Производная: определение и основные формулы. 11 класс
Похожие презентации:
Неопределенный интеграл. Основные понятия и определения
Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные элементарных функций
Производная. Основные теоремы о производных. Формулы дифференцирования функций. (Лекция 5)
Производные элементарных функций. 11 класс
Устные упражнения. Определение производной. (10 класс)
Определение производной
Производная показательной функции. 11 класс
Определение производной
Непосредственное вычисление производных. Табличное дифференцирование. Общее определение производной. (Семинар 7)
Определение производной
1. Дистанционный урок «Производная: определение и основные формулы »
алгебра и начала анализа11 класс
2. Содержание:
1.2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Цели и задачи
Определение производной
Физический смысл производной
Правила дифференцирования
Основные формулы производных
Примеры взятия производных
Производные элементарных функций
Производная сложной функции
Задания для закрепления материала
Задания для самоанализа
Ответы
Домашнее задание
Основная литература
3. Цели и задачи
Цель: познакомиться с одним из важных элементовматематического анализа – производной: ее
определением, физическим смыслом, а также
освоить аппарат нахождения производной различных
функций.
Задачи:
1.
2.
3.
Знать определение производной;
Знать и уметь применять правила
дифференцирования;
Знать и уметь применять формулы для
вычисления производных элементарных
функций.
Определение производной
y
x = x — x0
x = x0 + x
y=f(x)
В
f(x)
приращение аргумента
f
f(x0)
А
f = f(x) – f(x0)
f(x) = f(x0) + f
приращение функции
x
O
x0
x
f f(x0 + x) – f(x0)
— = ———————
x
x
x
разностное
отношение
Производной функции f в точке x0
называется число, к которому
стремится разностное отношение
при x 0.
f f(x0 + x) – f(x0)
f´(x0)= lim — = ———————
при x 0 x
x
Физический смысл производной
x
Если тело движется по прямой и за время t
его координата изменяется на x, то
t t(x0 + x) – t(x0) — средняя скорость
Vср( t) = — = ——————— движения тела за t
x
x
Таким образом, физический смысл
производной – это мгновенная скорость
Правила дифференцирования
Если функция y = f(x) имеет производную, то она называется
дифференцируемой; операция нахождения производной
функции называется дифференцированием.
Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции, С – постоянная.
(c f ( x)) c f ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x)
( f ( x) g ( x)) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2
g ( x)
g ( x)
Основные формулы производных
x 1
c 0
n 1
x n x
n
x 2
kx b n kx b
n
n 1
1
k
x
Примеры взятия производной
8 0
0
5x 5
5
x 6x
x
8
x 7 x
x
6
7
x5
100
3, 4 x 3, 4
100 x99
100
100 x 101
52 5 32 5 x 3
x x
2
2
1
5
3 4
3
3
4
4 3x 4 x 4 5
x
4 x
Производные элементарных функций
1
ln x
x
log a x
1
x ln a
sin
x
cos x
cos
x
sin x
tgx
1
2
cos x
1
ctgx 2
sin x
x
e e
x
x
a a ln a
x
Производная сложной функции
Пусть f(x) , g(x) – дифференцируемые функции.
Тогда:f g x
f g x g x
Пример:
sin 4x
5
cos 4 x
3x
2
5
2
5
2
sin 4 x 3x 4 x 3x
5
3x 20 x 6 x
2
4
Задания для закрепления материала
Найдите производные, используя образцы.
5
4
4
Образец:(2 x) 2; (5 x 1) 5; (3x ) 3 5 x 15 x
(4 x) ….
(6 x 2) …..
(3 2 x) …..
(2 x 4 ) ……….
(3×6 ) ………..
Образец:y 3e x ; y 3e x
f ( x) e3 x 1; f ( x) e3 x 1 (3x 1) 3e3 x 1
y 5e x ; y ……..
y e2 x ; y ……….
y 3e4 x ; y 3(e4 x ) …………… …………
y 0,5e6 x 2 ; y 0,5 (e6 x 2 ) 0,5 e………… (…………) ……………….. ……………….
Образец: y 52 x 1;
y 52 x 1 ln 5 (2 x 1) 2ln 5 52 x 1
y 63 2 x ; y ……… ln… (………..) …………………..
y 5 23 x ; y …………………………………………………….
Образец:f ( x)
x2 2x ;
f ( x) ( x 2 ) (2 x ) 2 x 2 x ln 2
f ( x) 2 x4 4x ; f ( x) (.
…..) (…..) …………………………………………………………y 3×6 52 x 1; y ……………………………………………………………..
y 4 x5 2 63 2 x ; y ……………………………………………………………..
14. Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график ее производной.
Задания для самоанализаЗадание 1. Найдите производные функций:
1. f x 3 x 5
2. f x 4 x 5 x 9 x
2
3
3 x
3. f x
x 3
2
5 7
4. f x 2 3
x
x x
5. f x x 4
1
1
6. f x
2 4x
3x 2 x
Задание 2. Найдите производные функций:
2. f x x 5 x x x
2
3 x
3. f x 3
x
2
2 x 5
4. f x
x 1
5. f x
x 4
3
2
x 2
1 1 2
6. f x 4 x
2 x
English Русский Правила
14.3. Основные формулы дифференцирования
Производные степенных и тригонометрических функций выражаются следующими формулами:
/
(*“)’ = С«а-\ х>1, Ь/*)’ = ^=г> ^ =—1,
(8Ш х)’ — созх, (созх)’ = — зт х,
ДГ X
Пример 14.
—
Пример 14.10. Найти производную функции у = 1пл/л2 +4х + 5. Так
1 1
Как у = — \п(х +4х + 5), то
(*2+4х + 5)’ _ х+2 У 2(х2 + 4* + 5) х2 + 4х + 5 Производные обратных тригонометрических функций находят по формулам
(агсвт х)’ = ¦ =¦, (агссозл)’ = —. * ,
•\/1-*2 л/1-*2
(агс1ёх)’ = —Ц-, (агсс1§*)’ = -—Ц-.
\+х 1+хг
Если и = и (х) — дифференцируемая функция от х, то
(агс51пм)/= . и (агссок и)’ = — , М — , (14.15)
VI-и2 л/1-«2
(ах<Л%и)’ = — , (агсс1§м)’ =—(14.16)
1 +и 1 + и
Пример 14.11. Найти производную функции у = агсвт л/1-3* + +агссо$ — Д-2х.
Если- дифференцируемая функция, то
(14.17)
(14.18)
Пример 14.13. Найти производную функции Применяя формулы (14.17), находим
Пример 14.12. Найти производную функции С помощью первой из формул (14.16) и формулы (14.7) получаем
Производные гиперболических функций находят по формулам
Пример 14.14. Найти производную функции В соответствии с формулами (14.
‘1пи
Пример 14.15. Найти производную функции, заданной уравнением у8тх = со8(х-у).
Это уравнение определяет у = у (х) — функцию от х. Подставляя функцию у = у (х) в данное уравнение, получаем тождество у (х)втх = сов (х — у (х)). Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим у’ = у’ (х): у’зтх + у со$х = — кт (х — у) (1 — у’), у’втх+усовх = -$№ (х — у) + у’кт (х — у),
. • ч, УС08Х + 81П (X-V) у С08 X + 31П (х — У) — У (81П (х — у) — Б1П х), у —.
81П (X — у) — 81П X
Пример 14.16. Найти производную функции, заданной уравнениями х = /-вт/, у = 1-со8/.
Эта функция задана параметрически (см. (14.19)). Так как х,’ = 1 — — сов/,
У’, = 8ШI, то по формуле (14.20) получаем у’ = — =
Х\ 1-сок/
Пример 14.17. Найти производную функции у = хыпг.
Логарифмируя это равенство по основанию е, получаем 1пу= зшх1пх. Дифференцируя, находим у’/у = С08х1пх + 8тх(1/х), откуда у’ = = у (со8х 1пх + втх ¦ (1/х)), у’ = хм»х (со8х1пх+втх/х).
Г-
Дх ах
Механический смысл второй производной. Если — закон прямолинейного движения точки, то- ускорение этого дви
Жения в момент времени
Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и более высоких порядков:
Производная л-го порядка обозначается и так:
Если функция задана параметрически:То ее вторая произ
Водная определяется формулой
(14.22)
Пример 14.19. Найти вторую производную функции
Так какТо
Пример 14.20. Найти вторую производную функции, заданной параметрически:
ПосколькуТо по формуле (14.22)
Получаем
Пример 14.21. НайтиДля функции
Так какТо
Следовательно,
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Формула дифференцирования для тригонометрических функций
Формула дифференцирования: В математике дифференцирование — это хорошо известный термин, который обычно изучается в области вычислительной части математики.
Мы все изучили и решили несколько задач в старшей школе и +2 уровне.
- Формула интегрирования
- Формула тригонометрии
- Тригонометрические соотношения
- Тригонометрические функции с формулами
- Что такое тригонометрические производные
- Высота и расстояние
- Тригонометрическая формула, включающая сумму разностей идентификаторов продуктов
- Теорема Пифагора
- Формула дифференциации
- Триггерные идентификаторы
- Основные идентификаторы триггеров
Формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций
Другие формулы дифференцирования
На языке неспециалистов дифференциацию можно объяснить как меру или инструмент, с помощью которого мы можем измерить точную скорость изменений.
Например, вы можете вычислить скорость изменения скорости во времени для заданного количества функций.
Ну а если вы фанатик математики и хотите решить несколько вопросов на основе дифференцирования, то здесь мы вам в этом поможем.
Обсудим систематическую формулу дифференцирования, по которой можно определить показатель скорости для такой функции.
Типы дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения можно разделить на типы, которые называются —
- Обыкновенные дифференциальные уравнения
- Уравнения с частными производными
- Линейные дифференциальные уравнения
- Нелинейные дифференциальные уравнения
- Однородные дифференциальные уравнения
- Неоднородные дифференциальные уравнения
Различные формулы дифференцирования для исчисления
Итак, дифференцирование, являющееся частью исчисления, может состоять из нескольких задач, и для каждой задачи мы должны применять различный набор формул для ее вычисления.
Итак, если вы хотите твердо усвоить и понять дифференциацию, тогда вы должны держать в голове все ее формулы.
Ниже приведен список нескольких формул дифференциации, начиная с базового уровня и заканчивая продвинутым.
Производная экспоненциальной и логарифмической функций
Вспомним определение логарифмической функции с основанием a > 0 (с
Ну, как мы знаем, исчисление основано на чисто научных вычислениях, где вы должны применить определенную формулу, чтобы получить решение
Точно так же вы столкнетесь с несколькими задачами на дифференцирование, для решения которых вам понадобится конкретная формула, чтобы получить правильный ответ
В исчислении есть несколько формул, и вы должны применить правильную формулу к рассматриваемым дифференциальная задача Мы призываем вас практиковать все вышеупомянутые формулы, чтобы лучше решать задачи дифференцирования.
Производные тригонометрических функций — веб-формулы
· Интегралы тригонометрических функций
· Интегралы гиперболических функций
· Интегралы экспоненциальных и логарифмических функций
· Интегралы простых функций
· Интеграл (неопределенный)
· Основные производные
· Правила дифференцирования
· Производные функции
· Производные простых функций
· Производные экспоненциальных и логарифмических функций
· Производные гиперболических функций
· Интеграл (определенный)
· Интеграл (неопределенный)
· Интеграл простых функций
Текущее местоположение > Математические формулы > Исчисление > Производные тригонометрических функций
Не забудьте попробовать наше бесплатное приложение — Agile-журнал , который поможет вам отслеживать время, потраченное на различные проекты и задачи, 🙂
Попробуй сейчас
Общая дифференциация
Функция | Производный |
грех х | соз х |
соз | — грех х |
грех 2 х | 2∙ sin x∙ cos x = sin 2 x |
cos 2 х | -2∙ sin x∙ cos x = — sin 2 x |
тангенс x = с 2 х | 1/( cos 2 x) = 1+ тангенс 2 x |
детская кроватка x = — csc 2 x | -1/( sin 2 x) = -1- кроватка 2 x |
сек х | сек х∙ желтовато-коричневый х |
csc х | — csc x∙ детская кроватка x |
arcsin x = sin -1 x | 1/√(1-x 2 ) |
arccos x = cos -1 x | -1/√(1-x 2 ) |
арктангенс х = тангенс -1 х | 1/(1+x 2 ) |
arccot x = кроватка -1 x | -1/(1+х 2 ) |
угловых секунд x = секунд -1 x | 1/(|х|∙√(х 2 -1)) |
| -1/(|х|∙√(х 2 -1)) |
В следующей таблице приведены производные шести тригонометрических функций, а также их аналоги по цепному правилу (то есть синус, косинус и т.