Производная сложных функций – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД
Если \(g:X \to U\) и \(f:U \to Y\), то композиция функций \(g\ и \ f\) обозначается как\(y = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( u \right)\) и представляет собой «двухслойную» сложную функцию или функцию от функции.
Если \( f \ и\ g\) – дифференцируемые функции, то сложная функция \(y=f(g(x))\) также дифференцируема по \(x\), и ее производная равна \({\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) } = {\frac{d}{{dx}}f\left( {g\left( x \right)} \right)g’\left( x \right) } = {\frac{{df}}{{du}}\frac{{du}}{{dx}}}\).
\(y’\left( {{x_0}} \right) = {f’\left( {g\left( {{x_0}} \right)} \right)\cdot g’\left( {{x_0}} \right)}\).
Производные сложных функций вида \(y=f(u(x))\) можно найти по формулам:
\(1.![]() Глава 51. Производная сложной и обратной функцийПусть функция удовлетворяет условиям теоремы о непрерывности сложной функции и функция является для нее Обратной. Теорема (о производной обратной функции) Пусть функция является непрерывной и строго монотонной в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производную Тогда Обратная функция также имеет в соответствующей точке производную, причем
Теорема (о производной сложной функции). Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке . Тогда сложная функция имеет Производную в точке и справедлива следующая формула:
В данной теореме рассмотрена суперпозиция двух функций, где зависит от через промежуточную переменную .
Пример: Найти производную функции Решение Эту функцию можно представить через промежуточную переменную как Тогда по формуле (5.3.2) Производная неявной функции Пусть дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению , т. е. задана неявно. Чтобы найти производную функции , заданную неявно, необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной , рассматривая как сложную функцию от , а затем из полученного уравнения найти производную Пример Найти производную функции , заданную уравнением , и вычислить ее значение в точке (2;0). Решение Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что есть функция от , получим , откуда Значение производной при равно Производная показательно–степенной функции (логарифмическая производная) Пусть функция положительна и дифференцируема в точке .
Это выражение называется логарифмической производной функции . Найдем с помощью логарифмической производной производную показательно–степенной функции
Где и – некоторые функции от аргумента , имеющие в точке соответствующие производные. Поскольку то использование формулы (5.3.5) приводит к равенству С учетом вида функции получаем следующую формулу для производной показательно–степенной функции:
Производные составных функций — GeeksforGeeks Производные являются неотъемлемой частью исчисления. Составные функции и цепное правило Допустим, у нас есть функция f(x) = (x + 1) 2 , для которой мы хотим вычислить производную. Такие функции называются составными функциями, что означает, что они состоят из более чем одной функции. Обычно они имеют вид g(x) = h(f(x)) или также могут быть записаны как g = hof(x).
Например, f(x) = (x + 1) 2 ⇒ f(x) = x 2 + 1 + 2x Дифференцирование функции по х, расширяйте его каждый раз, а затем различайте его. В этих случаях цепное правило становится необходимым. Цепное правилоПусть f — функция с действительным знаком, представляющая собой комбинацию двух функций, «u» и «v», то есть f = v o u. Допустим, t = u(x) и если для обеих функций «u» и «v» существуют и . Цепное правило можно распространить на любое количество составных функций. Например, f = (w o u) o v. Если t = v(x) и s = u(t), то Допустим, у нас есть функция f(x) = sin(x 2 ) Эта функция представляет собой составную функцию, состоящую из двух функций. f(x) = (v o u)(x) = v(u(x)) = v(x 2 ) = sin x 2 , Положим t = u(t) = x 2 . и существует. Следовательно, по цепному правилу Метод, альтернативный цепному правилу (краткий прием для поиска производной с использованием цепного правила)Цепное правило также можно применять с помощью сокращенного метода. Это поясняется на примере, допустим, у нас есть функция f(x) = (sin(x)) 2 . В общем, мы не используем подход композиции функций для дифференциации функций. Мы различаем «внутреннюю функцию» и «внешнюю функцию». Затем дифференцируйте внешнюю функцию, оставляя внутреннюю функцию в покое, и продолжайте в том же духе в иерархии.
Как правило, этот сокращенный метод используется для простого вычисления производных для различных функций. Давайте рассмотрим некоторые проблемы с этим правилом, Примеры задачЗадачи на производные полиномиальной функции и сложной функции с использованием цепного правила Вопрос 1. Решение:
Вопрос 2: найдите производную для функции F (x) = (X 6 + x 2 + 1) 10 Решение:
Вопрос 3: Найдите деривативную для функции f (x) = (x 2 . + 1) 5 Решение:
Проблема на дериваверах тригономметрического.0002 Вопрос 4: Найдите производную функции f(x) = sin(tanx + 5). Solution:
Problem on derivatives of Power функции с использованием цепного правила Вопрос 5: Найдите производную функции, f(x) = e (2x + 5) . Решение:
Проблема на деривативах модуля. Использование цепочки . Вопрос 6: Найдите производную функции f(x) = | х + 1 |. Решение:
Вопрос 7: Найдите производную функции f(x) = | 2х – 1 |. Решение:
исчисление. Нахождение производной сложной функцииЗадавать вопрос спросил 92}{2}$ Затем я перемножил эти производные вместе, упростил и заменил все v и u их первоначальными значениями, пока не получил только x, а затем еще больше упростил (использовал калькулятор для большей части этого вместо того, чтобы делать вручную) Это правильный подход, и я напутал алгебру в конце, или я напутал в применении цепного правила?
$\begingroup$ Да, это правильный подход, и вычисленные вами производные верны; если вы получили неверный окончательный ответ, проверьте свои алгебраические манипуляции. |