2. Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные между собой дроби.
Например, множество дробей — это один класс, множество дробейэто другой класс и т.д.
Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби — это различные записи одного и того же положительного рационального числа.
Определение. Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.
Например, о дроби мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: — это рациональное число
Множество
всех положительных рациональных чисел
принято обозначать символом Q+.
Определим на этом множестве отношение
равенства.
Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью , а положительное рациональное число b другой дробью , то а = b тогда и только тогда, когда тq = пр.
Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.
Выясним
теперь, как определяются арифметические
действия с положительными рациональными
числами.
Пусть при некотором единичном отрезке е длина отрезка х выражается дробью , а длина отрезка у — дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков х и у. Тогда n-ая часть отрезка е укладывается в отрезке z m+р раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью . Поэтому полагают, что +=.
Определение. Если положительное рациональное число а представлено дробью, а положительное рациональное число b — дробью,то их суммой называется число а + b, которое представляется дробью , т.е. += (1)
Можно
доказать, что при замене дробей и ,
представляющих числа а и
b,
равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому
сумма рациональных чисел не зависит от
выбора представляющих их дробей.
В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).
Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,
(а, b Q+) а + b= b + а;
(
а, b, с Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с) Прежде
чем сформулировать определение умножения
положительных рациональных чисел,
рассмотрим следующую задачу: известно,
что длина отрезка Х выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного
отрезка измерена при помощи единицы Е1 и выражается дробью
. Как найти число, которым будет представлена
длина отрезка X, если измерить ее при
помощи единицы длины Е1?
Так
как Х=Е,
то nХ=mЕ,
а из того, что Е =Е1 следует, что qЕ=рЕ1.
Умножим первое полученное равенство
на q,
а второе – на m.
Тогда (nq)Х
= (mq)Е
и (mq
)Е= (mр)Е1,
откуда (nq)X=
(mр)Е
Определение. Если положительное число а представлено дробью, а положительное рациональное число b дробью , то их произведением называется число а b , которое представляется дробью.
Умножение
положительных рациональных чисел коммутативно,
ассоциативно и дистрибутивно относительно
сложения и вычитания. Доказательство
этих свойств основывается на
определении умножения
и сложения положительных рациональных
чисел, а также на соответствующих
свойствах сложения и умножения натуральных
чисел.
Определение. Пусть а и b — положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.
В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а> b.
Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.
1.
Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т. е.
является отношением порядка, а множество
Q+ упорядоченным множеством.
2.
Если рациональные числа а и
b
представлены дробями
3. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а <b в том и только в том случае, когда т q < nр.
4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.
5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.
6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
Вычитание
положительных рациональных чисел
определяется как операция, обратная
сложению, т.е. это такая операция, которая
удовлетворяет условию: а —
b
= с тогда и только тогда, когда а = b
+ с.
Разность а — b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а — b существует, то она единственна.
Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и , где т < р : /
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а:b=с тогда и только тогда, когда а = bс.
Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробямии : .
Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
Положительные и отрицательные числа.
Координаты на прямой / Рациональные числа / Справочник по математике 5-9 класс- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Рациональные числа
- Положительные и отрицательные числа. Координаты на прямой
Рассмотрим горизонтальную прямую МN и отметим на этой прямой точку О. Точку О называют началом отсчета, ей соответствует число 0 и она разбивает прямую MN на два дополнительных луча: ОМ и ОN. Отметим на луче ОN точку А, которой соответствует число +1, т.е. зададим единичный отрезок. Тогда положение точки на каждом из лучей задается ее координатой. Чтобы отличать друг от друга координаты на этих лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «+», т.е. луч ОN задает положительное направление, а перед координатами на другом луче знак » — «, т.е. луч ОМ задает отрицательное направление. Положительное направление указывают стрелкой.
Числа, которые пишут со знаком «+», например, +2; +4,5; +, но обычно для краткости в записи этот знак не пишут, т.е. вместо +2; +4,5; +, пишут просто 2; 4,5; , называют положительными. Числа, которые пишут со знаком » — «, например, -3; -7,2; -, называют отрицательными (если число отрицательное, то знак » — » писать обязательно).
Определение:
| Координатная прямая — это прямая, на которой задано начало отсчета, единичный отрезок и направление. |
На рисунке выше прямая МN — координатная прямая, т.к. на ней задано начало отсчета — точка О, единичный отрезок ОА и направление — вправо.
Число 0 не является ни положительным числом, ни отрицательным числом
Прямые могут находится в различных положениях, поэтому дополнительные лучи могут идти не только влево и вправо, но и в других направлениях. Самые распространенные направления дополнительных лучей: влево и вправо, когда прямая расположена горизонтально (рисунок выше), вверх и вниз, когда прямая расположена вертикально (рисунок ниже).
Определение:
| Координата точки — число, показывающее положение точки на прямой. |
На рисунке выше изображена горизонтальная координатная прямая с началом отсчета О и единичным отрезком ОА. Точка В изображает число -1, значит, точка В имеет координату -1, записывают так: В(-1). Аналогично можно записать: А(1), D(), М(), Р(2), С(-1,5), К(-2).
Точки Р и К изображают числа 2 и — 2 соответственно. Эти точки лежат по разные стороны от начала отсчета, но на одинаковом расстоянии от него. Числа 2 и -2 называют противоположными.
Определение:
| Противоположные числа — это два числа, которые отличаются друг от друга только знаками. |
Например, противоположными будут: 8 и -8; 3,4 и -3,4; и -. Для каждого числа есть только одно число противоположное ему. Число 0 противоположно самому себе.
Выражение означает, что записано число, противоположное числу . Приписав перед число знак » — «, например к положительному числу 10, получим противоположное ему число -10. Так же с помощью знака » — » из отрицательного числа -10 можно получить противоположное ему число 10, т.е. -(-10) = 10. В общем виде можем записать: . Обратите внимание, скобки при записи обязательны, запись не имеет смысла.
Определение:
| Целые числа — это все натуральные числа, противоположные им числа и ноль. |
Числа -25, 0, 14 — целые числа, числа ; -2,5; — не являются целыми, их называют дробными числами. Вместе целые и дробные числа образуют рациональные числа.
Обратите внимание, разные координатные прямые могут иметь разные единичные отрезки, так, на рисунке ниже, координатная прямая АВ имеет единичный отрезок, равный 1 клетке, прямая РК имеет единичный отрезок, равный 2 клетки, а прямая МN имеет единичный отрезок, равный 3 клетки.
Изменение величин
| Увеличение любой величины можно выразить положительными числами, а уменьшение — отрицательными. |
Примером изменения величины может служит изменение температуры в течение дня. Рассмотрим как изменялись показания термометров в течение дня:
Утром температура воздуха была 2°С, днем — 5°С, вечером — 0°С. То есть за первую половину дня температура повысилась на 3°С, а к вечеру понизилась на 5°С. Учитывая вышесказанное, мы можем выразить первое изменение — повышение температуры — положительным числом 3°С, при этом говорим, что изменение температуры равно 3°С или +3°С. Второе изменение — понижение температуры — отрицательным числом -5°С, при этом говорим, что изменение температуры равно -5°С.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Советуем посмотреть:
Модуль числа
Рациональные числа
Сравнение рациональных чисел
Сложение рациональных чисел
Вычитание рациональных чисел
Умножение рациональных чисел
Деление рациональных чисел
Свойства действий с рациональными числами
Раскрытие скобок
Решение уравнений
Рациональные числа
Правило встречается в следующих упражнениях:
5 класс
Задание 4, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2
6 класс
Номер 876, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 955, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 3, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1079, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Задание 984, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1052, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1087, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1178, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1347, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
Задание 1512, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник
7 класс
Номер 36, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 193, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 318, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 370, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 419, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 612, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 682, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 936, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1204, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
8 класс
Номер 11, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 12, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 21, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Положительные рациональные числа — определение, обратные числа и примеры
Положительные рациональные числа — это числа, у которых и числитель, и знаменатель являются целыми положительными или отрицательными числами. Другими словами, рациональное число положительно, если и числитель, и знаменатель имеют одинаковый знак. В этом уроке давайте подробно узнаем о положительных рациональных числах.
| 1. | Что такое положительные рациональные числа? |
| 2. | Символы положительных рациональных чисел |
| 3. | Положительные рациональные числа меньше 1 |
| 4. | Обратное значение положительного рационального числа |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о положительных рациональных числах |
Что такое положительные рациональные числа?
Положительные рациональные числа относятся к рациональным числам, когда их числитель и знаменатель оба положительны или оба отрицательны. Примеры положительных рациональных чисел: 3/8, 9./10, -34/-40 и т. д. С другой стороны, существуют отрицательные рациональные числа с противоположными знаками в числителе и знаменателе, например -4/15, 5/-6, -17/19 и т. д.
Положительное рациональное число против отрицательного рационального числа
Ниже приведены точки различия между положительным и отрицательным рациональным числом,
| Положительное рациональное число | Отрицательное рациональное число |
|---|---|
| И числитель, и знаменатель имеют одинаковые знаки. | И числитель, и знаменатель имеют противоположные знаки. |
| Примеры — 3/4, 6/7, 8/11 и т. д. | Примеры — -3/4, -6/7, -8/11 и т. д. |
| Числа больше 0. | Числа меньше 0. |
| Представлен справа от 0 на числовой прямой. | Представляется слева от 0 на числовой прямой. |
Символ положительных рациональных чисел
Мы знаем, что множество рациональных чисел обозначается символом Q. Рациональные числа классифицируются как положительные, нулевые или отрицательные рациональные числа. Положительные рациональные числа характеризуются тем, что они имеют одинаковые знаки числителя и знаменателя, либо оба положительные, либо оба отрицательные.
Положительные рациональные числа меньше 1
Положительные рациональные числа меньше 1 следующие: 1/9=0,11, 1/8=0,12, 1/7=0,14, 1/6=0,16, 1/5=0,2, 1/4=0,25, 1/3=0,33, 1/2= 0,5, 2/7=0,28, 2/5=0,4, 2/3=0,66, 3/7=0,42, 3/5=0,6, 3/4=0,75, 4/5=0,8 и т. д.
Вышеупомянутые 15 положительных рациональных чисел — это числа, значения которых меньше 1, а сумма числителя и знаменателя не превышает 10.
Обратное значение положительного рационального числа
Обратная величина положительного рационального числа только положительна. Согласно обратному определению, обратное число относится к выражению, которое при умножении на число дает произведение, равное 1. Другими словами, когда произведение двух чисел равно 1, говорят, что они обратны друг другу. Таким образом, величина, обратная положительному рациональному числу, только положительна.
Статьи по теме
Ознакомьтесь с еще несколькими интересными статьями, посвященными положительным рациональным числам.
- Десятичное представление иррациональных чисел
- Иррациональные числа
- Рационализировать знаменатель
- Является ли пи рациональным или иррациональным числом
Примеры положительных рациональных чисел
Пример 1: Определите, является ли 7 положительным рациональным числом.
Решение:
7 можно выразить в виде соотношения, такого что 7 = 7/1, где и числитель, и знаменатель, т. е. 7 и 1 — положительные целые числа.
Следовательно, 7 — положительное рациональное число.
Пример 2: Является ли -31/-51 положительным или отрицательным рациональным числом?
Решение:
И числитель, и знаменатель имеют отрицательные знаки. Таким образом, мы можем умножить и разделить верхние и нижние рациональные числа на -1, чтобы получить (-31/-51) x (-1/-1) = 31/51.
Следовательно, -3/-5 — положительное рациональное число.
перейти к слайдуперейти к слайду
Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по положительным рациональным числам
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы о положительных рациональных числах
Какие числа являются положительными рациональными числами?
Рациональное число положительно, если его числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (либо оба положительные, либо оба отрицательные). 1/4, 2/9, -7/-11, -3/-13, 5/12 являются положительными рациональными числами, тогда как 2/-5, -3/10, -4/7, 11/-23 не являются положительными рациональные числа..
Что верно в отношении сложения двух положительных рациональных чисел?
Сумма двух рациональных чисел является только рациональным числом. Сложение двух рациональных чисел следует той же процедуре, что и сложение двух таких дробей, в результате чего получается еще одна дробь той же формы. Таким образом, сложение двух рациональных чисел дает другое рациональное число.
Является ли 7/8 положительным рациональным числом?
7/8 — это отношение целых чисел, числитель и знаменатель которых имеют положительные знаки, и, таким образом, считается положительным рациональным числом.
Является ли ноль положительным рациональным числом?
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным рациональным числом. Рациональное число в его стандартной форме имеет знаменатель в виде положительного целого числа, а числитель и знаменатель не имеют общего делителя, кроме 1.
Что такое положительные и отрицательные рациональные числа?
Рациональные числа делятся на положительные, нулевые и отрицательные рациональные числа. Рациональное число называется положительным, если числитель и знаменатель оба являются положительными целыми числами или оба являются отрицательными целыми числами, тогда как рациональное число считается отрицательным, если либо числитель, либо знаменатель являются отрицательными целыми числами.
Как умножать положительные рациональные числа?
Произведением двух заданных дробей называется дробь, числитель которой является произведением числителей данных дробей, а знаменатель — произведением знаменателей данных дробей. Мы следуем тому же правилу для произведения рациональных чисел. Следовательно, произведение двух рациональных чисел равно произведению их числителей на произведение их знаменателей. Таким образом, если a/b и c/d — любые два рациональных числа, то a/b × c/d = a × c/b × d.
Как умножать положительные и отрицательные рациональные числа?
Умножение положительного и отрицательного рационального числа аналогично умножению дробей. Правила умножения просты.
- Если оба числа положительные, результат положительный.
- Если оба числа отрицательные, результат положительный.
- Если одно из рациональных чисел отрицательное, то и результат будет отрицательным.
Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы
Положительные рациональные числа Рабочий лист
Арифметическая Аддитивная идентификацияBrackmetic Progression Property Adtive Brackmetic Progression Property Aditive Bracktics Progression . Десятичный Распределение умножения по сложению Принципы делимости Равенство Показатель степени Factors Fractions Fundamental Operations H.C.F / G.C.D Integers L.C.M Multiples Multiplicative Identity Multiplicative Inverse Numbers Percentages Profit and Loss Ratio and Proportion Simple Interest Square Root Unitary Method Algebra Cartesian СистемаОтношение порядка Полиномы Вероятность Стандартные тождества и их приложения Транспонирование Geometry Basic Geometrical TermsCircle Curves Angles Define Line, Line Segment and Rays Non-Collinear Points Parallelogram Rectangle Rhombus Square Three dimensional object Trapezium Triangle Quadrilateral Trigonometry Trigonometry ОтношенияОбработка данных Среднее арифметическоеТаблица распределения частот Графики Медиана Режим Диапазон Видео Решенные проблемы | Главная >> Числа >> Действительные числа >> Рациональные числа >> Положительные рациональные числа >>
|