Пусть функция является непрерывной и строго монотонной в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную Тогда Обратная функция также имеет в соответствующей точке производную, причем

Теорема (о производной сложной функции).

Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция имеет Производную в точке и справедлива следующая формула:

В данной теореме рассмотрена суперпозиция двух функций, где зависит от через промежуточную переменную .

Пример:

Найти производную функции

Решение

Эту функцию можно представить через промежуточную переменную как Тогда по формуле (5.3.2)

Производная неявной функции

Пусть дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению , т. е. задана неявно. Чтобы найти производную функции , заданную неявно, необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной , рассматривая как сложную функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную

Пример

Найти производную функции , заданную уравнением , и вычислить ее значение в точке (2;0).

Решение

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что есть функция от , получим , откуда

Значение производной при равно

Производная показательно–степенной функции (логарифмическая производная)

Пусть функция положительна и дифференцируема в точке . Вычислим производную функции . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Это выражение называется логарифмической производной функции . Найдем с помощью логарифмической производной производную показательно–степенной функции

Где и – некоторые функции от аргумента , имеющие в точке соответствующие производные. Поскольку то использование формулы (5.3.5) приводит к равенству

С учетом вида функции получаем следующую формулу для производной показательно–степенной функции:

Производные составных функций — GeeksforGeeks

Производные являются неотъемлемой частью исчисления. Они помогают нам вычислять скорость изменения, максимумы и минимумы функций. Производные по определению даются с использованием пределов, которые называются первой формой производной. Мы уже знаем, как вычислять производные стандартных функций, но иногда нам приходится иметь дело со сложными математическими функциями, состоящими из более чем двух функций. Становится трудно и громоздко вычислять производную для таких функций методом грубой силы. Становится важным узнать о правилах и методах, облегчающих наши расчеты. Одним из них является цепное правило, позволяющее вычислять производные сложных функций. Давайте посмотрим на это правило формально.

Составные функции и цепное правило 

Допустим, у нас есть функция f(x) = (x + 1) ² , для которой мы хотим вычислить производную. Такие функции называются составными функциями, что означает, что они состоят из более чем одной функции. Обычно они имеют вид g(x) = h(f(x)) или также могут быть записаны как g = hof(x). В нашем случае заданная функция f(x) = (x + 1) ² состоит из двух функций,

f(x) = g(h(x)), где g(x) = x ² и h(x) = x + 1.

Например,

f(x) = (x + 1) ²

⇒ f(x) = x ² + 1 + 2x

Дифференцирование функции по х, расширяйте его каждый раз, а затем различайте его. В этих случаях цепное правило становится необходимым.

Пусть f — функция с действительным знаком, представляющая собой комбинацию двух функций, «u» и «v», то есть f = v o u. Допустим, t = u(x) и если для обеих функций «u» и «v» существуют и .

Цепное правило можно распространить на любое количество составных функций. Например,

f = (w o u) o v. Если t = v(x) и s = u(t), то

Допустим, у нас есть функция f(x) = sin(x ² ) 

Эта функция представляет собой составную функцию, состоящую из двух функций. Если t = u(x) = x ² и v(t) = sin(t), то

f(x) = (v o u)(x) = v(u(x)) = v(x ² ) = sin x ² , 

Положим t = u(t) = x ² . и существует. Следовательно, по цепному правилу 

Цепное правило также можно применять с помощью сокращенного метода. Это поясняется на примере, допустим, у нас есть функция f(x) = (sin(x)) ² . В общем, мы не используем подход композиции функций для дифференциации функций. Мы различаем «внутреннюю функцию» и «внешнюю функцию». Затем дифференцируйте внешнюю функцию, оставляя внутреннюю функцию в покое, и продолжайте в том же духе в иерархии.

⇒

⇒

⇒

Как правило, этот сокращенный метод используется для простого вычисления производных для различных функций.

Давайте рассмотрим некоторые проблемы с этим правилом, 

Примеры задач 

Задачи на производные полиномиальной функции и сложной функции с использованием цепного правила

Вопрос 1. Найдите производную функции f(x) = (x + 2) ² .

Решение:

Эта функция является составной функцией,

⇒

⇒

Вопрос 2: найдите производную для функции F (x) = (X ⁶ + x ² + 1) ¹⁰

Решение:

⇒

⇒

⇒

Вопрос 3: Найдите деривативную для функции f (x) = (x ^{2 .} + 1) ⁵

Решение:

⇒

⇒

⇒

⇒

Проблема на дериваверах тригономметрического.0002 Вопрос 4: Найдите производную функции f(x) = sin(tanx + 5).

Solution: 

 f(x) = sin(tanx + 5)

⇒

⇒

⇒

⇒

Problem on derivatives of Power функции с использованием цепного правила

Вопрос 5: Найдите производную функции, f(x) = e ^{(2x + 5)} .

Решение:

F (x) = E ^{(2x + 5)}

⇒

⇒

⇒

⇒

Проблема на деривативах модуля. Использование цепочки

. Вопрос 6: Найдите производную функции f(x) = | х + 1 |.

Решение:

Допустим, f(x) = |x + 1|.

Мы знаем, что такие функции модуля |x| представляют √x ² . Итак, каждую модульную функцию можно преобразовать таким образом, чтобы найти производную.

f(x) =  

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒ 9000 | = x + 1, таким образом 

Когда x < -1 |x + 1| = -(x + 1), таким образом 

Когда x = -1, производная не определена.

Вопрос 7: Найдите производную функции f(x) = | 2х – 1 |.

Решение:

Допустим, f(x) = |2x – 1|.

f(x) =  

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

Когда x >  |2x – 1| = 2x – 1, таким образом 

Когда x <  |2x – 1| = -(2x – 1), таким образом 

Когда x = , производная не определена.