Исследовать знакопеременный ряд на сходимость.
Пример 1:
Исследовать знакопеременный ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
1) : общий член ряда имеет вид , при этом
— для ряда не выполнено необходимое условие сходимости — ряд расходится.
Пример 2:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Исследать знакопеременный ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
общий член ряда имеет вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).
Ряд из абсолютных величин расходится (по признаку сравнения), поскольку при n≥8
и ряд расходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=1/10
Следовательно, данный ряд сходится условно.
Пример 4:
Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:
Решение от преподавателя:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Второе условие Лейбница выполняется.
Таким образом, рассматриваемый ряд сходится.
Чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов.
Признак Даламбера.
при q 1 — ряд расходится, q = 1 — получаем неопределенность (дополнительные исследования).
Поскольку q = 1, то получаем неопределенность.
Исследуем сходимость ряда при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд.
Следовательно, исходный ряд сходится условно.
Пример 5:
Исследать знакопеременный ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом
— для ряда не выполнено необходимое условие сходимости — ряд расходится.
Пример 6:
Исследовать на сходимость знакопеременный числовой ряд:
Решение от преподавателя:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Второе условие Лейбница выполняется.
Таким образом, рассматриваемый ряд сходится.
Чтобы говорить об абсолютной или условной сходимости, необходимо исследовать ряд по одному из признаков сходимости рядов.
Признак Даламбера.
при q 1 — ряд расходится, q = 1 — получаем неопределенность (дополнительные исследования).
Поскольку q
Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 7:
Исследать знакопеременный ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид — знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами.
Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).
Ряд из абсолютных величин расходится (по признаку сравнения), поскольку при n≥1
и ряд сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=5/3).
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Пример 8:
Исследать знакопеременный ряд на сходимость:
Решение от преподавателя:
: общий член ряда имеет вид , при этом для n≥3 выполнены неравенства
ряд сходится (геометрическая прогрессия со знаменателем q=18/19
Помогите решить / разобраться (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
Посмотреть правила форума
| Infer57 |
| ||
05/05/17 |
| ||
| |||
09.2017, 09:19 | NDP |
| ||
20/09/05 |
| ||
| |||
| Infer57 |
| ||
05/05/17 |
| ||
|
| |||
09.2017, 09:44 | NDP |
| ||
20/09/05 |
| ||
| |||
09.2017, 09:46 | Infer57 |
| ||
05/05/17 |
| ||
| |||
09.2017, 12:39 | wrest |
| ||
05/09/16 |
| ||
| |||
| Infer57 |
| ||
05/05/17 |
| ||
| |||
09.2017, 13:04 | Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 7 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
, то мы можем использовать тест p-серии на сходимость, чтобы сказать, является ли ???a_n??? сойдутся.
Тест p-серии говорит, что
???a_n??? будет сходиться, когда ???p>1???
???a_n??? будет расходиться, когда ???p\le1???
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.
Ключ в том, чтобы убедиться, что данная серия соответствует указанному выше формату для p-серии, а затем посмотреть на значение ???p??? определить сходимость.
Как использовать тест серии p для определения сходимости?
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Учить больше
Давайте сделаем еще пару примеров, где мы определяем сходимость или расхождение с помощью теста p-серии
Пример 9{\ гидроразрыва {1} {2}}}???
В этом формате мы видим, что ???p=1/2???.
Тест p-серии говорит нам, что ???a_n??? расходится при ???p\le1???, поэтому можно сказать, что этот ряд расходится.
Давайте попробуем второй пример.
Суть в том, чтобы убедиться, что данный ряд соответствует указанному выше формату для p-ряда, а затем посмотреть на значение p, чтобы определить сходимость.
Пример
Используйте тест p-ряда, чтобы определить, сходится ли ряд. 9\frac43}???
В этом формате мы видим, что ???p=4/3???. Тест p-серии говорит нам, что ???a_n??? сходится при ???p>1???, поэтому можно сказать, что этот ряд сходится.
Получите доступ к полному курсу Calculus 2
Начать
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление ii, p-серия, тест p-серии на конвергенцию, конвергенция или дивергенция, тесты конвергенции, тесты на конвергенцию, последовательности и серии, последовательности, серии, бесконечные серии 9{\infty}a_i$), например:
Тест Коши
, который имеет дело с верхним пределом $\lambda_n=\sqrt[n]{a_n}$, но ни к чему не приводит, когда верхний предел равен $1 $.
Тест Даламбера
, который имеет дело с верхним или нижним пределом $\lambda_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, но ни к чему не приводит, когда верхний предел $\ge1$ или нижний предел $\le1$.
Тест Раабе
, который имеет дело с $\lambda_n= n\Big(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\Big)$, но ни к чему не приводит, когда $\lim{\lambda_n} =1$.
Тест Бертрана
, который имеет дело с $\lambda_n= (\ln n)\Big[n\Big(\frac{x_n}{x_{n+1}}-1\Big)-1\Big]$ , но все равно ни к чему не приводит при $\lim\lambda_n=1$.
$$\vdots$$
И в моих книгах говорится, что этот прогресс никогда не кончается, «…Мы всегда можем продолжить и установить еще более мощный тест, хотя и с более сложными доказательствами…» Я не знаю не знаю, как, но, поскольку мой вопрос не в этом, вы можете просто пропустить его.
Ну, во всяком случае, я надеюсь, что вы внимательно посмотрите на эти тесты. Они действительно гениальны тем, что могут сказать вам, сходится ли ряд или иным образом основан на напрямую по информации $a_n$, что не будет слишком неясным.
Но они все еще НЕ совершенны. Все они типа «если», но не типа «iff». Я имею в виду, что они все такого типа:
Ряд сходится , если $\lim \lambda_n$ бла-бла-бла, и расходится , если $\lim \lambda_n$ бла-бла-бла. Хуже всего то, что если они оба подведут нас, МЫ НИЧЕГО НЕ ЗНАЕМ!
Как я надеюсь, что смогу заменить «если» на «если» и избавиться от случая «мы ничего не знаем»!
Поэтому мне очень интересно, существует ли идеальный тест, который:
(1) основан непосредственно на $\lambda_n$, из которого $a_n$ дает
(2) такой шаблон, как:
Ряд сходится тогда и только тогда, когда $\lim \lambda_n$ бла-бла-бла, и расходится тогда и только тогда, когда $\lim \lambda_n$ бла-бла-бла. (Дескать, мы все знаем!)
Я знаю, что может быть только смутная надежда, но мне все еще любопытно. Любая помощь будет особенно оценена. С наилучшими пожеланиями!
Дополнительное примечание
Во-первых, я искренне благодарен за всю помощь, которую вы мне оказываете.
Тем не менее, я боюсь, что мне придется сделать заметку здесь, потому что многие ответы, размещенные здесь, не то, что я ищу. Ну, я далек от критики, но я думаю, что мне нужно, возможно, уточнить мой вопрос, чтобы я не вводил в заблуждение ваши ответы.
Проблема в том, что некоторые ответы здесь не совсем соответствуют требованию (1), упомянутому в моем вопросе. Пожалуйста, внимательно прочитайте (1), я хочу, чтобы тест основывался непосредственно на $\lambda_n$, порождаемом $a_n$, точно так же, как $\lambda_n$s в тестах, перечисленных выше. Другими словами, $\lambda_n$ должно быть равно 9.0035 немедленно доступный через $a_n$, или $a_n$ дает всю немедленную информацию, необходимую для записи $\lambda_n$. Следовательно, $\lambda_n$ — это выражение, содержащее $a_n, a_{n+1}$ и т. д. и т. д. Я не хочу использовать частичную сумму в своем тесте и не ищу что-то вроде мощного сравнительного теста, потому что знание $a_n$ обычно не позволяет нам получить знание частичной суммы или найти другое $b_n$ для сравнения.