Разложение cos в ряд тейлора: Теория рядов

Теория рядов

Теория рядов

Теория рядов. Воробьев Н. Н. 4 изд., перераб. и доп., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, — 408 с. В книге излагаются основы теории числовых рядов и функциональных рядов, в том числе степенных рядов и рядов Фурье. Первая часть курса составлена в точном соответствии с разделом «Ряды» программы по высшей математике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. Ее можно использовать не только как учебное пособие для слушателей курса лекций, но и при самостоятельной работе над предметом. Вторая часть представляет собой цикл очерков, посвященных более глубоким вопросам теории рядов, Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Часть I ГЛАВА 1. ПРОГРЕССИИ § 2. Геометрические прогрессии § 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость § 4. Элементарные преобразования прогрессий § 5. Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная сходимость § 6. Почленное интегрирование прогрессий § 7. Почленное дифференцирование прогрессий § 8. Прогрессии с комплексными членами ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ § 2. Определение числового ряда и его сходимости § 3. Остаток ряда § 4. Принцип сходимости Коши § 5. Критерий Коши сходимости рядов § 6. Необходимый признак сходимости ряда § 7. Желательность систематической теории § 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм § 9. Дальнейшие свойства рядов ГЛАВА 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Признаки сходимости рядов § 2. Признаки сравнения § 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши § 4. Применения интегрального признака сходимости § 5. Сравнительная оценка различных признаков сходимости § 6. Признак сходимости Даламбера § 7. Признак сходимости Коши § 8. Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши ГЛАВА 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ § 2. Абсолютная сходимость и расходимость § 3. Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах § 4. Условно сходящиеся знакопеременные ряды § 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов § 6. Признак сходимости Лейбница § 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница ГЛАВА 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 2. Область сходимости функционального ряда § 3. Сходимость последовательности функций. Основные определения § 4. Предел последовательности непрерывных функций § 5. Переход к пределу под знаком интеграла § 6. Переход к пределу под знаком производной § 7. Определение равномерной сходимости функционального ряда и признак Вейерштрасса § 8. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами § 9. Почленное интегрирование функциональных рядов § 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ § 2. Теорема Абеля § 3. Круг сходимости ряда § 4. Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости § 5. Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости § 6. Вещественные ряды § 7. Комплексные ряды § 8. Разложение функций в степенные ряды § 9. Формула Тейлора § 10. Ряды Тейлора и Маклорена ГЛАВА 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ § 2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций ch x и sh x § 3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических функций cos x и sin x § 4. Показательная функция с комплексным значением показателя § 5. Формулы Эйлера § 6. Тригонометрические функции от комплексного значения аргумента § 7. Гиперболические функции от комплексного значения аргумента § 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена § 9. Биномиальный ряд § 10. Приложения биномиального ряда § 11. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции § 12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов § 13. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов ГЛАВА 8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ § 2. Векторы и функции § 3. Нормированные и ортогональные функции § 4. Нормированные и ортогональные системы функций § 5. Нормировка систем функций § 6. Разложение по системам функций ГЛАВА 9. РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Ряды и коэффициенты Фурье § 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье § 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье § 4. Физическое истолкование разложения функции в тригонометрический ряд Фурье § 5. Разложение функции f(x) = x § 6. Сдвиг сегмента разложения § 7. Изменение длины сегмента разложения § 8. Четные и нечетные функции § 9. Разложение четной функции в ряд Фурье § 10. Разложение нечетной функции в ряд Фурье § 11. Разложение ряд Фурье функций на сегменте от 0 до пи § 12. Комплексная форма записи ряда Фурье § 13. Разложение в комплексный ряд Фурье § 14. Характер сходимости рядов Фурье ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ § 2. Начальные и граничные условия § 3. Метод разделения переменных § 4. Использование граничных условий. Собственные функции и собственные значения § 5. Использование начальных условий ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 1. Представление функций интегралом Фурье § 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье § 3. Интеграл Фурье для четных функций § 4. Интеграл Фурье для нечетных функций § 5. Комплексная форма интеграла Фурье § 6. Понятие о преобразовании Фурье § 7. Косинус-преобразование Фурье § 8. Синус-преобразование Фурье § 9. Спектральная функция Часть II § 1. Признак сходимости Куммера § 2. Признак сходимости Раабе § 3. Признак сходимости Бертрана § 4. Признак сходимости Гаусса § 5. Сходимость знакопеременных рядов § 6. Признак сходимости Дирихле ГЛАВА 13. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ § 1. Определение двойного ряда § 2. Сходимость двойных рядов § 3. Критерии сходимости двойных рядов. Теорема Маркова § 4. Свойства двойных рядов и признаки сходимости § 5. Абсолютная сходимость двойных рядов § 6. Двойные функциональные ряды § 7. Двойные степенные ряды § 8. Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора и Маклорена § 9. Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух переменных § 10. Двойные ряды Фурье ГЛАВА 14. СУММИРОВАНИЕ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 2. Линейные преобразования рядов § 3. Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование рядов § 4. Последовательности разностей § 5. Преобразование рядов по Эйлеру § 6. Преобразование рядов по Куммеру ГЛАВА 15. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 1. Расходящиеся геометрические прогрессии § 2. Суммирующие функции § 3. Суммирование по Пуассону — Абелю § 4. Линейность и регулярность суммирования по Пуассону — Абелю § 5. Суммируемость рядов по Пуассону — Абелю и их абсолютная сходимость § 6. Теорема Таубера § 7. Суммирование по Чезаро § 8. Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону — Абелю § 9. Суммирование по Эйлеру ГЛАВА 16. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ § 2. Исследование двух интегралов § 3. Исследование одного класса интегралов § 4. Доказательство теоремы Дирихле § 5. Теорема Фурье § 6. Коэффициенты Фурье разрывных функций § 7. Скорость сходимости рядов Фурье § 8. Улучшение сходимости рядов Фурье по методу выделения особенностей § 9. О равномерной сходимости рядов Фурье § 10. Неравномерная сходимость последовательностей непрерывных функций § 11. Поведение рядов Фурье функций в точках их разрыва. Явление Гиббса § 12. Экстремальное свойство сумм Фурье § 13. Суммирование рядов Фурье по Чезаро. Теорема Фейера § 14. Равенство Парсеваля § 15. Теорема Вейерштрасса ГЛАВА 17. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОК § 2. Изгиб балки § 3. Свободно опертая балка § 4. Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием § 5. Случай сосредоточенной нагрузки § 6. Прогиб балки от распределенной нагрузки § 7. Прогиб от сосредоточенного момента § 8. Статически неопределимая балка § 9. Сложный изгиб балки § 10. Балка на упругом основании § 11. Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием. Потенциальная энергия изгиба балки § 12. Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких нагрузок § 13. Функции прогиба с ортогональными вторыми производными § 14. Свободно опертая нагруженная балка § 15. Работа продольных сил при сложном изгибе балки § 16. Общий случай изгиба балки § 17. Общий случай изгиба свободно опертой балки § 18. Изгиб симметрично нагруженной балки, жестко заделанной по концам § 19. Функция прогиба симметрично загруженной балки с жестко заделанными концами

Помогите решить / разобраться (М)

denmanorwat	Разложить по Тейлору 1/cos(x) 01.10.2021, 17:56
31/07/20 16	Здравствуйте. Разбираюсь в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля. Автор предлагает следующий трюк: По Тейлору раскладываем косинус: . Представляем кусок разложения заменой переменной: . Далее, раскладываем по Тейлору не , а уже функцию с заменённой переменной: , после чего подставляем . Возникает вопрос: а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной чтобы добиться разложения тангенса по Тейлору?

nnosipov	Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x) 01.10.2021, 18:56
Заслуженный участник 20/12/10 8862	denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а): а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной А почему нет? Что нам мешает заменить сложное выражение от одной буквой ? Мы же не собираемся (надеюсь) игнорировать о-малые. Да и при , так что все оценки валидны. — Пт окт 01, 2021 22:56:45 — denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а): разложения тангенса Наверное, секанса.

novichok2018	Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x) 01.10.2021, 21:48
Заблокирован 16/04/18 ∞ 1129	Это же какие то Бернулли?

denmanorwat	Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x) 01. 10.2021, 22:45
31/07/20 16	nnosipov в сообщении #1533535 писал(а): denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а): а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной А почему нет? Что нам мешает заменить сложное выражение от одной буквой ? Мы же не собираемся (надеюсь) игнорировать о-малые. Да и при , так что все оценки валидны. — Пт окт 01, 2021 22:56:45 — denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а): разложения тангенса Наверное, секанса. Спасибо. Прочитал ваше сообщение, подумал, и да, действительно, ничего не мешает. И поэтому о-малые игнорировать таки не стоит. Спасибо за ответ. P.S. Да, секанса, опечатка.

Nemiroff	Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x) 01.10.2021, 22:52
Заслуженный участник 20/07/09 4026 МФТИ ФУПМ	denmanorwat в сообщении #1533604 писал(а): И поэтому о-малые игнорировать таки не стоит. . Заменим всюду сперва на , затем на . Получим и Первое ещё куда ни шло: при подстановке получаем . Второе не столь позитивно — .

nnosipov	Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x) 02.10.2021, 04:24
Заслуженный участник 20/12/10 8862	novichok2018 в сообщении #1533585 писал(а): Это же какие то Бернулли? Числа Эйлера, см. https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonome … _expansion

thething	Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x) 03.10.2021, 05:16
Заслуженный участник 27/12/17 1377 Антарктика	denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а): Возникает вопрос: а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной чтобы добиться разложения тангенса по Тейлору? У нас есть разложение для . Далее, замечаем, что выражение в какой-то окрестности нуля меньше единицы (ибо вообще стремится к нулю), так что подстановка оправдана. Ну а возможность перегруппировки слагаемых вытекает из абсолютной сходимости и теорем о повторных рядах. Не понятно только, причём тут о-малые, когда речь о рядах Тейлора? Строгое доказательство можете посмотреть во втором томе Фихтенгольца. Пункт 446 так и называется: подстановка ряда в ряд.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 7 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Функция косинуса представляет собой ряд Тейлора.

Расширьте ряд до 4 членов и используйте результат для аппроксимации Cos (2p). Как приближение сравнивается с фактическим

Исчисление Исчисление 3 Исчисление 2 Исчисление 1

Дэниел К.

спросил 17.03.16

Функция косинуса представляет собой ряд Тейлора. Расширьте ряд до 4 членов и используйте результат для аппроксимации Cos (2π). Как приближение соотносится с фактическим результатом? Что вам нужно, чтобы получить лучшее приближение?

Подписаться І 2

Подробнее

Отчет

1 ответ эксперта

Лучший Новейшие Самый старый

Автор: Лучшие новыеСамые старые

Алан Г. ответил 18.03.16

Репетитор

5 (4)

Успешная помощь ученикам по математике!

Смотрите таких репетиторов

Смотрите таких репетиторов

Является ли p пи (π)?

 

Ряд Тейлора для cos x с центром 0 (на самом деле ряд Маклорена) равен

 

f(0) + f'(0) x + f»(0)/2! х ² + f»'(0)/3! x ³ + … , где f(x) = cos x.

 

Примечание:

 

f(x) = cos x     →   f(0) = 1

f'(x) = -sin x    →   f'(0) = 0

f»(x) = -cos x  →   f»(0) = -1

f»'(x) = sin x   →   f»'(0) = 0

f ^{(4 )} (x) = cos x → F ⁽⁴⁾ (0) = 1

F ⁽⁵⁾ (0) = 0
F ⁽⁶⁾ (0) = -1

Подставьте это в ряд Тейлора:

 

T ₆ (x) = 1 — x ² /2 + x ⁴ /24 — x ⁶ /720.

 

Если вам нужны только первые четыре члена (независимо от того, равны они нулю или нет, вы можете удалить последние два члена из своего ответа). Я дал вам первые четыре ненулевых члена.

Подключение x = 2π и упростить:

COS 2π ≈ 1 — (2π) ² /2 + (2π) ⁴ /24 — (2π) ⁶ /720 ≈ -39.25666.

 

Это УЖАСНОЕ приближение, поскольку фактическое значение cos 2π равно 1. Вы можете оценить ошибку как 2π — (-39,2566) = 45,539817, что слишком велико, чтобы быть хорошей оценкой. Чтобы получить более точную оценку, у вас есть два варианта.

 

1. Используйте НАМНОГО больше терминов в разложении Тейлора; или

2. Выберите другой центр, ближе к 2π. Это будет меньше работы. Хорошим выбором может быть a = 2π или, если вам нравится сокращать числа, a = 6 (6 близко к 2π).

 

Вам нужно будет изменить эти результаты, если все, что вам нужно, это первые четыре члена (нулевые или нет).

Голосовать за 0 голос против

Подробнее

Отчет

Все еще ищете помощь? Получите правильный ответ, быстро.

Задайте вопрос бесплатно

Получите бесплатный ответ на быстрый вопрос.
Ответы на большинство вопросов в течение 4 часов.

ИЛИ

Найдите онлайн-репетитора сейчас

Выберите эксперта и встретьтесь онлайн. Никаких пакетов или подписок, платите только за то время, которое вам нужно.

math — Расширение серии cos с помощью Python

Задавать вопрос

спросил 5 лет, 11 месяцев назад

Изменено 5 лет, 11 месяцев назад

Просмотрено 8к раз

Итак, я пытаюсь найти значение cos(x) , где x=1,2 . Я чувствую, что сценарий, который я написал, должен быть в порядке, однако значение, которое я получаю, неверно. То есть; cos(1.2)=0.6988057880877979 , для 25 слагаемых, когда я должен выйти: cos(1.2)=0.36235775 .

Я создал аналогичную программу для вычисления sin(1.2) , которая отлично работает.

Вычисление sin(1.2) :

 импорт математики как m
х=1,2
к=1
N=25
с=х
знак=1.0
пока k
 Теперь пытаемся вычислить  cos(1.2)  :
 импортировать математику как m
х=1,2
к=1
N=25
с=х
знак=1.0
пока k
 питон
 математика
 серия
 тригонометрия
 7
 Вы не должны устанавливать свою начальную сумму на  1.2  и ваше представление расширения
 немного сбивается - нам нужно учитывать четность функции, поэтому увеличьте  k  на 2. Кроме того, без изменения структуры вашей программы вам придется установить начальные переменные так, чтобы они были правильными установить их начальные значения в начале первого цикла.
No related posts.