Производные основных функций: Таблица производных (основных)

Производные основных элементарных функций

Используя теоремы предыдущего параграфа, можно получить формулы для вычисления производных основных элементарных функций.

Все ресурсы AP Calculus AB

3 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 Следующая →

AP Calculus AB Помощь » Интегралы » Техники антидифференцировки » Первообразные, следующие непосредственно из производных основных функций

Рассмотрим функцию

Найдите минимум функции на интервале .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти потенциальные минимумы функции, возьмите первую производную , используя степенное правило.

Присвоим производной значение 0:

Решим для , чтобы получить , а затем подставим 0,5 в исходную функцию, чтобы получить ответ

Мы можем перепроверить, что это действительно минимум, используя тест второй производной

, что означает, что функция вогнута вверх, так что найденная нами точка является минимумом.

Сообщить об ошибке

Найти координату x минимума  на интервале .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала найдите производную, которая равна:

Установите это значение равным 0, чтобы найти критические точки:

Оценить f в каждой критической точке и конечной точке по [-2, 2]:

минимум. Поскольку f(-2)=-32, это минимум.

Сообщить об ошибке

Каков локальный минимум  когда ?

Возможные ответы:

Значение y постоянно во всем этом диапазоне.

В этом диапазоне нет локального минимума.

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти максимум, нам нужно посмотреть на первую производную.

Чтобы найти первую производную, мы можем использовать правило степени. Для этого мы уменьшаем показатель степени переменных на единицу и умножаем на исходный показатель степени.

Мы будем считать, что все в нулевой степени равно единице.

Обратите внимание, что, поскольку любое произведение, умноженное на ноль, равно нулю.

Глядя на первую производную, помните, что если выход этого уравнения положителен, исходная функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Поскольку нам нужен МИНИМУМ, мы хотим увидеть, где производная меняется с отрицательной на положительную.

Обратите внимание, что имеет корень when . На самом деле, в этот конкретный момент он меняется с отрицательного на положительный. Это локальный минимум на интервале .

Сообщить об ошибке

Интегрировать, 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Integrate

1) Применить правило суммы для интеграции,

2) Интегрируйте каждый отдельный термин и включайте константу интеграции,

Поскольку интегрирование по неопределенной величине по существу является обратным процессом дифференцирования, проверьте свой результат, вычислив его производную.

Это та самая функция, которую мы интегрировали, что подтверждает наш результат. Кроме того, поскольку производная константы всегда равна нулю, мы должны включить в наш результат «C», поскольку любая константа, добавленная к любой функции, даст ту же производную.

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 4 5 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы AP Calculus AB

3 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Производные основных элементарных функций

Теперь мы найдем производные всех основных элементарных функций; начнем с постоянной функции.

Производные основных элементарных функций

Теперь найдем производные всех основных элементарных функций; начнем с постоянной функции.

(1) Производная постоянной функции равна нулю.

Пусть y = f(x) = k, k — константа.

Тогда f(x + ∆x) = k и

f(x + ∆x) — f(x) = k — k = 0.

(2) Степенная функция y = xn, n > 0 является целым числом.

Пусть f(x) = xn.

Тогда f(x + ∆x) = (x + ∆x)n и

f(x + ∆x) — f(x) = (x + ∆x)n — xn.

(3) Производная логарифмической функции

Натуральный логарифм x обозначается loge x или logx или ln x

x) = log (x + ∆x) и

f(x + ∆x) — f(x) = log (x + ∆x) — log x

(4) Производная показательной функции

Пусть y = ax

Тогда f (x + ∆x) — f (x) = ax + ∆x− ax

= ax (a ∆x−1) и

(5) Производные тригонометрических функций

(i) Функция синуса sinx.

Пусть y = f (x) = sin x.

Тогда f (x + ∆x) = sin(x + ∆x) и

(ii) функция косинуса, cos x

(iii) функция тангенса, tan x

Пусть y = f (x) = tan x .

(iv) Функция Secant, Sec x

(v) Функция Cosecant, Cosec X

(VI) Функция COTANGENT, Cot X

1310 (VI). Производные обратных тригонометрических функций

(i) Производная arcsin x или sin−1 x

Пусть y= f (x) = sin−1 x .

Тогда  y + ∆y= f (x + ∆x) = sin−1 (x +  ∆x)

Отсюда следует, что x= sin y и

х + ∆x= sin (y + ∆y).

(ii) Производная arccos x или cos-1x

Мы знаем тождество:

(iii) Производная arctan x или tan-1 x

x Пусть y = f ( ) = тангенс −1 х . … (1)

Отсюда следует, что y + ∆y= f(x + ∆x) = tan−1 (x + ∆x)          … (2)

x= tan y и

x+ ∆ x = tan (y + ∆y)

Отсюда следует, что ∆x = tan (y + ∆y) — tan y

(iv) Производная arccot ​​x или cot−1 x

(v) Производная arcsec x or

(vi) Производная arccosec x or

5 Доказательства

5 (v) и (vi) оставлены в качестве упражнений.

УПРАЖНЕНИЕ 10.2

Найдите производные следующих функций по соответствующим независимым переменным:

(1) f(x) = x — 3 sinx

(2) y = sin x + cos x

(3) f(x) = x sin x

(4) y = cos x — 2 tan x

(5) g(t) = t3cos t

(6) g(t) = 4 с t + tg t

(7) y = ex sin x

(8) y = tanx /x

(9) y = sin x / [1+ cos x]

(10) y = x / [ sin x + cos x]

(11) y = tan x −1 / сек x

(12) y = sin x / x2

(13) y = tan θ(sin θ + cos θ)

( 14) у = косек х .