Радианное измерение углов: Радианное измерение углов | Справочник по математике

Радианное измерение углов и дуг. — Студопедия

Поделись  

Тригонометрические функции числового аргумента.

В геометрии углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Любой угол можно рассматривать как результат вращения луча в плоскости вокруг начальной точки. Вращая луч вокруг точки О от начального положения OA до конечного положения ОВ, получим угол АОВ (рис. 1).

Понятие об измерении углов известно из геометрии. При измерении углов принимают некоторый определенный угол за единицу измерения и с ее помощью измеряют другие углы.

За единицу измерения можно принять любой угол.

На практике уже более трех тысяч лет за единицу измерения величины угла принята  часть полного оборота, которую называют градусом.

  Рис. 1.

В технике за единицу измерения углов принимают полный оборот.

В мореплавании за единицу измерения углов принят румб, равный  части полного оборота.

В артиллерии за единицу измерения углов принята  часть полного оборота, которую называют большим делением угломера (0,01 часть большого деления угло­мера называют малым делением угломера).

В связи с развитием техники появилась потребность измерять круговые движения (т. е. повороты на сколь угодно большие углы и различные колебательные процессы, связанные с круговым движением). Появилась потребность в новой, универсальной единице измерения дуг и углов. Такой единицей оказалась радианная (радиусная) мера угла, она появилась в трудах Ньютона (1643—1727) и Лейбница (1646—1716) и вошла в науку благодаря трудам академика Петербургской академии наук Леонарда Эйлера (1707—1783).

Вы хорошо знакомы с числовой осью, т. е. прямой, на которой отмечена начальная точка О, единица масштаба ОЕ и положительное направление. При помощи числовой оси устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек прямой. Каждому действительному числу

z ставится в соответствие определенная точка М, которая является концом отрезка ОМ длины |z|. Отрезок ОМ откладывается в положительном направлении, если z > 0, и в отрицательном, если z < 0. Точка О соответствует числу z = 0. Действительное число z называется координатой точки М и записывается M(z).

Пусть дана некоторая единичная окружность, т.е. окружность с центром в некоторой точке О и с радиусом, равным единице масштаба. Выберем на этой окружности некоторую точку А (рис.2).

По аналогии с прямой каждому числу  поставим в соответствие точку М_α данной единичной окружности такую, что длина дуги АМ_α равна α, причем дуга АМ_α откладывается от точки

А против часовой стрелки. Числу 0 и числу 2π поставим в соответствие точку А. Таким образом, между точками единичной окружности и числами промежутка [0; 2π[ установлена взаимно однозначное соответствие.

   Рис. 2.

Число α называется радианной мерой дуги АМ_α и соответственно угла АОМ_α.

Из формулы для вычисления длины дуги окружности следует формула, связывающая радианную и градусную меры угла. Действительно, если α – длина дуги единичной окружности, градусная мера которой равна β, то .

Таким образом, дуга в 1 радиан содержит  градусов:

Дуга в 1° содержит  радиан: .

Пример: Выразить в радианной мере углы 120; 320.

Ответ: Так как , то , .

Для перевода меры угла из градусной в радианную и обратно существуют таблицы (см., например, В. М. Брадис, Четырехзначные математические таблицы).

Приведем таблицу для углов и дуг, которые встре­чаются часто.

 

Градусы	360°	180°	90°	60°	45°	30°	18°	15°	10°	1°	β°
Радианы	2π	π

 

Снова рассмотрим единичную окружность с выбран­ной точкой А (рис. 2).

Каждому числу  поставим в соответст­вие точку М_α данной единичной окружности такую, что длина дуги

АМ_α равна |α| и дуга АМ_α откладывается от точки А по часовой стрелке (рис. 3). Числу — 2π поставим в соответствие точку А.

Произвольное число α представим следующим образом: , где k — некоторое целое число, а . Заметим, что для любого α такое представление возможно. Теперь числу α поставим в соответствие ту же точку, что и числу α₀, т. е. точки М_α и  совпадают.

       Рис.3.

 

Таким образом, выше построено соответствие между действительными числами и точками единичной окружности. Из самого построения этого соответствия следует, что точки , ,  совпадают.

О точке М_α говорят, что она получается из точки А поворотом на |α| радиан против часовой стрелки, если α > 0, и по часовой стрелке, если α < 0.

Вращение против часовой стрелки иногда называют вращением в положительном направлении, а вращение по часовой стрелке — вращением в отрицательном направлении.

 



Репетитор по математике о работе с темой «радианное измерение углов». — Колпаков Александр Николаевич

М етоды объяснений, которые репетитор по математике использует в работе со слабым учеником, имеют особый характер и часто не совпадают с теми приемами, которыми пользуются авторы учебников даже по стандарту общеобразовательной программы. Ребенок не понимает и десятой части написанного в книге. Проблема сводится к поиску специальных упрощенных формы подачи темы для каждого. Опытный репетитор по математике обычно старается не перегружать ученика большим потоком информации и работать на минимальной базе навыков и знаний. Во главу угла ставится не логическая строгость и полнота обоснований, а доступность изложения и практическая линия работы, направленная на запоминание изученного материала. Репетитору важно сформировать у ученика ощущение правильности выполняемых операций, чтобы школьник смог самостоятельно выполнять задания. Именно практическая работа с новым материалом позволит закрепить понимание темы и перейти у изучению следующей.

Как репетитору по математике реализовать этот принцип в старших классах, в которых учение предмета достигает значительной глубины? В первую очередь нужно использовать элементарные навыки ученика. Как правило, у каждого школьника они есть и представляют собой некое дно или фундамент, на который можно опереться. Его необходимо выявить и максимально задействовать. Для таких ситуаций лучше других подходит метод аналогий, по законам которого репетитор по математике переносит правила выполнения операций со старыми и хорошо изученными математическими объектами на новые. Такая привязка очень полезна. Ученик как будто выполняет привычное задание и повторяет пройденное, а вместе с тем вникает в новую тему.

Хочу поделиться своим опытом работы на примере изучения темы «радианное измерение углов».

Есть несколько путей введения радиан. Какой бы из них репетитор по математике ни выбрал, «на выходе» получаются одни и те же формулы длины дуги и площади сектора, тот же способ перевода в градусы и обратно. Однако в скорости их получения, в простоте и качестве понимания происходящих процессов отличия весьма существенные.

При любом изложении темы необходимо начать с введения понятия угла в один радиан. Рассмотрим с позиции слабого ученика один из самых распространенных вариантов его определения: углом в 1 радиан называется такой центральный угол, длина соответствующей дуги которого равна радиусу окружности. Стоп!!! Репетитор по математике работает со слабым учеником? Придется ему напомнить, что такое центральный угол и где находится соответствующая ему дуга. Но это не самое трудное. Несколько сложнее объяснить, что каждый угол может стать центральным если представить провести окружность с центром в его вершине. Вроде бы нет ничего сложного, но репетитору по математике нельзя забывать, что при каждой попытке провести в голове какой-либо анализ участия радиана в процессе решения задачи ребенку придется оперировать еще и окружность и дугой. Это может привести к зависанию ученика в самый неподходящий момент.
Если репетитор по математике вводит такое определение радиана, необходимо потратить дополнительное время на повторение темы центральный угол и длина дуги

Перед Вами сложное и не выгодное с методической точки зрения определение радиана, которое обязывает репетитора по математике вести дальнейшие объяснения по сложным для слабого ученика математическим правилам. Что это значит? Придется оказывать так называемую корректность определения, то есть убеждаться в независимости угла от выбранной окружности. Необходимо рассмотреть еще одну окружность c радиусом , найти градусную меру ее центрального угла, соответствующего длине дуги по формуле и сравнить c . Конечно, при таком подходе вычисляется градусная мера одного радиана (1рад=, но поймет ли такие рассуждения слабый школьник? Репетитор по математике рискует очень сильно. Скорее всего ученик потеряет нити рассуждений уже на этапе постановки вопроса. Не проще ли сразу ввести угол в 1 радиан через ? Так я обычно и делаю. И никакой окружности (по крайней мере на старте) не рассматриваю.

План работы репетитора по математике с темой «радианное измерение углов».

Этап №1. Повторение.
Репетитор начинает с напоминания правил перевода величин из одной единицы измерения в другую. Сделать это лучше всего на примере длин отрезков, придерживаясь такой последовательности: 1м=100см, если отрезок в 1 м увеличить в 2 раза, то в нем окажется в два раза больше сантиметров, то есть 200см. При этом мы просто 100 умножаем на 2. Все 4 числа участвуют в верной пропорции 2:1=200:100. Если поставить икс вместо 200, то сможем найти число 200 из уравнения 2:1=x:100. Отрезок в 1,5м равен 100+50=150см. Это значение можно также получить умножением 100 на 1,5 или решив пропорцию 1,5:1=x:100. Поэтому при увеличении отрезка даже в дробное число раз в такое же число раз увеличивается и его длина в любой единице измерения. Аналогичным образом мсм. (работа с методом аналогий) и правило для перевода иррационального количества метров ничем не отличается от перевода целого.

Законы прямой пропорциональности работают и для измерений углов. Достаточно только обозначить угол, который мы будем называть радианом. Он составляет градусов. Ученику легче представлять себе угол, у которого есть точно определенная градусная мера.

Этап №2. Получение удобного соотношения рад.
Поскольку 1 рад=, то 2 радиана будут равны . Сразу после этого примера репетитор по математике применяет правило пропорции для перевода иррационального количества радиан в градусы рад и получает более удобное соотношение рад . Оно обводится в рамочку, заносится в теоретическую тетрадь и используется как основное соотношение для перевода как в одну, так и в другую сторону.

Этап №3. Закрепление навыков.

Репетитор по математике предлагает ученику выполнять задания на перевод из градусов в радианы и наоборот. Лучше всего использовать правило нахождения неизвестного члена пропорции, составляя ее по следующей таблице:

Иногда преподаватели применяют метод деления (умножения) на . Мне кажется, что это более сложный путь. Придется запоминать в каком случае какую именно операцию выполнять. А с пропорциями алгоритм представляет собой единый набор действий. Главное подписывать под радианами радианы, а под градусами градусы.

Этап №4. Наблюдения.
После проведения определенной практической работы на отработку навыков перевода углов через уравнения, репетитор по математике может обратить внимание ученика на одну особенность: если вместо числа в записи радианной меры угла вставить 180, то получится градусная мера того же угла. Это очень удобно, однако позволить ученику решать именно таким способом репетитор по математике должен не раньше, чем после освоения метода пропорций. Иначе ребенок не справится с переводом, например, угла в 3 радиана. Куда ему в этом случае нужно вставлять 180 градусов?

Этап №5. Применение радиан в математике.
После заданий на переводы в обе стороны в некоторых случаях можно остановиться на объяснении формул длины дуги окружности и площади сектора по радианной мере центрального угла. Надо взять пройденную ранее формулу и с помощью пропорции перевести угол в радианы. Получим Стоит репетитору по математике показать, что в формуле длины участвуют эти же действия с углом ученик сам запишет в тетради рад. Часто после становится понятно зачем вообще были введены радианы. С ними упрощаются ранее доказанные формулы.

К сожалению, не всем тонкостям работы удается поделиться с посетителями сайта в рамках статей. Например, большинство моих учеников переводят углы «на лету», используя при этом удобные табличные комбинации тригонометрической таблицы. Например, угол 150 градусов в 5 раз больше чем угола в 30 градусов. Поэтому его радианная мера тоже в 5 раз больше. Умножаем на 5 и получаем

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике в Москве.
Профессиональный репетитор в Строгино, м.Щукинская.

Метки: Геометрия, Метод аналогий, Примеры объяснений

Обзор тригонометрии градусов, радиан и измерения углов

Обзор тригонометрии градусов, радиан и измерения углов https://schooltutoring. com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 Дебора Дебора https://secure.gravatar.com/avatar/63fb4ad5c163b8f83de2f54371b9e040?s=96&d=mm&r=g

12 декабря 2014 г. 12 декабря 2014 г.

Обзор

Хотя многие учащиеся лучше всего знакомы с измерением углов в градусах, существуют и другие способы измерения углов. В исчислении, продвинутой тригонометрии и приложениях исчисления к науке углы измеряются в радианах. Град — это единица измерения угла, используемая в геодезии и как часть метрической системы, а угловые минуты и секунды используются для измерения углов в навигации и в астрономии.

Градусы

Многие люди знакомы с измерением угла в градусах с помощью транспортира. Один градус равен 1/360 окружности, так как у окружности 360 градусов. Углы меньше 90 ^o — острые, углы 90 ^o — прямые, а углы больше 90 ^o — тупые. Измерение полного круга как 360 ^o восходит к вавилонянам, которые использовали числа, кратные 60, в своей математической системе.

Радианы

Радианы менее известны. Они измеряют длину дуги, деленную на ее радиус. Они являются частью системы СИ и используются во многих научных приложениях, а также в математике. Один радиан равен 180/π градусам, поэтому, чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте градусную меру на π/180. Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте значение радиана на 180/π градусов. Например, 1 радиан, умноженный на 180/π, равен приблизительно 57,296 ^o . Угол 23 ^o составляет около 0,401 рад.

Грады

Грады, сокращение от градиан, тесно связаны с радианами. Полный оборот или 2π равен 400 град. Это альтернативная мера углов, используемая во Франции и некоторых других европейских странах и используемая геодезистами. Угол 45 ^o равен 50 градам, угол 90 ^o равен 100 градам, угол 135 ^o равен 150 градам, а прямая линия равна 180 ^o или 200 градам. Во Франции общепринятой мерой угла является градус, или 1/100 градуса. Этот термин настолько похож на термин для стоградусной шкалы для измерения температуры, что название температурной шкалы было изменено на Цельсий, чтобы почтить его разработчика и избежать путаницы.

Угловые минуты

Угловая минута равна 1/60 одного градуса, а угловая секунда равна 1/60 угловой минуты. Он используется в приложениях, требующих очень малых углов, таких как астрономия, оптика, офтальмология, оптометрия и навигация.

Заинтересованы в репетиторстве по тригонометрии? Узнайте больше о том, как мы помогаем тысячам студентов каждый учебный год.

SchoolTutoring Academy — это ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для учащихся K-12 и колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся в Ливане, штат Нью-Гэмпшир, посетите: Репетиторство в Ливане, NH 9. 0007

Урок 34: Измерение в радианах и круговые функции

Измерение в радианах

Градусная система измерения углов полезна для большинства тригонометрические расчеты. Однако существует и другая система, основанная на коэффициенты, называемые радиан меры, определяемые как отношение длины дуги данного угла (s) (если вы определяете длину дуги здесь) к радиусу (r):

 

Θ = с/р

Поскольку радианная система основана на соотношениях, радиан измерения не имеют единиц.

Радиус круга точно соответствует окружности 2π раз. Есть также 360 градусов в круг, поэтому мы можем преобразовать градусы в радианы следующим образом:

360° = 2π радиан

30° = (π/6) рад

45° = (π/4) рад

60° = (π/3) рад

90° = (π/2) рад

120° = (2π/3) рад

135° = (3π/4) рад

150° = (5π/6) рад

180° = π рад

Мы можем использовать уравнение 180° = π рад, чтобы установить следующие преобразования:

1° = (π/180) радиан И     1 радиан = (180°/π) ≈ 57,3°

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1:

Express -120 градусов в радианах.

1° = (π/180) радиан

-120π/180 = -(2π/3) рад

Пример 2:

Выразить 225 градусов в радианах:

225 — это просто 180 + 45, поэтому мы можем использовать приведенные выше преобразования:

π рад + (π/4) рад = 5π/4 рад

Пример 3:

Экспресс -7π/2 радиан в количество степеней:

-7/2 = 3 и 1/2 итак:

-7π/2 = -π + -π + -π + -π/2

        = -180 + -180 + -180 + -90 = -630°

Иногда может потребоваться исключить π из выражения. Вы можете заменить 3.14. преобразования затем становятся:

1° = 0,0174 рад

360° = 6,28 рад

1 рад = 57,32°

Пример 4:

Преобразование 0,4 радиана в градусы:

0,4(57,32) = 22,98°

Пример 5:

Угол α имеет мера -20 радиан. Найдите угол между 0 и 2π, котерминальному α.

Сначала мы должны найти величину угла, или сколько оборотов он делает. Так как в одном обороте 6,28 (2π) радиан, мы делим -20 радиан на 6,28, чтобы получить -3,18 оборотов. Так как это значение отрицательный, нам нужно вычесть 0,18 из единицы, чтобы получить 0,82, что равно нужное нам положительное значение угла (помните, задача запрашивает ответ от 0 до 2π).

Теперь умножаем 0,82 на количество радианов в один оборот, или 6,28. Это дает нам радианную меру угол:

(0,82)(6,28) = 5,15 рад

Мы можем применить наши новые знания о кругах к концепт угловой скорость, определяемая как скорость, с которой человек движется в круг.

Скорость равна пройденному расстоянию, деленному на время (д/т).