Производные высшая математика примеры с решениями: примеры решения производных

Содержание

примеры решения производных

Производная функции является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и другим наукам, в особенности при изучении скорости различного рода процессов. Именно поэтому мы собрали на сайте более 200 примеров решения производных и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления производных советуем изучить теоретический материал по теме: прочитать определения, правила дифференцирования, таблицу производных и другой материал по производным.

Таблица производных и правила дифференцирования

Основные ссылки — таблица производных, правила дифференцирования и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Так как производная суммы равна сумме производных, то

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

Ответ.

Больше примеров решений →

Производные сложных функций

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание.Найти производную функции

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции:

В свою очередь производная также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ.

Больше примеров решений →

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Вычислить приближенно , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины и выбираются так, чтобы в точке можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что , то есть , .

Вычислим значение функции в точке :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :

Тогда

Итак,

Ответ.

Больше примеров решений →

Геометрический смысл производной

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой , то есть

Найдем производную от заданной функции:

в точке имеем:

Тогда окончательно получим, что

Ответ.

Больше примеров решений →

Механический смысл производной

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени ?

Решение. Найдем скорость точки как первую производную от перемещения:

В момент времени скорость равна

Ответ.

Больше примеров решений →

Уравнение касательной, нормали и угол между прямыми

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Записать уравнение касательной к графику функции в точке

Решение. Найдем значение функции в заданной точке:

Найдем производную заданной функции по правилу дифференцирования произведения:

Вычислим её значение в заданной точке

Используя формулу

запишем уравнение касательной:

Ответ. Уравнение касательной:

Больше примеров решений →

Производные высших порядков

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную второго порядка от функции

Решение. Находим первую производную как производную сложной функции:

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель — — есть сложной функцией:

Ответ.

Больше примеров решений →

Механическое смысл второй производной

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид (м). Найти ускорение точки в момент времени c.

Решение. Ускорение заданной точки найдем, взяв вторую производную от перемещения по времени:

Первая производная

(м/с)

вторая производная

(м/с²)

В момент времени c

(м/с²)

Ответ. (м/с²)

Больше примеров решений →

Дифференциалы высших порядков

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции

Решение. По формуле

Найдем третью производную заданной функции:

Тогда

Ответ.

Больше примеров решений →

Производная функции, заданной неявно

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную неявно заданной функции

Решение. Продифференцируем обе части данного выражения по , учитывая, что функция от и производная от неё берется как от сложной функции.

Выразим из этого равенства

Ответ.

Больше примеров решений →

Производная функции, заданной параметрически

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную от функции заданной параметрически

Решение. Найдем производные и

Подставляя найденные значения и в формулу

получим

Ответ.

Больше примеров решений →

Логарифмическое дифференцирование

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Найти производную функции

Решение. Применим логарифмическое дифференцирование:

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

Отсюда получаем, что

Ответ.

Больше примеров решений →

Формулы Маклорена и Тейлора

Основные ссылки — теоретический материал и примеры решений (10 шт).

Пример

Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию в точке .

Решение. Найдем производные:

Итак, , , . Значение функции в точке

Таким образом,

Ответ.

Больше примеров решений →

Вы поняли, как решать? Нет?

Методы решения задач: техника вычисления производных.

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Методические указания

к решению задач

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2009

УДК 517. 22 (077)

Методы решения задач: техника вычисления производных: Методические указания к решению задач / Сост.: М. Н. Абрамова, К. Г. Межевич, Е. А. Толкачева. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 32 с.

Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Производная функции».

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Производная функции». Освоение этого раздела математического анализа на первый взгляд не вызывает затруднения у студентов. Но без четкого овладения именно техникой дифференцирования и понятием производной практически невозможно дальнейшее продвижение в освоении курса математического анализа. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «производная функции» и основных правил дифференцирования. Во второй части указаний рассматривается применения производной к решению ряда наиболее часто встречающихся задач.

Данные методические указания, хоть и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Производная функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1].

Производная функции

Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

Пусть функцияопределена в интервале (a;b) и непрерывна в точке, и пусть. В окрестности точкивыбирается произвольная точкаx. Тогда разностьназывается приращением аргумента в точке. А разность– приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точкиMиN. Уголназывается углом наклона секущей, аее угловым коэффициентом.

Из прямоугольного треугольника MPN. Если точкаNбудет стремиться кMвдоль данной линии, то есть, то секущаяMNв пределе перейдет в касательнуюl , а угол наклона секущей –, в угол наклона касательной –.

Определение:

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е.

Геометрический смысл производной.

Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции приравна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке, т.е.

Физический смысл производной.

Если – закон прямолинейного движения точки, то– скорость этого движения в момент времениt.

Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:

Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока:

В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:

Если отношение приимеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными. Односторонние производные в точкеобозначаются соответственно:

– производная слева;

– производная справа.

Очевидно функция, определенная в некоторой окрестности точки , имеет производнуютогда и только тогда, когда односторонние производныесуществуют и равны между собой, причем.

Если для некоторого значения xвыполняется одно из условий

, то говорят, что в точкеxсуществует бесконечная производная, равная соответственно.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемойв этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Пример 1.1. Пользуясь определением производной найти производную функции.

Решение: Зададим аргументу данной функции приращение. Тогда приращение функции. Воспользуемся определением производной:

Ответ: .

Таблица производных и правила нахождения производной. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн

Таблица производных основных функций
Основные правила нахождения производной
Правило дифференцирования сложной функции
Логарифмическая производная
Производная обратной функции
Производная функции, заданной параметрически
Производная неявной функции

Таблица производных основных функций

1.		12.
2.		13.
3.		14.
4.		15.
5.		16.
6.		17.
7.		18.
8.		19.
9.		20.
10.		21.
11.		22.

Основные правила нахождения производной

Если – постоянная и , – функции, имеющие производные, то

1) Производная от постоянного числа равна нулю.

2) Производная от переменной равна единице

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

3) Производная суммы равна сумме производных

Пример 1

Найдем производную функции

4) Производная произведения постоянной на некоторую функцию равна произведению этой постоянной на производную от заданной функции.

Пример 2

Найдем производную функции

5) Производная произведения функций

Пример 3

Найдем производную функции

6) Производная частного:

Пример 4

Найдем производную функции

Правило дифференцирования сложной функции

или в других обозначениях:

Пример 5

Найдем производную функции

Пример 6

Найдем производную функции

Логарифмическая производная

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, то есть:

Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает нахождение ее производной.

Пример 7

Найдем производную функции

Прологарифмируем заданную функцию:

Искомая производная:

Производная обратной функции

Если для функции производная , то производная обратной функции есть

или в других обозначениях:

Пример 8

Найдем производную , если

Имеем:

Следовательно:

Производная функции, заданной параметрически

Если зависимость функции и аргумента задана посредством параметра

то

или в других обозначениях:

Пример 9

Найдем производную функции

Воспользуемся формулой:

Производная неявной функции

Если зависимость между и задана в неявной форме

(*)

то для нахождения производной в простейших случаях достаточно:

1) вычислить производную по от левой части равенства (*), считая функцией от ;

2) приравнять эту производную к нулю, то есть положить:

3) решить полученное уравнение относительно .

Пример 10

Найдем производную функции

Вычисляем производную от левой части равенства:

Решаем уравнение относительно :

Искомая производная:

Высшая математика для начинающих физиков и техников.

Яков Борисович Зельдович, Иссак Моисеевич Яглом

М., Наука, 1982. 512 с.

Загрузить (Mb)
djvu (8.73)	pdf (-)	ps (-)	html (-)	tex (-)

Эта книга — плод совместного труда физика и математика, поставивших своей целью написать пособие совершенно нового типа для будущих естествоиспытателей. Цель книги состоит в том, чтобы дать возможность будущему физику (химимку, инженеру и др. ) использовать в своей работе высшую математику, освоив ее методы без полных логических обоснований, рассматривая ее как раздел естествознания и решая возможно большее число конкретных задач.

Содержание

Предисловие.
К читателю.
Предисловие для преподавателей.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.

Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.
§ 1. Функциональная зависимость.
§ 2. Координаты. Расстояния и углы, выраженные в координатах.
§ 3. Графическое изображение функций. Уравнение прямой.
§ 4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола.
§ 5. Параболы и гиперболы высших порядков. Полукубическая парабола.
§ 6. Обратная функция. Графики взаимно-обратных функций.
§ 7. Преобразования графиков функций.
§ 8. Параметрическое задание линий.
§ 9*. Некоторые дополнительные сведения из аналитической геометрии.

Глава 2. ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДНАЯ.
§ 1. Движение, путь и скорость.
§ 2*. Теплоемкость тела. Расширение тел при нагревании.
§ 3. Производная. Простейшие примеры вычисления производных.
§ 4. Первые свойства производной. Приближенное вычисление значений функции с помощью производной.
§ 5. Касательная к кривой.
§ 6. Рост и убывание функции. Максимумы и минимумы.
§ 7. Вторая производная функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Глава 3. ЧТО ТАКОЕ ИНТЕГРАЛ.
§ 1. Определение пути по скорости движения и определение площади, ограниченной кривой.
§ 2. Определенный интеграл.
§ 3. Связь между интегралом и производной.
§ 4. Неопределенный интеграл.
§ 5. Свойства интегралов.
§ 6. Примеры и приложения.

Глава 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ.
§ 1. Дифференциал.
§ 2. Производная суммы и произведения функций.
§ 3. Сложная; функция. Производная частного двух функций.
§ 4. Обратная функция. Параметрическое задание функции.
§ 5. Степенная функция.
§ 6. Производные алгебраических функций.
§ 7. Показательная функция.
§ 8. Число е.
§ 9. Логарифмы.
§ 10. Тригонометрические функции.
§ 11. Обратные тригонометрические функции.
§ 12. Производная функции, заданной неявно.

Глава 5. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
§ 1. Постановка задачи.
§ 2. Простейшие интегралы.
§ 3. Общие свойства интегралов.
§ 4. Интегрирование по частям.
§ 5. Метод подстановки.
§ 6. Замена переменной в определенном интеграле.

Глава 6. РЯДЫ. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 1. Представление функций в виде рядов.
§ 2. Вычисление значений функций при помощи рядов.
§ 3. Случаи неприменимости рядов. Геометрическая прогрессия.
§ 4. Бином Ньютона для целых и дробных показателей.
§ 5. Порядок возрастания и убывания функций. Правило Бернулли-Лопиталя.
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка. Случай разделяющихся переменных.
§ 7*. Дифференциальное уравнение вытекания воды.

Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ИЗ ГЕОМЕТРИИ.
§ 1. Гладкие максимумы и минимумы.
§ 2. Негладкие максимумы и минимумы. Изломы и разрывы. Левая и правая производные функции.
§ 3*. Выпуклые функции и алгебраические неравенства.
§ 4. Вычисление площадей.
§ 5*. Оценки некоторых сумм и произведений.
§ 6*. Еще о натуральном логарифме.
§ 7. Средние значения.
§ 8. Длина кривой.
§ 9. Кривизна и соприкасающаяся окружность.
§ 10. Стереометрические приложения интегрального исчисления.
§ 11. Как строить кривые.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ ФИЗИКИ И ТЕХНИКИ.

Глава 8. РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР.
§ 1. Основные характеристики радиоактивного распада.
§ 2. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов.
§ 3. Последовательный распад (радиоактивное семейство).
§ 4. Исследование решения для радиоактивного семейства.
§ 5. Цепная реакция деления урана.
§ 6. Размножение нейтронов в большой массе.
§ 7. Вылет нейтронов.
§ 8. Критическая масса.
§ 9. Подкритическая и надкритическая массы при непрерывном источнике нейтронов.
§ 10. Значение критической массы.

Глава 9. МЕХАНИКА.
§ 1. Сила, работа, мощность.
§ 2. Энергия.
§ 3. Равновесие и устойчивость.
§ 4. Второй закон Ньютона.
§ 5. Импульс силы.
§ 6. Кинетическая энергия.
§ 7. Инерwиальные и неинерциальные системы отсчета.
§ 8*. Преобразования Галилея. Энергия в движущейся системе отсчета.
§ 9*. Траектория снаряда. Парабола безопасности.
§ 10. Движение тел в космическом пространстве.
§ 11. Реактивное движение и формула К.Э.Циолковского.
§ 12. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня.
§ 13*. Центр тяжести нити и пластинки.
§ 14. Движение тела в среде, противодействующей движению, под действием силы, зависящей только от скорости.
§ 15*. Движение тел в жидкостях и газах.

Глава 10. КОЛЕБАНИЯ.
§ 1. Движение под действием упругой силы.
§ 2. Случай силы, пропорциональной отклонению. Гармонические колебания.
§ 3. Маятник.
§ 4. Энергия колебаний. Затухающие колебания.
§ 5. Вынужденные колебания и резонанс.
§ 6. О точных и приближенных решениях физических задач.
§ 7. Сложение колебаний. Биения.
§ 8. Задача о колеблющейся струне.
§ 9. Гармонический анализ функций. Ряды Фурье.

Глава 11. ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА В АТМОСФЕРЕ.
§ 1. Условие равновесия в атмосфере.
§ 2. Связь между плотностью и давлением.
§ 3. Распределение плотности.
§ 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плотности.
§ 5. Броуновское движение и распределение молекул по кинетической энергии.
§ 6. Скорости химических реакций.
§ 7. Испарение. Ток эмиссии катода.

Глава 12. ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА. ЛАЗЕРЫ.
§ 1. Поглощение света (постановка задачи и грубая оценка).
§ 2. Уравнение поглощения и его решение.
§ 3. Соотношение между точным и грубым расчетами поглощения.
§ 4. Эффективное сечение.
§ 5. Ослабление потока заряженных частиц α- и β-лучей.
§ 6*. Поглощение и испускание света горячим газом.
§ 7*. Термодинамическое равновесие излучения.
§ 8*. Вероятность излучения и условия термодинамического равновесия.
§ 9*. Лазеры.

Глава 13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В НИХ.
§ 1. Основные понятия и единицы измерения.
§ 2. Разряд емкости через сопротивление.
§ 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком.
§ 4. Энергия конденсатора.
§ 5. емкости. Резонанс токов.
§ 15. Общие свойства резонанса линейной системы.
§ 16*. Ток смещения и электромагнитная теория света.
§ 17*. Нелинейное сопротивление и туннельный диод.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ ИЗ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.

Глава 14. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.
§ 1. Основные свойства комплексных чисел.
§ 2. Возведение в мнимую степень и число e.
§ 3. Тригонометрические функции и логарифмы.
§ 4*. Тригонометрические функции мнимого аргумента. Гиперболические функции.

Глава 15. КАКИЕ ФУНКЦИИ НУЖНЫ ФИЗИКУ?
§ 1. Аналитические функции вещественной переменной.
§ 2. Производные функций комплексной переменной.

Глава 16. ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА.
§ 1. Различные способы определения функции.
§ 2. Дирак и его функция.
§ 3. Разрывные функции и их производные.
§ 4. Представление дельта-функции формулами.

Глава 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ.
§ 1. Комплексные числа и механические колебания.
§ 2. Интегралы в комплексной области.
§ 3. Аналитические функции комплексной переменной и течение жидкости.
§ 4. Применения дельта-функции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЧТО ЖЕ ДАЛЬШЕ?
ЛИТЕРАТУРА.

ПРИЛОЖЕНИЯ.
I. Таблица производных.
II. Интегралы от некоторых функций.
III. Некоторые разложения функций в ряды.
IV. Некоторые числовые таблицы.
V. Международная система физических единиц СИ.
VI. Латинский и греческий алфавиты.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.

Загрузить (Mb)
djvu (8. 73)	pdf (-)	ps (-)	html (-)	tex (-)

Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/89

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

При численном решении задач, связанных с математическими моделями, в которых используются производные (а к таким моделям приводят почти все физические и технические задачи, описывающие процессы, разворачивающиеся во времени), эти производные часто приходится вычислять приближённо, исходя только из того, что имеется некоторая процедура, вычисляющая значения функции , поскольку аналитические формулы, задающие , неизвестны. Обсудим некоторые методы, позволяющие вычислить производные приближённо по значениям функции .

Для приближённого нахождения в заданной точке часто поступают следующим образом. Исходя из того, что при достаточно малых приращениях разностное отношение мало отличается от своего предельного значения, равного производной ,¹⁵ мы можем приближённо заменить этим разностным отношением с малым , полагая , например, равным или . Таким образом, получаем приближённую формулу

Правая часть этой формулы при называется разностной производной вправо (или вперёд) с шагом .

Если же взять отрицательное приращение , , то аналогично получаем, что

Правая часть этой формулы при называется разностной производной влево (или назад) с шагом .

Согласно геометрическому смыслу производной, при замене производной разностной производной вправо или разностной производной влево, мы заменяем угол наклона касательной к графику углом наклона секущей , равным , или углом наклона секущей , равным , соответственно (см. следующий чертёж).

Рис.4.11.Касательная и три секущих к графику функции

Однако из того же чертежа видно, что угол наклона секущей , равный , гораздо лучше приближает угол , чем углы или . Поэтому приближённое равенство гораздо точнее, чем или . Осталось заметить, что , что приводит нас к следующей формуле для приближённого вычисления производной:

(4.18)

Правая часть полученной формулы называется центральной разностной производной с шагом . Эта формула применяется чаще других для практического нахождения .

Имеются и ещё более точные формулы для нахождения первой производной; приведём, например, гораздо более точную, чем (4.18), формулу

которая, правда, требует для своего применения не двух, а четырёх вычислений значения функции . Однако выигрыш в точности с лихвой перекрывает увеличение количества вычислений. По поводу методов получения приближённых формул вычисления производной см. [Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., Численные методы. — М.: Наука, 1987. — Гл. II] или [Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В., Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994. — Гл. 12].

Для нахождения способа приближённого вычисления второй производной введём такие обозначения. Разностную производную вперёд с шагом в точке обозначим как

разностную производную назад — как

а центральную разностную производную с шагом — как

Поскольку вторая производная — это производная от первой производной , то естественно для получения приближённой формулы для заменить первую производную на какое-нибудь её приближение, а затем применить тот же способ приближённого вычисления производной. Например, если применять оба раза разностную производную вперёд, получим:

Точно так же, применяя два раза разностную производную назад, получим формулу

а применяя два раза центральную разностную производную с шагом — формулу

Последняя из трёх полученных формул предпочтительнее, поскольку основывается на более точной из трёх приближённых формул для первой производной.

Применяя тот же приём ещё раз, мы можем получить приближённые формулы для третьей производной. Например, основываясь на формуле разностной производной вправо, получим

а основываясь на центральной разностной производной —

Имеются и формулы для старших производных, дающие большую точность, чем приведённые выше. Например, для второй производной приведём формулу

О методах получения таких формул можно прочитать в книгах [Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., Численные методы. — М.: Наука, 1987. — Гл. II] и [Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В., Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994. — Гл. 12].

Замечание 4.11 Значение шага , которое по своему смыслу должно быть достаточно мало в формулах приближённого вычисления производных, на практике уже для второй разностной производной нельзя брать чересчур малым. Слишком малые значения из-за того, что значения функции вычисляются с некоторой погрешностью, приводят к тому, что в приближённой формуле погрешность числителя становится величиной того же порядка, что сами числитель или знаменатель, и поэтому результат вычисления может быть весьма далёк от искомого точного результата. Вычисляя с очень малым значения при разных и наблюдая за поведением этих значений, мы можем получить «биения» графика функции , даже если эта функция заведомо должна быть монотонной и гладкой. Для устранения этого недостатка приходится делать выбоp: либо увеличивать точность вычисления функции (что, как пpавило, сделать весьма тpудно), либо довольствоваться большими, скажем, вместо (но не слишком уж большими), значениями шага .

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Примеры решения производных

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Вычисление производных графически

2. Вычисление производных по смыслу

3. Вычисление табличных производных

Вычисление производных графически

Пример 1

На рисунке 1 изображен график функции и касательной к графику в точке с абсциссой x0. Найти значение производной функции в абсциссе.

Решение. Производная в точке равна отношению~приращения функции к приращению аргумента. Выберем на касательной две точки с целочисленными координатами. Пусть, например, это будут точки F (-2,0) и C (-3,2).

Рисунок 1. График функции

Найдем приращение аргумента:

$\Delta $x = х2 — х1 = -3 — (-2) = -1

Найдем приращение функции:

$\Delta $y = y2 — y1 = 2 — 0 = 2

Тогда значение производной:

\[\frac{\Delta y}{\Delta x} =-\frac{2}{1} =-2\]

Пример 2

На рисунке 2 изображен график функции. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 6. {2} x} \]

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 10.12.2021

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Исчисление I.

Производные высшего порядка

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т.е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-12: Производные высшего порядка

Давайте начнем этот раздел со следующей функции. 92}\конец{выравнивание*}\]

Наличие скобок в показателе степени означает дифференцирование, а отсутствие скобок означает возведение в степень. 3} \ влево ( {5t} \ вправо) \ конец {выравнивание *} \] 94}}}\конец{выравнивание*}\]

Это нормально. Однако хотелось бы, чтобы в ответе не было производных. Как правило, мы не возражаем против наличия $x$ и/или $y$ в ответе при неявном дифференцировании, но нам действительно не нравятся производные в ответе. Однако мы можем избавиться от производной, признав, что знаем, что такое первая производная, и подставив ее во второе уравнение производной. Это дает 94}}}\конец{выравнивание*}\]

Теперь, когда мы нашли некоторые производные более высокого порядка, нам, вероятно, следует поговорить об интерпретации второй производной.

Если положение объекта задается как $s\left( t \right)$, мы знаем, что скорость является первой производной положения.

\[v\влево( т \вправо) = s’\влево( т \вправо)\]

Ускорение объекта является первой производной скорости, но поскольку это первая производная функции положения, мы также можем рассматривать ускорение как вторую производную функции положения. 3}}}\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}и т. д.\]

9. Высшие производные

М. Борн

Мы можем продолжать находить производные от производной. Находим

вторая производная путем взятия производной от первой производной,
третья производная путем взятия производной второй производной… и т.д.

Пример 1

Если y = х ⁵ + 3 х ³ — 2 х + 7, то каковы высшие производные? 9″v»=120`

6-я, 7-я, 8-я и все остальные производные равны 0, так как производная константы равна 0.

Применение — ускорение

Мы уже видели, что ускорение есть скорость изменения скорость:

`а=(дв)/(дт)`

Но мы также знаем, что скорость – это скорость изменения водоизмещение:

`v=(ds)/(dt)`

Отсюда следует, что вторая производная смещения будет дайте нам ускорение: 92)`

Пример 2

Если водоизмещение (в метрах) во время t (в секундах) объекта предоставлено

s = 4 t ³ + 7 t ² − 2 t ,

найти ускорение в момент времени `t = 10`.

Ответ

с = 4 т ³ + 7 т ² − 2 т

92)=24t+14`

При `t= 10` ускорение будет

`a=24(10) + 14 = 254` мс ^-2 .

Высшие производные неявных функций

Пример 3

(Ответы на эти два вопроса содержат короткие видео пояснения.)

а. Найдите вторую производную неявной функции xy + y ² = 4.

Ответ

Первая производная:

Теперь xy 92) = 2yy’`

Собираем вместе, вот первая производная нашей неявной функции:

`xy’ + y + 2yy’ = 0`

[Я использую `y’` вместо `dy/dx`. Его легче набирать и довольно легко читать.]

Мы могли бы записать это как: `dy/dx = -y/(x+2y)`

Вторая производная:

`[xy» + y’] + [y’] +` ` [2yy» + y'(2y’)] ` `= 0`

и это упрощается до:

`(x + 2y)y» + 2y’ + 2(y’)^2 = 0` 93)`
Видео
Вот фильм, демонстрирующий другой взгляд на этот пример. Он использует:
обозначение dy/dx;
Другой подход к проблеме (в фильме мы сначала находим выражение для `dy/dx`, затем дифференцируем его, чтобы получить вторую производную). Результатом является более простое выражение для второй производной.
Ответ выглядит совсем по-другому, но имеет то же значение.

б. Найдите значение второй производной неявной функции в части (а), когда 93)`
`=0.0894`
Видео
Вот видео решения. Форма второй производной здесь отличается от приведенного выше решения, но тоже вполне корректна.

страница не найдена — Колледж Уильямс
’62 Центр театра и танца, ’62 Центр
Касса 597-2425
Магазин костюмов 597-3373
Менеджер мероприятий/помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс
Производство 597-4474 факс
Магазин сцен 597-2439
’68 Центр изучения карьеры, Мирс 597-2311 597-4078 факс
Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672
Приемная, Уэстон Холл 597-2211 597-4052 факс
Позитивные действия, Хопкинс-холл 597-4376
Африканские исследования, Голландия 597-2242 597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс
Читальный зал 597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence 597-3578 597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134
Студия фотографии, Spencer Studio Art 597-2030
Студия гравюры, Spencer Studio Art 597-2496
Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224
Студия видео/фото, Spencer Studio Art 597-3193
Азиатские исследования, Голландия 597-2391 597-3028 факс
Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона 597-2482 597-3200 факс
Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл 597-2366 597-4272 факс
Спортивный директор 597-3511
Лодочная пристань, озеро Онота 443-9851
Вагоны 597-2366
Фитнес-центр 597-3182
Хоккейный каток Ice Line, Lansing Chapman 597-2433
Очные занятия, Спортивный центр Чендлера 597-3321
Физкультура 597-2141
Интеллектуальная линия бассейна, Спортивный центр Чандлера 597-2419
Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс
Сквош-корты 597-2485
Поле для гольфа Taconic 458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона 597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124
Биология, Биология Томпсона 597-2126 597-3495 факс
Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс
Карты доступа/Системы сигнализации 597-4970/4033
Служба сопровождения, Хопкинс-холл 597-4400
Офицеры и диспетчеры 597-4444
Секретарь, удостоверения личности 597-4343
Распределительный щит 597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс
Компьютерный зал 597-2522
Вестибюль 597-4383
Центр экологических исследований, выпуск 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс
Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380
Экологические исследования 597-2346
Лаборатория ГИС 597-3183
Центр иностранных языков, литературы и культуры, Hollander 597-2391 597-3028 факс
Арабистика, Голландия 597-2391 597-3028 факс
Сравнительная литература, Hollander 597-2391
Critical Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс
Лингвистическая лаборатория 597-3260
Русский, Голландец 597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс
Читальный зал 597-4200
Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, Stetson Court 24 597-2483
Мусульманская молитвенная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
Химия, Химия Томпсона 597-2323 597-4150 факс
Классика (греческая и латинская), голландская 597-2242 597-4222 факс
Когнитивные науки, Бронфман 597-4594
College Marshal, Thompson Physics 597-2008
Отношения с колледжами 597-4057
25-я программа воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс
50-я программа воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс
Операции по развитию, Мирс-Уэст 597-4154 597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс
Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс
Отношения с выпускниками, Мирс-Уэст 597-4151 597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников и разработчиков, Mears West 597-4369
Девелопмент, Фогт 597-4256
Связи с донорами, Vogt 597-3234 597-4039 факс
Отдел планирования подарков, Фогт 597-3538 597-4039 факс
Отдел грантов, Мирс-Уэст 597-4025 597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс
Родительский фонд, Фогт 597-4357 597-4036 факс
Prospect Management & Research, Mears 597-4119 597-4178 факс
Начало и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс
Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
Веб-команда, Southworth Schoolhouse
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278
Информатика, Химия Томпсона 597-3218 597-4250 факс
Конференции и мероприятия, Парески 597-2591 597-4748 факс
Справки о домике на дереве вяза, ферма Маунт-Хоуп 597-2591
Офис контролера, Хопкинс Холл 597-4412 597-4404 факс
Кредиторская задолженность и ввод данных, Hopkins Hall 597-4453
Касса и кассовые чеки, Hopkins Hall 597-4396
Финансовые информационные системы, Хопкинс-холл 597-4023
Карточки для закупок, Хопкинс Холл 597-4413
Студенческие кредиты, Hopkins Hall 597-4683
Танец, ’62 Центр 597-2410
Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс
Дом Харди 597-2129
Дом Дженнесс 597-3344
Райс Хаус 597-2453
Декан колледжа, Хопкинс Холл 597-4171 597-3507 факс
Декан факультета, Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс
Обеденные услуги, капельницы 597-2121 597-4618 факс
’82 Гриль, Парески 597-4585
Пекарня, Парески 597-4511
Питание, Факультет 597-2452
Обеденный зал Дрисколла, Дрисколл 597-2238
Эко-кафе, Научный центр 597-2383
Grab ‘n Go, Парески 597-4398
Закусочная Lee, Парески 597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281
Уитменс, Парески 597-2889
Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс
английский, голландский 597-2114 597-4032 факс
Объекты, Сервисное здание 597-2301
Запрос автомобиля для колледжа 597-2302
Вечерние/выходные чрезвычайные ситуации 597-4444
Запросы на работу объектов 597-4141 факс
Особые события 597-4020
Склад 597-2143 597-4013 факс
Клуб преподавателей, Дом преподавателей/Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс
Бронирование 597-3089
Офис стипендий, Хопкинс-холл 597-3044 597-3507 факс
Финансовая помощь, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс
Геофизические науки, Кларк Холл 597-2221 597-4116 факс
немецкий-русский, голландский 597-2391 597-3028 факс
Глобальные исследования, Холландер 597-2247
Программа магистратуры по истории искусств, The Clark 458-2317 факс
Health and Wellness Services, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс
Санитарное просвещение 597-3013
Услуги комплексного благополучия (консультации) 597-2353
Экстренные ситуации, угрожающие жизни Звоните 911
Медицинские услуги 597-2206
История, Холландер 597-2394 597-3673 факс
История науки, Бронфман 597-4116 факс
Хопкинс Форест 597-4353
Центр Розенбурга 458-3080
Отдел кадров, здание B&L 597-2681 597-3516 факс
Услуги няни, здание B&L 597-4587
Преимущества 597-4355
Программа помощи сотрудникам 800-828-6025
Занятость 597-2681
Расчет заработной платы 597-4162
Ресурсы для супругов/партнеров 597-4587
Трудоустройство студентов 597-4568
Погодная линия (ICEY) 597-4239
Гуманитарные науки, Шапиро 597-2076
Информационные технологии, Джесуп 597-2094 597-4103 факс
Пакеты для чтения курсов, почтовый ящик Office Services 597-4090
Центр кредитования оборудования, Додд, приложение 597-4091
Служба поддержки преподавателей/персонала, [email protected] 597-4090
Мультимедийные услуги и справка по классу 597-2112
Служба поддержки студентов, [электронная почта защищена] 597-3088
Телекоммуникации/Телефоны 597-4090
Междисциплинарные исследования, Hollander 597-2552
Международное образование и учеба в гостях, Hopkins Hall 597-4262 597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс-холл 597-4447
Офис в Бостоне 617-502-2400 617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Мазер 597-3539
Справедливость и право, Холландер 597-2102
Latina/o Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
Лидерские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман 597-2297
Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс
Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс
Concertline (записанная информация) 597-3146
Неврология, Биология Томпсона 597-4107 597-2085 факс
Центр Окли, Окли 597-2177 597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Hopkins Hall 597-4376 597-4015 факс
Бухгалтерия студентов, Хопкинс Холл 597-4396 597-4404 факс
Исследования производительности, ’62 Центр 597-4366
Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Физика, Физика Томпсона 597-2482 597-4116 факс
Планетарий/Обсерватория Хопкинса 597-3030
Старый театр обсерватории Хопкинса 597-4828
Бронирование 597-2188
Политическая экономия, Шапиро 597-2327
Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс
Дом Президента 597-2388 597-4848 факс
Услуги печати/почты для преподавателей/сотрудников, ’37 House 597-2022
Преподавательская программа, Бронфман 597-4522 597-2085 факс
Офис проректора, Хопкинс-холл 597-4352 597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс
Недвижимость, здание B&L 597-2195/4238 597-5031 факс
Ипотека преподавателей/сотрудников 597-4238
Преподаватели/сотрудники Арендное жилье 597-2195
ЗАГС, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс
Религия, голландец 597-2076 597-4222 факс
Романские языки, голландский 597-2391 597-3028 факс
Планировщик помещений 597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом 597-3003
Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс
Службы доступа 597-2501
Приобретение/Серийный номер 597-2506
Услуги каталогизации/метаданных 597-2507
Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс
Исследовательские и справочные услуги 597-2515
Стеллаж 597-4955 597-4948 факс
Системы 597-2084
Научная библиотека Шоу, Научный центр 597-4500 597-4600 факс
Научные и технологические исследования, Бронфман 597-2239
Научный центр, Бронфман 597-4116 факс
Магазин электроники 597-2205
Машиностроительный/модельный цех 597-2230
Безопасность 597-4444
Специальные академические программы, Hardy 597-3747 597-4530 факс
Информация о спорте, Хопкинс-холл 597-4982 597-4158 факс
Студенческая жизнь, Парески 597-4747
Планировщик помещений 597-2555
Управление студенческими центрами 597-4191
Планирование студенческих мероприятий 597-2546
Студенческое общежитие, Парески 597-2555
Участие студентов 597-4749
Жилищные программы высшего класса 597-4625
Студенческая почта, почта Парески 597-2150
Устойчивое развитие/Zilkha Center, Harper 597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131
Книжный магазин Уильямс 458-8071 458-0249 факс
Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс
Управление траста и недвижимости, Sears House 597-4259
Учебники 597-2580
Вице-президент Campus Life, Hopkins Hall 597-2044 597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжами, Мирс 597-4057 597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрации, Хопкинс Холл 597-4421 597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс
Детский центр колледжа Уильямс, Детский центр Уильямс 597-4008 597-4889 факс
Художественный музей колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс
Подготовка музея 597-2426
Служба безопасности музея 597-2376
Музейный магазин 597-3233
Уильямс Интернэшнл 597-2161
Williams Outing Club, Парески 597-2317
Аппаратная/стол для учащихся 597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Уэст 597-2192
Уильямс Рекорд, Парески 597-2400 597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Музей морского порта Mystic 860-572-5359 860-572-5329 факс
Женские, гендерные и сексуальные исследования, Шапиро 597-3143 597-4620 факс
Написание программ, Hopkins Hall 597-4615
Центр экологических инициатив Зилха, Харпер 597-4462
Производные высшего порядка — Photomath
Изучение производных
Мы уже знаем, как получить производную от функции, и научились находить первую и вторую производные, но можем ли мы найти третью производную? Или даже выше?
Готов поспорить, мы сможем! Процесс дифференцирования может выполняться несколько раз подряд, что приводит к производным более высокого порядка.
Что значит найти производную более высокого порядка?
Производная функции — это скорость изменения функции по отношению к изменению переменной. Найти производную высшего порядка — или $$n$$-ю производную — значит найти производную $$(n-1)$$-й производной функции. Так что в основном это производная от производной от производной и т. д.!
Чтобы помочь нам при дифференцировании, мы будем использовать правила дифференцирования, а не определение производной.
Постоянное кратное свойство производных $$\frac{d}{dx}\left(c\times f(x)\right)=c\times\frac{d}{dx}\left(f(x) \right)$$
Правило сумм для производных $$\frac{d}{dx}\left(f(x) + g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)+\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило разности для производных $$\frac{d}{dx}\left(f(x) — g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)-\frac{d }{dx}\left( g(x) \right)$$
Правило произведения для производных $$\frac{d}{dx}\left(f(x)\times g(x)\right)=\frac{d}{dx}\left( f(x) \right)\times g( x)+f(x)\times\frac{d}{dx}\left( g(x) \right) $$ 9{-1}\влево(х\вправо)\вправо)}$$
Почему производная высшего порядка так полезна?
Как мы уже знаем, вторые производные могут быть очень полезны для построения графиков функций и определения поведения графика предыдущей функции!
Как найти производную более высокого порядка
Если у вас уже есть хорошие навыки для получения первой и второй производных, поиск производной более высокого порядка должен быть для вас всего лишь несколькими дополнительными шагами! В любом случае, давайте вместе рассмотрим несколько подробных примеров. 9{n-1}$$:
$$2x+\frac{d}{dx}\left(3\right)$$
Производная константы всегда равна $$0$$:
$$2x+ 0$$
Удаление нуля не меняет значения, поэтому удалите ноль:
$$2x$$
Отлично! Теперь, чтобы найти вторую производную, возьмите производную каждого члена по $$x$$:
$$\frac{d}{dx}(2x)$$
Используйте правило дифференцирования $$\frac {d}{dx} (a\times f)=a\frac{d}{dx}(f)$$:
$$2\times\frac{d}{dx}(x)$$ 92+3$$ это:
$$~0$$
Поиск производных более высокого порядка может быть повторяющимся, но иногда это упрощает задачу! Запомните эти шаги, когда будете пробовать этот процесс самостоятельно:
Резюме исследования
Чтобы найти производную более высокого порядка, возьмите производную несколько раз.
Найдите производную.
Чтобы найти n-ю производную, повторите процесс n раз. 94}$$
Если вы застряли, отсканируйте проблему с помощью приложения Photomath, и мы объясним вам шаг настолько подробно, насколько вам нужно!
Вот краткий обзор того, что вы увидите:
00:00 / 00:00
Есть домашнее задание по математике?
Зайдите в приложение Photomath, чтобы мгновенно найти пошаговые решения всех ваших математических задач.
производных высших порядков: правила и приложения
Предположим, вы смотрите автомобильную гонку. Вы можете легко определить, какая машина быстрее, заметив, какая из них первой прибывает к цели. Все машины едут по одной и той же трассе, но самая быстрая делает это за наименьшее время. Здесь вы смотрите на изменение позиции в зависимости от времени. Это то, что мы все знаем как скорость .
Вещи могут двигаться с разной скоростью, а как насчет изменения скорости во времени? Скорость — это уже изменение, так что вы бы говорили о изменение изменения ! Это изменение скорости во времени есть ускорение , а также изменение изменения положения во времени.
Значение производных высших порядков
Исчисление связано с изменениями. При нахождении производной функции остается еще одна функция, которую, в свою очередь, можно снова дифференцировать при определенных обстоятельствах.
Производные функций, которые уже были продифференцированы, известны как 92-2.\]
Эта функция, которую вы только что нашли, известна как вторая производная от $f.$. Представьте, что будет, если вы найдете третью или четвертую производную! Чтобы решить эту проблему, существуют две разные нотации, которые можно использовать при написании производных более высокого порядка.
Правила написания производных высших порядков
Мы говорим не только о правилах написания производных высших порядков, но и о 9{(4)}(x) = 120x +48.\]
Это обозначение сохраняется для дальнейших производных.
Число заключено в круглые скобки, чтобы его нельзя было спутать с показателем степени.
Нотация Лейбница для производных высшего порядка
Нотация Лейбница использует дробную запись, а не простое число.
Помните, что производные не являются дробями . Они записываются как дроби просто как средство записи!
Еще раз рассмотрим функцию из предыдущего примера. Его производная с использованием обозначений Лейбница записывается как 92+12,\]
и
\[f»(x) = 72x.\]
В приведенном выше примере вы использовали правило мощности три раза подряд! Вам не всегда нужно будет использовать одно и то же правило дифференциации снова и снова, вот еще один пример.
Найдите третью производную от
\[g(x) = \sin{4x}.\]
Ответ:
Здесь вы можете использовать цепное правило вместе с тем фактом, что производная функции синуса есть функция косинуса, поэтому
\[g'(x) = 4\cos{4x}.\]
Чтобы найти следующую производную, теперь вам нужно использовать правило постоянного кратного вместе с тем фактом, что производная функции косинуса является отрицательной функцией синуса, поэтому
\[ \begin{align} g»(x) &= 4 \left( -4\sin{4x}\right) \\ &= -16\sin{4x}.\end{align}\]
У вас снова есть синусоидальная функция, поэтому продифференцируйте ее снова, чтобы получить третья производная
\[ \begin{align} g»'(x) &= -16 \left( 4\cos{4x} \right) \\ &= -64\cos{4x}. \конец{выравнивание}\] 9{(4)} (x) = 0.\]
Производные высших порядков полиномиальных функций в какой-то момент будут стремиться к нулю. Если продифференцировать полиномиальную функцию больше раз, чем ее степень, то производная станет равной нулю.
Применение высших производных
Применение высших производных в математике
Вторая производная функции дает нам информацию о максимумах и минимумах функции и ее вогнутости. Для получения дополнительной информации по этим темам вы можете ознакомиться с нашими статьями по следующим темам:
Maxima и Minima
Второй производный тест
Производные и форма графика
Приближениям более высокого порядка. .
Ускорение — вторая производная положения по времени.
Это означает, что если у вас есть функция, описывающая положение объекта, то ее вторая производная будет описывать его ускорение. 92,\]
где $t$ измеряется в секундах, а $s(t)$ измеряется в метрах. Найдите его ускорение.
Ответ:
Здесь вам нужно дифференцировать функцию положения, чтобы найти скорость объекта. Это можно сделать с помощью степенного правила, поэтому
\[ s'(t) = -9,8t.\]
Обратите внимание, что единицами измерения $s'(t)$ являются метры в секунду! Это потому, что вы можете думать о производной как о наклоне, то есть о подъеме над пробегом. Подъем измеряется метрами, а разбег – секундами, поэтому
\[ \frac{\mbox{подъем}}{\mbox{пробег}} = \frac{\mbox{метры}}{\mbox{секунды}} = \frac{м}{с}.\]
Теперь, поскольку ускорение является производной скорости, вам нужно снова продифференцировать, чтобы найти его, то есть
\[ s»(t) = -9,8.\]
Но каковы единицы измерения? Помните, что это производная от скорости, которая имела единицы
$ м/с$. Таким образом, для ускорения используются следующие единицы измерения:
\[ \frac{\mbox{подъем}}{\mbox{бег}} = \frac{\frac{\mbox{метры}}{\mbox{секунда}}}{\ mbox{секунда}} = \frac{m}{s^2}. \] 92\). Это объект свободного падения!
Производные второго порядка также присутствуют в более естественных явлениях. К ним относятся, но не ограничиваются:
Распространение тепла через материал.
Распространение волн.
Диффузия вещества в жидкости.
Механика жидкостей.
Производные высшего порядка – ключевые выводы
Производные высшего порядка получаются путем многократного дифференцирования функции. 95} .\)
Производные высшего порядка используются для описания нескольких природных явлений, таких как диффузия тепла, распространение волн и механика жидкостей.
анализ | математика | Британика
анализ
Посмотреть все СМИ
Ключевые люди:
Анри Пуанкаре Бернхард Риманн Леонард Эйлер Норберт Винер Жозеф Фурье
Похожие темы:
векторный анализ тензорный анализ гармонический анализ вариационное исчисление теорема о среднем значении
Просмотреть весь связанный контент →
Резюме
Прочтите краткий обзор этой темы
анализ , раздел математики, который занимается непрерывными изменениями и некоторыми общими типами процессов, возникших в результате изучения непрерывных изменений, таких как пределы, дифференциация и интеграция. С момента открытия дифференциального и интегрального исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в конце 17 века анализ превратился в огромную и центральную область математических исследований с приложениями во всех науках и в таких областях, как финансы, экономика. и социология.
Исторические истоки анализа можно найти в попытках вычислить пространственные величины, такие как длина кривой линии или площадь, ограниченная кривой. Эти проблемы можно сформулировать чисто как вопросы математической техники, но они имеют гораздо большее значение, поскольку в физическом мире имеют большое разнообразие интерпретаций. Площадь внутри кривой, например, представляет непосредственный интерес для измерения земли: сколько акров содержит участок земли неправильной формы? Но та же техника определяет и массу однородного листа материала, ограниченного какой-либо выбранной кривой, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности неправильной формы. Менее очевидно, что эти методы можно использовать для определения общего расстояния, пройденного транспортным средством, движущимся с различной скоростью, глубины, на которой будет плавать корабль, когда он находится в море, или общего расхода топлива ракеты.
Точно так же математический метод нахождения касательной к кривой в заданной точке можно также использовать для расчета крутизны изогнутого холма или угла, на который должна повернуться движущаяся лодка, чтобы избежать столкновения. Менее непосредственно это связано с чрезвычайно важным вопросом расчета мгновенной скорости или других мгновенных скоростей изменения, таких как охлаждение теплого объекта в холодной комнате или распространение болезнетворного организма среди людей.
Эта статья начинается с краткого введения в историю анализа и основных понятий, таких как системы счисления, функции, непрерывность, бесконечные ряды и пределы, которые необходимы для понимания анализа. За этим введением следует полный технический обзор, от исчисления до нестандартного анализа, а затем статья завершается полной историей.
Britannica Quiz
Числа и математика
A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что считать числа — это то же самое, что читать алфавит, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.
Историческая справка
Преодоление разрыва между арифметикой и геометрией
Математика делит явления на два широких класса, дискретные и непрерывные, исторически соответствующие разделению между арифметикой и геометрией. Дискретные системы могут быть подразделены только до определенного предела, и их можно описать целыми числами 0, 1, 2, 3, …. Непрерывные системы можно подразделять бесконечно, и для их описания требуются действительные числа, числа, представленные десятичными расширениями, такими как 3,14159.…, возможно, это будет продолжаться вечно. Понимание истинной природы таких бесконечных десятичных дробей лежит в основе анализа.
Различие между дискретной математикой и непрерывной математикой является центральной проблемой математического моделирования, искусства представления свойств природного мира в математической форме. Вселенная не содержит реальных математических объектов и не состоит из них, но многие аспекты вселенной очень похожи на математические концепции. Например, число два не существует как физический объект, но оно описывает важную особенность таких вещей, как человеческие близнецы и двойные звезды. Точно так же действительные числа обеспечивают удовлетворительные модели для различных явлений, хотя никакая физическая величина не может быть точно измерена с точностью более дюжины знаков после запятой. К реальному миру применимы не значения бесконечного числа десятичных разрядов, а дедуктивные структуры, которые они воплощают и обеспечивают.
Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас
Анализ возник потому, что многие аспекты мира природы можно выгодно рассматривать как непрерывные — по крайней мере, с превосходной степенью приближения. Опять же, это вопрос моделирования, а не реальности. Материя на самом деле не непрерывна; если материю разделить на достаточно мелкие кусочки, то появятся неделимые составляющие, или атомы. Но атомы чрезвычайно малы, и для большинства приложений рассмотрение материи как континуума вносит незначительную ошибку и значительно упрощает вычисления. Например, моделирование континуума является стандартной инженерной практикой при изучении течения жидкостей, таких как воздух или вода, изгиба эластичных материалов, распределения или потока электрического тока и потока тепла.
Открытие исчисления и поиск основ
Два основных шага привели к созданию анализа. Первым было открытие удивительной связи, известной как фундаментальная теорема исчисления, между пространственными задачами, включающими вычисление некоторого общего размера или значения, такого как длина, площадь или объем (интеграция), и задачами, связанными со скоростью изменения. такие как наклоны касательных и скорости (дифференциация). Заслуга независимого открытия около 1670 года фундаментальной теоремы исчисления вместе с изобретением методов применения этой теоремы принадлежит Готфриду Вильгельму Лейбницу и Исааку Ньютону.
В то время как полезность исчисления для объяснения физических явлений была очевидна сразу, использование им бесконечности в вычислениях (путем разложения кривых, геометрических тел и физических движений на бесконечное множество мелких частей) вызвало широкое беспокойство. В частности, англиканский епископ Джордж Беркли опубликовал известную брошюру «Аналитик»; или «Беседа, адресованная неверующему математику» (1734), указывающая на то, что исчисление — по крайней мере, в том виде, в каком оно представлено Ньютоном и Лейбницем — имеет серьезные логические недостатки. Анализ вырос в результате кропотливого тщательного изучения ранее слабо определенных понятий, таких как функция и предел.
Подход Ньютона и Лейбница к исчислению был в основном геометрическим, включая отношения с «почти нулевыми» делителями — ньютоновские «флюксии» и «бесконечно малые» Лейбница. В течение 18 века исчисление становилось все более алгебраическим, поскольку математики, в первую очередь швейцарец Леонард Эйлер и итальянец, француз Жозеф-Луи Лагранж, начали обобщать понятия непрерывности и пределов от геометрических кривых и тел до более абстрактных алгебраических функций и начали расширять эти идеи комплексным числам. Хотя эти разработки не были полностью удовлетворительными с фундаментальной точки зрения, они имели фундаментальное значение для окончательного уточнения строгой основы исчисления французом Огюстеном-Луи Коши, богемцем Бернхардом Больцано и, прежде всего, немцем Карлом Вейерштрассом в XIX веке.
No related posts.