Разложение это математика: Разложение в математике | это… Что такое Разложение в математике?

6 класс. Математика. Разложение числа на множители — Разложение числа на множители

Комментарии преподавателя

Опре­де­ле­ния:

Про­стым на­зы­ва­ют число, ко­то­рое имеет ровно два раз­лич­ных де­ли­те­ля.

Со­став­ным на­зы­ва­ют число, ко­то­рое имеет более двух де­ли­те­лей.

Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных чисел.

Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на про­стые мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния про­стых чисел.

За­ме­ча­ния:

• В раз­ло­же­нии про­сто­го числа один из мно­жи­те­лей равен еди­ни­це, а дру­гой – са­мо­му этому числу.
• Го­во­рить о раз­ло­же­нии еди­ни­цы на мно­жи­те­ли не имеет смыс­ла.
• Со­став­ное число можно раз­ло­жить на мно­жи­те­ли, каж­дый из ко­то­рых от­ли­чен от 1.

	Раз­ло­жим число 150 на мно­жи­те­ли. На­при­мер, 150 – это 15 умно­жить на 10. 15 – это со­став­ное число. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 3. 10 – это со­став­ное число. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 2. За­пи­сав вме­сто 15 и 10 их раз­ло­же­ния на про­стые мно­жи­те­ли, мы по­лу­чи­ли раз­ло­же­ние числа 150.
	Число 150 можно по-дру­го­му раз­ло­жить на мно­жи­те­ли. На­при­мер, 150 – это про­из­ве­де­ние чисел 5 и 30. 5 – число про­стое. 30 – это число со­став­ное. Его можно пред­ста­вить как про­из­ве­де­ние 10 и 3. 10 – число со­став­ное. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 2. Мы по­лу­чи­ли раз­ло­же­ние числа 150 на про­стые мно­жи­те­ли дру­гим спо­со­бом.
	За­ме­тим, что пер­вое и вто­рое раз­ло­же­ние оди­на­ко­вы. Они от­ли­ча­ют­ся толь­ко по­ряд­ком сле­до­ва­ния мно­жи­те­лей. При­ня­то за­пи­сы­вать мно­жи­те­ли в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.
Вся­кое со­став­ное число можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли един­ствен­ным об­ра­зом с точ­но­стью до по­ряд­ка мно­жи­те­лей.

При раз­ло­же­нии боль­ших чисел на про­стые мно­жи­те­ли ис­поль­зу­ют за­пись в стол­бик:

	Наи­мень­шее про­стое число, на ко­то­рое де­лит­ся 216 – это 2. Раз­де­лим 216 на 2. По­лу­чим 108.
	По­лу­чен­ное число 108 де­лит­ся на 2. Вы­пол­ним де­ле­ние. По­лу­чим в ре­зуль­та­те 54.
	Со­глас­но при­зна­ку де­ли­мо­сти на 2 число 54 де­лит­ся на 2. Вы­пол­нив де­ле­ние, по­лу­чим 27.
	Число 27 за­кан­чи­ва­ет­ся на нечет­ную цифру 7 . Оно Не де­лит­ся на 2. Сле­ду­ю­щее про­стое число – это 3. Раз­де­лим 27 на 3. По­лу­чим 9. Наи­мень­шее про­стое Число, на ко­то­рое де­лит­ся 9, – это 3. Три – само яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом, оно де­лит­ся на себя и на еди­ни­цу. Раз­де­лим 3 на себя. В итоге мы по­лу­чи­ли 1.

• Число де­лит­ся лишь на те про­стые числа, ко­то­рые вхо­дят в со­став его раз­ло­же­ния.
• Число де­лит­ся лишь на те со­став­ные числа, раз­ло­же­ние ко­то­рых на про­стые мно­жи­те­ли пол­но­стью в нем со­дер­жит­ся.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

	4900 де­лит­ся на про­стые числа 2, 5 и 7. (они вхо­дят в раз­ло­же­ние числа 4900), но не де­лит­ся, на­при­мер, на 13.
1.                     2.                   .	11 550 75. Это так, по­то­му что раз­ло­же­ние числа 75 пол­но­стью со­дер­жит­ся в раз­ло­же­нии числа 11550. В ре­зуль­та­те де­ле­ния будет про­из­ве­де­ние мно­жи­те­лей 2, 7 и 11.   11550 не де­лит­ся на 4 по­то­му, что в раз­ло­же­нии че­ты­рех есть лиш­няя двой­ка.

	Раз­ло­же­ние числа b пол­но­стью со­дер­жит­ся в раз­ло­же­нии числа a.
	Ре­зуль­тат де­ле­ния a на b – это про­из­ве­де­ние остав­ших­ся в раз­ло­же­нии числа a трех чисел. Итак, ответ: 30.

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/razlozhenie-chisla-na-mnozhiteli

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=_qNLLx9r3Q8

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=_p1q9NlMN9U

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=0qyAVdH-iaY

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=s-7EErDv7Eo

источник презентации — http://prezentacii.com/matematike/5900-razlozhenie-na-prostye-mnozhiteli.html

источник теста — http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/prostyie-i-sostavnyie-chisla-razlozhenie-na-prostyie-mnozhiteli.html

Разложение на множители. Группировка — что это, определение и ответ

Существует несколько методов, с помощью которых можно представить выражение в виде произведения.

ВЫНЕСЕНИЕ ЗА СКОБКИ:

Этот метод используется, если в каждом слагаемом выражения есть повторяющиеся элементы. {2}\ –\ 15x = 0\)

\(5x(x\ –\ 3) = 0\)

2. Если произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю, тогда:

\(5x = 0\)

\(x = 0\)

или

\(x\ –\ 3 = 0\)

\(x = 3\)

Ответ: 0; 3.

Что такое развернутая форма в математике? Определение, примеры, факты

Что такое развернутая форма?

Расширенная форма — это способ представить число как сумму разрядов его цифр.
В расширенной форме мы разбиваем число в соответствии со значением разряда цифр и расширяем его, чтобы показать значение каждой цифры. Например, расширенная форма 943 приведена ниже.

$943 = 9$ сотен $+ 4$ десятков $+ 3$ единиц

Расширенная форма: 943$ = 900 + 40 + 3$

Родственные игры

Разрядное значение

Родственные листы

Разрядное значение

Каждая цифра в числе имеет разрядное значение. Он определяет значение этой цифры в соответствии с ее положением в числе. Значение цифры в числе увеличивается при движении слева направо. Цифры слева имеют более низкое разрядное значение, чем цифры справа.

Значение каждого числа вычисляется с использованием позиции числа. Начиная справа налево, мы можем понять обозначения, используемые в разрядном значении, на примере.

Таблица разрядности числа 254: 

Таким образом, расширенная форма числа 254 равна $200 + 50 + 4$.

Пример развернутой формы
В качестве примера рассмотрим число 875294831. Эту цифру трудно понять. В этом случае расширенная форма помогает нам понять каждое из чисел на основе их разрядности.

875294831 можно записать как $800000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 +

+ 4000 + 800 + 30 + 1$

Число было расширено, чтобы отразить значение каждой из его цифр.

Как записывать целые числа в расширенной форме

Ниже приведены шаги для записи любого целого числа в расширенной форме.

• Получить номер в его самой простой форме.
• Используя таблицу стоимости места, определите ее стоимость места.
• Умножить число на разрядность числа.
• Отображение в виде разрядного разряда.
• Все цифры должны быть представлены как произведение цифры на ее разрядное значение.

Расширенная форма с десятичными знаками

Расширенная форма числа с десятичной или дробной частью записывается с основанием 10-кратного знаменателя, представленного степенью 10. 

Например, число 3,482 в развернутой форме записывается как:

3,482 $ = 3 + 0,4 + 0,08 + 0,002 $

Как записать десятичные дроби в расширенной форме

Сначала рассмотрим цифру, стоящую на единице, которая равна 1. 

$1 \times 1 = 1$

4 Дальше у нас десятое место. Цифра на десятом месте — 2. 

Возьмем 2 и умножим на дробь $\frac{1}{10}$.

$1 + (2 \times \frac{1}{10})$

Тогда у нас сотое место. Мы переходим к более высокому кратному 10 для знаменателя. Другими словами, мы добавляем еще 0. 

$1 + (2 \times \frac{1}{10}) + (3 \times \frac{1}{100})$

Наконец, мы имеем тысячное место . Добавьте еще 0 в знаменатель.

$1 + (2 \times \frac{1}{10}) + (3 \times \frac{1}{100}) + (4 \times \frac{1}{1000})$Следовательно, расширенное форма 1,234 равна 1 $ + 0,2 + 0,03 + 0,004 $.

Решенные примеры в развернутой форме

1. Запишите 589 в развернутой форме.

Решение:

589$ = 5$ сотен $+ 8$ десятков $+ 9$ единиц

589$ = 500 + 80 + 9$

Расширенная форма 589 равна 500$ + 80 + 9$.

2. Запишите 9677 в расширенной форме.

Решение:

9677$ = 9$ тысяч $+ 6$ сотен $+ 7$ десятков $+ 7$ единиц

$9677 = 9000 + 600 + 70 + 7$

Расширенная форма 9677: 9000$ + 600 + 70 + 7$.

3. Напишите 23,782 в расширенной форме.

Решение:

$23,782 = 2$ десятков $+ 3$ единиц $+ 7$ десятых $+ 8$ сотых $+ 2$ тысячных

$23,782 = (2 х 10) + (3 х 1) + (7 \times \frac{1}{10}) + (8 \times \frac{1}{100}) + (2 \times \frac{1}{1000})$

$23,782 = 20 + 3 + 0,7 + 0,08 + 0,002$

Расширенная форма числа 23 равна 20$ + 3 + 0,7 + 0,08 + 0,002$.

Практические задачи в развернутой форме

1

Напишите 1080 в развернутой форме.

1000$ + 80$

1000$ + 100 + 80$

1000$ + 0 + 8$

1000$ + 0 + 80 + 0$

Правильный ответ: 5$ 1000 + 0 + 0 + 0$ для $1080 = 1000 + 0 + 80 + 0$

2

Напишите 77 в развернутом виде.

$7 + 7$

$77 + 77$

$70 + 7$

$70 + 70$

Правильный ответ: $70 + 7$
Расширенная форма для $77 = 70 + 7$

3

Напишите 567,25 в расширенной форме.

500$ + 67 + 0,25$

500$ + 60 + 7 + 0,2 + 0,05$

560$ + 7 + 0,25$

500$ + 70 + 6 + 0,2 + 0,05$ 900: 900 60 + 7 + 0,2 + 0,05$
Расширенная форма для 567$ = 500 + 60 + 7 + 0,2 + 0,05$

Заключение

В этой статье мы узнали о расширенной форме числа, разрядных значениях и способах записи целых числа и десятичные дроби в развернутом виде. Давайте решим несколько примеров и попрактикуемся в задачах для лучшего понимания.

Часто задаваемые вопросы о расширенной форме

Каково значение расширенной формы?

Расширенная форма важна в математике, потому что она позволяет нам посмотреть на число и определить значение каждой цифры.

Что означает написание в развернутой форме?

Когда мы расширяем число, чтобы проиллюстрировать значение каждой цифры, мы записываем его в расширенной форме. В расширенной форме мы представляем числовое значение каждой цифры в записываемом числе. За исключением нулей, чем больше число, тем длиннее будет его расширенная форма при расширении.

Расширенная форма и расширенная нотация — одно и то же?

Нет, расширенное обозначение распознается как число, представляющее собой сумму каждой цифры в конкретном числе, умноженную на соответствующий разряд.

Пример расширенной формы 234 = 200 + 30 + 4 Пример расширенной записи 234: 2 $\times$ 100 + 3 $\times$ 10 + 4 $\times$ 1

Тепловое расширение | Brilliant Math & Science Wiki

Рам Мохит и Чимин Хим внес

Содержимое

• Линейное расширение
• Расширение территории
• Расширение объема
• Изотропные вещества
• Период маятника
• Показания металлической шкалы и биметаллическая полоса

Рассмотрим стержень начальной длины \(l_\circ\), изготовленный из материала с коэффициентом линейного расширения

\(\alpha\).

Если стержень подвергается повышению температуры \(\треугольник T,\), длина стержня увеличивается, и новая окончательная длина \(l\) определяется как

\[l = l_\circ(1 + \alpha \triangle T).\] 9{-1}\большой)} \\ \hline \ \text{Алюминий} и 2.5 \\ \hline \\text{латунь} и 1.8 \\ \hline \\текст{Железо} и 1.2\\ \hline \\текст{медь} и 1.7\\ \hline \\текст{Серебро} и 1.9\\ \hline \\текст{Золото} и 1.4\\ \hline \ \text{Стекло (пирекс)} и 0,32 \\ \hline \ \text{Ведущий} & 0,29 \\ \hline \end{array}\]

Из этой таблицы сравните значения \(\alpha\) для стекла и меди. Мы обнаружили, что медь расширяется примерно в пять раз больше, чем стекло, при одинаковом повышении температуры. Обычно металлы расширяются больше, чем неметаллы, и имеют относительно высокие значения \(\альфа\).

Примечание: Очень важно отметить, что если мы возьмем любые две точки на одном и том же материале, то изменение длины этих двух точек будет равно \(\треугольник l = l_0 \alpha \треугольник T\), независимо от того, есть ли между двумя точками полость или нет. Другими словами, независимо от того, имеется полость или нет, расширение тела не затрагивается.

Рассмотрим два стержня длиной \(l_1\) и \(l_2\), изготовленных из разных материалов с коэффициентами линейного расширения \(\alpha_1\) и \(\alpha_2,\) соответственно. Чтобы разница между двумя длинами не зависела от температуры,

\[ л_1\альфа_1 = л_2\альфа_2.\]

Учитывая, что начальные длины равны \(l_1\) и \(l_2,\) после повышения температуры, пусть новые длины равны \(l’\) и \(l»,\) соответственно. Затем

\[l’ = l_1(1 + \alpha_1 \треугольник T), \quad l» = l_2(1 + \alpha_2 \треугольник T).\]

Теперь найдем разницу конечных длин, которая равна \(l’ — l»:\)

\[\begin{выравнивание} л’ — л» &= l_1 + l_1\alpha_1\треугольник T — l_2 — l_2\alpha_2\треугольник T \\ &= ({\color{pink}l_1 — l_2}) + \triangle T(\color{blue}{l_1\alpha_1 — l_2\alpha_2}). \конец{выравнивание}\]

Чтобы разность длин не зависела от температуры, \(\color{blue} \text{коэффициент } \треугольника T\) должен быть \(0:\)

\[l_1\alpha_1 — l_2\alpha_2 = 0. {-1}.\) 9{-5} \times 0.5\big)(250 — 40) \\ & = 0.0034\text{м} = 0.34\текст{см}.\end{выравнивание}\]

Таким образом, новая длина комбинированного стержня равна \(50 + 50 + 0,34 = 100,34\text{см}.\) \(_\квадрат\)

уменьшение, увеличение увеличение снижение уменьшение, уменьшение увеличить, увеличить

В металлическом квадратном листе сделаны два одинаковых круглых отверстия, рядом с отверстиями отмечены две крошечные точки \(A\) и \(B\), как показано на схеме.

Если температура всего листа равномерно повышена, то размер отверстий будет \(\text{__________}\), а расстояние между \(A\) и \(B\) будет \(\text{ __________}.\)

Расти Сокращать не изменится Это невозможно предсказать

На левой фотографии деформационный шов автодорожного моста, используемый для предотвращения повреждений от теплового расширения. Тепловое расширение – это тенденция вещества изменяться в объеме в ответ на изменение температуры.

На фото справа железная пластина с отверстием.

Если эту железную пластину нагреть, размер отверстия увеличится или уменьшится?

Рассмотрим тело с площадью поверхности \(A_\circ\), которое состоит из материала с коэффициентом расширения .0009 \(\бета\).

Если тело подвергается повышению температуры \(\треугольник T,\), площадь поверхности этого тела увеличивается, и новая площадь поверхности \(A\) равна

\[A = A_\circ(1 + \beta \triangle T).\]

Изменение площади поверхности тела \(\треугольник A = A — A_\circ\) равно

\[\треугольник A = A_\circ \beta \треугольник T.\]

Рассмотрим вещество объемом \(V_\circ\), которое состоит из материала с коэффициентом объемного расширения \(\гамма\).

Если тело подвергается повышению температуры \(\треугольник T,\), объем этого тела увеличивается, и новый объем \(V\) равен

\[V = V_\circ(1 + \gamma \triangle T). \]

Изменение объема тела \(\треугольник V = V — V_\circ\) равно

\[\треугольник V = V_\circ \gamma \triangle T.\]

Примечание: При нагревании любого тела масса тела не меняется. Но громкость меняется. Чтобы компенсировать это, изменяется и плотность тела:

\[\begin{выравнивание} m & = Vd ~ (\text{константа}) \\ V_1d_1&=V_2d_2\ V_\circ d_\circ & = V_\circ(1 + \gamma \triangle T)d \\ \Rightarrow d &= \dfrac{d_\circ}{1 + \gamma \triangle T}.\\ \end{align}\]

Изотропное вещество – это вещество, для которого

\[\boxed{\gamma = \dfrac32 \beta = 3 \alpha},\]

\gamma\) — коэффициенты линейного расширения, расширения площади и расширения объема соответственно. Его также можно записать как 9{-5} \times (25 — 0) \\ & = 0,001425\ \text{литр}.\ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

Рассмотрим сосуд с жидкостью. При нагревании расширяется не только жидкость, но и стеклянная или металлическая емкость. На самом деле, если контейнер не расширяемый, то мы увидим больший подъем уровня жидкости. Это называется реальным расширением . Но из-за расширения контейнера он может вместить больше жидкости в свою спину, и уровень подъема жидкости будет меньше. это называется видимое расширение . Мы можем записать отношение в кажущемся расширении как

\[\begin{align} \triangle V_{\text{app}} & = \triangle V_{\text{жидкость}} — \triangle V_{\text{контейнер} } \\ V_o \gamma_{\text{приложение}} \triangle T & = V_o \gamma_{\text{l}} \triangle T — V_o \gamma_{\text{g}} \triangle T \\ \gamma_{ app} & = \gamma_{\text{l}} — \gamma_{\text{g}},\end{align}\]

, где \(\gamma_{\text{app}}\) — кажущееся коэффициент расширения, \(\gamma_{\text{l}}\) — реальный коэффициент расширения (жидкости), а \(\gamma_{\text{g}}\) — коэффициент расширения стеклянная (или любая другая металлическая) емкость. 9{\circ}\text{C}.\) Затем он обнаружил, что объем металлического шара увеличился на \(0,18\%\).

Предполагая изотропное поведение металлического шарика, рассчитайте коэффициент линейного расширения металла и помогите профессору \(\mathfrak{X}\) в его исследованиях.

Металлический куб плавает внутри стакана. Температура системы повышается на небольшую величину ΔT. Установлено, что глубина погруженной части куба не меняется. Тогда отношение коэффициента линейного расширения куба к коэффициенту объемного расширения жидкости равно \(\frac{a}{b},\), где \(a\) и \(b\) равны взаимно простые положительные целые числа.

Что такое \(a+b?\)

Примечание: Игнорировать расширение стакана.

Маятник будет показывать правильное время только тогда, когда он работает при температуре, при которой он изготовлен. Период маятника зависит от температуры. Это означает, что период времени изменяется с изменением температуры. Причина этого в том, что длина проволоки маятника, сделанной из металла, изменяется при изменении температуры. Однако погрешность во времени можно вычислить.

Ошибка во времени \(\triangle t\) за период времени \(t_\circ\) равна

\[\triangle t = \dfrac{t_\circ \alpha \triangle T}{2},\]

где \(\alpha\) — коэффициент линейного расширения проволоки маятника и \(\треугольник T\) — изменение температуры.

Рассмотрим маятник, начальная длина которого равна \(l_\circ\). Начальный период маятника определяется выражением \(t_\circ = 2 \pi \sqrt{\frac{l_\circ}{g}}\). Если температуру увеличить на \(\треугольник T,\), то конечная длина маятника будет \(l = l_\circ(1 + \alpha \треугольник T)\), а его период времени \(t = 2 \pi \ sqrt {\ frac {l} {g}} \). Значит, ошибка во времени \(\triangle t\) будет \((t — t_\circ):\) 9\ frac12 \\ & = {\color{blue}t_\circ} \left(1 + \dfrac12 \alpha \triangle T \right) \qquad \qquad (\text{As} \alpha \triangle T \text{ очень мало, мы можно использовать биномиальное приближение.}) \\\\ t — t_\circ & = \dfrac{t_\circ \alpha \triangle T}{2} \\ \\ \Rightarrow \triangle T & = \dfrac{t_\circ \alpha \triangle T}{2} \quad \text{or} \quad \dfrac{\triangle T}{t_\circ} = \dfrac{\alpha \ треугольник T}{2}. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

• Если температура ниже, \(\подразумевается\) период времени будет меньше, \(\подразумевается\) часы будут идти быстрее, \(\подразумевается\) часы будут идти быстрее. 9\circ\text{C}.\ _\square \end{align}\]

  Металлические весы показывают правильные показания только тогда, когда они используются при температуре изготовления. Когда он используется при любых температурах, он может показывать меньше, чем фактические показания (из-за сжатия), или может показывать больше, чем фактические показания (из-за расширения). Как правило, металлическая окалина расширяется при нагревании. В результате все маркировки смещаются со своих обычных правильных позиций. Так, если шкала показывает длину какого-то предмета как 10 см при более высоких температурах, мы должны понимать, что это \(10(1 + \альфа\треугольник T)\текст{см}\) и наоборот, если температура низкая. Итак, 9{-5}\big) \\ & = 1 — 0,00011 \\ & = 0,99989\text{ см}. \ _\квадрат \end{align}\]

  Биметаллическая полоса:

  Если две полосы одинаковой длины, но из разных металлов, наложить друг на друга и соединить заклепками, то образованная таким образом единая полоса называется биметаллической полосой. Эта полоса имеет характерное свойство изгибаться при нагреве из-за неодинакового линейного расширения двух металлов. Лента будет гнуться металлом с большим коэффициентом линейного расширения на внешней стороне (или выпуклой стороне). Эта полоса находит свое применение в автоматическом отключении или термостате в цепях электрического нагрева, таких как электрический утюг.

  \[r \приблизительно 1 \,\текст{см}\] \[г \около 10 \,\текст{см}\] \[г \приблизительно 1 \,\текст{м}\] \[r \приблизительно 10 \,\text{м}\]

  Металлическая полоса длиной \(l_0 = 20 \,\text{см}\) состоит из слоя железа (Fe) и слоя цинка (Zn), сваренных между собой толщиной \(d = 2\,\text{мм}\).

  No related posts.