Рациональные действительные натуральные: Натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа

Содержание

Урок 15. действительные числа — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №15. Действительные числа.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) множество иррациональных чисел;

2) множество рациональных чисел;

3) правила выполнения действий с бесконечными десятичными дробями;

4)определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Глоссарий по теме

Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m — целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.

Иррациональные числа— это действительные числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби, т.е. числа после запятой в записи данного числа не повторяются.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Все числа, которые мы изучаем в школе, называются действительными числами. Они образуют множество действительных чисел, которые принято обозначать латинской буквой

В свою очередь все действительные числа можно разделить на 2 группы: рациональные числа и иррациональные числа.

Рациональные числа – это такие числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби , где m —целое число, n — натуральное число , обозначаются буквой Q.

Пример: -3; -0,5; .

Пример: π=3,141592…; 0, 113456… .

Рациональные числа, в свою очередь, можно разделить на 2 вида – это целые числа и дробные числа.

Дробные числа – это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби.

Целые же числа можно разделить еще на несколько групп: отрицательные целые числа, нуль и положительные (натуральные) целые числа.

На числовой оси (Ох) между целыми числами будут находиться дробные иррациональные числа. Все вместе они будут представлять собой множество действительных чисел, R.

Обратите внимание, что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.).

Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.

Числа 4; 4,2; 4,28 и т.д. являются последовательными приближениями значений суммы

Пусть это последовательные приближения действительного числа у с точностью до 1, до 0,1, до 0,01 и т.д. Тогда погрешность приближения как угодно близко приближается к нулю.

при или

Читается «модуль разности у и стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности» или «предел модуля разности у и при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю»

Т.е. если при или

Модуль действительного числа у обозначается как |у| и определяется так же, как и модуль рационально числа:

А теперь давайте вспомним, что такое геометрическая прогрессия.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего (Рисунок 1).

Рисунок 1

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

n=15, ;

n=20, ;

n=21, .

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников. (рисунок 2)

Рисунок 2

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Определение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

Используя данное определение можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию: (Рисунок 3)

Рисунок 3

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна

Если n неограниченно возрастает, то

или . Поэтому , т.е. .

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности

Например, для прогрессии , где ,

имеем

Так как то

Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Пример 1:

Воспользуемся калькулятором:

Найдем значение данного выражения с точностью до единиц.

Округлим полученные результаты до десятых:

Тогда получаем:

Найдем значение данного выражения с точностью до десятых.

Округлим полученные результаты до сотых:

Тогда получаем:

Найдем значение данного выражения с точностью до сотых.

Округлим полученные результаты до тысячных:

Тогда получаем:

и т.д.

Пример 2.

Давайте выясним, является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она задана формулой:

а) ; б)

Решение:

. Найдем q.

;;

Следовательно, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б)

Следовательно, данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Множества чисел (натуральные, целые, рациональные, действительные). Комплексные числа, их свойства и действия над ними. Множество натуральных чисел

N = {1, 2, 3, ……} – множество натуральных чисел.

Обозначим буквой N₀ множество, состоящее из всех натуральных чисел и нуля. Так как через N мы обозначили множество всех натуральных чисел, то можно записать: N₀=N0, NN₀.

Рассмотрим уравнение х+а=b, a,bN₀.

Если аb, то существует единственное число c=baN₀, являющееся решением этого уравнения. Если же a>b, то во множестве N₀ уравнение не имеет решений. Чтобы для любых a,bN₀ существовало решение уравнения, надо расширить множество N₀. Такое расширение осуществляется добавлением к каждому числу а нового элемента, обозначаемого  а, так чтобы в сумме с а получался нуль:

( а)+а=0, а+( а)=0.

Этот новый элемент называется отрицательным числом, противоположным натуральному числу а (или обратным для

a по сложению). Наоборот, положительное число а называется противоположным отрицательному числу -а.

Условимся числа изображать точками на прямой. Нулю соответствует фиксированная точка, называемая начальной или началом. Справа от начала с одинаковыми интервалами между двумя соседними числами, равными единице масштаба, располагаются натуральные числа, а слева от начала — отрицательные числа.

Множество целых чисел

Множество, состоящее из всех натуральных чисел, нуля и всех отрицательных чисел, называется множеством целых чисел и обозначается буквой Z (от немецкого слова «die Zahl» — число). Имеем: NN₀ Z.

Так как на числовой оси меньшее число располагается левее большего, то всякое отрицательное число меньше любого положительного числа и нуля. Запись m<0 означает, что m — отрицательное число.

Во множестве Z уравнение x+a=b

всегда имеет единственное решение: х=b а.

Так как знак минус означает симметрию относительно начала, то

 ( а)=а, а b=а+( b), а (b с)=а b+с.

При умножении справедливы следующие правила знаков:

( а) b=а ( b)=(  а )b, ( а) ( b)=а b.

Правила арифметических действий над отрицательными числами легко выводятся из общих законов арифметических операций: переместительности (коммутативности) и сочетательности (ассоциативности) сложения и умножения, а также распределительности (дистрибутивности) умножения относительно сложения:

а+b=b+а, аb=bа, а+(b+с)=(а+b)+с, а(bс)=(аb)с, а(b+с)=аb+ас.

Отрицательные числа впервые появились в Древнем Китае. Уже в VI-XI веках они систематически употреблялись в Индии при решении задач. Однако, в европейской науке отрицательные числа получили окончательное признание лишь в XVII веке во времена Рене Декарта (1596-1650), давшего геометрическое истолкование чисел как направленных отрезков.

Рациональные числа

Рассмотрим уравнение ах=b, где а,b — целые числа, причем а 0. Если b делится на а без остатка, т.е. b=am, mZ, то во множестве целых чисел исходное уравнение имеет единственное решение х=m. В противном случае это уравнение не имеет решений во множестве Z. Чтобы уравнение имело решение при любых целых а и b при а 0, надо расширить множество Z, добавляя новые элементы , a,bZ, а 0.

Число называется рациональным числом или дробью с числителем b и знаменателем а. Если в рассматриваемое уравнение вместо х подставить , то получится тождество. Два рациональных числа считаются равными, если .

Введение положительных рациональных чисел (дробей) явилось исторически первым расширением понятия натурального числа. Оно было вызвано тем, что не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз. Дробные числа были уже известны в Древнем Египте и Вавилоне. Китайцы и индусы в начале новой эры уже производили над дробями все арифметические действия. Сначала пользовались единичными дробями, т. е. дробями с числителем единица. Дробь определялась как сумма m одинаковых единичных дробей со знаменателем n. Лишь с развитием арифметики как науки о числе стали представлять дроби как отношение двух целых чисел, т.е. . Отсюда и возникло название «рациональное число» от латинского «ratio» — отношение.

Положительная дробь называется правильной, если 0<m<n, т.е. если числитель меньше знаменателя, и неправильной, если m≥n>0. Применяя алгоритм деления, всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

, 0r<n.

Сумму символически записывают в виде и называют смешанной дробью с целой частью q. Дробь со знаменателем единица отождествляется с целым числом, равным числителю, т.е. . Если НОД(m,n)=1, то дробь называется несократимой.

Дробь называется десятичной, если ее знаменатель n является натуральной степенью числа 10. Для десятичной дроби употребляется особый вид записи. Например, вместо , пишут: 0,0213. Дробь же, записанную в виде , где m и n — целые числа, n0, называют обыкновенной.

Десятичные дроби ввел в начале XVв. самаркандский математик аль-Каши, умерший около 1436 г., а в Европе они стали распространяться после выхода книги Симона Стевина (1548-1620) «Десятая» в 1585 г. В этой книге десятичные дроби стали составной частью унификации всей системы мер на десятичной основе.

Десятичные дроби, имеющие после запятой конечное число ненулевых цифр, называются конечными. Для их превращения в обыкновенные или смешанные дроби достаточно записать соответствующий знаменатель 10n, взяв числителем число из цифр после запятой и сохранив целую часть числа, если она есть. Например, число 2,023=2.

Десятичная дробь, имеющая сколь угодно много ненулевых цифр после запятой, называется бесконечной. Бесконечные десятичные дроби разбиваются на два класса — периодические, когда, начиная с некоторого момента, одна и та же группа цифр неограниченно повторяется, а других цифр, кроме этой группы, нет, и непериодические, если не существует такой бесконечно повторяющейся группы цифр после запятой. Повторяющуюся группу цифр в периодической десятичной дроби заключают в круглые скобки. Например, вместо 0,2353535… пишут 0,2(35).

Применяя алгоритм деления числителя на знаменатель, можно представить всякую обыкновенную дробь либо в виде конечной десятичной дроби (если простыми множителями знаменателя являются только двойки или пятерки), либо в виде бесконечной периодической (в остальных случаях). Например, .

Для того, чтобы периодическую десятичную дробь превратить в обыкновенную (или смешанную, если дробь больше единицы), надо в знаменателе дробной части записать слева направо столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей, сколько цифр до периода, а в числителе — разность между натуральным числом из цифр после запятой до второго периода и натуральным числом из цифр после запятой до первого периода.

Для доказательства этого утверждения умножим дробную часть х десятичной периодической дроби сначала на 10^k, где k — число цифр после запятой до второго периода, затем — на 10^h, где h — число цифр до первого периода. Вычитая из первого результата второй, получают справа натуральное число, равное числителю искомой обыкновенной дроби, а слева — указанный в теореме знаменатель, умноженный на данную дробную часть х. Целая же часть числа остается неизменной.

Рассмотрим, например, периодическую десятичную дробь 3,2(15). Здесь дробная часть х=0,2(15), k=3, h=1.

Имеем: 10³х  10х = 215  2. Следовательно, , а значит, .

Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q от латинского слова «quotient» — «частное».

Имеем: NN₀ Z Q.

Арифметические операции — сложение и умножение рациональных чисел удовлетворяют тем же законам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, что и натуральных и целых чисел.

Заметим, что на числовой оси рациональные числа располагаются «всюду плотно», т.е. между любыми точками числовой прямой существует точка, изображающая рациональное число.

Рассмотрим на числовой прямой точку, являющуюся концом отрезка, равного диагонали квадрата, который построен на единичном отрезке этой прямой. Эту точку нельзя задать никаким рациональным числом. Действительно, предположим противное, т.е. что ей соответствует несократимая дробь , где m, n — ненулевые целые числа.

По теореме Пифагора получаем 1²+1²=2=, и далее m²=2n². Следовательно, m², а значит и m — числа четные, т.е. m=2k, kZ. Получаем: (2k)²=2n² Отсюда 2k²=n². Значит, n — тоже число четное, т.е. дробь оказалась сократимой. Пришли к противоречию.

Так как квадрат этого нового числа равен двум, то оно обозначается символом .

Рассмотрим множество всех рациональных чисел, добавив к ним новые элементы, соответствующие тем точкам числовой оси, которые не изображают никакие рациональные числа. Каждый такой элемент называется иррациональным числом (от лат. «irrational» — безрассудный, не определяемый отношением).

Множество всех рациональных и иррациональных чисел образует новое множество, называемое множеством действительных чисел. Оно обозначается буквой R ( от фр. «r ee l» — действительный, реальный).

Всякому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. Наоборот, всякой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число.

Имеем: NN₀ Z Q R.

Пусть х — произвольное действительное число. Откладывая от начала координат единичный отрезок в положительном (при х≥0) или отрицательном (при х<0) направлении, убеждаемся, что существует единственное целое число n такое, что

Если x=n, то процесс закончен. Если же х>n, то, разбивая единичный отрезок на 10 частей и откладывая от точки n в положительном направлении десятые доли, получим:

n,n₁ x< n,(n₁+1).

Продолжая, в случае неравенства, процесс откладывания сотых, тысячных и т.д. частей, убеждаемся, что всякое действительное число либо совпадает с конечной десятичной дробью, либо выражается бесконечной десятичной дробью, лежащей с любой степенью точности между двумя конечными десятичными дробями. При этом конечная и бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, а бесконечная непериодическая десятичная дробь — иррациональным числом.

Операции сложения и умножения иррациональных чисел осуществляются путем предельного перехода результатов соответствующих операций над конечными десятичными дробями, являющимися приближениями исходных чисел. Например, для нахождения суммы составляют монотонно возрастающую ограниченную сверху последовательность десятичных дробей:

1,4+1,7=3,1;

1,41 + 1,73=3,14;

1,414+1,732=3,146;

1,4142+1,7320=3,1462;

1,41421+1,73205=3,14626;

1,414213+1,732050=3,146263,

1,4142135+1,7320508=3,1462643; и т.д. В пределе эта последовательность и дает число .

Арифметические операции над действительными числами удовлетворяют тем же законам ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности, что и над рациональными числами.

Знак минус перед действительным числом означает переход к противоположному числу, изображаемому симметричной относительно начала числовой прямой точкой. Следовательно,

-(-х)=х для любого xR.

Модулем действительного числа х называется число, равное х, если x ≥0, и равное -х, если х<0. Обозначается |х|. Например, |5|=5, |-7|=7, |0|=0. Геометрически модуль х есть расстояние от точки х до начала числовой прямой. Очевидно, |x|>0, |х+y|  |х|+|y|.

Кроме того, (-х)у=х(-у)=-ху, (-х)(-у)=ху .

Научная теория действительных чисел исчерпывающе была разработана немецкими математиками Вейерштрассом(1815-1897) и Дедекиндом(1831-1916).

Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

Содержание

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой Q .

Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

где m – целое число, а n – натуральное число.

При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество вещественных чисел обозначают буквой R .

Иррациональность числа

Проведем доказательство иррациональности числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

удовлетворяющая равенству

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

Используя данное равенство, получаем:

Отсюда вытекает, что число m² является четным числом, а, значит, и число m является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число m является нечетным числом, то найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению

m = 2k + 1 .

Следовательно,

m² = (2k + 1)² =
= 4k² + 4k +1 ,

т.е. m является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число m является четным числом. Значит, найдется такое целое число k , которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

Поэтому,

Отсюда вытекает, что число n² является четным, а, значит, и число n является четным числом.

Итак, число m является четным, и число n является четным, значит, число 2 является общим делителем числителя и знаменателя дроби

Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

не существует. Следовательно, число является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической десятичной дробью.

Последовательностью десятичных приближений числа с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на 1 , то получится десятичное приближение числа с избытком.

Само число располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

Для числа возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

и т.д.

Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

Разница между действительным числом и рациональным числом — Разница Между

Разница Между 2021

Ключевая разница: Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа. Рациональное число — это число, ко

Содержание:

Ключевая разница: Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа. Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем. Рациональные числа являются подмножеством действительных чисел.

Вещественные числа состоят из всех рациональных, а также иррациональных чисел. Система действительных чисел может быть далее разделена на множество подмножеств, таких как натуральные числа, целые числа и целые числа.

Натуральные числа (1, 2, 3,….)

Целые числа (0, 1, 2, 3, 4, 5,…)

Целые числа (… .., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… ..)

Действительное число относится к любому числу, которое можно найти в числовой строке. Числовая линия может быть выражена как фактическая геометрическая линия, где точка выбрана в качестве начала координат. Точки, попадающие в правую сторону от начала координат, считаются положительными числами, а числа, лежащие в левой части от начала координат, считаются отрицательными. Следовательно, они состоят из целых (0, 1, 3, 9, 26), рациональных (6/9, 78,98) и иррациональных чисел (квадратный корень из 3, пи). Бесконечность не попадает в разряд вещественных чисел. Квадратный корень из -1 также не является действительным числом, и поэтому его называют мнимым числом.

Рациональное число — это число, которое определяется отношением, определенным как (p / q), где p обозначает некоторое целое число, а q обозначает некоторое ненулевое натуральное число. Эти числа образуют подмножество действительных чисел. С другой стороны, действительные числа, которые не могут быть выражены как отношение двух целых чисел, называются иррациональными числами. Рациональные числа являются результатом теоретического расчета или определения.

Сравнение между действительным числом и рациональным числом:

	Настоящий номер	Рациональное число
Определение	Вещественное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это может быть любое из рациональных и иррациональных чисел.	Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем.
Номерная строка	Может быть нанесен на номерной линии.	Может быть нанесен на номерной линии
Включает в себя	Это включает (но не ограничивается) положительные и отрицательные числа, целые и рациональные числа, квадратные корни, кубические корни, π (pi) и т. Д.	8, а 8 можно выразить в виде (8/1) 3/4, как это в виде дроби 0/3, как это в виде дроби Квадратный корень из 16, как это было бы 4, и это можно выразить как (4/1) .7777777, все повторяющиеся десятичные дроби рациональны. .12, как это можно выразить как 12/10
Важные моменты для запоминания	Объединение множеств рациональных чисел и иррациональных чисел. Действительные числа включают ноль.	Набор рациональных чисел включает в себя все десятичные дроби, которые имеют либо конечное число десятичных знаков, либо повторяются в том же порядке цифр. Например, 0,1111111… = 1/9 и .245245245…. = 245/999. Набор натуральных чисел является подмножеством набора целых чисел, который содержится в наборе целых чисел, который находится внутри набора рациональных чисел.

Натуральные действительные. Понятие числа. Виды чисел. Обыкновенные и десятичные дроби

Понятие действительного числа: действительное число — (вещественное число), всякое неотрицательное или отрицательное число либо нуль. С помощью действительных чисел выражают измерения каждой физической величины .

Вещественное , или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа .

Множество действительных чисел (обозначается R ) — это множества рациональных и иррациональных чисел собранные вместе.

Действительные числа делят на рациональные и иррациональные .

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой . Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел .

Число, которое возможно записать как отношение, где m — целое число, а n — натуральное число, является рациональным числом .

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример ,

Бесконечная десятичная дробь , это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами .

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Пример ,

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая .

Для числовых множеств используются обозначения:

N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел.

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , т.е.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a 0 — целое положительное число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества {0,1,…9}.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n и ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) для всех n=0,1,2,…

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например , предположим даны 2 положительны числа:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Если a 0 0, то α; если a 0 >b 0 то α>β . Когда a 0 =b 0 переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β , значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n , такой что a n ≠b n . Если a n n , то α; если a n >b n то α>β .

Но при этом нудно обратить внимание на то, что число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда это периодическая десятичная дробь, у которой в периоде стоит 9, то её нужно заменить на эквивалентную запись, с нулем в периоде.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например , суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β , которое удовлетворяет таким условиям:

∀ a′,a′′,b′,b′′ ∈ Q(a′ ⩽ α ⩽ a′′) ∧ (b′ ⩽ β ⩽ b′′) ⇒ (a′+b′ ⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами . В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса:

Первый класс справа называют классом единиц , второй — тысяч , третий — миллионов , четвёртый — миллиардов , пятый — триллионов , шестой — квадриллионов , седьмой — квинтиллионов , восьмой — секстиллионов .

Для удобства чтения записи многозначного числа, между классами оставляется небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 148951784296, выделим в нём классы:

и прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296.

При чтении класса единиц в конце обычно не добавляют слово единиц.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом .

Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа 148 951 784 296, цифра 6 является цифрой первого разряда, 9 — цифра второго разряда, 2 — цифра третьего разряда:

Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами :
единицы называют единицами 1-го разряда (или простыми единицами )
десятки называют единицами 2-го разряда
сотни называют единицами 3-го разряда и т. д.

Все единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами . Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. — составные единицы. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда. Например, сотня содержит 10 десятков, десяток — 10 простых единиц.

Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда , а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда . Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.

Например, требуется узнать, сколько всего сотен содержится в числе 6284, т. е. сколько сотен заключается в тысячах и в сотнях данного числа вместе.

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60. Всего, таким образом, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде. Например, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

172 526 — сто семьдесят две тысячи пятьсот двадцать шесть.
102 026 — сто две тысячи двадцать шесть.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

$\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

$\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число (кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
J – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ — принадлежит и ∉ — не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и &nsup;. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Что такое число? ЧИСЛО — одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1

История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты — древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2

Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4

Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5

Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6

Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8
Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ «Действительные числа» | Учебно-методический материал по математике по теме:

комитет образования и науки Волгоградской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Волжский политехнический техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

«Действительные числа»

Учебная дисциплина: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

Специальности: 23.02.03, 13.02.11, 15.02.07

Курс: 1

Автор: Курлович Елена Павловна, преподаватель первой квалификационной категории;

2016-2017 г.

Введение

Методические указания для выполнения практического занятия «Действительные числа», по дисциплине: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия, созданы в помощь студентам, для успешной работы на занятие и подготовки к данному практическому занятию.

Приступая к выполнению практического задания, студенты должны внимательно прочитать цели занятия, ознакомиться с общими сведения и примерами выполнения заданий, с критериями оценивания работы, ответить на контрольные вопросы для закрепления теоретического материала.

Наличие положительной оценки по практическому занятию необходимо для получения допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие, студенты должны найти время для его выполнения или пересдачи.

Если в процессе подготовки к практическому занятию или при решении задач у студентов возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери 122 кабинета.

Глава 1. Алгебра

Раздел 1. Развитие понятия числа

Практическое занятие 1

Действительные числа

Цели:

знать:

роль математики в современном мире;

понятия о действительных числах.

уметь:

использовать различные правила с действительными числами при решении задач.

Продолжительность занятия: 2 часа

Общие сведения и примеры выполнения заданий:

Обозначение:

N= — множество натуральных чисел

Z= — множество целых чисел

Q= — множество рациональных чисел.

R-множество действительных чисел (рациональных и иррациональных)

ϵ — знак принадлежности.

Например: , , .

Рациональное число (ratio — «отношение», частное).

Всякое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби: 2/5 = 0,4; 23/20 = 1,15;

-1/40= — 0,025; 8/37 = 0,216216216

3) Основное свойство пропорции ,

или или

Пример:

4) Найдите значение выражения

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

6) ;

7) 1

Критерии оценивания работы:

На «3»:

1) Выберите среди данных чисел натуральные, целые, рациональные, иррациональные.

2)Выполните действия: .

На «4»:

3) Найдите неизвестный член пропорции.

На «5»:

4) Найдите значение выражения.

Контрольные вопросы:

Может ли сумма двух рациональных чисел быть иррациональным числом?

Сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом?

Что называется обыкновенной дробью?

Какая дробь называется правильной (неправильной)?

Что называется смешанным числом?

Как перевести смешанное число в обыкновенную дробь?

Какая дробь называется десятичной?

Что называется периодической дробью?

Что называется иррациональным числом?

Что называется множеством действительных чисел?

Каков порядок действий при вычислениях?

Задания для самостоятельной подготовки к практическому занятию:

Задание 1

Выберите среди данных чисел натуральные, целые, рациональные, иррациональные:

Задание 2

Выполнить действия: :

№	A	B
1вариант
2вариант

Задание 3

Найдите неизвестный член пропорции:

1вариант
2вариант

Задание 4

Найдите значение выражения:

1
2

Числовые множества N,Z,Q,R

Текст 1. Числовые множества

N = {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.

Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел. Q = { (m∈Z, n∈ N)} – множество всех рациональных чисел.

R – множество всех действительных чисел.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Задание 1. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте текст 1.

2) Читайте текст. 3) Пишите текст. 4) Выучите текст.

Задание 2. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

1 – натуральное число.

1, 2, 3, … , n, … – натуральные числа.

N= {1; 2; 3; …; n; …} – множество всех натуральных чисел.

1∈ N, 2∈N, 0∉N, – 2 ∉ N.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы:

а) Какой буквой обозначают множество всех натуральных чисел?

б) Какое множество обозначают буквой N? в) Какое самое маленькое натуральное число? г) Какое самое большое натуральное число? д) Сумма двух натуральных чисел – натуральное число? е) Разность двух натуральных чисел – тоже натуральное число?

Задание 3. 1)Смотрите, слушайте и повторяйте:

-2 – целое число.

2; 0; 2 – целые числа.

Z = {… — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3; …} – множество всех целых чисел.

1∈ Z, — 1∈Z, 0∈Z, ½∉Z.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех целых чисел? б) Какое множество обозначают буквой Z? в) Разность двух целых чисел – целое число? г) Частное двух целых чисел – тоже целое число?

Задание 4. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

½ рациональное число.

3½; ⅔; 1,215; 0; — 7 рациональные числа.

Числа вида (m∈Z, n∈N) это рациональные числа. Рациональные числа можно записать в виде (m∈ Z, n∈N). Q = { (m∈Z, n∈N)} – множество всех рациональных чисел.

-1⅔∈Q; 6,723∈Q; 5∈Q; 3 (корень из трёх)∉Q.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех рациональных чисел? б) Какое множество обозначают буквой Q? в) Какие числа называют рациональными? г) Почему числа -1⅔; 6,723; 5 – рациональные?

Задание 5. 1) Смотрите, слушайте и повторяйте:

Если число нельзя записать в виде (m∈Z, n∈N), то это

иррациональное число. 3 = 1, 73205…; — 2 = — 1,41421…;

е = 2,71828…; π (пи) = 3,14159…– иррациональные числа.

Иррациональные числа – бесконечные непериодические

десятичные дроби.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество всех действительных чисел R.

2) Читайте. 3) Пишите. 4) Ответьте на вопросы: а) Какой буквой обозначают множество всех действительных чисел? б) Какое множество обозначают буквой R? в) Какие числа образуют

множество R? г) Какие из следующих чисел действительные: 0; 5⅜;

-9,02; — ; − ; е; 10; 12,5?

Задание 6. Рассмотрите схему и опишите её:

√3

-√2

Задание 7. Поставьте знак Ѓ или ∉:

-2 … Z 4 16 … Z π …R – … R

0 … N 3 …Q – … Q 0,175 … Q

100 … N 5,5 …Q − …R е … R

Задание 8. Выпишите: 1) рациональные числа; 2) иррациональные числа:

25 ; 17 ;

; 0; – 6; — 2 ; 3,6; 0,6666… ; 0,313131… ;

0,272272227… ; 5 .

Задание 9. Выполните действия:

1) N ∩ Z; 2) N U Z; 3) Q ∩ Z; 4) Z U Q; 5) N U R; 6)R∩N;

7) N ∩ Q; 8) R∩ Q; 9) Q U R; 10) Z ∩ Q.

Задание 10. Ответьте на вопросы:

1) Чему равно пересечение множеств рациональных и иррациональных чисел?

2) Чему равно объединение множеств рациональных и иррациональных чисел?

Задание 11. Назовите несколько элементов множества:

1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных

чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел; 8) недействительных чисел.

Задание 12. Скажите, верны или нет следующие утверждения.

Приведите примеры.

1) Целые числа состоят из натуральных чисел, нуля и чисел,

противоположных натуральным. 2) Рациональные числа состоят из

целых чисел и дробей вида

, где р – целое, q – натуральное. q

3) Рациональные числа – это бесконечные периодические десятичные дроби. 4) Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. 5) Действительные числа – это бесконечные десятичные дроби. 6) Квадратный корень из рационального числа всегда иррациональное число.

Слова и словосочетания:

натуральное число действительное число целое число периодическая дробь рациональное число десятичная дробь иррациональное число

Материал взят из книги Начальный курс по математике для студентов-иностранцев подготовительных факультетов (Т.А. Полевая)

Обучение рациональным числам: десятичные дроби, дроби и многое другое

Важным свойством, применимым к действительным, рациональным и иррациональным числам, является свойство плотности . Он говорит, что между любыми двумя действительными (или рациональными, или иррациональными) числами всегда есть другое действительное (или рациональное, или иррациональное) число. Например, между 0,4588 и 0,4589 существует число 0,45887, а также бесконечно много других. Итак, вот все возможные действительные числа:

Реальные числа: Rational

Основной стандарт: под рациональным числом понимается отношение двух целых чисел и точки на числовой прямой.(6 класс)

Рациональные числа: Любое число, которое может быть записано как отношение (или дробь) двух целых чисел, является рациональным числом. Студенты часто спрашивают, являются ли дроби рациональными числами? Ответ — да, но дроби составляют большую категорию, в которую также входят целые числа, завершающие десятичные дроби, повторяющиеся десятичные дроби и дроби.

Целое число можно записать в виде дроби, задав ему знаменатель, равный единице, поэтому любое целое число является рациональным числом.
\ (6 = \ frac {6} {1} \)
\ (0 = \ frac {0} {1} \)
\ (- 4 = \ frac {-4} {1} \) или \ ( \ frac {4} {- 1} \) или \ (- \ frac {4} {1} \)
Конечная десятичная дробь может быть записана как дробь, используя свойства разряда. Например, 3,75 = три и семьдесят пять сотых или \ (3 \ frac {75} {100} \), что равно неправильной дроби \ (\ frac {375} {100} \).
повторяющаяся десятичная дробь всегда можно записать в виде дроби, используя алгебраические методы, которые выходят за рамки данной статьи.Однако важно понимать, что любой десятичный разделитель с одной или несколькими цифрами, который повторяется бесконечно, например \ (2.111 \) … (который может быть записан как \ (2. \ overline {1} \)) или \ ( 0.890890890 \) … (или \ (0. \ overline {890} \)), является рациональным числом. Распространенный вопрос: «Повторяются ли десятичные дроби рациональными числами?» Ответ положительный!

Целые числа: Счетные числа (1, 2, 3, …), их противоположности (–1, –2, –3, …) и 0 являются целыми числами. Распространенная ошибка учащихся 6–8 классов — считать, что целые числа относятся к отрицательным числам.Точно так же многие студенты задаются вопросом, являются ли десятичные дроби целыми числами? Это верно только тогда, когда десятичная дробь заканчивается на «.000 …», как в 3.000 …, что равно 3. (Технически это также верно, когда десятичная дробь заканчивается на «.999 …», поскольку 0,999 … = 1. Это встречается нечасто, но цифра 3 на самом деле может быть записана как 2,999 ….)

Целые числа: Ноль и положительные целые числа являются целыми числами.

Натуральные числа: Этот набор, также называемый счетными числами, включает в себя все целые числа, кроме нуля (1, 2, 3 ,…).

Реальные числа: иррационально

Ключевой стандарт: знайте, что есть числа, которые не являются рациональными. (8 класс)

Иррациональные числа: Любое действительное число, которое нельзя записать в виде дроби, является иррациональным числом. 2 + 3 = 0 \) (решение которого \ (\ pm \ sqrt {3 }я\)).

В некотором смысле комплексные числа обозначают «конец» чисел, хотя математики всегда придумывают новые способы описания и представления чисел. Числа также можно абстрагировать различными способами, включая математические объекты, такие как матрицы и множества. Поощряйте своих учеников быть математиками! Как бы они описали число, которое не входит в число представленных здесь типов чисел? Почему ученый или математик может пытаться это сделать?

***

Ищете программу по математике, которая повысит уверенность учащихся в математике и поможет учащимся использовать рациональные и иррациональные числа? Изучите HMH Into Math , наше основное математическое решение для классов K – 8.

Действительные числа — рациональные, иррациональные, корневые и счетные

Действительное число — это любое число, которое может быть представлено точкой на числовой строке. Числа 3,5, -0,003, 2/3, π и √2 — все действительные числа.

Действительные числа включают рациональные числа, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел , и иррациональные числа, которые не могут. (В приведенном выше списке все числа, кроме пи и квадратного корня из 2, являются рациональными.)

Считается, что первое действительное число, которое было идентифицировано как иррациональное, было открыто пифагорейцами в шестом веке B . С . До этого открытия люди считали, что каждое число может быть выражено как отношение двух натуральных чисел ( отрицательное число еще не было обнаружено). Пифагорейцы, однако, смогли показать, что гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника нельзя точно измерить какой бы то ни было шкалой, какой бы точной она ни измеряла катет.

Чтобы понять, что это означает, представьте числовую линию с начерченным на ней равнобедренным прямоугольным треугольником, как на рисунке 1. Представьте, что длина ног составляет одну единицу.

Пифагорейцы смогли показать, что независимо от того, насколько точно каждая единица была разделена (единообразно), точка P попадет где-то внутри одного из этих подразделений. Даже если бы существовал миллион, миллиард, миллиард и один или любое другое количество однородных подразделений, точка P была бы пропущена каждым из них. Он попадет внутрь подразделения, а не в конец.Точка P представляет собой действительное число, потому что это определенная точка на числовой прямой, но она не представляет собой рациональное число a / b.

Точка P — не единственная иррациональная точка. Квадратный корень из любого простого числа иррационален. То же самое с кубическим корнем или любым другим корнем. Фактически, используя бесконечные десятичные дроби для представления действительных чисел, математик Кантор смог показать, что количество действительных чисел неисчислимо. Бесконечный набор чисел «счетный», если есть способ перечислить их, позволяющий достичь любого конкретного из них, прочитав достаточно далеко вниз по списку.Набор натуральных чисел — это , счетное , потому что обычный процесс подсчета, если он будет продолжаться достаточно долго, приведет к единице к любому конкретному числу в наборе. В случае с иррациональными числами, однако, их так много, что любое мыслимое их перечисление не учитывает по крайней мере одно из них.

У вещественных чисел есть много знакомых подмножеств, которые можно исчислить. К ним относятся натуральные числа, целые числа, рациональные числа и алгебраические числа (алгебраические числа — это те, которые могут быть корнями полиномиальных уравнений с целыми коэффициентами ).Действительные числа также включают числа, которые «не соответствуют ни одному из вышеперечисленных». Это трансцендентное число , и их неисчислить. Пи — это один.

За исключением редких случаев, таких как √2 ÷ √8, вычисления могут выполняться только с рациональными числами. Когда кто-то хочет использовать иррациональное число , такое как π, √3 или e, в вычислении, необходимо заменить его рациональным приближением , таким как 22/7, 1,73205 или 2,718. Результат никогда не бывает точным. Тем не менее, всегда можно подойти к точному ответу в виде действительных чисел настолько близко, насколько это необходимо.Если Рисунок 1. Иллюстрация Hans & Cassidy. Предоставлено Gale Group.

приближение 3,14 для π недостаточно близко для этой цели, тогда можно использовать 3,142, 3,1416 или 3,14159. Каждый дает более близкое приближение.

1.1: Действительные и рациональные числа

Навыки для развития

Объяснение вещественных и рациональных чисел

Набор действительных чисел (обозначаемый \ (\ Re \)) плохо назван. Действительные числа не более или менее реальны — в нематематическом смысле, в котором они существуют — чем любой другой набор чисел, как и набор рациональных чисел (\ (\ mathbb {Q} \)), набор целых чисел (\ (\ mathbb {Z} \)) или набор натуральных чисел (\ (\ mathbb {N} \)).{th} \) века числа были досконально изучены, по крайней мере, так считалось. В конце концов, это были просто числа. Объедините их. Мы называем это добавлением. Если вы добавляете их несколько раз, мы называем это умножением. Аналогично понимались вычитание и деление.

Было (и остается) полезно визуализировать эти вещи более конкретно. Если мы возьмем палку длины \ (2 \) и другую длину \ (3 \) и положим их встык, мы получим длину \ (5 \). Это дополнение. Если мы положим их встык, но под прямым углом, то наши две палки будут иметь длину и ширину прямоугольника с площадью \ (6 \).Это умножение.

Конечно, у измерения длины целыми числами есть ограничения, но их нетрудно исправить. Если у нас есть длина (палка) длиной \ (1 \), а другая — длиной \ (2 \), то мы можем найти другую, длина которой по сравнению с \ (1 \) такая же (имеет ту же пропорцию, что и) поскольку \ (1 \) соответствует \ (2 \). Это число, конечно же, \ (1/2 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Длина стержня.

Обратите внимание, как представление дробей отражает операцию сравнения \ (1 \) с \ (2 \).Это сравнение обычно называется отношением \ (1 \) к \ (2 \), поэтому числа такого типа называются рациональными числами. Множество рациональных чисел обозначается \ (\ mathbb {Q} \) для частных. В начальной школе они представлялись вам как дроби. Как только дроби будут поняты, эта визуализация с использованием отрезков (палочек) естественным образом приводит к их представлению в виде линии с рациональными числами.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Рациональная числовая строка.

Кажется, это работает как визуализация, потому что точки на линии и рациональные числа имеют определенные свойства. Главный из них состоит в том, что между любыми двумя точками на рациональной прямой есть еще одна точка, так же как между любыми двумя рациональными числами есть другое рациональное число.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Пусть \ (a, b, c, d ∈ N \) и найдите рациональное число между \ (a / b \) и \ (c / d \).

Это все очень чисто и удовлетворительно, пока мы не рассмотрим его поближе.Тогда это становится довольно загадочным. Снова рассмотрим рациональные числа \ (a / b \) и \ (c / d \). Если мы будем думать об этом как о длинах, мы можем спросить: « Есть ли третья длина, скажем \ (α \), такая, что мы можем разделить \ (a / b \) на \ (M \) частей, каждая из которых имеет длину \ (α \), а также разделить \ (c / d \) на \ (N \) частей, каждая длиной \ (α \)? «Несколько минут размышлений должны убедить вас, что это то же самое, что и проблема поиска общего знаменателя, поэтому \ (α = \ frac {1} {bd} \) будет работать хорошо. (Подтвердите это сами.)

Вам может быть интересно, из-за чего мы всю эту суету.Очевидно, это всегда так. Фактически, предыдущий абзац дает набросок очень хорошего маленького доказательства этого. Вот теорема и ее доказательство, представленные формально.

Теорема \ (\ PageIndex {1} \)

Пусть \ (a \), \ (b \), \ (c \) и \ (d \) будут целыми числами. Существует такое число \ (α ∈ Q \), что \ (Mα = a / b \) и \ (Nα = c / d \), где \ (M \) и \ (N \) также являются целыми числами.

Проба:

Для доказательства этой теоремы отобразим \ (α \), \ (M \) и \ (N \). Вы обязаны подтвердить, что они действительно работают.Вот они: \ (α = 1 / bd \), \ (M = ad \) и \ (N = cb \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Подтвердите, что \ (α \), \ (M \) и \ (N \), указанные в доказательстве теоремы \ (\ PageIndex {1} \), удовлетворяют требованиям теоремы.

Должно быть ясно, что для того, чтобы все получилось, необходимо, чтобы \ (a \), \ (b \), \ (c \) и \ (d \) были целыми числами. В противном случае \ (M \) и \ (N \) также не будут целыми числами, как требуется.

Отсюда возникает следующий очень глубокий и важный вопрос: существуют ли длины, которые нельзя выразить как отношение двух целых длин? Ответ, конечно, положительный.В противном случае мы бы не задавали вопрос. Обратите внимание, что для таких чисел наше доказательство теоремы \ (\ PageIndex {1} \) неверно (почему бы и нет?).

Один из наиболее известных примеров такого числа — длина окружности с диаметром \ (1 \). Это число обычно обозначается \ (π \). Но круги — чрезвычайно сложные объекты — они кажутся простыми только потому, что так знакомы. Вы можете ожидать, что число \ (π \), возникающее из круга, также будет очень сложным, и это правда.На самом деле \ (π \) — исключительно странное число по ряду причин. Давайте начнем с того, о чем будет немного проще подумать.

Квадраты простые. Два набора параллельных прямых под прямым углом, одинаковой длины. Что может быть проще? Если построить квадрат со сторонами длиной \ (1 \), то его диагональ будет иметь длину \ (\ sqrt {2} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Квадрат.

Это число не может быть выражено как отношение двух целых чисел.То есть это иррационально. Это было известно с древних времен, но до сих пор вызывает недоумение при первом обнаружении. Это кажется настолько нелогичным, что интеллект восстает. « Это не может быть правдой, », — говорится в нем. « Это просто безумие! ”

Тем не менее, это правда, и мы можем доказать, что это правда, следующим образом.

Что произойдет, если мы предположим, что квадратный корень из двух может быть выражен как отношение целых чисел? Мы покажем, что это безвозвратно приводит к выводу, который явно неверен.2 \) тоже четное, поэтому \ (b \) тоже должно быть четным. Но это невозможно. Мы только что пришли к выводу, что \ (a \) и \ (b \) оба четные, и этот вывод следует непосредственно из нашего первоначального предположения, что не более одного из них может быть четным.

Это чушь. В чем наша ошибка? Этого нет ни на одном этапе наших рассуждений. Все было твердо. Проверьте еще раз, чтобы быть уверенным.

Следовательно, наша ошибка должна заключаться в исходном предположении, что \ (\ sqrt {2} \) можно выразить дробью. Следовательно, это предположение должно быть ложным.Другими словами, \ (\ sqrt {2} \) нельзя так выразить.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Покажите, что каждое из следующих чисел иррационально:

\ (\ sqrt {3} \)
\ (\ sqrt {5} \)
\ (\ sqrt [3] {2} \)
\ (я (= \ sqrt {-1}) \)
Квадратный корень из каждого положительного целого числа, не являющегося квадратом целого числа.

Тот факт, что \ (\ sqrt {2} \) не является рациональным, симпатичен и интересен, но если, как пифагорейцы Древней Греции, у вас нет твердого религиозного убеждения, что все числа рациональны, это не кажется очень важным. .{\ sqrt {2}} \)? Имеет ли это вообще какое-то значение.

Чем больше вы думаете об этом, тем более загадочным становится существование иррациональных чисел. Предположим, например, мы пересматриваем построение отрезка длины \ (\ sqrt {2} \). Понятно, что строительство идет, и такой отрезок мы действительно можем построить. Это существует.

Повторите построение, но на этот раз положим основание на рациональную линию.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Построение отрезка прямой длиной \ (\ sqrt {2} \) со стороной основания на рациональной прямой.

Мы знаем, что диагональ этого квадрата равна \ (\ sqrt {2} \), как указано. И мы знаем, что \ (\ sqrt {2} \) не рациональное число.

Теперь оставьте диагональ закрепленной в точке \ ((0,0) \), но позвольте ей повернуться вниз так, чтобы она совпадала с осью \ (x \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Диагональ повернута вниз, чтобы совпадать с осью x.

Конец нашей диагонали очерчивает дугу окружности с радиусом \ (\ sqrt {2} \).Когда диагональ совпадает с осью \ (x \), ее конечной точкой, очевидно, будет точка \ ((\ sqrt {2}, 0) \), как показано.

Но подождите! Мы используем прямую с рациональными числами для нашей оси \ (x \). Это означает, что единственные точки на оси \ (x \) — это те, которые соответствуют рациональным числам (дробям). Но мы знаем, что \ (\ sqrt {2} \) не рационально! Вывод: точки \ ((\ sqrt {2}, 0) \) нет. Его просто не существует.

Иными словами, прямо там, где должно быть \ (\ sqrt {2} \), есть дыра в строке рациональных чисел.Это странно!

Напомним, что между любыми двумя рациональными числами всегда есть другое. Этот факт заставил нас сначала представить рациональные числа линией.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Рациональная числовая строка.

Но это еще хуже. Несложно показать, что \ (\ sqrt {3} \), \ (\ sqrt {5} \) и т. Д. Тоже иррациональны. То же самое и \ (π \) и \ (e \), хотя их не так просто показать. Кажется, что в рациональной линии есть куча дырок.Бесконечно много. И все же верна следующая теорема.

Теорема \ (\ PageIndex {2} \)

Между любыми двумя различными действительными числами стоит рациональное число.
Между любыми двумя различными действительными числами стоит иррациональное число.

Обе части этой теоремы основаны на разумном использовании того, что сейчас называется Архимедовым свойством системы действительных чисел, которое формально можно сформулировать следующим образом.

Собственность Архимеда

Для любых двух положительных действительных чисел \ (a \) и \ (b \) существует положительное целое число \ (n \) такое, что \ (na> b \).

Физически это говорит о том, что мы можем опорожнить океан \ (b \) чайной ложкой a, при условии, что мы готовы использовать чайную ложку большое количество раз \ (n \).

Это настолько интуитивно понятная концепция, что ее легко принять без доказательств. До изобретения математического анализа и даже в течение некоторого времени после этого это просто предполагалось. Однако по мере того, как основные проблемы, связанные с концепциями исчисления, были поняты и решены, мы в конечном итоге привели к более глубокому пониманию сложности системы действительных чисел.Свойство Архимеда больше не воспринимается как недоказанная аксиома, а, скорее, теперь понимается как следствие других аксиом. Мы покажем это позже, а пока мы примем это как очевидную истину, как это сделал Архимед.

С изобретением математики математики семнадцатого века начали использовать объекты, которые не удовлетворяли свойству Архимеда (фактически, Архимед тоже). Как мы увидим в следующей главе, когда Лейбниц писал первую статью о своей версии исчисления, он следовал этой практике, явно изложив правила манипулирования бесконечно малыми величинами (бесконечно малыми).Это были реальные числа, которые не равны нулю и все же меньше любого действительного числа. Он использовал следующие обозначения: \ (dx \) (бесконечно малое смещение в направлении \ (x \)) и \ (dy \) (бесконечно малое смещение в направлении \ (y \)). Эти символы должны быть вам знакомы. Это те же символы \ (dy \) и \ (dx \), используемые для образования производного символа \ (\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} \), который вы узнали в математике.

Математики семнадцатого и восемнадцатого веков добились удивительного научного и математического прогресса, эксплуатируя эти бесконечно малые величины, хотя они изначально вызывали подозрения.{-1000} \), что очень странно.

Когда на первый план вышли фундаментальные проблемы, infinityimals несколько потеряли популярность. Вы, вероятно, не слишком часто использовали их в расчетах. В большинстве случаев вы, вероятно, использовали простое обозначение \ (f ‘(x) \), введенное Лагранжем в восемнадцатом веке. Вот некоторые из тем в этой книге: почему дифференциалы вышли из моды, чем они были заменены и как со временем эволюционировали современные обозначения, которые вы изучили в математике.

В заключение, помимо Архимедовой собственности, в двадцатом веке логик Авраам Робинсон пересмотрел идею бесконечных малых величин.{th} \) века существование бесконечно малых чисел было, мягко говоря, шатким. Однако это не помешало математикам успешно использовать эти бесконечно малые количества.

Мы вернемся к этой саге в следующих главах, а пока вернемся к теореме \ (\ PageIndex {2} \).

Набросок доказательства теоремы \ (\ PageIndex {2} \)

Мы опишем доказательство части (a) теоремы \ (\ PageIndex {2} \) и укажем, как ее можно использовать для доказательства части (b).

Пусть \ (α \) и \ (β \) — действительные числа с \ (α> β \). Есть два случая.

Случай 1: \ (α — β> 1 \). В этом случае есть хотя бы одно целое число между \ (α \) и \ (β \). Поскольку целые числа рациональны, мы закончили.
Случай 2: \ (α — β ≤ 1 \). В этом случае по свойству Архимеда существует натуральное число, скажем \ (n \), такое, что \ (n (α — β) = nα — nβ> 1 \). Теперь между \ (nα \) и \ (nβ \) будет целое число. Теперь вы сможете найти рациональное число между \ (α \) и \ (β \).

Для части (b) разделите \ (α \) и \ (β \) на любое положительное иррациональное число и примените часть (a). Следует помнить о нескольких деталях. Они рассматриваются в следующей задаче.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Докажите, что произведение ненулевого рационального числа и иррационального числа иррационально.
Превратите изложенные выше идеи в доказательство теоремы \ (\ PageIndex {2} \).

С практической точки зрения существование иррациональных чисел не очень важно.В свете теоремы \ (\ PageIndex {2} \) любое иррациональное число можно сколь угодно точно аппроксимировать рациональным числом. Поэтому, если мы проектируем мост и требуется \ (\ sqrt {2} \), мы просто используем вместо него \ (1.414 \). Введенная ошибка меньше \ (0,001 = 1/1000 \), поэтому, вероятно, это не имеет значения.

Но с теоретической точки зрения это ужасно. Когда было изобретено исчисление, рациональные числа внезапно перестали соответствовать задаче обоснования концепций и операций, с которыми нам нужно было работать.

Ньютон явно основал свою версию исчисления на предположении, что мы можем думать о переменных величинах как о порождаемых непрерывным движением. Если в нашей системе счисления есть дыры, такое непрерывное движение невозможно, потому что у нас нет возможности перепрыгнуть через промежутки. Итак, Ньютон просто постулировал, что дыр нет. Он заполнил отверстие, где должно быть \ (\ sqrt {2} \). Он просто сказал: да, там есть номер под названием \ (\ sqrt {2} \), и он проделал то же самое со всеми остальными отверстиями.{th} \) века свойства действительной системы счисления (\ (\ mathbb {R} \)) как расширения системы рациональных чисел (\ (\ mathbb {Q} \)) были хорошо изучены. Вот обе системы, изображенные в виде линий:

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Реальные и рациональные системы счисления.

Впечатляет, не правда ли? Причина, по которой они похожи друг на друга, за исключением меток \ (\ mathbb {R} \) и \ (\ mathbb {R} \), конечно, заключается в том, что наша способность рисовать эскизы изучаемых объектов совершенно не работает, когда мы попробуйте набросать \ (\ mathbb {R} \) в отличие от \ (\ mathbb {Q} \).Все отверстия в \ (\ mathbb {R} \) действительно есть, но не отверстия упакованы вместе так плотно, что мы не можем разделить их на чертеже. Эта неспособность рисовать изучаемые объекты будет частым источником разочарования.

Конечно, это не помешает нам рисовать зарисовки. Когда мы это делаем, наше воображение спасет нас, потому что можно представить \ (\ mathbb {Q} \) отличным от \ (\ mathbb {R} \). Но откажитесь от мысли, что эскиз — это точное изображение чего-либо.В лучшем случае наши наброски будут лишь подспорьем для воображения.

Итак, на этом этапе мы просто предположим существование действительных чисел. Мы также будем предполагать, что они обладают всеми привычными нам свойствами. Это вполне приемлемо, если мы делаем наши предположения явными. Однако нам нужно знать, что до сих пор существование и свойства действительных чисел — это предположение, которое не было логически выведено. Каждый раз, когда мы делаем предположение, мы должны быть готовы либо полностью отказаться от него, если мы обнаружим, что оно приводит к бессмысленным результатам, либо пересмотреть предположение в свете этих результатов, чтобы увидеть, сможем ли мы найти другое предположение, которое включает в себя Во-первых, и объясняет (по-видимому) бессмысленные результаты.

Что такое действительные числа? Рациональные, иррациональные, натуральные и целые числа

Что такое действительные числа? Когда вы впервые учитесь математике с числами, вы никогда не задумываетесь о том, какие «типы» чисел вы используете. Вы просто складываете 2 плюс 2 или вычитаете 10 из 20, а затем начинаете умножать (-3) раз (-5) (см. Здесь «Умножение целых чисел») и другие, более сложные функции. Вы даже не подозреваете, что все числа, с которыми вы играете, на самом деле принадлежат определенному набору чисел.И этот набор чисел называется действительными числами. Позже (намного позже) вы, возможно, начнете изучать другие наборы чисел, такие как мнимые числа … но это совсем другой урок, который мы отложим для другого дня.

Итак, что такое реальное число? Проще говоря, вещественное число — это любое число, которое можно выразить в десятичной форме . Это числа, которые вы используете каждый день в домашнем задании по математике, а также в лабораториях, офисах и на производстве.Как я уже сказал, вы даже не подозреваете, что все время использовали вещественные числа.

Набор действительных чисел часто обозначается довольно причудливой заглавной буквой R, например:.

Если мы думаем о нашем наборе действительных чисел как о числах, которые могут быть выражены в виде десятичной дроби, мы можем аналогичным образом думать о них как о представленных в числовой строке. Таким образом, легко увидеть, что действительные числа включают в себя все числа в числовой строке, независимо от того, положительные они, отрицательные или нулевые.

Теперь, если мы продолжим думать о числовой прямой, мы можем далее разбить наш набор действительных чисел на другие категории.

Одна категория — это числа Rational , которые представляют собой любые числа, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел, знаменатель которых не равен нулю (например, 5 (5/1), 2/3 (0,6666…) или 0,87934 что на самом деле 87934/100000…). Целые числа, представленные галочками, — это Целые числа . А сами целые числа состоят из натуральных чисел , которые являются вашими обычными «счетными числами» (0, 1 яблоко, 2 яблока, 3 яблока) и их отрицательными числами.

Конечно, если есть рациональные числа, у нас также должно быть иррациональное число . Иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел, поэтому их десятичная форма может быть бесконечной без повторения. Квадратные корни иногда бывают иррациональными (например, квадратный корень из 2), как и числа пи и е (если вы еще этого не сделали, вы узнаете об этих специальных числах позже).

Итак, вкратце, что такое действительное число? Это набор чисел, которые можно разбить на несколько категорий.Рациональные числа — это все числа, которые могут быть представлены в виде простой дроби или повторяющейся десятичной дроби. Иррациональные числа — это все числа, десятичные дроби которых продолжаются бесконечно, не повторяясь. Вместе рациональные и иррациональные числа полностью заполняют нашу числовую строку и образуют набор действительных чисел.

Надеюсь, это имеет смысл и отвечает на вопрос, который так много студентов приходят сюда в поисках: «Что такое действительные числа?» Кроме того, я надеюсь, что это даст вам более глубокое понимание чисел, с которыми вы всегда знали, как работать в любом случае! 🙂

Узнайте о натуральных числах, целых числах и целых числах

В математике вы встретите много ссылок на числа.Числа можно разделить на группы, и поначалу это может показаться несколько запутанным, но если вы будете работать с числами на протяжении всего обучения математике, они скоро станут для вас второй натурой. Вы услышите, как вам бросают различные термины, и вскоре вы сами будете использовать эти термины очень хорошо. Вы также скоро обнаружите, что некоторые числа будут принадлежать более чем одной группе. Например, простое число — это также целое и целое число. Вот разбивка того, как мы классифицируем числа:

Натуральные числа

Натуральные числа — это то, что вы используете, когда считаете объекты один к одному.Вы можете считать гроши, кнопки или куки. Когда вы начинаете использовать 1,2,3,4 и так далее, вы используете счетные числа или, чтобы дать им надлежащее название, вы используете натуральные числа.

Целые числа

Целые числа легко запомнить. Это не дроби и не десятичные дроби, это просто целые числа. Единственное, что отличает их от натуральных чисел, — это то, что мы включаем ноль, когда говорим о целых числах. Однако некоторые математики также включают ноль в натуральные числа, и я не собираюсь спорить с этим.Я приму оба варианта, если будет представлен разумный аргумент. Целые числа — 1, 2, 3, 4 и так далее.

Целые числа

Целые числа могут быть целыми числами или целыми числами со знаком минус перед ними. Люди часто называют целые числа положительными и отрицательными числами. Целые числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 и так далее.

Рациональные числа

Рациональные числа состоят из целых чисел, дробей и десятичных знаков. Теперь вы можете видеть, что числа могут принадлежать более чем к одной классификационной группе.Рациональные числа также могут иметь повторяющиеся десятичные дроби, которые вы увидите, записанные так: 0,54444444 … что просто означает, что оно повторяется вечно, иногда вы увидите линию, проведенную над десятичным знаком, что означает, что оно повторяется бесконечно, вместо того, чтобы иметь .. .., над последним числом будет нарисована линия.

Иррациональные числа

Иррациональные числа не включают целые числа ИЛИ дроби. Однако иррациональные числа могут иметь десятичное значение, которое продолжается бесконечно БЕЗ шаблона, в отличие от приведенного выше примера.Примером хорошо известного иррационального числа является пи, которое, как мы все знаем, равно 3,14, но если мы посмотрим на него глубже, на самом деле это 3,14159265358979323846264338327950288419 … и это примерно 5 триллионов цифр!

Реальные числа

Вот еще одна категория, в которую подойдут другие классификации чисел. Действительные числа включают натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Действительные числа также включают дробные и десятичные числа.

Таким образом, это базовый обзор системы классификации чисел, поскольку вы переходите к продвинутой математике, вы столкнетесь с комплексными числами. Я оставлю это на том, что комплексные числа бывают действительными и мнимыми.

Разница между действительным числом и рациональным числом

Ключевое отличие: Действительное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке. Это могут быть любые рациональные и иррациональные числа. Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем.Рациональные числа — это подмножество действительных чисел.

Действительные числа состоят как из рациональных, так и из иррациональных чисел. Систему действительных чисел можно разделить на множество подмножеств, таких как натуральные числа, целые числа и целые числа.

Натуральные числа (1, 2, 3,….)

Целые числа (0, 1, 2, 3, 4, 5,…)

Целые числа (… .., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… ..)

Действительное число относится к любому числу, которое можно найти в числовой строке. Числовая линия может быть выражена как фактическая геометрическая линия, в которой точка выбрана в качестве начала координат.Точки, которые попадают в правую часть начала координат, считаются положительными числами, тогда как числа, лежащие в левой части начала координат, считаются отрицательными. Следовательно, они состоят из целых (0, 1, 3, 9, 26), рациональных (6/9, 78,98) и иррациональных чисел (квадратный корень из 3, пи). Бесконечность не относится к разряду действительных чисел. Квадратный корень из -1 также не является действительным числом, поэтому его называют мнимым числом.

Рациональное число — это число, которое определяется соотношением, определяемым как (p / q), где p обозначает некоторое целое число, а q обозначает ненулевое натуральное число.Эти числа образуют подмножество действительных чисел. С другой стороны, действительные числа, которые нельзя выразить как отношение двух целых чисел, называются иррациональными числами. Рациональные числа являются результатом теоретических расчетов или определений.

Сравнение действительного числа и рационального числа:

	Реальный номер	Рациональное число
Определение	Действительное число — это число, которое может принимать любое значение в числовой строке.Это может быть любое из рациональных и иррациональных чисел.	Рациональное число — это число, которое может быть выражено в виде дроби, но с ненулевым знаменателем.
Номерная строка	Может быть нанесен на числовую прямую.	Может быть нанесен на числовую линию
Включает	Это включает (но не ограничивается) положительные и отрицательные, целые и рациональные числа, квадратные корни, кубические корни, π (pi) и т. Д.	8, так как 8 может быть выражено в виде (8/1) 3/4, так как в дробной форме 0/3, как дробная форма Квадратный корень из 16, как это было бы 4, и это можно выразить как (4/1) .7777777, все повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными. .12, как это можно выразить как 12/10
Важные моменты, которые следует запомнить	Объединение множеств рациональных чисел и иррациональных чисел. Действительные числа включают ноль.	Набор чисел Rational включает все десятичные дроби, которые имеют либо конечное количество десятичных разрядов, либо повторяются в одном и том же шаблоне цифр. Например, 0,1111111… = 1/9 и .245245245…. = 245/999. Набор натуральных чисел — это подмножество набора целых чисел, которое содержится в наборе целых чисел, который находится внутри набора рациональных чисел.

Классификация чисел Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа.

Презентация на тему: «Классификация чисел Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}} @media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}} @media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}} ]]>

1 Классификация чисел Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа

2 Натуральные числа состоят из любого положительного числа, не имеющего дробных частей.В этот набор не входит ноль. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа

3 Целые числа состоят из любого положительного числа, не имеющего дробных частей. В этот набор входит ноль. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа

4 Целые числа — это целые числа, положительные и отрицательные.В этот набор также входит ноль. …, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа

5 Рациональные числа включают в себя все целые числа, а также завершающие и повторяющиеся десятичные дроби, дроби и смешанные числа. …, -3, -2,75, -2, -1, 0, ½, .7, 1, 2, 3, 3,5… Дроби Смешанные числа Отрицательные числа

6 Рациональные числа включают как целые, так и целые числа.Целые числа Целые числа Рациональные натуральные числа

7 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 2) -4 3) 2,75 4) .3 5) 25 6) -2½

8 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4 3) 2.75 4) .3 5) 25 6) -2½

9 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 4) .3 5) 25 6) -2½

10 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2.75рациональный 4) .3 5) 25 6) -2½

11 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 рациональный 4) .3 рациональный 5) 25 6) -2½

12 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен.1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 рациональный 4) .3 рациональный 5) 25 целых, целых, рациональных 6) -2½

13 Классифицируйте каждое число как целое, целое или рациональное. Каждому номеру можно дать несколько имен. 1) .7 рациональный 2) -4целый, рациональный 3) 2,75 рациональный 4) .3 рациональный 5) 25 целых, целых, рациональных 6) -2½ рациональных

14 Что не является рациональным числом

15 Эти цифры иррациональны.Это неповторяющиеся десятичные дроби. = 3,141592653… = 1,414213562… = 2,23606797… Примечание. Это квадратные корни из неполных квадратов.

16 Набор рациональных чисел и иррациональных чисел составляют набор действительных чисел. Целые числа Рациональные Целые Иррациональные Действительные числа Натуральные числа

17 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.1) 2) 3) -6 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)

18 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) 3) -6 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)

19 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)

20 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)

21 год Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) рациональное 5) 2,4545454545… 6) 7,25 7) 8)

22 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) рациональное 5) 2.4545454545… рациональное 6) 7,25 7) 8)

23 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным. 1) рациональное 2) иррациональное 3) -6 рациональное 4) рациональное 5) 2,4545454545… рациональное 6) 7,25 рациональное 7) 8)

24 Решите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.

Урок 15. действительные числа — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Множества чисел (натуральные, целые, рациональные, действительные). Комплексные числа, их свойства и действия над ними. Множество натуральных чисел

Множество целых чисел

Рациональные числа

Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

Содержание

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Иррациональность числа

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Разница между действительным числом и рациональным числом — Разница Между

Содержание:

Натуральные действительные. Понятие числа. Виды чисел. Обыкновенные и десятичные дроби

Теория бесконечных десятичных дробей.

Противоположные числа

Целые числа

Дробные числа

Рациональные числа

Действительные числа

Запись числовых множеств

Изображение числовых множеств на координатной прямой

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ «Действительные числа» | Учебно-методический материал по математике по теме:

Числовые множества N,Z,Q,R

Обучение рациональным числам: десятичные дроби, дроби и многое другое

Реальные числа: Rational

Реальные числа: иррационально

Действительные числа — рациональные, иррациональные, корневые и счетные

1.1: Действительные и рациональные числа

Что такое действительные числа? Рациональные, иррациональные, натуральные и целые числа

Узнайте о натуральных числах, целых числах и целых числах

Натуральные числа

Целые числа

Целые числа

Рациональные числа

Иррациональные числа

Реальные числа

Разница между действительным числом и рациональным числом

Классификация чисел Натуральные числа Целые числа Целые числа Рациональные числа Иррациональные числа Действительные числа.

Добавить комментарий Отменить ответ