Разложение многочленов на множители
Тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей, называется разложением многочлена на множители. Существует три основных способа разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения и способ группировки.
Разложение на множители: вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, способ группировки (7 класс)
Формулы сокращенного умножения
a2 – b2 = (a — b)(a + b)
a3 – b3 = (a — b)( a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)( a2 — ab + b2)
Примеры применения формул сокращенного умножения для разложения на множители:
1) a4 – 16 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4).
2) c6 – 1 = (с3 – 1) (с3 + 1) = (с – 1)(с2 + с + 1)(с + 1)( с2 – с + 1).
3) a8 – 1 = (a4 – 1)(a4 + 1) = (a2
Пример комбинации вынесения общего множителя и группировки слагаемых:
Пример 1. Разложение многочлена на множители 10ay – bx + 2ax – 5by.
10ay – bx + 2ax – 5by = (10ay – 5by) + (2ax – bx) = 5y(2a – b) + x(2a – b) = (2a – b)(5y + x).
Пример 2. Разложение многочлена на множители 16ab2 — 10c3 + 32ac2 — 5b2c
16ab2 — 10c3 + 32ac2 — 5b2c = (16ab2 + 32ac2) – (5b2c + 10c3) = 16a(b2 + 2c2) – 5c(b2 + 2c2) = (b2 +2c2)(16a – 5c).
Калькуляторы для решение примеров и задач по математике
Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …
Примеры комбинаций вынесения общего множителя, группировки слагаемых и формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители.
1) y3 + 16 – 4y – 4y2 = (y3 – 4y) + (16 — 4y 2) = (y3 – 4y) – (4y2 – 16) = y(y2 – 4) – 4(y2 – 4) =
= (y2 – 4)(y — 4) = (y – 2)(y + 2)(y — 4).
2) (a – b)3 – a + b = (a – b)3 – (a – b) = (a – b)(( a – b)2 – 1) = (a – b)(a2 – 2ab + b2 — 1).
3) x2 – 6xy – 49 + 9y2 = (x2 – 6xy + 9y2) – 49 = (x – 3y)2 – 49 = (x – 3y – 7) (x – 3y +7).
4) c2 + 2c – d2 – 2d = (c2 – d2) + (2c – 2d) = (c – d)(c + d) + 2(c – d) = (c – d)( c + d + 2).
Примеры нестандартных разложений многочленов на множители.
Одно или несколько слагаемых представляется в виде суммы или разности, после чего можно применять группировку или формулы сокращенного умножения.
Пример 1. Разложение многочлена на множители y
y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y2 – 14y + 49) – 9 = (y – 7)2 – 32 = (y – 7 – 3)(y – 7 + 3) = (y – 10)(y – 4).
Пример 2. Разложение многочлена на множители x2 + 7x + 12.
x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4).
Пример 3. Разложение многочлена на множители x2 + 8x +7.
x2 + 8x +7 = x2 + 7x + x + 7 = (x2 + 7x) + (x + 7) = x(x + 7) + (x + 7) = (x + 7)(x + 1).
Пример 4. Разложение многочлена x2 + x – 12 на множители.
x2 + x – 12 = x2 + 4x – 3x – 12 = (x2 + 4x) – (3x +12) = x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(x – 3).
Пример 5. Разложение многочлена на множители x2 — 10x + 24.
x2 — 10x + 24 = x2 -2*5 x + 25 – 1 = (x2 — 2*5 x + 25) – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 5 – 1)(x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4).
Пример 6. Разложение многочлена на множители x2 — 13x + 40.
x2 — 13x + 40 = x2 — 10x – 3x + 25 + 15 = (x2 — 10x + 25) – (3x – 15) = (x – 5)2 – 3(x – 5) =
= (x – 5)(x – 5 – 3) = (x – 5)(x – 8).
Пример 7. Разложим на множители многочлен x2 + 15x + 54.
x2 + 15x + 54 = x2 + (12x + 3x) + (36 + 18) = (x2 + 12x + 36) + (3x + 18) = (x + 6)2 + 3(x + 6) =
= (x + 6)(x + 6 + 3) = (x + 6 )(x + 9).
Пример 8. Разложение многочлена x4 + 3x2 + 4 на множители.
x4 + 3x2 + 4 = x4
= (x2 – x + 2)( x2 + x + 2).
Пример 9. Разложение многочлена на множители x4 + x2 + 1.
x4 + x2 + 1 = x4 + (2x2 – x2) + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 + 1 – x)( x2 + 1 + x) =
= (x2 – x + 1)( x2 + x + 1).
Пример 10. Разложение многочлен x4 + 4 на множители. Данный многочлен представляет интересный пример выражения, когда на первый взгляд кажется, что его разложить на множители невозможно. Прибавим к нему 4x2 и вычтем 4x2, чтобы значение выражения не изменилось.
x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – 4x2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x) =
= (x2 – 2x + 2)( x2 + 2x + 2).
Примеры разложения многочленов на множители
Примеры с решением квадратного уравнения
Пример 1.1
Разложить многочлен на множители:
x4 + x3 – 6x2.
Решение
Выносим x2 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 + x – 6 = 0:
.
Корни уравнения:
, .
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Ответ
.
Пример 1.2
Разложить на множители многочлен третьей степени:
x3 + 6x2 + 9x.
Решение
Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 + 6x + 9 = 0:
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.
Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.
Ответ
.
Пример 1.3
Разложить на множители многочлен пятой степени:
x5 – 2x4 + 10x3.
Решение
Выносим x3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 – 2x + 10 = 0.
Его дискриминант: .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
, .
Разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.
Ответ
.
Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул
Примеры с биквадратными многочленами
Пример 2.1
Разложить биквадратный многочлен на множители:
x4 +x2 – 20.
Решение
Применим формулы:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
a2 – b2 = (a – b)(a + b).
;
.
Ответ
.
Пример 2.2
Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x8 +x4 + 1.
Решение
Применим формулы:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
a2 – b2 = (a – b)(a + b):
;
;
.
Ответ
.
Пример 2.3 с возвратным многочленом
Разложить на множители возвратный многочлен:
.
Решение
Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = –1. Делим многочлен на x – (–1) = x + 1. В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
, ;
;
;
.
Ответ
.
Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями
Пример 3.1
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6.
Подставляем поочередно эти значения:
(–6)3 – 6·(–6)2 + 11·(–6) – 6 = –504;
(–3)3 – 6·(–3)2 + 11·(–3) – 6 = –120;
(–2)3 – 6·(–2)2 + 11·(–2) – 6 = –60;
(–1)3 – 6·(–1)2 + 11·(–1) – 6 = –24;
13 – 6·12 + 11·1 – 6 = 0;
23 – 6·22 + 11·2 – 6 = 0;
33 – 6·32 + 11·3 – 6 = 0;
63 – 6·62 + 11·6 – 6 = 60.
Итак, мы нашли три корня:
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.
Ответ
.
Пример 3.2
Разложить многочлен на множители:
.
Решение
Предположим, что уравнение
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–2, –1, 1, 2.
Подставляем поочередно эти значения:
(–2)4 + 2·(–2)3 + 3·(–2)3 + 4·(–2) + 2 = 6;
(–1)4 + 2·(–1)3 + 3·(–1)3 + 4·(–1) + 2 = 0;
14 + 2·13
24 + 2·23 + 3·23 + 4·2 + 2 = 54.
Итак, мы нашли один корень:
x1 = –1.
Делим многочлен на x – x1 = x – (–1) = x + 1:
Тогда,
.
Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.
Итак, мы нашли еще один корень x2 = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:
.
Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид:
.
Ответ
.
3-8- Курс
- NCERT
- Класс 12
- Класс 11
- Класс 10
- Класс 9
- Класс 8 9091 2
- Класс 7
- Класс 6
- IIT JEE
- NCERT
- Экзамен
- JEE MAINS
- JEE ADVANCED
- X BOARDS
- XII BOARDS
- NEET
- Neet Предыдущий год (по годам)
- Физика Предыдущий год
- Химия Предыдущий год
- Биология Предыдущий год
- Новый Все образцы работ
- Образцы работ по биологии
- Образцы работ по физике
- Образцы работ по химии
- Загрузить PDF-файлы
- Класс 12
- Класс 11
- Класс 10
- Класс 9
- Класс 8
- Класс 7
- Класс 6
- Экзаменационный уголок
- Онлайн-класс 9 0925
- Викторина
- Задать вопрос в Whatsapp
- Поиск Doubtnut
- Английский словарь
- Блог
- О нас
- Карьера
- Скачать
- Получить приложение
- 9 0907 Toppers Talk
Вопрос
Обновлено: 26/04/2023 8 9(8)
37032058
01:21
Факторизация x4+x2+1.