Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
never-sleep
Котангенс в нуле в ряд тейлора
10. 01.2012, 14:52
27/11/11 153
Нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности с точностью до
В лоб по формуле Тейлора — не получается, ибо не определено
Тут дело в том, что приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, мы получим при равенство
Мне кажется, что это все связано с неопред. котангенса в нуле…
Появилась идея разложить тангенс в нуле, а потом воспользоваться тем, что и раскладывать в Тейлора так, но мне не нравится эта затея…
Может подскажете — как быть?)
Nemiroff
Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
10. 01.2012, 14:58
Заслуженный участник
20/07/09 4026 МФТИ ФУПМ
Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени. Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.
never-sleep
Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
10. 01.2012, 15:00
27/11/11 153
Nemiroff в сообщении #525264 писал(а):
Ну вообще, котангенс в нуле издалека напоминает бесконечность, так что странно ждать нормального значения у него при нулевой степени. Добавьте, что ли, еще минус первую степень икса в неопределенное разложение котангенса.
Ок, спасибо! А как вы до этого догадались и как это можно обосновать, что мы должны добавлять отрицательные степени? А почему только минус первую? А может еще нужно минус вторую?
Как в аналогичных примерах действовать)
Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!
PAV
Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
10. 01.2012, 15:02
Супермодератор
29/07/05 8248 Москва
Рассмотрите произведение — особенность в нуле исчезнет.
Nemiroff
Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
10. 01.2012, 15:08
Заслуженный участник
20/07/09 4026 МФТИ ФУПМ
Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.
svv
Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
10. 01.2012, 15:16
Заслуженный участник
23/07/08 9987 Crna Gora
never-sleep писал(а):
Есть ли еще подобные функции, где с такими подвохами нужно бороться?!
Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание — разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле — невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.
Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.
Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или — Тейлором, но несколько другую функцию (). Но это уже другие задачи.
never-sleep
Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
10.01.2012, 18:21
27/11/11 153
PAV в сообщении #525269 писал(а):
Рассмотрите произведение — особенность в нуле исчезнет.
Ок, спасибо, понятно)
— 10.01.2012, 18:25 —
Nemiroff в сообщении #525273 писал(а):
Разделил косинус на синус, вынес из синус одну степень икса и разложил знаменатель.
Спасибо) Я понял так)
Правильно?
— 10.01.2012, 18:30 —
svv в сообщении #525275 писал(а):
Нужно всё-таки иметь в виду, что исходное задание — разложить котангенс в ряд Тейлора в нуле — невыполнимо. Ни сама функция, ни её производные в этой точке не определены. Если Вам дано такое задание, Вы вправе просто объяснить его некорректность и больше ничего.
Вообще, полезно помнить, что не любую функцию и не в любой точке можно разложить в ряд Тейлора.
Все дальнейшие советы проистекают из стремления представить функцию в нуле хоть как-то, раз нельзя с помощью ряда Тейлора. Или — Тейлором, но несколько другую функцию (). Но это уже другие задачи.
Ок, спасибо, теперь понятнее. В ряде тейлора вроде как нет отрицательных степеней…видимо поэтому это разложение и нельзя назвать рядом тейлора.
SpBTimes
Re: Котангенс в нуле в ряд тейлора
10.01.2012, 19:10
Заслуженный участник
18/12/10 1600 spb
Лоран, если хотите
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию
Здравствуйте. Разбираюсь в разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля. Автор предлагает следующий трюк: По Тейлору раскладываем косинус: . Представляем кусок разложения заменой переменной: . Далее, раскладываем по Тейлору не , а уже функцию с заменённой переменной: , после чего подставляем . Возникает вопрос: а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной чтобы добиться разложения тангенса по Тейлору?
nnosipov
Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x)
01. 10.2021, 18:56
Заслуженный участник
20/12/10 8862
denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):
а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной
А почему нет? Что нам мешает заменить сложное выражение от одной буквой ? Мы же не собираемся (надеюсь) игнорировать о-малые. Да и при , так что все оценки валидны.
— Пт окт 01, 2021 22:56:45 —
denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):
разложения тангенса
Наверное, секанса.
novichok2018
Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x)
01. 10.2021, 21:48
Заблокирован
16/04/18 ∞ 1129
Это же какие то Бернулли?
denmanorwat
Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x)
01.10.2021, 22:45
31/07/20 16
nnosipov в сообщении #1533535 писал(а):
denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):
а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной
А почему нет? Что нам мешает заменить сложное выражение от одной буквой ? Мы же не собираемся (надеюсь) игнорировать о-малые. Да и при , так что все оценки валидны.
— Пт окт 01, 2021 22:56:45 —
denmanorwat в сообщении #1533521 писал(а):
разложения тангенса
Наверное, секанса.
Спасибо. Прочитал ваше сообщение, подумал, и да, действительно, ничего не мешает. И поэтому о-малые игнорировать таки не стоит. Спасибо за ответ. P.S. Да, секанса, опечатка.
Nemiroff
Re: Разложить по Тейлору 1/cos(x)
01.10.2021, 22:52
Заслуженный участник
20/07/09 4026 МФТИ ФУПМ
denmanorwat в сообщении #1533604 писал(а):
И поэтому о-малые игнорировать таки не стоит.
. Заменим всюду сперва на , затем на . Получим и Первое ещё куда ни шло: при подстановке получаем . Второе не столь позитивно — .
Возникает вопрос: а почему мы можем пользоваться трюком с заменой переменной чтобы добиться разложения тангенса по Тейлору?
У нас есть разложение для . Далее, замечаем, что выражение в какой-то окрестности нуля меньше единицы (ибо вообще стремится к нулю), так что подстановка оправдана. Ну а возможность перегруппировки слагаемых вытекает из абсолютной сходимости и теорем о повторных рядах. Не понятно только, причём тут о-малые, когда речь о рядах
Тейлора? Строгое доказательство можете посмотреть во втором томе Фихтенгольца. Пункт 446 так и называется: подстановка ряда в ряд.
Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию
{n-1} a_k\ a_{n-1-k}&n>0\\
\end{случаи}
$$
то есть последовательность $$(a_n)_{n\in\mathbb{N}}=\left(\frac 11,\frac 13, \frac 2{15}, \frac {17}{315}, \frac { 62}{2835}, \frac{1382}{155925},\cdots\right)$$
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Этот ответ основан на ответе coffeemath. 7)
\end{выравнивание}
Отсюда можно вывести линейную систему
\начать{выравнивать}
\begin{pматрица}
1 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0&0\\
0 и 1 и 0 и 0 и 0 и 0 &0\\
-1/2 &0 &1 & 0& 0& 0&0\\
0 и -1/2 и 0 и 1 и 0 и 0&0 \\
1/24 и 0 и -1/2 и 0 и 1 и 0&0\\
0 и 1/24 и 0 и -1/2 и 0 и 1 и 0\\
1/720 и 0 и 1/24 и 0 и -1/2 и 0 и 1
\end{pматрица}
\begin{pматрица}
а\\б\\в\\г\\е\\е\\г
\end{pматрица}
«=»
\begin{pmatrix}
0\1\0\-1/6\0\1/120\0
\end{pматрица}
\end{выравнивание}
Что имеет решение
\начать{выравнивать}
\begin{pматрица}
а\\б\\в\\г\\е\\е\\г
\end{pматрица}
= \begin{pmatrix}
0\1\0\1/3\0\2/15
\end{pматрица}
\end{выравнивание}
[Обратите внимание, что вы можете извлечь две линейные системы из приведенной выше. Затем вам нужно найти только нечетные степени $x$, поскольку $\tan(x)$ нечетно.] 97)
\end{выравнивание}
Что (на удивление) правильно, поскольку мы можем сравнить наше решение с WolframAlpha.
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Если вы можете использовать известные ряды для $\sin(x)$ и $\cos(x)$, составьте уравнение $(\cos x)*(\tan x) = \sin x$, где вы подставите неизвестные константы как коэффициенты ряда $\tan x$.
01.2012, 14:52 
01.2012, 14:58 
01.2012, 15:00 
01.2012, 15:02 
01.2012, 15:08 
01.2012, 15:16 
В ряде тейлора вроде как нет отрицательных степеней…видимо поэтому это разложение и нельзя назвать рядом тейлора.
10.2021, 17:56 
10.2021, 18:56 
10.2021, 21:48 
Да и при , так что все оценки валидны.
Далее, замечаем, что выражение в какой-то окрестности нуля меньше единицы (ибо вообще стремится к нулю), так что подстановка оправдана. Ну а возможность перегруппировки слагаемых вытекает из абсолютной сходимости и теорем о повторных рядах. Не понятно только, причём тут о-малые, когда речь о рядах
7)
\end{выравнивание}
Отсюда можно вывести линейную систему
\начать{выравнивать}
\begin{pматрица}
1 и 0 и 0 и 0 и 0 и 0&0\\
0 и 1 и 0 и 0 и 0 и 0 &0\\
-1/2 &0 &1 & 0& 0& 0&0\\
0 и -1/2 и 0 и 1 и 0 и 0&0 \\
1/24 и 0 и -1/2 и 0 и 1 и 0&0\\
0 и 1/24 и 0 и -1/2 и 0 и 1 и 0\\
1/720 и 0 и 1/24 и 0 и -1/2 и 0 и 1
\end{pматрица}
\begin{pматрица}
а\\б\\в\\г\\е\\е\\г
\end{pматрица}
«=»
\begin{pmatrix}
0\1\0\-1/6\0\1/120\0
\end{pматрица}
\end{выравнивание}
Что имеет решение
\начать{выравнивать}
\begin{pматрица}
а\\б\\в\\г\\е\\е\\г
\end{pматрица}
= \begin{pmatrix}
0\1\0\1/3\0\2/15
\end{pматрица}
\end{выравнивание}
[Обратите внимание, что вы можете извлечь две линейные системы из приведенной выше. Затем вам нужно найти только нечетные степени $x$, поскольку $\tan(x)$ нечетно.] 97)
\end{выравнивание}
Что (на удивление) правильно, поскольку мы можем сравнить наше решение с WolframAlpha.