Разложить на множители x8 x4 1: многочлены / Разложить $%x^8+x^4+1$% на 4 множителя / Математика

alexxlab / / Разное

Содержание

Разложение многочленов на множители

Тождественное преобразование, в результате которого многочлен преобразуется в произведение нескольких сомножителей, называется разложением многочлена на множители. Существует три основных способа разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения и способ группировки.

Разложение на множители: вынесение общего множителя, формулы сокращенного умножения, способ группировки (7 класс)

Формулы сокращенного умножения

a2 – b2 = (a — b)(a + b)
a3 – b3 = (a — b)( a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)( a2 — ab + b2)

Примеры применения формул сокращенного умножения для разложения на множители:

1)   a4 – 16 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4).

2)   c6 – 1 = (с3 – 1) (с3 + 1) = (с – 1)(с2 + с + 1)(с + 1)( с2 – с + 1).

3)   a8 – 1 = (a4 – 1)(a4 + 1) = (a2

– 1)(a2 + 1) (a4 + 1) = (a – 1)(a + 1)(a2 + 1) (a4 + 1).

Пример комбинации вынесения общего множителя и группировки слагаемых:

Пример 1. Разложение многочлена на множители 10ay – bx + 2ax – 5by.
10ay – bx + 2ax – 5by = (10ay – 5by) + (2ax – bx) = 5y(2a – b) + x(2a – b) = (2a – b)(5y + x).

Пример 2. Разложение многочлена на множители 16ab2 — 10c3 + 32ac2 — 5b2c
16ab2 — 10c3 + 32ac2 — 5b2c = (16ab2 + 32ac2) – (5b2c + 10c3) = 16a(b2 + 2c2) – 5c(b2 + 2c2) = (b2 +2c2)(16a – 5c).

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Примеры комбинаций вынесения общего множителя, группировки слагаемых и формул сокращенного умножения для разложения многочленов на множители.

1) y3 + 16 – 4y – 4y2 = (y3 – 4y) + (16 — 4y

2) = (y3 – 4y) – (4y2 – 16) = y(y2 – 4) – 4(y2 – 4) =
= (y2 – 4)(y — 4) = (y – 2)(y + 2)(y — 4).

2) (a – b)3 – a + b = (a – b)3 – (a – b) = (a – b)(( a – b)2 – 1) = (a – b)(a2 – 2ab + b2 — 1).

3) x2 – 6xy – 49 + 9y2 = (x2 – 6xy + 9y2) – 49 = (x – 3y)2 – 49 = (x – 3y – 7) (x – 3y +7).

4) c2 + 2c – d2 – 2d = (c2 – d2) + (2c – 2d) = (c – d)(c + d) + 2(c – d) = (c – d)( c + d + 2).

Примеры нестандартных разложений многочленов на множители.

Одно или несколько слагаемых представляется в виде суммы или разности, после чего можно применять группировку или формулы сокращенного умножения.

Пример 1. Разложение многочлена на множители y

2 – 14y + 40.
y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y2 – 14y + 49) – 9 = (y – 7)2 – 32 = (y – 7 – 3)(y – 7 + 3) = (y – 10)(y – 4).

Пример 2. Разложение многочлена на множители x2 + 7x + 12.
x2 + 7x + 12 = x2 + 3x + 4x + 12 = (x2 + 3x) + (4x + 12) = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4).

Пример 3. Разложение многочлена на множители x2 + 8x +7.
x2 + 8x +7 = x2 + 7x + x + 7 = (x2 + 7x) + (x + 7) = x(x + 7) + (x + 7) = (x + 7)(x + 1).

Пример 4. Разложение многочлена x2 + x – 12 на множители.
x2 + x – 12 = x2 + 4x – 3x – 12 = (x2 + 4x) – (3x +12) = x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(x – 3).

Пример 5. Разложение многочлена на множители x2

— 10x + 24.
x2 — 10x + 24 = x2 -2*5 x + 25 – 1 = (x2 — 2*5 x + 25) – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 5 – 1)(x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4).

Пример 6. Разложение многочлена на множители x2 — 13x + 40.
x2 — 13x + 40 = x2 — 10x – 3x + 25 + 15 = (x2 — 10x + 25) – (3x – 15) = (x – 5)2 – 3(x – 5) =
= (x – 5)(x – 5 – 3) = (x – 5)(x – 8).

Пример 7. Разложим на множители многочлен x2 + 15x + 54.
x2 + 15x + 54 = x2 + (12x + 3x) + (36 + 18) = (x2 + 12x + 36) + (3x + 18) = (x + 6)2 + 3(x + 6) =
= (x + 6)(x + 6 + 3) = (x + 6 )(x + 9).

Пример 8. Разложение многочлена x4 + 3x2 + 4 на множители.
x4 + 3x2 + 4 = x4

+ (4x2 – x2) + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – x2 = (x2 + 2)2 – x2 = (x2 + 2 – x)( x2 + 2 + x) =
= (x2 – x + 2)( x2 + x + 2).

Пример 9. Разложение многочлена на множители x4 + x2 + 1.
x4 + x2 + 1 = x4 + (2x2 – x2) + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 + 1 – x)( x2 + 1 + x) =
= (x2 – x + 1)( x2 + x + 1).

Пример 10. Разложение многочлен x4 + 4 на множители. Данный многочлен представляет интересный пример выражения, когда на первый взгляд кажется, что его разложить на множители невозможно. Прибавим к нему 4x2 и вычтем 4x2, чтобы значение выражения не изменилось.

x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – 4x2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x) =
= (x2 – 2x + 2)( x2 + 2x + 2).

Примеры разложения многочленов на множители

Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

Разложить многочлен на множители:
x4 + x3 – 6x2.

Решение

Выносим x2 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 + x – 6 = 0:
.
Корни уравнения:
,   .

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

.

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x3 + 6x2 + 9x.

Решение

Выносим x за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 + 6x + 9 = 0:
Его дискриминант:   .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ;
.

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
.

Ответ

.

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x5 – 2x4 + 10x3.

Решение

Выносим x3 за скобки:
.
Решаем квадратное уравнение x2 – 2x + 10 = 0.
Его дискриминант:   .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ;
,   .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
.

Ответ

.

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x4 +x2 – 20.

Решение

Применим формулы:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
a2 – b2 = (a – b)(a + b).

;
.

Ответ

.

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x8 +x4 + 1.

Решение

Применим формулы:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
a2 – b2 = (a – b)(a + b):

;

;
.

Ответ

.

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
.

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = –1. Делим многочлен на x – (–1) = x + 1. В результате получаем:
.
Делаем подстановку:
,   ;
;

;
.

Ответ

.

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6.
Подставляем поочередно эти значения:
(–6)3 – 6·(–6)2 + 11·(–6) – 6 = –504;
(–3)3 – 6·(–3)2 + 11·(–3) – 6 = –120;
(–2)3 – 6·(–2)2 + 11·(–2) – 6 = –60;
(–1)3 – 6·(–1)2 + 11·(–1) – 6 = –24;
13 – 6·12 + 11·1 – 6 = 0;
23 – 6·22 + 11·2 – 6 = 0;
33 – 6·32 + 11·3 – 6 = 0;
63 – 6·62 + 11·6 – 6 = 60.

Итак, мы нашли три корня:
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3.
Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
.

Ответ

.

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
.

Решение

Предположим, что уравнение

имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–2, –1, 1, 2.
Подставляем поочередно эти значения:
(–2)4 + 2·(–2)3 + 3·(–2)3 + 4·(–2) + 2 = 6;
(–1)4 + 2·(–1)3 + 3·(–1)3 + 4·(–1) + 2 = 0;
14 + 2·13

+ 3·13 + 4·1 + 2 = 12;
24 + 2·23 + 3·23 + 4·2 + 2 = 54.

Итак, мы нашли один корень:
x1 = –1.
Делим многочлен на x – x1 = x – (–1) = x + 1:

Тогда,
.

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
.
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2.
Подставим x = –1:
.

Итак, мы нашли еще один корень x2 = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены:
.

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид:
.

Ответ

.

3-8
9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 9(4) +1
  • Курс
    • NCERT
      • Класс 12
      • Класс 11
      • Класс 10
      • Класс 9
      • Класс 8 9091 2
      • Класс 7
      • Класс 6
    • IIT JEE
  • Экзамен
    • JEE MAINS
    • JEE ADVANCED
    • X BOARDS
    • XII BOARDS
    • NEET
      • Neet Предыдущий год (по годам)
      • Физика Предыдущий год
      • Химия Предыдущий год
      • Биология Предыдущий год
      • Новый Все образцы работ
      • Образцы работ по биологии
      • Образцы работ по физике
      • Образцы работ по химии
  • Загрузить PDF-файлы
    • Класс 12
    • Класс 11
    • Класс 10
    • Класс 9
    • Класс 8
    • Класс 7
    • Класс 6
  • Экзаменационный уголок
  • Онлайн-класс
    • 9 0925
    • Викторина
    • Задать вопрос в Whatsapp
    • Поиск Doubtnut
    • Английский словарь
      9 0907 Toppers Talk
    • Блог
    • О ​​нас
    • Карьера
    • Скачать
    • Получить приложение

    Вопрос

    Обновлено: 26/04/2023 8 9(8)

    37032058

    01:21

    Факторизация x4+x2+1.

    No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *