Что такое производная
- Понятие производной
- Физический смысл производной
- Геометрический смысл производной
Производная — главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x
Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.
То есть,
(1)
Наиболее употребительны следующие обозначения производной:
Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции
.
Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.
Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:
.
Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:
Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:
К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле — задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.
Пусть камешек поднят и затем из состояния покоя отпущен. Путь s, проходимый за время t, является функцией времени, то есть. s = s(t). Если задан закон движения точки, то можно определить среднюю скорость за любой промежуток времени. Пусть в момент времени камешек находился в положении A, а в момент — в положении B
. За промежуток времени (от t до ) точка прошла путь .
Поэтому средняя скорость движения за этот промежуток времени, которую обзначим через ,
составляет.
Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени . Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t) называется предел средней скорости при :
(при условии, что этот предел существует и конечен).
Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции s(t) к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.
.
Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной.
Итак, производной функции y=f(x)
в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента
при условии, что последнее стремится к нулю.
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.
Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём
Шаг 2. Найдём приращение функции:
Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:
Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную:
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пусть функция определена на интервале и пусть точка М на графике функции соответствует значению аргумента , а точка Р – значению .
Проведём через точки М и Р прямую и назовём её секущей. Обозначим через угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол зависит от .
Если существует
то прямую с угловым коэффициентом
проходящую через точку , называют предельным положением секущей МР при (или при ).
Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей
Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел
,
причём предел равен углу наклона касательной к оси .
Теперь дадим точное определение касательной.
Касательной к графику функции в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент , т.
е. прямая, уравнение которой
Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x. В этом состоит геометрический смысл производной:
где — угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.
Пример 3. Найти производную функции и значение этой производной при .
Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:
Найдём значение производной при :
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
К началу страницы
Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Весь блок «Производная»
- Что такое производная
- Найти производную: алгоритм и примеры решений
- Производные произведения и частного функций
- Производная суммы дробей со степенями и корнями
- Производные простых тригонометрических функций
- Производная сложной функции
- Производная логарифмической функции
- Дифференциал функции
- Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
- Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
- Правило Лопиталя
- Частные производные
§1.
Определение производной.Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x) в точкеx0 называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при .
Производную принято обозначать так: .
Таким образом, по определению
.
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки, то есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x) имеет производную в точке, то угловой коэффициент касательной к графику функции в точкеравен .
Пример.
Найдите производную функции в точке=2:
1) Дадим точке =2 приращение. Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке =2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
Найдем предел отношения при :
.
Таким образом, .
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять
производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.
Найдем производную функции у=х.
Имеем:
т.е. (x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть тогда
Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
Решение:
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при .
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Тогда
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;. (2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)’=u’+v’.(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x
соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x),
∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v.
Тогда функция
y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=[u(x+∆x)+v(x+∆x)]—[u(x)+v(x)]=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)’=u’+v’.
Теорема 2.Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)’=u’v+uv’. (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3.
Производная частного двух функций равна
дроби, знаменатель которой равен квадрату
делителя, а числитель- разности между
произведением производной делимого на
делитель и произведением делимого на
производную делителя, т.е.
Если то(5)
Теорема 4.Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y’=0.
Теорема 5.Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y’=Cu'(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Решение.
Данная функция имеет вид , гдеu=x,v=cosx. Применяя правило дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Решение.
Применим формулу (5).
Здесь ;.
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2); 12);
3)13)
4)14)
5)15)
6)16)
7)17)
8)18)
9)19)
10)20)
Производное определение и значение — Merriam-Webster
1 из 2
производный ди-ри-вə-тив
1
лингвистика : слово, образованное от другого слова или основы форма сонаты (сама по себе производная от оперы) … — Кингсли Мартин
имя «Миа» является производным от «Мария»
3
математика : предел отношения изменения функции к соответствующему изменению ее независимой переменной при стремлении последнего изменения к нулю
4
химия
а
: химическое вещество, структурно родственное другому веществу и теоретически получаемое из него
б
: вещество, которое может быть получено из другого вещества
Нефть является производным каменноугольной смолы.
соевые производные
5
: контракт или ценная бумага (см. смысл ценной бумаги 3), стоимость которых определяется базовым активом (например, другой ценной бумагой) или стоимостью процентной ставки (процентной или обмен валюты) или индекс (см. запись индекса 1, смысл 1b) стоимости активов (например, фондовый индекс)
производная
2 из 2
1
лингвистика : образованное от другого слова или основы : образованное производным словом
производное слово
2
: имеющее части, происходящие из другого источника : состоит из производных элементов или маркируется ими
производная философия
3
: лишенная оригинальности : банальная
производная перформанс
фильм с производным сюжетным приемом
производная наречие
производное существительное
Синонимы
Существительное
- побочный продукт
- производное
- производное
- ответвление
- нарост
- спин-офф
Прилагательное
- вторичный
- секонд-хенд
Просмотреть все синонимы и антонимы в тезаурусе
Примеры предложений
Существительное
Слово «детский» является производным от слова «ребенок».
Тофу — один из многих соевых бобов производные .
Нефть производная каменноугольной смолы.
Имя прилагательное
Ряд критиков признал фильм производная и предсказуема.
Его стиль кажется слишком производным от Хемингуэя.
Последние примеры в Интернете
В смесь добавлены кокосовые алканы (альтернатива силикону) для невероятно гладкого ощущения и бисаболол (ромашка 9).
0129 производное ) для успокоения кожи, особенно после бритья.
— Сара Хан и
Дженнифер Хусейн, Allure , 28 ноября 2022 г.
Этот всплеск был частично вызван притоком фентанила, производного опиума , который в 100 раз сильнее морфина.
— Энди Гринберг, WIRED , 1 ноября 2022 г.
Через год еще одна производная 9Было обнаружено, что 0130 гидразина, ипрониазид, одинаково эффективен при лечении туберкулезной инфекции у мышей, но в еще большей степени у людей.
— Ребекка Крестон, Discover Magazine , 27 января 2016 г.
Дрель распространилась от Чикаго до Лондона, где продюсеры включили биты, производные жанров, таких как грайм и гэридж, которые придавали музыке темный, симфонический размах.
— Джоди Розен, 9 лет.0129 The New Yorker , 7 декабря 2022 г.
Быстрая динамика производной компенсирует медленную динамику интегрирования и обеспечивает быструю остановку.
— Кевин Хартнетт, Quanta Magazine , 28 ноября 2022 г.
Дерматологи также рекомендуют ретинол, который является производным витамина А , который увеличивает клеточный обмен и придает молодость внешнему виду, для ночного ухода.
— Редакторы, Город и страна , 7 декабря 2022 г.
В-третьих, это ретинол, производное витамина А, который способствует обновлению и отшелушиванию клеток.
— Бернд Фишер, Men’s Health , 19 ноября 2022 г.
Бешир также подписал второй исполнительный указ, регулирующий продажу Delta-8, производного конопли с THC, который недавно был признан судьей законным в Кентукки.
— Джо Сонка, 9 лет.0129 США СЕГОДНЯ , 16 ноября 2022 г.
Это включает в себя инновационные проекты в области обороны и космической техники, а также работу в районе Пьюджет-Саунд в подразделении коммерческих самолетов, сертифицирующем самолеты класса 9.0129, производный от вариантов предыдущих моделей, таких как 777X.
— Доминик Гейтс, Anchorage Daily News , 8 декабря 2022 г.
Производное витамина А способствует обновлению клеток и стимулирует выработку нового коллагена для более упругой кожи.
— Элиза Табин, Harper’s BAZAAR , 6 декабря 2022 г.
Фирма надеется, что ее производное MDMA будет лечить посттравматический стресс.
— Дэвид Мейер, 9 лет0129 Fortune , 5 декабря 2022 г.
Чтобы отомстить за смерть своего предка, Торнхилл разбудила монстра Хайда Тайлера с помощью растения , производного , и собрала части тел жертв Хайда, чтобы подготовиться к ритуалу, предназначенному для пробуждения мертвого пуританского основателя Иерихона.
— Эбби Дупес, Seventeen , 29 ноября 2022 г.
При неэффективности Linzess гастроэнтеролог назначает Amitiza — бициклическую жирную кислоту и простагландин E1 9.0129 производная .
— Кара Шактер, New York Times , 2 октября 2022 г.
Предложения также поднимают возможность временной приостановки торгов на европейских рынках производных электростанций .
— Джо Уоллес, WSJ , 5 сентября 2022 г.
Во-первых, гангстерская сторона серии также является производной от .
— Дэниел Финберг, 9 лет.0129 The Hollywood Reporter , 11 ноября 2022 г.
Беспрецедентный всплеск доходности государственных облигаций Великобритании на этой неделе нанес ущерб пенсионным фондам страны, многие из которых являются крупными держателями производных контрактов , привязанных к изменениям процентных ставок.
— Ник Тимираос, WSJ , 30 сентября 2022 г.
Узнать больше
Эти примеры предложений автоматически выбираются из различных онлайн-источников новостей, чтобы отразить текущее использование слова «производное».
Мнения, выраженные в примерах, не отражают точку зрения Merriam-Webster или ее редакторов. Отправьте нам отзыв.
История слов
Этимология
Существительное
см. производное
Прилагательное
см. вывод
Первое известное употребление
Существительное
15 век, в значении, определенном в смысле 1
Прилагательное
около 1530 года, в значении, определенном в смысле 1 Первое известное использование производной было в 15 веке
Посмотреть другие слова того же века
Словарные статьи Около
производнаядеривационист
производная
производное гражданство
Посмотреть другие записи поблизости
Процитировать эту запись «Производная».
Словарь Merriam-Webster.com , Merriam-Webster, https://www.merriam-webster.com/dictionary/derivative. По состоянию на 1 января 2023 г.Копировать цитирование
Детское определение
производное
1 из 2 существительное
производный di-ˈriv-ət-iv
1
: слово, образованное производным
слово «доброта» является производным слова «добрый»
2
: нечто производное
а производное каменноугольной смолы
производное
2 из 2 прилагательное
1
: образованное производным
2
: состоящее из элементов, производных от чего-то другого
производное поэзия
Медицинское определение
производное
1 из 2 прилагательное
производный di-ˈriv-ət-iv
1
: образован производными
2
: составлен из производных элементов или отмечен ими
производный
2 из 2 существительное
1
: что-то, что получено, вырастает или является результатом более раннего или более фундаментального состояния или условия
2
а
: химическое вещество, родственное структурно другому веществу и теоретически получаемое из него
б
: вещество, которое может быть получено из другого вещества
Юридическое определение
производное
1 из 2 существительное
производный də-ri-və-tiv
: контракт или ценная бумага, стоимость которых определяется стоимостью базового актива (в качестве другой ценной бумаги) или значением ставки (процентной или валютной ставки) или индекса стоимости актива (в качестве фондового индекса)
Примечание:
Деривативы часто принимают форму индивидуальных контрактов, заключенных вне бирж ценных бумаг, в то время как другие контракты, такие как стандартные индексные опционы и фьючерсы, открыто торгуются на таких биржах.
Производные часто включают форвардный контракт.
производная
2 из 2 прилагательное
1
: возникающее из или зависящее от существования чего-то другого
сравнение прямое
производная сделка
производная Adverb
Подробнее от Merriam-Webster на
Дериватива nglish: перевод Деривативный Последнее обновление: — Обновлены примеры предложений Подпишитесь на крупнейший словарь Америки и получите тысячи дополнительных определений и расширенный поиск без рекламы! Merriam-Webster без сокращений Эксперты Insider выбирают лучшие продукты и услуги, чтобы помочь вам принимать разумные решения с вашими деньгами (вот как). Спасибо за регистрацию! Получайте доступ к своим любимым темам в персонализированной ленте, пока вы в пути. Когда вы думаете об инвестировании, вы можете быть более знакомы с акциями и облигациями. Производные инструменты — это контракт, стоимость которого определяется базовым активом или индексом — отсюда и название «дериватив». Одним из примеров типа дериватива являются опционы, поскольку их стоимость меняется в зависимости от движения цены базовой акции. Существует два типа деривативов: внебиржевые деривативы, которые торгуются в частном порядке, а также стандартизированные деривативы, которыми можно торговать на стандартной бирже. Общеизвестно, что внебиржевые деривативы, также известные как внебиржевые деривативы, вызвали Великую рецессию, создав повышенный спрос на базовые активы, такие как ипотечные кредиты. Зарождение рынка деривативов началось в 1865 году, когда фермеры и продавцы зерна объединились, чтобы хеджировать риски на рынке кукурузы. Эти деривативы использовались как часть хеджирования и спекуляций для снижения риска, что может привести к завышению цен, что является предметом манипуляций и мошенничества. Эти типы деривативов называются фьючерсными контрактами, которые мы рассмотрим позже. «Производные инструменты отличаются от ценных бумаг тем, что они больше похожи на ставку, чем на инвестиции. Большинство распространенных контрактов на производные инструменты имеют срок действия, что означает ограниченное время для получения ими прибыли», — объясняет Ашер Рогови, зарегистрированный в SEC инвестор. советник и директор по инвестициям в Magnifina. «Ценные бумаги, с другой стороны, либо бессрочные, либо подлежат погашению, поэтому инвесторы могут просто держать их в течение длительного времени. Основное преимущество деривативов по сравнению с ценными временных рамок они могут получить гораздо более высокую прибыль, торгуя деривативами вместо базовой ценной бумаги. Производные инструменты могут быть сложными, поскольку существуют различные типы производных контрактов. Некоторые распространенные типы производных включают: Производными контрактами можно торговать либо на внебиржевом рынке (OTC), либо на таких биржах, как Чикагская группа товарных бирж (CME Group) или Корейская биржа. Производные инструменты могут использоваться различными способами для хеджирования рисков или в качестве спекулятивных инструментов. По данным экономического факультета Государственного университета Сан-Хосе, деривативы и свопы играют важную роль в экономике, передавая риски. Риск передается другим сторонам, которые готовы взять его на себя за вознаграждение. Таким образом, деривативы похожи на страховую отрасль, где вы страхуетесь от таких рисков, как падение цены акций. Но вместо того, чтобы называться «страхованием», это называется хеджированием. Вы можете застраховаться от риска с помощью деривативных контрактов, купив контракт, стоимость которого поможет компенсировать любые другие убытки, которые вы можете понести по другим позициям. С помощью хеджирования инвесторы стремятся снизить риск убытков, занимая противоположные позиции на рынке, чтобы минимизировать риск. Производные контракты — это соглашения между двумя организациями, часто называемыми «контрагентами», которые работают вместе, чтобы снизить риск в отношении их общих инвестиций и базового актива. Производные инструменты также можно использовать в качестве рычага. В инвестировании кредитное плечо — это когда инвестор максимально использует деньги, взятые взаймы, чтобы попытаться максимизировать прибыль. Хотя эта стратегия может увеличить прибыль, она также может увеличить риск. Спекуляция — это стратегия, при которой инвесторы покупают такие активы, как деривативы, и предполагают, что цена изменится в будущем. Учитывая его название, это больше предположение, чем достоверные данные. Инвестор, использующий эту стратегию, надеется максимизировать прибыль, но, как следует из самого термина, все спекулятивный и может быть очень рискованным. Подсказка: Прежде чем приступить к инвестированию в деривативы, необходимо оценить общий риск контрагента, который относится к вероятности того, что другая сторона не выполнит свою часть сделки. Если вы думаете об инвестировании в деривативы, перед тем, как начать, взвесьте все плюсы и минусы. Подсказка: Поймите, как деривативы работают с вашими общими финансовыми целями и как вы собираетесь их использовать для максимизации прибыли при минимизации убытков. Производные инструменты — это еще один инвестиционный инструмент, который используется для минимизации риска при максимизации прибыли. Это сложный финансовый инструмент, который имеет дело с активами, стоимость которых может меняться, но также предоставляет возможности для хеджирования рисков и использования кредитного плеча для получения прибыли. Важно отметить, что деривативы могут быть сопряжены с риском и возможностью мошенничества. «Производные финансовые инструменты не предназначены для начинающих или случайных инвесторов. Поскольку они, по сути, являются ставками, Уолл-стрит очень хорошо следит за тем, чтобы их цены были точными», — отмечает Роговой. Мелани Локерт Мелани Локерт — основательница блога и автор книги «Дорогой долг».
В своем блоге она рассказала о своем пути к погашению долга по студенческому кредиту в размере 81 000 долларов. Ее работы публиковались в Business Insider, Time, Huffington Post и других изданиях.
Она также является соучредителем Lola Retreat, который помогает смелым женщинам столкнуться со своими страхами, реализовать свои мечты и разработать план, чтобы контролировать свои финансы. Производные: определение, объяснение и типы
В некоторых случаях мы получаем комиссию от наших партнеров, однако наше мнение остается нашим собственным. Условия применяются к предложениям, перечисленным на этой странице.
LoadingЧто-то загружается.
Еще один тип инвестиционного инструмента, с которым вы, возможно, не знакомы, — это деривативы. Хотя все инвестиции в фондовый рынок сопряжены с неотъемлемым риском, некоторые виды инвестиций, как правило, более рискованны, чем другие. Производные попадают в этот лагерь.
Конечно, с этим более высоким потенциалом прибыли связан более высокий риск».
Как финансовый инструмент, стоимость операций с производными финансовыми инструментами зависит от рыночных условий, таких как кредит, собственный капитал и процентные ставки.
Этот тип инвестиций может иметь больше движущихся частей и соображений, поскольку есть контрагент и он основан на базовых активах.
«Поскольку деривативы имеют тенденцию истекать, у них меньше права на ошибку. С ценными бумагами некоторые неудачные сделки можно спасти, удерживая их в течение длительного времени. Неопытные трейдеры печально известны тем, что теряют значительные суммы капитала на рискованных ставках на опционы на акции».