Г.Б.ДВАЙТ ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРАЛОВ И ДРУГИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ |
|
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРАЛЫ ВЕРОЯТНОСТИ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
|
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
СФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ (МНОГОЧЛЕНЫ ЛЕЖАНДРА)
ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
|
| На страницу «Справочные материалы» | На главную страницу |
Неопределенный интеграл с примерами решений
Содержание:
- Неопределенный интеграл. Понятие первообразной и неопределенного интеграла
- Свойства неопределенного интеграла
- Таблица основных интегралов
Неопределенный интеграл. Понятие первообразной и неопределенного интеграла
В дифференциальном исчислении мы решали следующую задачу: дана функция , найти ее производную .
В математике и ее приложениях часто возникает обратная задача: дана функция , найти функцию такую, что .
Таким образом, кроме операции дифференцирования, нужна еще и другая, которая сводится к операции нахождения функции по ее производной. Такая операция называется интегрированием, а раздел математики, изучающий методы нахождения функции по ее производной, — интегральным исчислением. Этот термин ввел Я. Бернулли в 1690 г. Этот термин связан с латинскими словами: integro восстанавливать (т.е. по производной восстановить исходную функцию) и integer — целый.
Определение 1. Функция называется первообразной функции на промежутке , если для любого выполняется равенство
.
Например, , тогда за первообразную можно взять , поскольку . Пусть , тогда в качестве первообразной можно взять , так как . Заметим, что в первом случае мы могли вместо в качестве первообразной взять, например, или , поскольку и , и .
Теорема 1 (об общем виде первообразной).
Если — первообразная для функции на промежутке , то все первообразные для функции имеют вид , где — произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть — первообразная для . Тогда выполняется равенство . Для любой постоянной
,
а это означает, что — также первообразная для .
Обратно, пусть наряду с данной первообразной функция — также первообразная для . Тогда выполняются равенства
,
откуда . Тогда разность этих двух первообразных будет тождественно равна константе:
, или ,
что завершает доказательство теоремы.
Эта теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления.
Определение 2. Если — первообразная для , то выражение , где произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом функции .
Неопределенный интеграл обозначается (читается «интеграл эф от икс дэ икс»). Таким образом,
.
Знак называют знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией, — подынтегральным выражением, — постоянной интегрирования.
Таким образом, символ обозначает множество всех первообразных данной функции.
Нахождение функции по ее производной или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием данной функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного результата и убедиться, что получена подынтегральная функция.
Свойства неопределенного интеграла
Как всякая обратная операция, интегрирование — более сложное действие, чем дифференцирование. Мы приступаем к рассмотрению свойств неопределенного интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
.
Действительно,
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.
е.
.
Поскольку , то .
3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака неопределенного интеграла, т.е.
.
4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.
.
Действительно, дифференцируя левую часть равенство, получим по свойству 1 , а производная правой части
,
так что производные равны, что и требовалось проверить.
Таблица основных интегралов
Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из таблицы производных. Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.
Таблица основных интегралов
Пример №81
Найти .
Решение:
Разделим почленно числитель на знаменатель и применим сначала свойства 3 и 4, а затем табличные интегралы II и III.
.
Пример №82
Найти .
Решение:
Сначала преобразуем подынтегральную функцию
Теперь запишем исходный интеграл как разность табличных интегралов II и X (при а = 1):
.
Пример №83
Найти .
Решение:
Используя формулу представим данный интеграл в виде разности табличных интегралов VIII и VII:
.
Эта лекция взята из раздела о предмете высшая математика, там вы найдёте другие лекци по всем темам высшей математики:
| Высшая математика: полный курс лекций |
Другие темы которые вам помогут понять высшую математику:
| Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению |
| Метод наименьших квадратов |
| Методы интегрирования |
| Интегрирование некоторых классов функций |
Таблица интегралов в исчислении
- дом
- Таблица интегралов в исчислении
Процесс нахождения интеграла в исчислении называется интегрированием, а интеграл функции также известен как первообразная функции.
Основная теорема исчисления говорит нам, что если функция имеет производную:
`d/dx F(x) = f(x)`
Тогда интеграл функции f(x) возвращает исходную функцию F (x) плюс произвольная постоянная интегрирования: 92 + C`
Далее следует таблица интегралов различных форм, включая рациональные функции, тригонометрические интегралы, экспоненциальные формы и многое другое.
Таблица интегралов – основные формы и распространенные интегралы
Приведенные ниже интегралы очень распространены и используются во многих математических задачах. Мы включаем основные полиномиальные правила, интегралы экспоненциальной функции, интегралы основных тригонометрических функций,… Просмотр урока
Таблица интегралов — Формы с участием `ax + b`
Приведенные ниже интегралы включают `ax + b`, включая формы, в которых `ax + b` возводится в степень или в знаменатель дроби…. Посмотреть урок
Таблица интегралов – формы, включающие `sqrt( ax+b)`
Приведенные ниже интегралы включают `sqrt(ax+b)`.
… Просмотреть урок
Таблица интегралов – формы, включающие `ax+b` и `px+q`
Интегралы, приведенные ниже включают `ax+b` и `px+q`…. Просмотр урока
Таблица интегралов – формы, включающие `sqrt(ax+b)` и `px+q` 9n`… Просмотреть урок
Таблица интегралов — Формы с участием `sin ax`
Приведенные ниже интегралы включают `sin ax`… Просмотреть урок
Таблица интегралов – Формы с участием `cos ax`
Приведенные ниже интегралы включают `cos ax`…. Просмотр урока
Таблица интегралов – формы с участием `sin ax` и `cos ax`
Приведенные ниже интегралы включают `sin ax` и `cos ax`. *****Особое примечание: в интегралах №12, №15 и №24 вы увидите этот символ `{-+}`. Это следует читать как «минус или плюс». Относитесь к этому как к… Посмотреть урок
Таблица интегралов – формы с участием `tan ax`
Приведенные ниже интегралы включают `tan ax`.
.. Просмотреть урок …. Посмотреть урок
Таблица интегралов — Формы с участием `sec ax`
Приведенные ниже интегралы включают `sec ax`…. Посмотреть урок
Таблица интегралов – Формы с участием `csc ax`
Приведенные ниже интегралы включают `csc ax`…. Посмотреть урок 9(ax)`… Просмотреть урок
Таблица интегралов — формы с участием `ln x`
Приведенные ниже интегралы включают `ln x`… Просмотреть урок
Таблица интегралов – формы с участием `sinh ax`
Приведенные ниже интегралы включают `sinh ax`…. Просмотреть урок
Таблица интегралов – формы с участием `cash ax`
Приведенные ниже интегралы включают `cosh ax`…. Просмотреть урок
Таблица из Интегралы – формы с участием `sinh ax` и `cosh ax`
Интегралы ниже включают `sinh ax` и `cosh ax`. … Просмотреть урок
Таблица интегралов — формы, включающие `tanh ax`
Приведенные ниже интегралы включают `tanh ax`…. Просмотр урока
`…. Просмотреть урок Таблица интегралов — Формы с участием `sech ax`Приведенные ниже интегралы включают `sech ax`…. Просмотреть урок
Таблица интегралов – Формы с участием `csch ax`
В приведенных ниже интегралах используется `csch ax`…. Посмотреть урок
Таблица интегралов – формы с обратными гиперболическими функциями
Приведенные ниже интегралы включают обратные гиперболические функции…. Посмотреть урок
Таблица производных и интегралов с избранными специальными функциями 3-е изд.
Этот удобный и простой в использовании справочник по математическому анализу позволяет вам хранить сотни самых важных элементарных и расширенных результатов прямо на рабочем столе, независимо от того, подключены они к сети или нет! (Примечание. Этот формат электронной книги позволяет читателю листать страницы точно так же, как бумажную книгу. Нет необходимости в каком-либо дополнительном программном обеспечении, и он был тщательно отсканирован Norton 360.)
Новое 3-е издание с 32-страничным предварительным просмотром! (Загрузите, чтобы увидеть внутри)
Чистый макет, связанное оглавление и предметный указатель позволяют быстро находить результаты
Тщательные перекрестные ссылки с гиперссылками в теле таблиц, глоссарии и предметном указателе, которые указывают, где и как применять формулы
Подробные примеры и руководства по использованию
Идеально подходит для курсов по математике, естественным наукам и инженерии
Почти 1700 формул, таблиц и записей
Самые обширные таблицы исчисления до 100 долларов США
Содержание:
Таблица производных (49 записей)
Основные производные. Таблица интегралов (1216 записей)
Как пользоваться таблицей интегралов
Основные свойства интегралов
Основные свойства определенных интегралов
Алгебраические интегралы
Определенные интегралы, содержащие алгебраические функции
Тригонометрические интегралы
Интегралы, состоящие из произведений полиномиальных и тригонометрических функций
Интегралы, состоящие из обратных тригонометрических функций
Интегралы, состоящие из произведений полиномиальных и обратных тригонометрических функций Подынтегральные числа, состоящие из произведений многочленов и гиперболических функций
Интегральные числа, состоящие из произведений тригонометрических и гиперболических функций
Интегральные числа, состоящие из обратных гиперболических функций
Определенные интегралы, содержащие гиперболические функции
Экспоненциальные интегралы
Интегральные числа, содержащие произведения алгебраических и экспоненциальных функций
Интегральные числа, содержащие произведения тригонометрических и экспоненциальных функций
, Тригонометрические и экспоненциальные функции
Подынтегральные числа, содержащие произведения логарифмических и экспоненциальных функций
Определенные интегралы, содержащие экспоненциальные функции
Логарифмические интегралы
Целые числа, содержащие произведения или частные алгебраических и логарифмических функций
Определенные интегралы, содержащие логарифмические функции формулы
Формулы гиперболической редукции
Формулы экспоненциальной редукции
Формулы логарифмической редукции
Интегральные неравенства (3 записи)
Специальные функции (149 записей)
Гамма -функция
Эквивалентные формы
Свойства
Асвязанные определенные интегралы
Процессы
. Функция бета
Эквивалентные формы
. Производительные
2 Связанные 9017 Определенные
. Связанные
Определенные 9017. Являятся являющимися
. Функция бета
. как бета-функция, так и гамма-функция
Другие результаты
Константа Эйлера-Маскерони
Эквивалентные формы
Связь констант Эйлера-Маскерони с гамма-функцией
Bernoulli Numbers
Альтернативные определения
Некоторые номера Bernoulli
Свойства
Представления серии
Асимптотическое представление
Euler Numbers
Alternate Depanits
Некоторые числа Euler
.
Series Series
Соответствующие числа
. Дополнительные функции ошибок
Эквивалентные формы
Свойства
Асимптотические представления
Экспоненциальный интеграл
Эквивалентные формы
Свойства
Асимптотическое представление
Факториальная функция
Свойства
Ссылки на таблицы, относящиеся к специальным функциям напишите мне, чтобы получить ваш регистрационный файл.