Прямая делящая треугольник пополам: Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.

Определение

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Остроугольные	Тупоугольные	Прямоугольные
Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые. На рисунке показан такой остроугольный треугольник АВС.	Тупоугольным называется треугольник, у которого есть тупой угол. В треугольнике может быть только один тупой угол. На рисунке показан треугольник такого вида, где угол М – тупой.	Прямоугольным называется треугольник, у которого есть угол, равный 900 (прямой угол). На рисунке угол С равен 90 0. Такой угол в любом прямоугольном треугольнике – единственный.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Разносторонний	Равнобедренный	Равносторонний
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС.	Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС.	Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС.

Медиана

Определение

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Определение

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Определение

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂

и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Задание 25OM21R

В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=36, АС=54, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите СD.

---

Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.

При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 90⁰.

Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.

Составим отношение сторон:

AEAB..=ABAF.. откуда по свойству пропорции АВ²=АЕ∙АF

Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.

Составим отношение сторон:

AEAD..=ACAF.. ; откуда выразим AD=AE∙AFАC..=AE∙AFAC..

Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ²=АЕ∙АF и AD=AE∙AFAC..

Видим, что 36²=АЕ∙АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD=AE∙AFAC..=36254..=24

Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30

Ответ: 30

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 18OM21R

На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.

---

Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине. Следовательно, чтобы найти длину средней линии, надо сторону треугольника разделить пополам. Найдем сторону треугольника, которой параллельна средняя линия, т.е. АС, сосчитав клетки, получим, что АС равна 8. Значит, средняя линия равна 8:2=4.

Ответ: 4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание 15OM21R

В треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 84⁰, АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.

---

Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 84⁰:2=42⁰

Ответ: 42

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Даниил Романович | Просмотров: 7.3k

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

\[{\Large{\text{Медиана}}}\]

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Доказательство

Пусть \(AD\) и \(BE\) – медианы в треугольнике \(ABC\), \(O\) – точка пересечения \(AD\) и \(BE\).

 

\(DE\) – средняя линия в треугольнике \(ABC\), тогда \(DE\parallel AB\), значит \(\angle ADE = \angle BAD\), \(\angle BED = \angle ABE\), следовательно, треугольники \(ABO\) и \(DOE\) подобны (по двум углам).

 

Из подобия треугольников \(ABO\) и \(DOE\): \(\dfrac{BO}{OE} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{1}\).

 

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

 

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

 

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: \(S_{ABC} = 0,5\cdot AC\cdot h\).

 

Пусть \(BD\) – медиана в треугольнике \(ABC\), тогда \(AD = DC\).

 

\(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot h\),

\(S_{BCD} = 0,5\cdot DC\cdot h\).

 

Так как \(AD = DC\), то \(S_{ABD} = S_{BCD}\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

 

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

\circ\), чтд.

 

\[{\Large{\text{Биссектриса}}}\]

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

 

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

 

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC\cdot CD}{CB\cdot CD} = \dfrac{AC}{CB}\]

С другой стороны, \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{0,5\cdot AD\cdot h}{0,5\cdot DB\cdot h}\), где \(h\) – высота, проведённая из точки \(C\), тогда \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AD}{DB}\).

 

В итоге \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC}{CB}\), откуда \(\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DB}{BC}\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

 

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

 

Доказательство

1) Докажем, что если \(KA=KB\), то \(OK\) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники \(AOK\) и \(BOK\): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(\angle AOK=\angle BOK\), чтд.

 

2) Докажем, что если \(OK\) – биссектриса, то \(KA=KB\).
Аналогично треугольники \(AOK\) и \(BOK\) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, \(KA=KB\), чтд.

биссектрис в треугольнике

Горячая математика

Биссектриса

биссектриса стороной треугольника называется прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через ее середину.

Три перпендикулярные биссектрисы сторон треугольника пересекаются в одной точке, называемой центр окружности . Точка, в которой пересекаются три или более линий, называется точкой параллелизма. Итак, центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

Здесь, О является центром окружности Δ Икс Д Z .

Центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника. (См. теорему о центре окружности .) То есть Икс О «=» Д О «=» Z О . Окружность, проведенная с центром описанной окружности в качестве центра и радиусом, равным этому расстоянию, проходит через все три вершины и называется описанный круг . Это наименьшая окружность, в которую можно вписать треугольник.

Центр описанной окружности лежит внутри треугольника для остроугольных треугольников, на гипотенузе для прямоугольных треугольников и лежит вне треугольника для тупоугольных треугольников. Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, если это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Пример 1:

Дома Натхи, Хирена и Джо представляют собой три неколлинеарные точки на координатной плоскости. Если они хотят встретиться в общем месте, так что каждый должен будет пройти одинаковое расстояние от своего дома, как вы определите место встречи?

Поскольку точки, представляющие дома, не лежат на одной прямой, три точки образуют треугольник.

Теперь, если вы рассматриваете центр описанной окружности треугольника, он будет равноудален от вершин. То есть, если в качестве точки встречи выбрать центр описанной окружности треугольника, образованного тремя домами, то каждый из них должен будет пройти одинаковое расстояние от своего дома.

Пример 2:

Найдите значение Икс .

Здесь, О точка пересечения трех серединных перпендикуляров сторон Δ К л М .

Так, О является центром описанной окружности треугольника.

Центр описанной окружности равноудален от вершин. Затем, О М «=» О К .

То есть, 6 Икс + 1 «=» 19.

Решить для Икс .

6 Икс + 1 − 1 «=» 19 − 1 6 Икс «=» 18 6 Икс 6 «=» 18 6 Икс «=» 3

Биссектриса угла

биссектриса угла угла треугольника – это прямая, которая делит угол на два равных угла.

Три биссектрисы углов треугольника сходятся в одной точке, называемой центр .

Здесь, я находится в центре Δ п Вопрос р .

Центр вписанной равноудален от сторон треугольника. То есть, п я «=» Вопрос я «=» р я . Окружность, нарисованная с центром вписанной окружности и радиусом, равным этому расстоянию, касается всех трех сторон и называется обвести или вписанную окружность треугольника. Этот круг является самым большим кругом, который поместится внутри треугольника.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности и центр описанной окружности совпадают.

Пример 3:

У Мисти есть треугольный участок заднего двора, где она хочет построить бассейн. Как ей найти самый большой круглый бассейн, который можно там построить?

Максимально возможный круглый бассейн будет иметь тот же размер, что и самый большой круг, который можно вписать в треугольный задний двор. Самая большая окружность, которую можно вписать в треугольник, — это вписанная окружность. Это можно определить, найдя точку совпадения биссектрис каждого угла заднего двора, а затем сделав круг с этой точкой в ​​качестве центра и кратчайшим расстоянием от этой точки до границы в качестве радиуса.

Пример 4:

Найдите длину Дж О .

Здесь, О является точкой пересечения трех биссектрис угла Δ л М Н и, следовательно, является инцентром. Центр вписанной равноудален от сторон треугольника. То есть, Дж О «=» ЧАС О «=» я О .

У нас есть размеры двух сторон прямоугольного треугольника. Δ ЧАС О л , значит можно найти длину третьей стороны.

Здесь, О является точкой пересечения трех биссектрис угла Δ л М Н и, следовательно, является инцентром. Центр вписанной равноудален от сторон треугольника. То есть, Дж О «=» ЧАС О «=» я О .

У нас есть размеры двух сторон прямоугольного треугольника. Δ ЧАС О л , значит можно найти длину третьей стороны.

Используя теорему Пифагора, найдите длину ЧАС О .

ЧАС О «=» ( л О ) 2 − ( ЧАС л ) 2 «=» 13 2 − 12 2 «=» 169− 144 «=» 25 «=» 5

С Дж О «=» ЧАС О , длина Дж О также равно 5 единицы измерения.

Биссектриса угла – определение, построение, свойства, примеры

Биссектриса угла определяется как луч, отрезок или линия, которая делит заданный угол на два равных угла. Слово биссектриса или биссектриса означает деление одной вещи на две равные части. В геометрии мы обычно делим треугольник и угол линией или лучом, который считается биссектрисой угла.

1.	Что такое биссектриса угла?
2.	Биссектриса треугольника
3.	Свойства биссектрисы угла
4.	Конструкция биссектрисы угла
5.	Теорема о биссектрисе угла
6.	Часто задаваемые вопросы о биссектрисе угла

Что такое биссектриса угла?

Биссектриса угла в геометрии — это луч, прямая или отрезок, который делит заданный угол на две равные части . Например, биссектриса угла в 60 градусов разделит его на два угла по 30 градусов каждый. Другими словами, он делит угол на два меньших конгруэнтных угла. Ниже приведено изображение биссектрисы угла ∠AOB.

Биссектриса треугольника

В треугольнике биссектриса угла представляет собой прямую линию, которая делит угол на два равных или конгруэнтных угла. В каждом треугольнике может быть три биссектрисы угла, по одной на каждую вершину. Точка, где встречаются эти три биссектрисы треугольника, называется его центром. Расстояние от вписанного центра до всех вершин треугольника одинаково. Посмотрите на изображение ниже, на котором показана биссектриса угла треугольника. Здесь AG, CE и BD — биссектрисы углов ∠BAC, ∠ACB и ∠ABC соответственно. F — это точка пересечения всех трех биссектрис, известная как центр вписанной окружности, и она находится на равном расстоянии от каждой из вершин.

Свойства биссектрисы угла

До сих пор вы должны были ясно понимать значение биссектрисы угла в геометрии. Теперь давайте изучим некоторые свойства биссектрисы угла, перечисленные ниже:

• Биссектриса делит угол на две равные части.
• Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон или плеч угла.
• В треугольнике противолежащая сторона делится на отношение двух других сторон.

Построение биссектрисы угла

Попробуем построить биссектрису угла. В этом разделе мы увидим шаги, которые необходимо выполнить для построения биссектрисы угла.

Этапы построения биссектрисы угла:

Шаг 1: Нарисуйте любой угол, скажем, ∠ABC.

Шаг 2: Приняв B за центр и любой подходящий радиус, нарисуйте дугу, пересекающую лучи BA и BC, скажем, в точках E и D соответственно. (См. рисунок ниже)

Шаг 3: Теперь, взяв D и E за центры и с тем же радиусом, что и в предыдущем шаге, нарисуйте две дуги, пересекающиеся друг с другом в точке F.

Шаг 4: Соедините B с F и растянуть его как луч. Этот луч BF является биссектрисой искомого угла ABC.

Теорема о биссектрисе угла

Давайте теперь подробно разберем важное свойство биссектрисы угла треугольника, как указано в предыдущем разделе. Это свойство известно как теорема о биссектрисе угла треугольника. Согласно теореме о биссектрисе угла, в треугольнике биссектриса угла, проведенная из одной вершины, делит сторону, на которую она падает, в том же отношении, что и отношение двух других сторон треугольника.

Утверждение: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональных двум другим сторонам треугольника.

На изображении выше PS — это биссектриса угла ∠P в ΔPQR. Следовательно, применяя теорему о биссектрисе угла, мы можем сказать, что PQ/PR = QS/SR или a/b = x/y.

► Статьи по теме

Проверьте эти интересные статьи, связанные с биссектрисой угла в математике.

• Построение биссектрисы перпендикуляра
• Построение угла 90 градусов
• Построение угла 60 градусов

Часто задаваемые вопросы о биссектрисе угла

Что такое биссектриса угла?

Биссектриса угла — это луч, прямая или отрезок, который делит угол на два равных угла.

Каковы свойства биссектрисы угла?

Биссектриса угла имеет два основных свойства:

• Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла.
• В треугольнике биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон.

Что такое биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника, проведенная из любой из трех вершин, делит противоположную сторону в отношении двух других сторон треугольника. В треугольнике можно провести три биссектрисы угла.

Делит ли биссектриса угла угол пополам?

Да, биссектриса делит заданный угол на два равных угла. Другими словами, мы можем сказать, что мера каждого из этих углов равна половине исходного угла.

Как построить биссектрису угла?

Построение биссектрисы угла можно выполнить, выполнив шаги, указанные ниже:

• Шаг 1: Возьмите циркуль и выберите любую подходящую ширину. Поместите его кончик на вершину угла и нарисуйте дугу, касающуюся плеч угла в двух разных точках.
• Шаг 2: Сохраняйте ту же ширину компаса и рисуйте дуги, пересекающие друг друга от каждой из этих двух точек.
• Шаг 3: Проведите луч из вершины угла к точке пересечения, образованной на предыдущем шаге.
• Шаг 4: Этот луч будет биссектрисой заданного угла.

Какое свойство биссектрисы треугольника?

Свойство биссектрисы угла треугольника гласит, что биссектриса угла делит противоположную сторону треугольника в отношении прилежащих сторон.

Проходит ли биссектриса через середину?

Не всегда верно, что биссектриса угла проходит через середину противоположной стороны.