2.7. Рациональные уравнения
Рациональные уравнения имеют вид
(8) |
Для решения таких уравнений нужно найти область допустимых значений уравнения (ОДЗ ) из условия: и освободиться от знаменателя.
Пример. Решить уравнение
►Разложим знаменатель на множители:
ОДЗ : Освободимся от знаменателя, для этого находим дополнительные множители:
, , ◄
2.8. Уравнения с модулем
I вид: , где . | II вид: | (9) |
III вид. Уравнения, содержащие несколько модулей.
Для их решения на
числовой прямой отметим точки, в которых
подмодульные выражения равны нулю, на
каждом из полученных интервалов
определяем знаки подмодульных выражений
и решаем уравнение на каждом интервале.
Пример. Решить уравнение а)б)
в)
► а)
б) в) На числовой прямой отметим точки и , в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках
Рисунок 2
Решаем уравнение на каждом интервале.
1)
2) Ø.
3)
Ответ: а) , б) , в) .◄
2.9. Кубические уравнения
Кубическое уравнение имеет вид
(10) |
Один из корней уравнения находим среди делителей свободного члена и делим левую часть уравнения, то есть многочлен делим на , в частном получим многочлен второй степени . Поэтому левую часть уравнения можно разложить на множители и решить уравнение:
Пример. Решить уравнение:
►Делители свободного члена: Корнем уравнения является число -2, то есть Делим левую часть уравнения на
Уравнение имеет вид Отсюда ◄
2.
10. Иррациональные уравнения
I вид: , где . | II вид: | (11) |
Пример. Решить уравнение: а) б) в)
► а)
б) решений нет, так как при любом
в)
2.9. Показательные уравнения
I вид: | (12) |
II вид: | (13) |
где
III вид: введение новой переменной.
Пример.
Решить
уравнение: а) б)
в) г)
►а) б)
в) ◄
г)
2.10. Логарифмические уравнения
I вид: | (14) |
где
II вид: | (15) |
где
III вид: Преобразование уравнения к виду (Метод потенцирования).необходимо найти ОДЗ уравнения, а затем пропотенцировать обе части уравнения, то есть свести его ко II виду.
Пример. Решить уравнение: а) б)
в)
► а)
б)
в) ◄
3.
Алгебраические неравенства3.1. Линейные неравенства
Линейное неравенство имеет вид ( )
Перенесем свободный член в правую часть, получим: ( )
Случай 1. Если , то делим обе части на , знак неравенства не меняем: .
Случай 2. Если , то делим обе части на , знак неравенства меняем: .
Если неравенство строгое, то точки, при которых левая часть неравенства равна нулю, изображаем пустым кружком.
Пример. Решить неравенство: а) б)
► а)
б) освободимся от знаменателя
Способы разложения многочлена на множители примеры. Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.
е.
где — являются корнями многочлена.
Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:
Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.
Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.
Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:
П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.
П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.
Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:
П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:
П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:
П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.
Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:
Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.
Способ №2. Формулы Виета
Формулы Виета — это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни.
Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,
справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:
Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения
В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:
Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.
Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями
Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента.
В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами
то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p — делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):
Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом — «столбиком».
Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители
П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами . Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .
Выполним деление исходного многочлена на двучлен:
Воспользуемся схемой Горнера
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.
В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:
Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).
В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).
В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).
Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:
Способ №4.
Использование формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.
Формулы, используемые для разложения на множители
Разложение многочлена на множители. Часть 1
Разложение на множители — это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль — попробовать разложить левую часть на множители.
Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов
В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.
1. Вынесение общего множителя за скобку.
Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.
Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.
Схема вынесения общего множителя выглядит так:
Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.
Пример 1.
Разложить на множители многочлен:
Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.
1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.
2. Устанавливаем, что переменная содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2.
Переменная содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.
Переменная содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.
Итак, общий множитель равен
3. Выносим за скобки множитель пользуясь схемой, приведенной выше:
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :
Итак, получили уравнение
Приравняем каждый множитель к нулю:
Получаем — корень первого уравнения.
Корни :
Ответ: -1, 2, 4
2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.
Если количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.
1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых , то пытаемся применить формулу разности квадратов :
или формулу разности кубов :
Здесь буквы
и
обозначают число или алгебраическое выражение.
2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов :
3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы :
или формулу квадрата разности :
Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена :
Здесь и — корни квадратного уравнения
Пример 3. Разложить на множители выражение:
Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:
Пример 4. Разложить на множители выражение:
Рещение. Перед нами разность квадратов двух выражений. Первое выражение: , второе выражение:
Применим формулу для разности квадратов:
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:
В
общем случае эта задача предполагает
творческий подход, так как не существует
универсального метода ее решения.
Но
все же попробуем дать несколько наводок.
В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.
Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.
Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Вынесение за скобки общего множителя.
Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .
Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .
Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .
Пример.
Разложить
многочлен третьей степени на
множители.
Решение.
Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
Найдем корни квадратного трехчлена
Таким образом,
К началу страницы
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.
В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Пример.
Решение.
Проверим, имеются ли целые корни. Для этого выписываем делители числа -18 : . То есть, если многочлен имеет целые корни, то они находятся среди выписанных чисел. Последовательно проверим эти числа по схеме Горнера. Ее удобство еще и в том, что в итоге получим и коэффициенты разложения многочлена:
То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:
Осталось
разложить квадратный трехчлен .
Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.
Ответ:
Замечание:
вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.
В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.
Пример.
Разложить на множители выражение .
Решение.
Выполнив замену переменной y=2x , перейдем к многочлену с коэффициентом равным единице при старшей степени. Для этого сначала домножим выражение на 4 .
Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:
Вычислим последовательно значения функции g(y) в этих точках до получения нуля.
Online cubic factoriser
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Solve
- Graph
- System
- Решить
- График
- Система
- Математический решатель на вашем сайте
онлайн кубический факторизатор
Связанные темы:
Калькулятор радикалов |
переменные в математических задачах |
алгебра Холта 1 |
как решать операции с подкоренными выражениями |
полиномиальные уравнения процентной ставки по ипотечному кредиту в Техасе |
сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел для 3-го класса |
Учебники по математике для 2-го класса |
учебник по алгебре для девятого класса
| Автор | Сообщение | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| тксумтир88 Дата регистрации: 03. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| espinxh Дата регистрации: 17. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| LifiCPoin Дата регистрации: 01. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| Днексиам Дата регистрации: 25. |
| ||||||
| Наверх | |||||||
| happybabbj Зарегистрирован: 27. |
| ||||||
| Вернуться к началу | |||||||
| Outafnymintjo Дата регистрации: 22. | |||||||
| Наверх | |||||||
12.2003 
03.2002 
10.2002 
01.2003 
04.2005 
07.2002 Tinder: приложение для знакомств. Встретиться. Чат
С более чем 70 миллиардами совпадений на сегодняшний день Tinder® является лучшим бесплатным приложением для знакомств, и лучшее место для знакомства с новыми людьми. Вы ищете настоящую любовь? Открытые отношения? Вы хотите пойти туда и найти дату, или вы просто хотите подружиться и поболтать? С Tinder вы можете встречаться с местными жителями повсюду и получать максимум удовольствия от свиданий:
Независимо от того, натурал вы, гей, бисексуал или кто-то другой, Tinder позволяет вам быть тем, кто вы есть, и найти того, кого вы хотите.
Поделитесь своими интересами и узнайте больше о своих совпадениях, чтобы начать разговор и зажечь искры.
Фото Проверенные профили: Потому что единственные сюрпризы, которые мы хотим, это цветы на первом свидании
Видеочат: Проверьте свою химию онлайн-знакомств и познакомьтесь с новыми людьми из дома!
Куда-то едете? Познакомьтесь с местными жителями и присоединитесь к сообществу людей со всего мира. Свидание в Нью-Йорке, знакомство с новыми друзьями в Майами или свидание в Лондоне: куда бы вы ни пошли, мы будем там.
Некоторые люди называют нас своим «самым надежным приложением для знакомств», некоторые люди называют нас «самый популярный в мире бесплатный сайт знакомств» , но вы можете просто позвонить нам, если захотите встретиться с людьми из вашего района.
Матч, чат и свидание. Это наша мантра.
Находить новых людей в Tinder® легко и весело. Выделите свой профиль своими лучшими фотографиями и немного о себе, чтобы повысить свой потенциал поиска партнеров. Используйте функцию Swipe Right™, чтобы поставить лайк кому-то, используйте функцию Swipe Left™, чтобы отказаться.
Если кто-то любит вас в ответ, это совпадение! И никакого давления: с нашей функцией двойного согласия интерес должен быть взаимным, чтобы он соответствовал. Сколько приложений для знакомств могут сказать такое?
Пока вы здесь, поднимите тост за жизнь Gold и насладитесь некоторыми премиальными функциями Tinder с нашей подпиской Tinder Gold™.
отметок «Нравится». чувства для стольких новых людей, сколько вы хотите
Перемотка назад, чтобы вы могли отменить свой последний лайк или нет
Используйте Passport, чтобы отправиться в любую точку мира, чтобы найти людей в Интернете за пределами вашего почтового индекса минут, чтобы привлечь больше внимания
Доступно 5 суперлайков в неделю, потому что иногда вам очень-очень нравится кто-то
Ищете доступ ко всем премиум-функциям Tinder? Присоединяйтесь к Tinder Platinum™, чтобы ваши лайки располагались в приоритете с потенциальными совпадениями, чтобы иметь возможность отправлять сообщения перед сопоставлением и многое другое.
Есть плюс для тех, кто не готов завязать отношения с Gold или Platinum. С Tinder Plus® вы разблокируете такие функции, как неограниченные лайки, неограниченные перемотки и паспорт.
Так чего же ты ждешь? Загрузите лучшее бесплатное приложение для знакомств уже сегодня! Неважно, хотите ли вы завести друзей, познакомиться с новыми людьми или найти свою идеальную пару, Tinder — это место, где каждый может найти именно то, что ищет. — и тебе пора уже появиться.
—————————————————
Если вы решите приобрести Tinder Plus®, Tinder Gold ™ или Tinder Platinum™ будет снята с вашей учетной записи Google Play, и с вашей учетной записи будет снята плата за продление в течение 24 часов до окончания текущего периода. Автообновление можно отключить в любое время, зайдя в настройки в Play Store после покупки. Отмена текущей подписки не допускается в течение активного периода подписки. Если вы не хотите покупать Tinder Plus®, Tinder Gold™ или Tinder Platinum™, вы можете просто продолжать использовать Tinder бесплатно.