«Иррациональные уравнения, примеры решения», презентация
Дата публикации: .
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Скачать:Методы и примеры решений иррациональных уравнений (PPTX)
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей
Уравнения и неравенства
Иррациональные уравнения
Ребята, не так давно мы с вами изучили новое множество чисел — иррациональные числа. Мы договорились называть любое число, содержащее корень квадратный, иррациональным. Так вот, уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня квадратного, тоже называются иррациональными уравнениями. Такие уравнения возникли не из-за того, что математикам захотелось решать подобные уравнения.
Существует множество реальных ситуаций, в которых вычисление каких-либо характеристик сводится к решению иррациональных уравнений. Например, при вычислении длины гипотенузы прямоугольного треугольника (по теореме Пифагора) вполне может получиться иррациональное уравнение. Давайте научимся решать простейшие иррациональные уравнения.Согласно определению корня квадратного, это выражение можно представить, как $2x-4=16$.
Нам удалось перейти от иррационального уравнения к обычному линейному уравнению, которое решается очень просто. Его корнем является число $x=10$.
Мы возвели обе части уравнения в квадрат и получили более простое уравнение. Такой способ называется «методом возведения в квадрат». Данный метод решения очень прост, но к сожалению иногда могут возникнуть некоторые проблемы при решении уравнений этим методом.
Рассмотрим уравнение: $\sqrt{2x+10}=\sqrt{x-5}$.
Возведем в квадрат обе части уравнения.
$2x+10=x-5$.
$(t-7)(t+3)=0$.
Введем обратную замену $\sqrt{x}=7$ и $\sqrt{x}=-3$.
Из первого выражения имеем, что $х=49$, а второе не имеет смысла.
Ответ: $х=49$.
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения:
1. $\sqrt{3-x}=3x+5$.
2. $\sqrt{x-13}-\sqrt{x+8}=-3$.
3. $x+2\sqrt{x}-24=0$.
Что такое иррациональные уравнения? Определения из учебников.
Прежде чем говорить про решение иррациональных уравнений, следует хорошо разобраться с вопросом, что такое иррациональные уравнения. Сейчас мы этим и займемся: познакомимся с определением иррационального уравнения и рассмотрим примеры уравнений этого вида.
Следует заметить, что определения немного отличаются от одной математической книги к другой. Поэтому давайте найдем и выпишем определения из учебников, рекомендованных Министерством образования и науки Российской Федерации, а также из других источников, чтобы проанализировать их, и выбрать для себя лучшее.
Подробный разговор про иррациональные уравнения и их решение ведется на уроках алгебры и начал анализа в старших классах школы. Однако некоторые авторы вводят в рассмотрение уравнения этого вида раньше. Например, те, кто занимаются по учебникам Мордковича А. Г., узнают про иррациональные уравнения уже в 8 классе: в учебнике [1, с. 174] утверждается, что
Определение
Иррациональным уравнением называют уравнение, если в нем переменная содержится под знаком квадратного корня.
Там же приводятся примеры иррациональных уравнений , , , и т.п. Очевидно, в каждом из приведенных уравнений под знаком квадратного корня содержится переменная x, значит, по приведенному выше определению эти уравнения – иррациональные. Здесь же сразу разбирается один из основных методов их решения – метод возведения в квадрат обеих частей уравнения. Но о методах решения разговор пойдет чуть ниже, пока же приведем определения иррациональных уравнений из других учебников.
В учебниках Колмогорова А. Н. [3, с. 214] и Колягина Ю. М. [4, с. 193]
Определение
иррациональными называют уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная.
Обратим внимание на принципиальное отличие данного определения от предыдущего: здесь говорится просто корень, а не квадратный корень, то есть, не уточняется степень корня, под которым находится переменная. Значит, корень может быть не только квадратным, но и третьей, четвертой и т.д. степени. Таким образом, последнее определение задает более обширную группу уравнений.
Возникает закономерный вопрос, почему в старших классах мы начинаем использовать это более широкое определение иррациональных уравнений? Все объяснимо и просто: когда в 8 классе происходит знакомство с иррациональными уравнениями, нам хорошо известен лишь квадратный корень, ни о каких кубических корнях, корнях четвертой и более высоких степеней мы еще не знаем.
А в старших классах обобщается понятие корня, мы узнаем про корень степени n, и при разговоре об иррациональных уравнениях уже не ограничиваемся квадратным корнем, а имеем в виду корень произвольной степени.
Для наглядности продемонстрируем несколько примеров иррациональных уравнений. — здесь под знаком кубического корня расположена переменная x, поэтому это уравнение иррациональное. Другой пример: — здесь переменная x находится как под знаком квадратного корня, так и корня четвертой степени, то есть, это тоже иррациональное уравнение. Вот еще пара примеров иррациональных уравнений более сложного вида: и .
Приведенные определения позволяют для себя отметить, что в записи всякого иррационального уравнения имеются знаки корней. Также понятно, что если знаков корней нет, то уравнение не является иррациональным. Однако не все уравнения, содержащие знаки корней, являются иррациональными. Действительно, в иррациональном уравнении под знаком корня должна быть переменная, если переменной под знаком корня нет, то уравнение не является иррациональным.
В качестве иллюстрации приведем примеры уравнений, которые содержат корни, но не являются иррациональными. Уравнения и не являются иррациональными, так как не содержат переменных под знаком корня – под корнями стоят числа, а переменных под знаками корней нет, поэтому эти уравнения не иррациональные.
Некоторые сборники задач для подготовки к ЕГЭ в разделе «иррациональные уравнения» содержат задания, в которых переменная находится не только под знаком корня, но еще и под знаком какой-либо другой функции, например, модуля, логарифма и т.п. Вот пример , взятый из книги [5], а вот — из сборника [6]. В первом примере переменная x находится под знаком логарифма, а логарифм еще под знаком корня, то есть, мы имеем, если так можно выразиться, иррациональное логарифмическое (или логарифмическое иррациональное) уравнение. Во втором примере переменная находится под знаком модуля, а модуль еще и под знаком корня, с Вашего позволения назовем его иррациональным уравнением с модулем.
Считать ли уравнения подобного вида иррациональными? Вопрос хороший. Вроде переменная под знаком корня есть, но смущает что она не в «чистом виде», а под знаком еще одной или большего числа функции. Другими словами, вроде нет противоречия тому, как мы определили выше иррациональные уравнения, но присутствует некоторая степень неуверенности из-за наличия других функций. С нашей точки зрения, не стоит фанатично подходить к «называнию вещей своими именами». На практике достаточно сказать просто «уравнение» без уточнения, какого именно оно вида. А все эти добавки «иррациональное», «логарифмическое» и т.п. служат по большей части для удобства изложения и группировки материала.
В свете информации последнего абзаца интерес представляет определение иррациональных уравнений, данное в учебнике под авторством Мордковича А. Г. за 11 класс [2, с. 237]
Определение
Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.
Здесь, помимо уравнений с переменной под знаком корня, иррациональными считаются и уравнения с переменными под знаком возведения в дробную степень. Например, согласно этому определению уравнение считается иррациональным. С чего вдруг? Мы же уже привыкли к корням в иррациональных уравнениях, а здесь не корень, а степень, и это уравнение больше хочется назвать, к примеру, степенным, а не иррациональным? Все просто: степень с дробным показателем определяется через корни, и на ОДЗ переменной x для данного уравнения (при условии x2+2·x≥0) его можно переписать с использованием корня как , а последнее равенство представляет собой привычное нам иррациональное уравнение с переменной под знаком корня. Да и методы решения уравнений с переменными в основании дробных степеней абсолютно такие же, как и методы решения иррациональных уравнений. Так что удобно их назвать иррациональными и рассматривать в этом свете. Но будем честными с собой: изначально перед нами уравнение , а не , и язык не очень охотно поворачивается называть исходное уравнение иррациональным из-за отсутствия корня в записи.
Избежать подобных спорных моментов можно и через более строгое определение. Пример такого определения можно найти в справочнике советских времен [7, с. 64]:
Определение
Иррациональным называется уравнение, в котором некоторое рациональное или алгебраическое выражение от неизвестного находится под знаком радикала.
Какое из приведенных выше определений предпочесть? Наверное, стоит называть иррациональными только такие уравнения, которые не противоречат ни одному из записанных определений, а остальные называть просто уравнениями без уточнения, что это за уравнение.
Пара слов о количестве переменных в записи иррациональных уравнений. Все приведенные выше иррациональные уравнения содержат единственную переменную x, то есть, являются уравнениями с одной переменной. Однако ничто не мешает рассматривать и иррациональные уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными. Приведем пример иррационального уравнения с двумя переменными и с тремя переменными .
Но при этом обязательно нужно заметить, что в школе обычно рассматривается решение иррациональных уравнений только с одной переменной. Иррациональные уравнения с несколькими переменными встречаются не для решения, а в составе систем уравнений или при алгебраическом описании геометрических объектов.
Например, можно встретить задание «решите систему уравнений », или увидеть описание полуокружности с центром в начале координат, радиусом 3 единицы, лежащей в верхней полуплоскости, при помощи уравнения .
В школе также рассматриваются иррациональные уравнения с параметром. Приведем пример: , здесь x – переменная, a — параметр. Как понять, что это уравнение с параметром, а не уравнение с двумя переменными? Как правило, это указывается в задании.
В заключение скажем, что встречается термин «простейшие иррациональные уравнения». Так что рекомендуем ознакомиться, что понимают под простейшими иррациональными уравнениями.
рациональных уравнений | Brilliant Math & Science Wiki
Решите 1x=2.\frac{1}{x} = 2 . х1=2.
Глядя на уравнение, мы видим, что оно спрашивает, какое обратное выражение дает 222. Это 12\frac{1}{2}21, и мы можем заключить, что это решение. □_\квадрат□
Хотя можно использовать этот метод проверки, проще использовать более общий метод.
В общем, если уравнение имеет форму неприводимой пропорции ab=cd\frac{a}{b}=\frac{c}{d}ba=dc, можно умножить крест, чтобы получить полином ad- bc=0ad — bc = 0 ad-bc=0. Затем этот многочлен можно решить любым подходящим методом, учитывая, что b≠0b \neq 0b=0 и d≠0d \neq 0 d=0.
Решить
2−x3+x=12.\frac{2-x}{3+x} = \frac{1}{2}. 3+x2−x=21.
Использование метода перекрестного умножения, описанного выше, дает
3+х=2(2-х)3+х=4-2х3х=1х=13. □\begin{выровнено} 3 + х &= 2(2-х) \\ 3 + х &= 4 — 2х \\ 3x& = 1 \\ х &= \фракция{1}{3}.\ _\квадрат \end{выровнено} 3+x3+x3xx=2(2−x)=4−2x=1=31. □
Этот метод можно распространить на любое рациональное уравнение. Однако для выражений с большим количеством членов вместо перекрестного умножения мы умножаем обе части уравнения на НОК знаменателей.
Найдите все решения
1x+21−x=11x+3x(2x+3).\frac{1}{x} + \frac{2}{1-x} = \frac{11}{x} + \frac{3} {х(2х+3)}.
x1+1−x2=x11+x(2x+3)3.
Сначала обратите внимание, что x≠0,x≠1,x \neq 0, x \neq 1,x=0,x=1 и x≠−32,x \neq \frac{-3} {2},x=2−3, так как все они приводят к нулевому знаменателю. При умножении всего выражения на НОК знаменателей x(1−x)(2x+3),x(1-x)(2x+3),x(1−x)(2x+3) получаем
(1−x)(2x+3)+2x(2x+3)=11(1−x)(2x+3)+3(1−x)−2×2−x+3+4×4+6x=−22×2 −11x24x2+192 + 19x — 33 &= 0. \end{выровнено}(1−x)(2x+3)+2x(2x+3)−2×2−x+3+4×4+6x24x2+19x−33=11(1−x)(2x+3)+ 3(1−x)=−22×2−11x=0,
Используя квадратичную формулу для решения этого уравнения, мы получаем
х=-19±352948. □x = \frac{-19 \pm \sqrt{3529}}{48}.\ _\squarex=48−19±3529. □
x1+1−x2=x11+x(2x+3)3.Решите уравнение 1x−2=18.\frac{1}{x-2}=\frac{1}{8}.x−21=81.
Умножение обеих сторон на 8(x-2)8(x-2)8(x-2) дает
8=x−210=x.\begin{выровнено} 8 =& х — 2 \ 10 =& х. \end{выровнено}8=10=x−2x.
Замена x=10x=10x=10 удовлетворяет данному уравнению, поэтому ответ равен 10.
□ _\квадрат □Решите уравнение 12x+3=1x−5.\frac{1}{2x+3}=\frac{1}{x-5}.2x+31=x−51.
Умножение обеих частей на (2x+3)(x−5)(2x+3)(x-5)(2x+3)(x−5) дает
x−5=2x+3−8=x.\begin{выровнено} х-5=&2х+3\ -8 =& х. \end{выровнено}x−5=−8=2x+3x.
Замена x=−8x=-8x=−8 удовлетворяет заданному уравнению, поэтому ответ равен -8. □ _\квадрат □ 92 + 8х — а =& 25 — 40 — а \ =&-15 — а \\ =& 0. \end{выровнено}x2+8x−a===25−40−a−15−a0.
Если a=-15,a = -15,a=-15, то у нас есть только одно решение x=-3.x = -3.x=-3.
Следовательно, a=−12,−15,−16. □a = -12, -15, -16.\ _\квадрат a=−12,−15,−16. □
Иррациональные числа
К иррациональным числам относятся квадратный корень, кубический корень, корень четвертой степени и корень n-й степени из многих чисел. Всякий раз, когда перед числом стоит знак корня, число называется корнем.
Знак радикала — это математический символ, который выглядит почти как буква v и помещается перед числом, чтобы указать, что корень должен быть взят: √
Не все радикалы иррациональны.
Например,
√4
не является иррациональным числом.
Потому что √4 = 2 и 2 — целое число.
Другие примеры иррациональных чисел
√2 = 1,4142136
√7 = 2,64575131
√35 = 5,9160797831
√8 = 2,82842712475
Почему приведенные выше радикалы иррациональны? Они иррациональны, потому что десятичное расширение не заканчивается и не повторяется.
Неповторяющиеся:
Внимательно посмотрите на десятичное расширение каждого радикала выше, вы заметите, что ни одно число или группа чисел не повторяются, как в следующих примерах.
1.222222222222 (2 повторяется, так что это не иррационально)
4,3636363636 (36 повторяется, так что это не иррационально)
По сути, закономерностей нет!
Неконцевой :
Приведенные выше радикалы не являются терминирующими. Это означает, что десятичное расширение имеет бесконечное количество чисел.
Например √2 = 1.4142135
Мы написали только 7 знаков после запятой.
Однако вы можете получить больше цифр.
Например √2 = 1,41421356237309504880
Больше цифр
√2 = 1,41421356237309504880168872420969807856967
Еще больше цифр
√2 = 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907
Это никогда не кончается…
Всякий раз, когда число иррационально, все, что мы можем получить, это приближение. Мы никогда не сможем написать число полностью.
Разница между рациональными и иррациональными числами.
Хотя рациональные числа могут продолжаться и продолжаться с бесконечным количеством чисел, они, тем не менее, имеют закономерность. Иррациональные числа не имеют закономерностей.
Как узнать, является ли радикал иррациональным
Есть несколько способов проверить, является ли число рациональным:
- Если вы можете быстро найти корень для радикала, значит радикал рациональный.
- Если вы ищете только квадратный корень, вы можете использовать алгоритм квадратного корня. Конечно, описанный выше метод длительный и трудоемкий!
Конечно, описанный выше метод длительный и трудоемкий!- Вы можете использовать калькулятор. Это может быть лучший способ проверить.
Пример №1:
Есть 3√125 иррациональный?
Найдите на калькуляторе следующий символ кубического корня:
3√
3√x
В зависимости от вашего калькулятора вы либо введете 125, либо нажмете на символ. Или сначала нажмите на символ, а затем введите 125.
Вы должны получить 5
5 завершается, так что это не иррациональное число.
Пример №2:
Есть 5√325 иррациональный?
Найдите на калькуляторе следующий символ корня n:
x√y
Поиграйте с калькулятором, чтобы получить 5√325 = 3,179630631616273
3.179630631616273 не завершается и не повторяется, поэтому оно иррационально.
Доказательство того, что квадратный корень из 5 иррационален
Квадратичная формула: простые шаги
26, 23 января 11:44
Узнайте о квадратной формуле, дискриминанте, важных определениях, связанных с формулой, и приложениях.
