Производная умножения: Производная от умножения двух чисел

Мы можем применить правило произведения, чтобы найти дифференцирование функции вида u(x)v(x). Например, для функции f(x) = x ² sin x мы можем найти производную как f'(x) = sin x·2x + x ² ·cos х.

Как найти производную произведения более чем двух функций с помощью правила произведения?

Формулу дифференцирования произведений более чем двух функций можно обобщить, используя ту же формулу правила произведения. Например, для трех функций u(x), v(x) и w(x), произведение которых задано как u(x)v(x)w(x), мы имеем

\( \frac{d (uvw)}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac {dv}{dx}w+uv\frac {dw}{dx}{\frac {d(uvw)}{dx} } = {\ frac {du} {dx}} vw + u {\ frac {dv} {dx}} w + uv {\ frac {dw} {dx}} \) 92}\).

Загрузить БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Расчетный лист

Правила произведения, мощности и цепи – BetterExplained

Нагромождение правил для получения деривативов никогда по-настоящему не щелкало для меня. Правило сложения, правило произведения, правило частного — как они сочетаются друг с другом? Что мы вообще пытаемся сделать ?

Вот мой взгляд на производные:

• У нас есть система для анализа, наша функция f
• Производная f’ (также известная как df/dx) представляет собой пошаговое поведение
• Оказывается, f является частью большей системы (h = f + g)
• Используя поведение частей, можем ли мы понять поведение целого?

Да. У каждой детали есть «точка зрения» на то, сколько изменений она внесла. Объедините каждую точку зрения, чтобы получить общее поведение. Каждое производное правило является примером слияния различных точек зрения.

А почему бы нам сразу всю систему не проанализировать? По той же причине вы не съедите гамбургер за один раз: маленькие кусочки легче уложить в голове. 92″ и сует вам в лицо график. Действительно ли это помогает нашей интуиции?

Не для меня. Графики сжимают ввод и вывод в одну кривую и скрывают механизм, который превращает одно в другое. Но производные правила о машинах, так что давайте посмотрим!

Я визуализирую функцию как процесс «ввод (x) => f => вывод (y)». компьютер наведения (начало серии ютуб).

Машина вычисляет такие функции, как сложение и умножение с помощью шестеренок — вы можете увидеть, как разворачивается механика!

Думайте о функции f как о машине с входным рычагом «x» и выходным рычагом «y». 2 составляет около 2. Производная оценивала, как далеко сдвинется выходной рычаг (совершенное, бесконечно маленькое качание сместит 2 единицы; мы сдвинули 2,01).

Ключ к пониманию производных правил:

• Настройка системы
• Покачивайте каждую часть системы отдельно, чтобы увидеть, как далеко перемещается вывод
• Объединить результаты

Общее покачивание представляет собой сумму покачиваний каждой части.

Сложение и вычитание

Время для нашей первой системы:

Что произойдет, если вход (x) изменится?

В моей голове я думаю: «Функция h принимает один вход. Она подает тот же вход на f и g и добавляет выходные рычаги. f и g качаются независимо друг от друга и даже не знают друг о друге!»

Функция f знает, что внесет некоторое покачивание (df), g знает, что внесет некоторое покачивание (dg), и мы, блуждающие надзиратели, которыми мы являемся, знаем, что их индивидуальное ежеминутное поведение суммируется:

Опять же, давайте опишем каждую «точку зрения»:

• Общая система имеет поведение dh
• С точки зрения f, он вносит вклад df в целое [он не знает о g]
• С точки зрения g, он вносит вклад в dg в целом [он не знает о f]

Каждое изменение в системе связано с изменением какой-либо ее части (f и g). Если мы добавим вклад каждой возможной переменной, мы описали всю систему.

df vs df/dx

Иногда мы используем df, иногда df/dx — что дает? (На какое-то время это меня смутило)

• df — это общее понятие «как бы сильно f не изменилось»
• df/dx — это специфическое понятие «как бы сильно ни изменилось f с точки зрения того, насколько сильно изменилось x»

Общий «df» помогает нам увидеть общее поведение.

Аналогия: представьте, что вы едете по пересеченной местности и хотите измерить топливную эффективность своего автомобиля. Вы измеряете пройденное расстояние, проверяете свой бак, чтобы узнать, сколько бензина вы использовали, и, наконец, выполняете деление, чтобы вычислить «миль на галлон». Вы измеряли расстояние и бензин отдельно — вы не прыгали в бензобак, чтобы узнать расход на ходу!

В исчислении иногда мы хотим думать о фактическом изменении, а не об отношении. Работа на уровне «df» дает нам пространство для размышлений о том, как функция в целом покачивается. мы можем , в конечном итоге , уменьшите масштаб с точки зрения конкретного ввода.

И мы сделаем это сейчас. Приведенное выше правило сложения может быть записано на основе «на dx» как:

Умножение (правило произведения)

Следующая головоломка: предположим, что наша система умножает части «f» и «g». Как она себя ведет?

Хм, хитрость — части взаимодействуют более тесно, но стратегия та же самая: посмотреть, как каждая часть вносит свой вклад со своей точки зрения, и объединить их:

• общее изменение h = вклад f (с точки зрения f) + вклад g (с точки зрения g)

Посмотрите на эту диаграмму:

Что происходит?

• У нас есть наша система: f и g умножаются, что дает h (площадь прямоугольника)
• Ввод «x» изменяется на dx off на расстоянии. f изменяется на некоторую величину df (думайте об абсолютном изменении, а не о скорости!). Точно так же g изменяется на собственную величину dg. Поскольку f и g изменились, площадь прямоугольника тоже изменилась.
• Как изменилась площадь с точки зрения f? Ну, f знает, что он изменился с помощью df, но понятия не имеет, что случилось с g. С точки зрения f, он единственный, кто переместился и добавит часть площади = df * g
.
• Аналогично, g не знает, как изменилось f, но знает, что добавит часть площади «dg * f»

Общее изменение в системе (dh) равно двум срезам площади:

Теперь, как и в нашем примере с количеством миль на галлон, мы «делим на dx», чтобы записать это с точки зрения того, насколько изменилось x:

(Кроме того: разделить на dx? Инженеры будут кивать, математики хмуриться. Технически df/dx — это не дробь: это полная операция взятия производной (с пределом и всем прочим). Но с точки зрения бесконечно малого , интуитивно, мы «масштабируемся по dx». Я улыбаюсь.)

Ключ к правилу произведения: добавьте два «кусочка площади», по одному с каждой точки зрения.

Попался: Но нет ли эффекта от одновременного изменения f и g (df * dg)?

Ага. Однако эта область бесконечно мала * бесконечно мала («бесконечно мала 2-го порядка») и невидима на текущем уровне. Это сложная концепция, но (df * dg) / dx исчезает по сравнению с обычными производными, такими как df/dx. Мы независимо изменяем f и g и комбинируем результаты, игнорируя результаты их совместного движения.

Цепное правило: это не так уж и плохо

Предположим, что g зависит от f, которое зависит от x:

Цепное правило позволяет нам «приблизиться» к функции и посмотреть, как начальное изменение (x) может повлиять окончательный результат по линии (g).

Интерпретация 1: Преобразование ставок

Обычная интерпретация состоит в том, чтобы умножить скорости:

x wiggles f. Это создает скорость изменения df/dx, которая изменяет g на dg/df. Таким образом, все покачивание будет таким:

Это похоже на метод «фактор-метка» на уроке химии:

Если ваша скорость «миль в секунду» изменится, умножьте на коэффициент преобразования, чтобы получить новые «мили». в час». Второй не знает о часе напрямую — он проходит преобразование секунды => минуты.

Аналогично, g не знает непосредственно об x, только f. Функция g знает, что она должна масштабировать свои входные данные на dg/df, чтобы получить выходные данные. Начальная скорость (df/dx) изменяется по мере продвижения вверх по цепочке.

Интерпретация 2: Преобразование покачивания

Я предпочитаю видеть цепное правило на основе «на покачивание»:

• x покачивания на dx, поэтому
• f покачивается df, поэтому
• г покачивается от dg

Круто. Но как они на самом деле связаны? Ах да, производная! (Это выходное покачивание на входное покачивание):

Помните, что производная от f (df/dx) определяет масштаб начального колебания. И то же самое происходит с g:

Он будет масштабировать любое колебание, возникающее на его входном рычаге (f), на dg/df. Если мы запишем df wiggle через dx:

, мы получим другую версию цепного правила: dx запускает цепочку, что приводит к некоторому конечному результату dg. Если мы хотим окончательное колебание с точки зрения dx, разделите обе стороны на dx:

Цепное правило — это не просто сокращение единицы метки фактора — это распространение колебания, которое корректируется на каждом шаге. 92). Ввод был f, и он обрабатывает f как одно значение. Позже мы второпях перепишем f через x. Но g не имеет к этому никакого отношения — его не волнует, что f можно переписать в терминах более мелких частей.

Во многих примерах переменная «x» является «концом строки».

Вопросы задают df/dx, т.е. «Дайте мне изменения с точки зрения x». Теперь x может зависеть от чего-то более глубокого, но об этом не просят. Это все равно, что сказать: «Мне нужны мили в час. Меня не волнуют мили в минуту или мили в секунду. Просто дайте мне мили в час». df/dx означает «перестать смотреть на входные данные, как только вы доберетесь до x».

Почему мы умножаем производные по цепному правилу, а для остальных добавляем их?

Обычные правила примерно объединяют точки зрения для получения общей картины. Какое изменение видит f? Какие изменения видит g? Сложите их в общую сумму.

Цепное правило заключается в том, чтобы углубиться в одну часть (например, f) и посмотреть, контролируется ли она другой переменной. Это как заглянуть внутрь часов и сказать: «Эй, минутная стрелка управляется секундной стрелкой!». Мы остаемся внутри той же части. 94 действительно х*х*х*х. Это умножение 4 «независимых» переменных. Каждый x ничего не знает о других, с тем же успехом это может быть x * u * v * w.

Теперь подумайте о точке зрения первого x:

• Меняется с x на x + dx
• Изменение общей функции равно [(x + dx) — x][u * v * w] = dx[u * v * w]
• Изменение на основе «dx» составляет [u * v * w]

Аналогично,

• С вашей точки зрения меняется на du. Он вносит вклад (du/dx)*[x * v * w] на основе «на dx» 94 имеет четыре одинаковые «точки зрения», которые совмещаются. Буйя!

  Сделайте передышку

  Я надеюсь, вы видите производную в новом свете: у нас есть система частей, мы вносим изменения и видим, как все это движется. Речь идет о объединении точек зрения: что каждая часть добавляет к целому?

  В следующей статье мы рассмотрим еще более мощные правила (экспоненты, частные и друзья). Счастливая математика.

  Другие сообщения из этой серии

  1. Нежное введение в изучение исчисления
  2. Понимание исчисления с помощью метафоры банковского счета
  3. Доисторическое исчисление: открытие Пи
  4. Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
  5. Исчисление: построение интуиции для производной
  6. Как понимать деривативы: произведение, мощность и правила цепочки
  7. Как понимать производные: правило частных, показатели степени и логарифмы
  8. Интуитивное введение в ограничения
  9. Интуиция для ряда Тейлора (аналогия ДНК)
  10. Зачем нужны пределы и бесконечно малые числа?
  11. Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
  12. Дружеский разговор о том, 0,999… = 1
  13. Аналогия: исчисление камеры
  14. Практика абстракции: графы исчисления
  15. Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
  16. Как прибавить от 1 до 100 с помощью исчисления
  17. Интеграл Sin(x): Геометрическая интуиция

  Правило произведения для трех и более функций — Krista King Math

  Как расширить правило произведения с двух до трех функций

  Правило произведения — это производное правило, которое позволяет нам взять производную функции, которая сама является произведением двух других функций. Правило произведения говорит нам, что производная уравнения типа

  ???y=f(x)g(x)???

  будет выглядеть так:

  ???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)+f(x)g\prime(x)???

  Но что делать, если наша функция является произведением более чем двух функций? В этой ситуации, если наша функция

  ???y=f(x)g(x)h(x)???

  тогда производная выглядит так:

  ???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)h(x)+f(x)g\prime(x)h( х)+f(x)g(x)h\prime(x)???

  Привет! Я Криста.

  Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

  Мы видим, что исходная функция была произведением трех функций, а ее производная была суммой трех произведений. Если бы наша функция была произведением четырех функций, производная была бы суммой четырех произведений.

  Как видите, когда мы берем производную по правилу произведения, мы берем производную одной функции за раз, умножая на две другие исходные функции. Чтобы быть более конкретным, мы берем производную от ???f(x)??? и умножаем ее на ???g(x)??? и ???h(x)???, оставив эти два как есть. Затем мы добавляем к этому производную от ???g(x)???, умноженную на ???f(x)??? и ???ч(х)??? оставили как есть. Мы можем продолжить эту схему, взяв производную только от одной из функций и оставив остальные в покое, для такого количества функций, сколько было перемножено вместе в нашей исходной задаче.

  Глядя на уравнение, которое является произведением четырех функций, например

  ???y=f(x)g(x)h(x)j(x)???

  производная равна

  ???\frac{dy}{dx}=f\prime(x)g(x)h(x)j(x)+f(x)g\prime(x)h( х)j(x)+f(x)g(x)h\prime(x)j(x)+f(x)g(x)h(x)j\prime(x)???

  Видеопример применения правила произведения производных к произведению трех функций

  9{13}\справа)\cdot\Big[12\sin{4x}\cos{5x}???

  ???+2\sin{4x}\cos{5x}???

  ???+x\sin{4x}\cos{5x}???

  ???-5x\sin{4x}\sin{5x}???

  ???+4x\cos{4x}\cos{5x}\Big]???

  Получить доступ к полному курсу исчисления 1

  Начать

  Изучение математикиКриста Кинг 21 января 2019 г. математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, правило произведения, правило произведения для производных, производные, правила производных, три функции, множество функций, правило произведения для трех функций

  0 лайков

  Исчисление I. Правило произведения и частного

  Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

  Уведомление для мобильных устройств

  Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

  Раздел 3-4: Произведение и частное Правило 93} — x} \вправо)\влево( {10 — 20x} \вправо)\)

Показать все решения Скрыть все решения

На данный момент не так много причин использовать правило произведения. Как мы отмечали в предыдущем разделе, все, что нам нужно сделать для любого из них, — это просто умножить произведение, а затем дифференцировать.

С учетом сказанного мы будем использовать правило продукта для них, чтобы мы могли увидеть пример или два. По мере добавления новых функций в наш репертуар и по мере усложнения функций правило произведения будет становиться все более полезным и во многих случаях необходимым. 92}} \right)\) Показать решение

Обратите внимание, что мы взяли производную этой функции в предыдущем разделе и не использовали правило произведения в этот момент. Однако здесь мы должны получить тот же результат, что и тогда.

Теперь давайте решим задачу здесь. 2}} \right)\] 92} + 40x — 10\конец{выравнивание*}\]

Так как это было легко сделать, мы пошли дальше и немного упростили результаты.

Давайте теперь поработаем пару примеров с правилом частных. В этом случае, в отличие от примеров с правилом произведения, для пары этих функций потребуется правило отношения, чтобы получить производную. Однако для последних двух мы можем избежать правила частного, если захотим, как мы увидим.

Пример 2. Продифференцируйте каждую из следующих функций. 96}}}{5}\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(\displaystyle W\left( z \right) = \frac{{3z + 9}}{{2 — z}}\) Показать решение

Здесь нечего делать, кроме как использовать частное правило. Вот работа для этой функции.

\[\begin{align*}W’\left( z \right) & = \frac{{3\left( {2 — z} \right) — \left( {3z + 9} \right)\left( { — 1} \right)}}{{{{\left( {2 — z} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{15}}{{{{\left( {2 — z} \right)}^2}}}\end{align*}\] 96}}}\) Показать решение

Кажется странным, что это здесь, а не в первой части этого примера, учитывая, что он определенно кажется проще, чем любой из двух предыдущих. На самом деле это проще. Есть смысл сделать это здесь, а не сначала. В этом случае есть два способа вычислить эту производную. Есть легкий путь и трудный путь, и в этом случае трудный путь является частным правилом. В этом смысл этого примера.

Давайте воспользуемся правилом частных и посмотрим, что у нас получится. 97}}}\]

Итак, это был «тяжелый» путь. Ну что там было сложного? Ну на самом деле это было не так уж сложно, просто есть более простой способ сделать это, вот и все. Однако, сказав это, распространенной ошибкой здесь является неправильное вычисление производной числителя (константы). По какой-то причине многие люди дают производную от числителя в таких задачах как 1 вместо 0! Кроме того, есть некоторое упрощение, которое необходимо сделать в такого рода задачах, если вы используете правило частного. 95}\]

Наконец, давайте не будем забывать о наших применениях производных.

Пример 3. Предположим, что количество воздуха в воздушном шаре в любой момент времени \(t\) определяется выражением \[V\left( t \right) = \frac{{6\sqrt[3]{t}}}{{4t + 1}}\]

Определите, наполняется ли шар воздухом или стравливается воздух в \(t = 8\).

Показать решение

Если шар наполняется воздухом, то его объем увеличивается, а если из него сливается воздух, то объем уменьшается. Другими словами, нам нужно получить производную, чтобы мы могли определить скорость изменения объема при \(t = 8\) 9\prime} = f’\,g\,h\,w + f\,g’\,h\,w + f\,g\,h’\,w + f\,g\,h\,w ‘\конец{выравнивание*}\]

Получение этих продуктов более чем двух функций на самом деле довольно просто. Например, давайте взглянем на правило продукта трех функций.

Во-первых, мы не думаем об этом как о произведении трех функций, а вместо правила произведения двух функций \(f\,g\) и \(h\), которое мы можем затем использовать произведение двух функций правило.

No related posts.