Разложение в ряд тейлора sh x: Разложить в ряд Тейлора online

Ряд Тейлора — Кратные и криволинейные интегралы, теория поля, ряды (Математика)

Лекция 15. Ряд Тейлора.

Ряд Тейлора.

Рядом Тейлора называется степенной ряд вида (предполагается, что функция  является бесконечно дифференцируемой).

Рядом Маклорена называется ряд Тейлора при , то есть ряд .

Теорема. Степенной ряд является рядом Тейлора для своей суммы.

Доказательство. Пусть и степенной ряд сходится в интервале . Подставим в разложение , получим.

Так как степенной ряд сходится равномерно внутри интервала сходимости, мы можем его дифференцировать почленно. Полученный ряд будет сходиться в том же интервале, так как радиус сходимости при дифференцировании не меняется. Его вновь можно дифференцировать почленно и т.д. Вычислим коэффициенты в степенных рядах, полученных почленным дифференцированием. =,

, , ,

, , ,

Продолжая этот процесс, получим  . Это – коэффициенты ряда Тейлора. Поэтому степенной ряд есть ряд Тейлора.

Следствие. Разложение функции в степенной ряд единственно.

Доказательство. По предыдущей теореме коэффициенты разложения функции в степенной ряд определяются однозначно, поэтому разложение функции в степенной ряд единственно.

Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций.

Запишем разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, вычисляя коэффициенты разложения по формуле , где .

,

 (интегрируя предыдущую формулу)

, .

Пусть записано разложение функции в степенной ряд. Возникает вопрос, всегда ли это разложение (степенной ряд) сходится именно к этой функции, а не к какой-либо другой.

Теорема. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к той функции, по которой он построен, необходимо и достаточно, чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при .

Доказательство. Запишем формулу Тейлора, известную из 1 семестра

Необходимость. Обозначим Sn – частичную сумму ряда Тейлора .

.

Если ряд Тейлора сходится к , то . Но по формуле Тейлора . Следовательно, .

Достаточность. Если , то , а — частичная сумма ряда Тейлора. Поэтому ряд Тейлора сходится именно к функции .

Теорема. Пусть все производные функции  ограничены в совокупности одной константой. Тогда ряд Тейлора сходится  к функции .

Доказательство. Оценим остаточный член формулы Тейлора

, так как показательная функция растет медленнее, чем n!. Поэтому (по предыдущей теореме) ряд Тейлора сходится  к функции .

В качестве примера применения теоремы рассмотрим разложение в ряд Маклорена функций sin x, cos x. Эти ряды сходятся к функциям, так как их производные ограничены в совокупности единицей на всей оси.

В разложении функции e^x на отрезке [a, b] все производные функции ограничены константой e^b, поэтому ряд  для функции e^x сходится к ней на любом конечном отрезке.

Ряды для функций sh x, ch x можно получить линейной комбинацией экспонент, следовательно, ряды для этих функций сходятся к ним на всей оси.

Рассмотрим разложение в ряд функции . Предположим, что ряд сходится к функции  . Можно, дифференцируя ряд почленно, установить справедливость соотношения   (выведите его в качестве упражнения). Решая это дифференциальное уравнение, получим .

Применение степенных рядов.

1. Вычисление значений функций

Пример. Вычислить arctg 0.3 с точностью .

По следствию из признака Лейбница остаток числового знакочередующегося ряда оценивается модулем первого отброшенного члена.

. Из этого неравенства найдем n, n=2. .

Если разложение – знакопостоянный ряд, то надо подобрать какой-либо мажорантный ряд с известной суммой, например, оценить сверху члены ряда членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и оценку суммы ряда проводить по сумме прогрессии.

2. Вычисление интегралов.

Пример. Вычислить

3. Решение дифференциальных уравнений.

Пример.

1 способ. Представим  в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами до  (n – заранее определено). Это разложение подставляется в левую и правую часть, и приравниваются коэффициенты при равных степенях x. Решается система алгебраических уравнений и определяются коэффициенты.

.

Заметим, что при дифференцировании степень понижается на единицу, поэтому в разложении нужно запасать членов на k больше n, где k – порядок дифференциального уравнения.

Разложение проводится по степеням (x — x₀₎, если начальные условия заданы в точке x₀.

В данном уравнении производится разложение в ряд Маклорена, так как начальное условие задано в нуле.

.

Подставляем разложения в правую и левую части уравнения .

= . .

Удерживаем в разложении члены четвертых степеней, в коэффициентах при x⁵ будут

Отсюда

2 способ. Представим  в виде ряда Тейлора.

Обратите внимание на лекцию «11.3 Социальный состав».

Ряд Маклорена | это… Что такое Ряд Маклорена?

ТолкованиеПеревод

Ряд Маклорена

Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора — его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Содержание 1 Определение 2 Связанные определения 3 Свойства 3.1 Формула Тейлора 3. 2 Различные формы остаточного члена 4 Ряды Маклорена некоторых функций 5 Литература 6 См. также 7 Примечания

Определение

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки a. Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Связанные определения

• В случае, если a = 0, этот ряд также называется рядом Макло́рена.

Свойства

• Если f есть аналитическая функция, то её ряд Тейлора в любой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
• Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности a. Например:

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a, U(a,ε) Пусть Пусть p — произвольное положительное число, тогда: точка при x < a или при x > a:

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

Ослабим предположения:

• Пусть функция f(x) имеет n − 1 производную в некоторой окрестности точки a
• И n производную в самой точке a, тогда:

 — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано)

Ряды Маклорена некоторых функций

Экспонента:

Натуральный логарифм:

для всех

Биномиальное разложение:

для всех и всех комплексных где

В частности:

• Kвадратный корень:

для всех

для всех

• Конечный геометрический ряд:

для всех

Тригонометрические функции:

для всех

для всех

для всех

для всех

Гиперболические функции:

для всех

для всех

для всех

Литература

• В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов «Математический анализ» ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов, изд.: Проспект 2004.
• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина, Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Д. Т. Письменный «Конспект лекций по высшей математике», изд.: АЙРИС-пресс, 2002.

См. также

• Ряд Фурье
• Дельсарт, Жан Фридерик
• Визуализация ряда Тейлора на сайте Сообщества свободного математического моделирования

Примечания

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

• Ряд Мебиуса
• Ряд Неймана

Полезное

численных методов — Как выводится разложение Тейлора для $f(x + h)$?

Задавать вопрос

спросил 10 лет, 2 месяца назад

Изменено 3 года, 4 месяца назад

Просмотрено 97 тысяч раз

$\begingroup$ 93+\cdots. 3+⋯.$$ Это в нужной форме, но с $x_0$ вместо $x$, и поскольку это всего лишь переменная, мы можем просто заменить ее на $x$.

$\endgroup$

1

SH vs SA Dream11 Prediction, Dream Team Today, Fantasy NBA Tips и Pitch Report

Присоединяйтесь к нашей Telegram для получения последних и самых быстрых обновлений.

SH против SA Dream11 Prediction, CBA, Shandong Heroes vs Shenzhen Aviators Предварительный просмотр матча, Fantasy Team, вероятная игра 11, Dream11 выигрышные советы, счет матча в реальном времени, отчет о поле, травмы и обновления.

Содержание

SH vs SA Время и место проведения матча

SH vs SA Отчет о поле

SH против SA Отчет о погоде

SH vs SA Возможный розыгрыш11

SH vs SA Превью матча

Обновление команды Shandong Heroes (SH)

Обновления команды Shenzhen Aviators (SA)

SH против SA лицом к лицу

SH против SA Недавние формы

SH против SA Прямая телетрансляция

SH vs SA Fantasy Советы

Прогнозы на победу

SH против SA Dream11

Ключевые игроки SH

Ключевые игроки ЮАР

SH против капитана и вице-капитана ЮАР Выбор

SH против SA Live Score

Таблица баллов CBA

SH vs SA Injury обновляет информацию о недоступности

Видео-прогноз

SH против SA Dream11 на хинди

Где я могу увидеть SH против SA Live Score

SH vs SA Highlights

SH против отрядов SA

Команды Dream11 SL и GT для матча SH против SA

Последнее обновление: 30 декабря 2022 г. , 09:47 Адитья

SH против SA (Shandong Heroes vs Shenzhen Aviators) Матч)

Матч	Героев Шандуна против Шенжэна.
Время	08:30 (IST) — 03:00 (GMT)

SH vs SA Отчет о погоде : Погода будет чистой, дождя не ожидается.

SH vs SA (Shandong Heroes vs Shenzhen Aviators) Стартовый номер 8

Shandong Heroes (SH) Возможный Стартовый номер 8

1. Тейлор Рочести, 2. ШиЯн Гао, 3. Чен Пэйдун, 4. Лю Гуанчэнь, 5. Лю И , 6. Jiao Hailong, 7. HanLin Tao, 8. Cheng Jia

Shenzhen Aviators (SA) Возможное начало 8

1. Аския Букер, 2. Синин Хэ, 3. Жун Цзыфэн, 4. Бай Хаотянь, 5. Цюань Гу, 6. Чжоу Пэн, 7. Джаред Саллинджер, 8. Цзыцзе Шэнь

Shandong Heroes vs Shenzhen Aviators (SH против SA) Превью матча

Shandong Heroes и Shenzhen Aviators Team Обновления

SH vs SA Превью матча : Shandong Heroes сразятся против Shenzhen Aviators в CBA в пятницу, 30 декабря 2022 года, в 08:30 IST.

SH vs SA Dream11 Prediction

Shenzhen Aviators выглядит в хорошей форме в последних матчах, они фавориты на победу в матче

SH vs SA CBA Match Expert Advice : ShiYan Gao будет лучшим выбором для младших лиг. ХаньЛин Тао будет достойным кандидатом на роль капитана высшей лиги.

SH vs SA Head to Head

Team	Match Win
SH	2 Won
SA	3 Won

Live Telecast

The match will be live telecast on Фанкод.

SH vs SA Fantasy Советы

1. В разыгрывающих оба хороши. Однако Аския Букер — лучший выбор.

Прогноз победы SH против SA

1. Команда Shenzhen Aviators одержала верх над командой Shandong Heroes. Поэтому постарайтесь выбрать больше игроков из Shenzhen Aviators

SH против Малой лиги Южной Австралии. Обязательный выбор:

SH — ШиЯн Гао [277 очков], ХаньЛин Тао [273 очка]
SA — Джаред Саллинджер [327 очков], Синин Хэ [ 230 баллов]

SH vs SA Grand League Risky Picks:

SH — Лю И [49 очков], Лю Гуанчен [63 очка]
SA — Ронг Цзыфэн [70 очков], Цюань Гу [139 очков]

Shandong Heroes (SH) Ключевые игроки

• Liu Guangcen [PT: 63, CR: 6]
• Taylor Rochestie [PT: 112, CR: 11]
• Jiao Hailong [PT: 134, CR: 9] 900
• Чен Пэйдун [ПЦ: 171, КО: 10. 5]
• ХаньЛинь Тао [ПЦ: 273, КО: 15.5]
• ШиЯнь Гао [ПЦ: 277, КО: 15.5]

Shenzhen Aviators (SA) Ключевые игроки

• Yiming Zhao [PT: 0, CR: 4.5]
• Quan Gu [PT: 139, CR: 9]
• Bai Haotian [PT: 157, CR: 9030]
• Чжоу Пэн [PT: 167, CR: 10]
• Аския Букер [PT: 191, CR: 13.5]
• Джаред Саллинджер [PT: 327, CR: 20]

SH против выбора капитана и вице-капитана ЮАР

• Тейлор Рочести [PT: 112, CR: 11]
• Jiao Hailong [PT: 134, CR: 9]. : 15.5]
• Шиян Гао [PTS: 277, CR: 15,5]
• Джаред Саллингер [PTS: 327, CR: 20]

SH против SA травмы / недоступность

Герои Shandong Heroes NBA Ranuries:

1 Shandong Heroes NBA. на данный момент обновлений о травмах нет.

SA NBA Team Травмы:

• На данный момент обновлений о травмах нет.

Прямая трансляция матча SH против SA

Матч SH против SA будет транслироваться в прямом эфире на Fancode

SH против SA Видео-прогноз Dream11 на хинди ЮАР Live Score?

Вы можете посмотреть текущий счет SH против SA на Fancode и т. д.

SH против SA Highlights

Вы можете посмотреть лучшие моменты матча SH против SA на Fancode, а также посмотреть после матча здесь.

SH против отрядов SA

Shandong Heroes (SH) Squad

Taylor Rochestie, ShiYan Gao, Chen Peidong, Liu Guangcen, Liu Yi, Jiao Hailong, HanLin Tao, Cheng Jia, Wang Wenyu, Zhao Shihao, Zhang Hui, Yang Линьи, Вэнь Яньсин, Сильвен Ландесберг, Ма Синьсинь, Цяо Вэньхан, Фейзуо Хоу, Келанбайке Макан, Трой Гилленуотер, Чжу Жунчжэнь

Shenzhen Aviators (SA) Squad

Askia Booker, Xining He, Rong Zifeng, Bai Haotian, Quan Gu, Чжоу Пэн, Джаред Саллинджер, Цзыцзе Шэнь, Имин Чжао, Минкунь Ма, Хаоран Ван, Джастин Райт-Форман, Ли Вэньхао, Хаоцинь Сунь, Цзинлун Ли, Ляо Чжипэн, Зихань Ву, Пэнъюй Лу, Лу Ивэнь, Чжао Яньман

SH против SA Команда экспертов Dream11

Команда Малой лиги Dream11 (SL)

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Эта команда основана на понимании, анализе и чутье автора. При выборе команды учитывайте упомянутые моменты и принимайте собственное решение.

Подпишитесь на нас

08 :30:00 ИСК

Q-2, Что такое SH vs SA dream11 Fantasy Tips?

A-2, прогноз команды Dream11 NBA на матч SH против SA. Получите экспертные советы по фэнтези, новости о травмах, безопасных командах малой лиги и рискованных игроках высшей лиги в приложении Possible11.

Q-3, SH vs SA dream11 Small League Must Picks для сегодняшнего матча NBA?

A-3, проверьте приложение Possible11 для сегодняшнего матча SL должен выбрать

Q-4, SH против SA dream11 grand League Must Picks для сегодняшнего матча НБА?

A-4, загляните в приложение Possible11, чтобы узнать о сегодняшнем матче. Команда GL должна выбрать

Q-5, Каковы варианты выбора капитана и вице-капитана SH vs SA dream11?

A-5. Попробуйте выбрать лучшего исполнителя из этой серии и зайдите в приложение Possible11, чтобы получить более подробную информацию.

Q-6, Есть ли травмы в сегодняшнем матче SH против SA?

A-6, На данный момент обновлений о травмах в сегодняшнем матче SH против SA нет. Будет обновляться в приложении, если появятся какие-либо новости

В-7, где я могу увидеть сегодняшнюю игру SH против SA Live Score?

A-7. Вы можете посмотреть текущий счет SH против SA на веб-сайте Possible11.com и в приложении Possible11.

Загрузите приложение, чтобы получить последние команды Большой лиги и Малой лиги

Эта страница содержит

Прогнозы на матч Shandong Heroes vs Shenzhen Aviators, прогнозы на матч SH vs SA dream11, прогнозы на матч SH vs SA, фантастические прогнозы SH vs SA, советы фэнтези SH vs SA, матч лиги CBA прогноз, CBA League dream11 прогноз, серия CBA, SH против SA dream11 Советы и хитрости, SH против SA Dream11 Команда-победитель, SH против SA команда-победитель высшей лиги мечты11, SH против SA команда-победитель малой лиги мечты 11, SH против команды SA dream11 SL, SH против SA dream11 GL team, SH против SA сегодня Dream11 Winning Team, обновления матчей SH против SA, Список матчей НБА в пятницу, 30 декабря 2022 г.