Простые линейные уравнения примеры: Задачи на линейные уравнения — задачи с решениями

Как решать простые уравнения (с примерами) • BUOM

13 мая 2021 г.

Область математики охватывает широкий спектр приложений, от простых арифметических операций до сложных уравнений. Простые уравнения в математике относятся к четырем основным операциям, которые можно применять для выполнения быстрых вычислений. Существует несколько типов простых уравнений, с которыми вы можете работать, в зависимости от вашей области обучения или профессии. В этой статье мы обсудим, что такое простые уравнения, с какими типами простых уравнений вы можете столкнуться, в каких отраслях можно применять эти типы уравнений и как они выглядят при решении, на нескольких примерах.

Что такое простые уравнения?

Простое уравнение представляет собой отношение между двумя терминами по обе стороны от знака равенства. Простые уравнения также следуют одной или комбинации четырех математических операций сложения, вычитания, умножения и деления. По мере того, как математика становится все более сложной по уровню, простые уравнения могут становиться больше с дополнительными членами и переменными. Однако в большинстве простых уравнений вы вычисляете задачу, содержащую один или несколько числовых членов.

Например, уравнение 3 x 4 = 12 содержит отдельные члены, которые разделяются операцией и знаком равенства. Другой пример простого уравнения — 5 + 11 — 2 = 14, где вы видите несколько терминов, разделенных между двумя знаками операции и знаком равенства. У вас также может быть сочетание числовых и переменных членов в простом уравнении, например, в уравнении 5 + a = 10. В этом случае переменная представляет собой неизвестное значение, которое дает сумму 10, если вы прибавите ее к пяти. .

Типы простых уравнений

Типы математических уравнений, с которыми вы можете столкнуться, варьируются от простых до более сложных задач. Однако большинство простых уравнений можно разделить на несколько категорий:

Линейные уравнения

Линейные уравнения являются наиболее распространенными простыми уравнениями и обычно состоят из одного или нескольких членов по обе стороны от знака равенства. Линейные уравнения могут объяснить путь геометрических линий и сегментов и представляют собой первый шаг в алгебре. Кроме того, по мере усложнения математики, такой как тригонометрия и исчисление, линейные уравнения могут объединяться в квадратичные и тригонометрические функции. Линейные уравнения также могут быть такими же простыми, как арифметическая задача, например, 3 + 4 = 7, или они могут быть более сложными, например, решение уравнений линий, например, 3x + y = 12.

Экспоненциальные уравнения

Экспоненциальные уравнения содержат числовые члены и показатели степени, а иногда и переменные, в зависимости от типа решаемой задачи. Экспоненты работают, многократно умножая свои коэффициенты на количество раз, которое представляет экспонента. Например, в экспоненциальном уравнении 73 = 147 показатель степени 3 говорит вам многократно умножать семь на себя, поэтому 73 = 7 x 7 x 7 = 147.

Подобно линейным уравнениям, в экспоненциальном уравнении могут быть переменные. В задаче 62 + b = 40 у вас есть один числовой член и переменная, которые складываются вместе, образуя простое показательное уравнение.

Рациональные уравнения

Рациональные уравнения — это простые уравнения, включающие хотя бы одну дробь. Эти простые уравнения также могут включать одну или несколько операций и требуют для решения одного или нескольких шагов. Например, простое уравнение 3/8 + 1/8 = 1/2 содержит все дроби только с операцией сложения.

Рациональные уравнения также могут усложняться по мере повышения уровня математических тем. В некоторых рациональных уравнениях у вас может быть несколько членов с одной или несколькими операциями для решения в числителе или знаменателе. Вы также можете иметь переменные в рациональном уравнении, для решения которого может потребоваться один или несколько шагов.

Радикальные уравнения

Простые уравнения, которые являются радикальными уравнениями, имеют радикалы или знаки квадратного корня. В подкоренном уравнении вы можете взять квадратный корень из числа или кратный корень, в зависимости от индекса, который появляется внутри подкоренного знака. Радикальное уравнение также может быть таким же простым, как извлечение квадратного или кубического корня из числа, или вы можете увидеть несколько радикальных членов, для решения которых требуется несколько операций. Как и другие типы простых уравнений, радикальные уравнения могут иметь переменные.

Использование для простых уравнений

В зависимости от вашей отрасли вы можете ежедневно сталкиваться с простыми уравнениями. Вот некоторые отрасли, в которых обычно используются простые уравнения:

Научно-статистические исследования

Простые уравнения могут помочь профессионалам подойти к решению задач в научных и статистических областях. Например, сотрудники переписи могут полагаться на простые уравнения для расчета демографических итогов, процентов и соотношений. Статистики могут применять статистический анализ и линейную алгебру для решения задач, связанных с изучением населения. Простые уравнения также могут применяться к научным исследованиям, связанным с физикой, биологией, химией, астрономией и другими областями научных исследований.

Финансы и бухгалтерская практика

Финансовые специалисты, такие как бухгалтеры, бухгалтеры и аналитики, используют простые уравнения для расчета финансовых приложений. Например, в корпоративных финансах бухгалтеры могут применять специальные алгебраические формулы для расчета важной финансовой информации, такой как выручка компании, прибыли и убытки, налоговые обязательства и рентабельность инвестиций. Предприятия и организации полагаются на математические расчеты с помощью простых линейных уравнений для определения и записи информации, которая может помочь в планировании и разработке бюджетов, финансировании деятельности и инвестировании.

Образование и преподавание

Вы также можете найти простые уравнения в академических кругах. Учебная программа по математике часто продвигается в старших классах. Например, на элементарном уровне простые уравнения состоят из четырех основных операций и числовых значений, тогда как в более сложной математике, такой как алгебра и тригонометрия, уравнения включают более сложные термины и переменные. Учителя могут обучать многим эквациональным концепциям во всех классах, а также на уровне после окончания средней школы.

Технологии и медицина

Технологии и медицина — еще две области, в которых применяются простые и сложные уравнения. Информационные технологии, информатика, вычислительная техника, разработка программного обеспечения и кибербезопасность — все это технические области, в которых профессионалы часто используют математические уравнения для программирования, кодирования и создания технических приложений.

Медицинские работники также полагаются на простые уравнения. В фармацевтике специалисты используют математические формулы и уравнения для измерения и введения лекарств и медицинских компонентов. Медицинские техники, медсестры, врачи и хирурги также полагаются на свои знания простых уравнений для измерения важных показателей, таких как показатели жизнедеятельности и дозы лекарств.

Производство и строительство

В обрабатывающей промышленности математические уравнения используются для запуска оборудования, проектирования продуктов и программирования машин для производства. Компании-производители часто могут нанимать специалистов, обладающих математическими способностями, для обслуживания и эксплуатации сложного оборудования в ходе производственных процессов.

В строительной отрасли профессионалы, такие как архитекторы, проектировщики зданий и инженеры, полагаются на геометрические формулы и линейные уравнения для проектирования, планирования и реализации структурных чертежей.

Примеры

Чтобы лучше понять, как работать с простыми уравнениями в математике, просмотрите следующие примеры:

Примеры линейных уравнений

В зависимости от уровня математики линейные уравнения могут включать в себя простые задачи или более сложные элементы. Следующие примеры иллюстрируют несколько типов линейных уравнений:

(4 + 12) + 2 = 8

15 + у = 3

(3у + 6) / (у + 1) = 4

Примеры экспоненциального уравнения

Экспоненциальные уравнения могут содержать числовые или переменные показатели степени или их сочетание, а также могут содержать более одного члена, как и другие простые уравнения:

52 = 25

[(33) + 5] / 8 = 4

х2 — 4 = 0

Примеры рациональных уравнений

В рациональном уравнении у вас есть хотя бы одна дробь или дробный член в задаче. Следующие примеры показывают несколько уровней рациональных простых уравнений:

¼ + 1 = 1¼

(7 + 2) + 3 = 3

(х + 4) + (х + 8) = 3/5

Примеры радикальных уравнений

Простые уравнения с радикалами обычно включают вычисление квадратных и кубических корней, хотя вы можете вычислять много кратных корней по мере повышения сложности. Следующие радикальные уравнения включают простые уравнения без переменных в выражениях:

√25 = 5

√36 + √9 = 9

3√27 = 3

Решение линейных уравнений в целых числах. Примеры.

Теперь перейдем непосредственно к основной теме нашего проекта. Когда в уравнении с двумя переменными, значения переменных равны целым числам, то такие решения называют целочисленными. Если требуется найти все целочисленные решения, то говорят о решении уравнения в целых числах.

Именно таким решениям уравнений был посвящен труд вышеупомянутого Диофанта Александрийского «Арифметика».

Начнем с того, что уравнения, имеющие в правой части дробное значение не имеют целочисленных решений, так как при целых значениях х и у, значение левой части есть целое число, тогда как значение правой части – число дробное. Уравнение 4х + 3у = 0,5 имеет вид ax + by = c, в котором a и b — взаимно простые числа. Любое линейное уравнение с рациональными числами a, b и

c можно привести к такому виду. По этому виду можно узнать о наличии в нем целочисленных решений: если свободный член уравнения дробное число, то уравнение не имеет целочисленных решений.

Пример 1.

Уравнение 4х + 3у = 0,5 не имеет целочисленных решений, а уравнение 7х – у = -1 имеет сколько угодно целочисленных решений. Если решим это уравнение, выразив у, то получим:

у = 1 + 7х

При подстановке любого целого числа вместо х в результате вычислений получим соответствующее значение у, которое также будет целым числом. Пусть целое число равно n. Все целочисленные решения этого уравнения выражаются формулами:

х = n и у = 1+7n, где n = 0; больше или меньше 1; 2…

Найдем по этим формулам несколько целочисленных решений данного уравнения.

Если n =0, то х = 0; у = 1.

Если n =1, то х =1; у = 8.

Если n =-1, то х = -1; у = -6.

Пример 2.

Задача. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других.

Решение: Исходя из того, что у кролика 4 ноги, а у фазана две, составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов, у – число фазанов:

4х + 2у = 18, или, если обе части разделить на 2, 2х + у = 9.

Выразим у через х : у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Х: 1;2;3;4.

У: 7;5;3;1.

Далее подставляем числа в уравнение в разных комбинациях. Вышло, что задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

Итак, в заключении мы бы хотели подвести итог работы, проделанной нашей группой. В ходе сбора информации, ее редактирования, составления текста работы и примеров, мы разобрались в способах решения уравнений с двумя переменными, а при составлении презентации научились строить графики.

Подбирая материал для проекта, мы проверяли и перепроверяли каждое слово, следя за тем, чтобы текст и содержание было понятно для наших ровесников.

Также мы выполнили и основную часть поставленных задач, то есть, раскрыли теоретические моменты решения уравнений, доступным языком объяснили, как решать уравнения в целых числах и привели, на мой взгляд, достаточно простые и понятные примеры. Другими словами, мы выполнили все поставленные задачи, и достигли цели.

Линейные функции в реальных примерах линейных систем

Линейное уравнение — это фундаментальное понятие математики, имеющее широкий спектр приложений в реальном мире. Уравнения прямых являются наиболее распространенным использованием. Термины, наклоны, точки пересечения, точки и другие используются для описания линейных уравнений.

Линейные уравнения имеют удивительное количество применений в нашей повседневной жизни. С помощью этого блога мы рассмотрим некоторые приложения линейных систем в нашей повседневной жизни. Но прежде чем мы перейдем к приложениям линейных систем, давайте определим линейные уравнения и некоторые связанные с ними термины.

Что такое линейные уравнения?

Линейные уравнения относятся к уравнениям первого порядка. Эти уравнения образуют прямую линию, а линейное уравнение представлено уравнением y=mx+b, где m обозначает наклон. Вы можете использовать одну или несколько переменных в линейных уравнениях. Линейное уравнение с одной переменной называется линейным уравнением с одной переменной. Вы можете использовать линейное уравнение для описания практически любых обстоятельств, связанных с неизвестным числом, таких как оценка дохода с течением времени, расчет скорости пробега или прогнозирование прибыли. Многие люди ежедневно используют линейные уравнения, даже если они не представляют себе линейный график.

Ключевые термины в линейных уравнениях:

• Изменение скорости

Скорость изменения часто включается в линейные уравнения. Например, скорость — это скорость изменения расстояния во времени. Наклон — это скорость изменения, которую можно вывести, если мы знаем общее пройденное расстояние и два момента времени. Затем с использованием этих данных можно было бы создать линейное уравнение и сделать прогнозы с использованием линейного уравнения.

Если количество или единица измерения, в которой что-либо изменяется, не указаны, скорость обычно выражается во времени. Показатели «в единицу времени», такие как частота сердечных сокращений, скорость и поток, являются наиболее распространенными. Обменные курсы, электрические поля и уровень грамотности являются примерами отношений знаменателя без учета времени.

• Крутизна

Представьте себе крышу или горнолыжный склон, думая о наклоне линии. Крыши и горнолыжные склоны могут быть как крутыми, так и относительно плоскими. На самом деле, лыжные трассы и крыши, как и линии, могут быть плоскими (горизонтальными). Абсолютно вертикальный лыжный спуск или крышу найти было бы невозможно, но линию можно было бы найти.

Как правило, мы можем сказать, какой склон круче, просто взглянув на него. Три лыжных трассы со временем становятся круче.

• Независимая переменная

Независимая переменная — это переменная, которая существует независимо от уравнения и служит его входом. Например, если вы хотите узнать, сколько воды нужно растению для выживания, вы можете протестировать различное количество воды на растениях, находящихся в одинаковых условиях освещения и почвы. В этом случае вы используете воду как независимую переменную (или вход). Буква x обозначает независимую переменную в линейном уравнении.

• Зависимая переменная

Выход или зависимая переменная является результатом независимой переменной. Например, после того, как вы полили свои растения, вы можете отслеживать, насколько выросло каждое из них. Количество воды, которую вы даете растению, определяет, насколько оно растет. Буква y обозначает зависимую переменную в линейном уравнении.

Этапы решения линейного уравнения:

1. Прочитайте условие задачи

Чтобы понять, что предлагается, что это за реальный пример линейной функции и что нужно найти, нужно внимательно прочитать задачу. Затем, при необходимости, прочитайте ее столько раз, сколько потребуется.

2. Распределить переменные

Представьте одно из известных значений или величин с помощью переменной и используйте диаграммы или таблицы, чтобы связать все другие неизвестные значения (если они есть) с этой переменной. Составьте список того, что обозначает каждая переменная.

3. Напишите уравнения

Составьте уравнения, связывающие неизвестные и известные величины. Мы можем использовать некоторые известные формулы и фигуры/уравнения, описанные в предыдущей фазе, чтобы найти применимое уравнение, которое приведет к желаемому результату.

4. Решите уравнение 

Решите уравнения, которые вы создали на предыдущем этапе, и ответьте на все вопросы, потому что уравнение даст вам только одно из значений, которые вы просили.

5. Проверить решения

Вы можете подтвердить решение, введя его в уравнение, но убедитесь, что оно правильное.

Теперь, когда мы знаем, что они из себя представляют и как работают, давайте посмотрим на некоторые из реальных примеров линейной функции .

Линейные уравнения на практике

Возможно, вы будете шокированы, узнав, что линейные уравнения имеют жизненно важное значение в нашей повседневной жизни в различных отраслях. В этом разделе мы рассмотрим некоторые из реальных примеров линейных функций:

Оценка стоимости

Используя линейные уравнения, вы можете оценить расходы и расходы по различным товарам без каких-либо отсутствующих количеств. Например, допустим, вы пытаетесь выяснить, сколько будет стоить такси, и вы не знаете, как далеко вы будете ехать. Предполагая, что x представляет пройденное расстояние, вы можете быстро составить линейное уравнение.

Таким образом, математика становится простой.

Предположим, вы в отпуске и вам нужно взять такси. Вы знаете, что служба такси будет взимать 9 долларовчтобы забрать свою семью из отеля, плюс 0,15 доллара за каждую милю после этого. Вы можете использовать линейное уравнение, чтобы определить стоимость любой поездки на такси, которую вы совершаете во время отпуска, не зная, сколько миль будет добираться до каждого места. Например, линейное уравнение будет иметь вид y = 0,15x + 9, если «x» представляет собой количество миль до пункта назначения, а «y» представляет собой стоимость проезда на такси.

Составление бюджета

Когда дело доходит до составления бюджета, многие используют линейные уравнения. Точно так же многие крупные корпорации используют линейные уравнения для оценки своих бюджетов и себестоимости продукции. Бюджетирование с помощью линейных уравнений позволяет этим предприятиям предлагать своим клиентам лучшие цены, что позволяет им успешно конкурировать.

У организатора вечеринки ограниченный бюджет на предстоящее мероприятие. Ей нужно будет подсчитать, сколько будет стоить ее клиенту аренда помещения и оплата питания на одного участника. Вы можете написать линейное уравнение, чтобы проиллюстрировать общую стоимость, выраженную как y, для любого количества присутствующих людей, или x, если аренда помещения составляет 780 долларов, а еда стоит 9,75 долларов на человека. В этом случае линейное уравнение будет y = 9,75x + 780. Организатор вечеринки может использовать это уравнение, чтобы подставить любое количество участников вечеринки и сообщить своему клиенту общую стоимость мероприятия, включая расходы на еду и аренду.

Курсы

Линейные уравнения — отличный инструмент для сравнения курсов. Например, предположим, что две компании предлагают вам x долларов за y часов работы. Используя линейные уравнения, вы можете выбрать, какая из этих организаций предлагает вам лучшую ставку за количество отработанных вами часов. В этой ситуации один из наиболее распространенных вариантов использования линейных уравнений.

При сравнении ставок заработной платы ценным инструментом могут быть линейные уравнения. Например, если одна компания предоставляет 450 долларов в неделю, а другая предлагает 10 долларов в час, обе компании требуют, чтобы вы работали 40 часов в неделю. Какой из них лучше сделки? Вы можете использовать линейное уравнение, чтобы понять это! Предложение первой фирмы рассчитывается как 450 = 40x. Предложение второй фирмы записывается как y = 10. (40). После сравнения двух предложений расчеты показывают, что первая компания платит $11,25 в час, что лучше.

Прогнозы

Неожиданно, но факт! Ежедневно линейные уравнения помогают формулировать многочисленные прогнозы. Например, многие стартапы используют линейные уравнения для прогнозирования того, как они будут работать в будущем, и совокупной прибыли за каждый месяц. Хотя при прогнозировании рассматривается множество реальных примеров линейных функций, линейные уравнения пригодятся в таких ситуациях.

Прогнозирование будущего — один из самых полезных способов использования линейных уравнений в повседневной жизни. Линейное уравнение y = 150x − 200 позволяет оценить совокупную прибыль от месяца к месяцу, если комитет по продаже выпечки платит 200 долларов в виде первоначальных расходов на запуск и впоследствии зарабатывает 150 долларов в месяц на продажах. Например, комитет может ожидать, что заработает 700 долларов через шесть месяцев после того, как (150 x 6) − 200 = 700 долларов. Хотя линейные функции в реальных событиях, несомненно, влияют на точность прогнозов, они могут дать полезный сигнал о том, чего ожидать в будущем. Это возможно благодаря использованию линейных уравнений.

Нам не нравится изучать линейные системы или линейные функции в школе, потому что мы не понимаем и не видим, как они взаимодействуют в реальной жизни. Однако в качестве применения линейных систем в бизнесе и экономике, а также в качестве реальных примеров линейных функций эти концепции служат полезным инструментом для навигации и поиска решений. Хитрость заключается в том, чтобы выяснить, какую линейную формулу или концепцию можно применить к линейным функциям в реальной жизни.

Математика, Мир математики

Об авторе

Больше, чем просто программирование и математика! Наша запатентованная учебная программа, основанная на деятельности, с обучением в режиме реального времени облегчает: Решение проблем. Креативное мышление. Песок. Уверенность. Связь

Как линейные уравнения используются в повседневной жизни?

••• Jupiterimages/PHOTOS.com>>/GettyImages

Обновлено 13 марта 2018 г.

Джессика Смит

Линейные уравнения используют одну или несколько переменных, где одна переменная зависит от другой. Почти любую ситуацию, когда есть неизвестная величина, можно представить линейным уравнением, например, вычисление дохода с течением времени, расчет скорости пробега или прогнозирование прибыли. Многие люди используют линейные уравнения каждый день, даже если они производят расчеты в уме, не рисуя линейный график.

Переменные затраты

Представьте, что вы едете в отпуск на такси. Вы знаете, что служба такси берет 9 долларов за то, чтобы забрать вашу семью из отеля, и еще 0,15 доллара за милю за поездку. Не зная, сколько миль будет до каждого пункта назначения, вы можете составить линейное уравнение, которое можно использовать для определения стоимости любой поездки на такси, которую вы совершаете в своей поездке. Используя «x» для представления количества миль до пункта назначения и «y» для представления стоимости этой поездки на такси, линейное уравнение будет выглядеть так: y = 0,15x + 9..

Ставки

Линейные уравнения могут быть полезным инструментом для сравнения ставок заработной платы. Например, если одна компания предлагает платить вам 450 долларов в неделю, а другая предлагает 10 долларов в час, и обе просят вас работать 40 часов в неделю, какая компания предлагает лучшую ставку оплаты? Линейное уравнение может помочь вам понять это! Предложение первой компании выражается как 450 = 40x. Предложение второй компании выражается как y = 10(40). После сравнения двух предложений уравнения говорят вам, что первая компания предлагает лучшую ставку оплаты в размере 11,25 доллара в час.

Бюджетирование

Организатор вечеринки имеет ограниченный бюджет на предстоящее мероприятие. Ей нужно будет выяснить, сколько будет стоить ее клиенту аренда помещения и оплата питания на человека. Если стоимость аренды помещения составляет 780 долларов, а цена еды на человека составляет 9,75 долларов, можно построить линейное уравнение, чтобы показать общую стоимость, выраженную как y, для любого числа присутствующих или x. Линейное уравнение будет записано как y = 9,75x + 780. С помощью этого уравнения организатор вечеринки может подставить любое количество гостей вечеринки и сообщить своему клиенту фактическую стоимость мероприятия, включая расходы на еду и аренду.

Создание прогнозов

Один из наиболее полезных способов применения линейных уравнений в повседневной жизни — это прогнозирование того, что произойдет в будущем. Если комитет по продаже выпечки тратит 200 долларов на начальные затраты, а затем зарабатывает 150 долларов в месяц на продажах, линейное уравнение y = 150x — 200 можно использовать для прогнозирования совокупной прибыли от месяца к месяцу. Например, через шесть месяцев комитет может рассчитывать на чистую прибыль в размере 700 долларов, поскольку (150 x 6) — 200 = 700 долларов. Хотя факторы реального мира, безусловно, влияют на точность прогнозов, они могут быть хорошим показателем того, чего ожидать в будущем. Линейные уравнения являются инструментом, который делает это возможным.

Статьи по теме

Ссылки

• Math Warehouse: линейные уравнения в мире чтения
• Пирсон: использование линейных уравнений
• Virtual Nerd: как написать и использовать уравнение прогноза?

Об авторе

Обладая практическим опытом работы в традиционном классе, в онлайн-среде и в мире разработки учебных программ, Джессика Смит является педагогом-ветераном, увлеченным обучением.