Ряд Маклорена
Разложение функций в степенные ряды.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений
Понятие суммы степенного ряда
Любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу:
На уроке мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился: . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция :
Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области , вне этого промежутка степенной ряд будет расходиться.
Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками.
Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:
Область сходимости ряда:
(По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).
Теперь вспоминаем школьный график синуса :
Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….
Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд сходится к функции . Используя признак Даламбера , легко проверить, что ряд сходится при любом «икс»: (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).
А что значит вообще «сходится»? По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда: и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать (на достаточно длинном промежутке).
Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд сходится к функции при любом значении «икс».
Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса:
Область сходимости ряда:
Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена совпадает с графиком арктангенса только на отрезке (т.е. в области сходимости ряда):
Вне отрезка разложение арктангенса в ряд расходится, а график бесконечного многочлена пускается во все тяжкие и уходит на бесконечность.
Исходя из вышесказанного, можно сформулировать две взаимно обратные задачи:
– найти сумму ряда (функцию) по известному разложению;
– разложить функцию в ряд (если это возможно) и найти область сходимости ряда.
Что проще? Конечно же, разложение – с него и начнём.
Разложение функций в степенной ряд.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды.
Сначала пара формул, затем практические задания.
Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой:
Примечания: надстрочный индекс в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву .
Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог).
На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда :
Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням .
Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции:
Как оно получилось? По формуле Маклорена:
Рассмотрим функцию , тогда:
Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.
д. Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:
И так далее….
Совершенно очевидно, что
Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!
Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).
Примеры разложения функций в ряд Маклорена
В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.
Пример 1
Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.
! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням
Решение незамысловато, главное, быть внимательным.
Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:
.
В данном случае :
Раскрываем наверху скобки:
Теперь умножаем обе части на «икс»:
В итоге искомое разложение функции в ряд:
Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении (за исключением, конечно, тех случаев, когда, например, – см. комментарии к табличным разложениям). Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:
Пример 2
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
Это пример для самостоятельного решения.
Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде , или , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , , и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.
А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.
Пример 3
Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.
В таблице находим похожее разложение:
Трюк прост – перепишем нашу функцию немного по-другому:
Таким образом, и:
Окончательно:
Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при .
В данном случае :
Знак «минус» испаряется, кроме того, квадрат и так неотрицателен, поэтому надобность вмодуле отпадает:
Как исследовать ряд на концах найденного интервала? В данном случае… никак! Значения , не входят в область определения функции и равенство теряет смысл. А даже если их и подставить в правую часть, то получатся расходящиеся числовые ряды.
Поэтому безо всяких исследований сразу записываем область сходимости ряда:
Но так бывает далеко не всегда:
Простейшее разложение из учебника сходится ещё в одной точке: .
3+\ldots\]
Разложение в ряд Тейлора относительно точки $c=0$ известно как разложение в ряд Маклорена.
Разложения в ряды Тейлора имеют множество применений, включая вычисление определенных интегралов, нахождение предела функции и аппроксимацию значения выражения.
Рабочий пример
Пример 1
Используйте первые два члена разложения Тейлора для аппроксимации $\cos{\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)}$.
Решение
Здесь функция расширения $f(x)=\cos{x}$. Напомним, что первые два члена разложения Тейлора относительно точки $x=c$ задаются формулой \[f(x)\appro f(c)+f'(c)(x-c).\]
Производная от $\cos{x}$ по $x$ равна $-\sin{x}$, поэтому первые два члена разложения в ряд Тейлора для $\cos{x}$ таковы: \[ f(x)\приблизительно \cos{c}-(x-c)\sin{c}.\]
Чтобы аппроксимировать $\cos{\left(\dfrac{4\pi}{5}\right)}$, необходимо сделать подходящий выбор для $c$.
Во-первых, обратите внимание, что: \[\frac{4\pi}{5}=\frac{16\pi}{20}=\frac{(15+1)\pi}{20}=\frac{3\ pi}{4}+\frac{\pi}{20}\].
Так как $\cos{\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)}$ и $\sin{\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)}$ обычно известных тригонометрических соотношений, выберите $c=\dfrac{3\pi}{4}$. Подстановка $x=\dfrac{4\pi}{5}$ и $c=\dfrac{3\pi}{4}$ в разложение дает 93\sqrt{26}$.
Пример 3
Профессор Робин Джонсон использует ряд Тейлора для аппроксимации $\ln{(0,95)}$.
Пример 4
Профессор Робин Джонсон использует ряд Тейлора для аппроксимации $\sin{\left(\dfrac{3\pi}{10}\right)}$.
Рабочие тетради
Эти рабочие тетради, созданные HELM, являются хорошими вспомогательными средствами, содержащими ключевые моменты для повторения и множество рабочих примеров.
- Серия Маклорена и Тейлора
- Силовая серия
См. также
- Серия Maclaurin
Внешние ресурсы
- Видео из серии Маклорена и Тейлора в Академии Хана.
Как вычислить аппроксимацию ряда Тейлора для функции косинуса
Как рассчитать приближение ряда Тейлора для функции косинуса
| Разложение Тейлора для функции косинуса до первых пяти членов. Обратите внимание, что члены имеют четные степени, поскольку сам cos нечетен. |
В предыдущем посте мы узнали, как вычислить синус функции, используя приближение Тейлора. Теперь давайте немного подправим эту программу, чтобы сгенерировать аппроксимацию функции косинуса. Давайте пересмотрим, как построить программу для рядов Тейлора.
- Мы меняем градусы на радианы, как и в предыдущей программе.
- Мы устанавливаем начальное значение 1 для суммы ряда и определяем первый член, t = 1.
- Мы вычисляем оставшиеся члены, чтобы включить новые степени ( угол**2 ) и факториалы ( i*(i-1) ) с каждым членом и добавляем знак (-) к члену так, чтобы знаки меняйте между «+» и «-» с каждым термином.
- Мы отображаем результат и сравниваем его со значением, заданным встроенной функцией.
Давайте теперь посмотрим на разницу между программой для функции синуса и функции cos.
- Первый член в этой программе равен 1 вместо угол в предыдущей. Точно так же начальное значение sum1 равно 1 вместо угла .
- Цикл do для ряда Тейлора начинается с 2 вместо 3. Это потому, что косинус является четной функцией .
- Остальная часть программы одинакова для функций синуса и косинуса.
Теперь для программы FORTRAN,
!Чтобы найти значение косинуса, используя разложение Тейлора
программа Taylor_cos
неявно отсутствует
real x,t,angle,sum1,sum2,cont
integer np,n,i
!Чтобы прочитать угол в градусах
*, 30 значение косинуса которого вы хотите вычислить (в градусах)»
read (*,*) x
write(*,*) «Вычисление косинуса «,x
!Преобразование угла в радианы
angle=0,0174532925 *x
write (*,*) «Угол в радианах = «,угол
!Чтобы включить n терминов
прочитайте (*,*) n
напишите (*,*) » Заданное значение n (количество членов в ряду Тейлора) равно «,n
!Суммируем ряд Тейлора
t=1
sum1=1
np=(2*(n-1)) +1
do i=2,np,2
t=(((-t)*(угол**2))/(i*(i-1)))
sum1=sum1+t
end do
write (*,10) «По ряду Тейлора, cos(«,x,»)= «,sum1
10 формат (a,f7.