Разложить по формуле бинома ньютона онлайн: Разложение Бинома Ньютона | Онлайн калькулятор

Содержание

Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула

Определение 1

С натуральным n формула Бинома Ньютона принимает вид a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+…+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn, где имеем, что Cnk=(n)!(k)!·(n-k)!=n(n-1)·(n-2)·…·(n-(k-1))(k)!- биномиальные коэффициенты, где есть n по k, k=0,1,2,…,n, а «!» является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения a+b2=C20·a2+C21·a1·b+C22·b2=a2+2ab+b2
просматривается формула бинома Ньютона, так как при n=2 является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением (a+b)n, а Сnk·an-k·bk — (k+1)-ым членом разложения, где k=0,1,2, …,n.

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
0						C00
1					C10		C11
2				C20		C21		C22
3			C30		C31		C32		C33
⋮		…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	Cn0		Cn1	…	…	…	…	…	Cnn-1		Cnn

При натуральных n такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
0								1
1							1		1
2						1		2		1
3					1		3		3		1
4				1		4		6		4		1
5			1		5		10		10		5		1
⋮		…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	Cn0		Cn1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	Cnn-1		Cnn

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле Cnp=Cnn-p, где р=0, 1, 2, …, n;
Cnp=Cnp+1=Cn+1p+1;
биномиальные коэффициенты в сумме дают 2 в степени показателя степени бинома, то есть Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n;
при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+…+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

Проверка справедливости разложения при n=3. Имеем, что
a+b3=a+ba+ba+b=a2+ab+ba+b2a+b==a2+2ab+b2a+b=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab+b3==a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33b3

Если неравенство верно при n-1, тогда выражение вида a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+…+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

считается справедливым.

Доказательство равенства a+bn-1=Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+…+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1, основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

Выражению

a+bn=a+ba+bn-1==(a+b)Cn-10·an-1·Cn-11·an-2·b·Cn-12·an-3·b2+…+Cn-1n-2·a·bn-2+Cn-1n-1·bn-1

Необходимо раскрыть скобки, тогда получимa+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an-2·b2+…+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn-12·an-3·b3+…+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Производим группировку слагаемых

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+. ..++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn

Имеем, что Cn-10=1 и Cn0=1, тогда Cn-10=Cn0. Если Cn-1n-1=1 и Cnn=1, тогда Cn-1n-1=Cnn. При применении свойства сочетаний Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1, получаем выражение вида

Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2⋮Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+…++Cn-1n-1+Cn-1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+…+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона — применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Пример 1

Разложить выражение (a+b)5, используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1, 5, 10, 10, 5, 1. То есть, получаем, что a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 является искомым разложением.

Ответ: a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Пример 2

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида a+b10.

Решение

По условию имеем, что n=10, k=6-1=5. Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

Cnk=C105=(10)!(5)!·10-5!=(10)!(5)!·(5)!==10·9·8·7·6(5)!=10·9·8·7·61·2·3·4·5=252

Ответ: Cnk=C105=252

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Пример 3

Доказать, что значение выражения 5n+28·n-1, при n, являющимся натуральным числом, делится на 16 без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде 5n=4+1n и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

5n+28·n-1=4+1n+28·n-1==Cn0·4n+Cn1·4n-1·1+…+Cnn-2·42·1n-2+Cnn-1·4·1n-1+Cnn·1n+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+…+Cnn-2·42+n·4+1+28·n-1==4n+Cn1·4n-1+…+Cnn-2·42+32·n==16·(4n-2+Cn1·4n-3+.

..+Cnn-2+2·n)

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на 16.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Метод Ньютона онлайн

Метод Ньютона используется для нахождения корней функции f(x) = 0. Если необходимо найти минимум функции f(x) → min методом Ньютона, то необходимо использовать данный калькулятор.

Назначение сервиса. Сервис предназначен для отыскания корней уравнений

f(x) в онлайн режиме следующими методами:

Метод хорд, Метод итераций, Комбинированный метод, Метод половинного деления (метод дихотомии)
Метод золотого сечения, Модифицированный метод Ньютона, Метод секущих, Метод Ньютона (метод касательных)

Инструкция. Введите выражение F(x), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

F(x) =

Искать в интервале от до .
Точность ξ =
Количество интервалов разбиения, n = (подробнее о влиянии на решение)

Метод решения нелинейных уравненийМетод дихотомииМетод Ньютона (метод касательных)Модифицированный метод НьютонаМетод хордКомбинированный методМетод золотого сеченияМетод итерацийМетод секущих

Правила ввода функции, заданной в явном виде

Примеры правильного написания F(x):

10•x•e^2x = 10*x*exp(2*x)
x•e^-x+cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
x³-x²+3 = x^3-x^2+3
Выражение 0. 2+3x-12.


см. также Решение нелинейных уравнений. Примеры решений.

Пусть дано уравнение f(x)=0, где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b. Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x). Число ξ называется корнем k-ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f^k-1(ξ) = 0. Однократный корень называется простым. 
Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:
Отделение корней, то есть установление интервалов [α_i,β_i], в которых содержится один корень уравнения.f(a)•f(b)<0, т. е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.
Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных) 
Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня x_n_-1. Тогда n-ое приближение x_n мы можем получить следующим образом. Положим  
x_n = x_n_-1 + h_n_-1 . (3.15) 
Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке x_n_-1, получим 
f(x_n) = f(x_n_-1+h_n_-1) = f(x_n_-1) + f’(x_n_-1)h_n_-1=0 
Отсюда следует 
. (3.16) 
Подставим (3.16) в формулу (3.15), получим 
 (3.17)
Рис.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона
 
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой (см. рис.1). 
В точке B имеем f(x₀)f’’(x₀)>0. Здесь x₀=b. Проведем касательную в точке B, получим на пересечении касательной осью OX точку x₁. Далее проводим касательную в точке B₁, получим точку x₂ и т.д. 
Если положить x₀=a, то в точке x₀ будем иметь f(x₀)f’’(x₀)<0. Тогда  касательная в точке A пересекла бы ось OX в точке x’₁, лежащей вне отрезка [a,b], то есть при таком выборе начальной точки, метод Ньютона оказывается расходящимся. Достаточные условия сходимости метода Ньютона определяются следующей теоремой. 
Теорема 5. Если f(a)f(b)<0, причем f′(x) и f″(x) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при a≤x≤b, то исходя из начального приближения x₀∈[a,b], удовлетворяющего неравенству  
f(x₀)f’’(x₀)>0 (3. 18) 
можно вычислить методом Ньютона (3.17) единственный корень ξ уравнения f(x)=0 с любой степенью точности. 
Доказательство: Пусть f(a)<0, f(b)>0, f′(x)>0, f″(x)>0, a≤x≤b. Согласно неравенству (3.18) в качестве точки x₀ мы должны взять ту границу отрезка, для которой f(x₀)>0, т.е. в данном случае т. b. 
Итак, имеем x₀>ξ. Докажем, что все приближения x_n> ξ и следовательно все f(x_n)>0. Пусть теперь x_n-1> ξ. Положим ξ = x_n-1 + (ξ-x_n-1). 
Применяя формулу Тейлора, получим
где ξ <c_n_-1<x_n_-1. 
Так как f″(x)>0, то имеем 
f(x_n-1)+f′(x_n-1)(ε-x_n-1)<0 и, следовательно 
 ч.т.д. (3.19) 
Из (3.19) учитывая знаки f(x_n-1) и f′(x_n-1) имеем x_n<x_n_-1, то есть получаем ограниченную монотонную убывающую последовательность x₀>x₁> . .. >x_n>x_n+1>ε. Следовательно, существует . 
Переходя к пределу в формуле (3.17) получим 
, то есть f(ξ)=0, и следовательно,  ξ- корень ,ч.т.д. 
Оценим скорость сходимости метода Ньютона. Из (3.17) следует 
. (3.20)
 
Представим f(ξ) в виде
, откуда 
. (3.21) 
Подставим (3.21) в (3.20), получим 

Отсюда  
. (3.22) 
Здесь , 

Таким образом, скорость сходимости метода Ньютона квадратичная. 
Рис.2
Критерий завершения итерационного процесса имеет вид
|x_n – x_n-1|<ε.
Замечание. В общем случае совпадение с точностью до ε двух последовательных приближений x_n-1 и x_n не гарантирует, что с той же точностью совпадет x_n и ξ (см. рис. 2). Поэтому целесообразно проверять кроме разности |x_n – x_n_-1|<ε также значение функции f(x_n): |f(x_n)|< ε₁. 

Пример. f(x) = x⁴-3x³+75x-10000=0. 
Найти отрицательный корень с пятью верными знаками. 
Решение: Полагая x=0, -10, -100, получим f(0)=-10⁴, f(-10) = -150, f(-100) ≈ 10⁸. Таким образом -100<ξ<-10. Сузим интервал, так как f(-11)=3433, то -11< ξ <-10.  
В интервале [-11, -10] f(x)<0, f’’(x)>0. Так как f(-11)f’’(-11)>0, то x₀=-11.  
Последовательные приближения даны в таблице.

n x_n f(x_n) f’(x_n) h_n=- f(x_n)/ f’(x_n)
0 -11 3453 -5183 0.7
1 -10.3 134.3 -4234 0.03
2 -10.27 37.8 -4196 0. 009
3 -10.261 0.2  
4 -10.260 <0  

Получим -10.261<ξ<-10.260.

Метод золотого сечения 
Точки деления интервала выбираются таким образом, чтобы отношение длин подынтервалов удовлетворяло соотношению (см. рис.)
. (3.32)
 
Так как Δ_k = Δ_k+1 + Δ_k+2, то имеем 
. (3.33)
 
С учетом (3.32) из (3.33) получим уравнение 
,
 
корнем которого является золотое сечение. 
. 
Скорость сходимости МЗС имеет порядок с коэффициентом 1/γ = γ -1 = 0.618. Калькулятор биномиальной теоремы и решатель 
 Получите подробные решения ваших математических задач с помощью нашего пошагового калькулятора 
 Биномиальной теоремы  . Практикуйте свои математические навыки и учитесь шаг за шагом с помощью нашего математического решателя. Ознакомьтесь со всеми нашими онлайн-калькуляторами здесь. 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 900 06 9
 а
 б
 в
 г
 ж
 г
 м
 n
 u
 v
 w
 x
 y
 z
 9 0006 .
 (◻)
 +
 -
 ×
 ◻/◻
 /
 ÷
 ◻ 90 069 2 
 ◻ ^◻
 √◻
 √
 ^◻ √ ◻
 ^◻ √
 ∞
 e
 π
 ln
 бревно
 бревно 90 099 ◻ 
 lim
 d/dx
 D ^□ _x
 ∫
 ∫ 9006 9 ◻ 
 |◻|
 θ
 =
 >
 <
 >=
 <=
 sin
 cos
 tan
 кроватка
 sec
 csc
 asin
 acos
 atan
 acot
 asec
 acsc
 sinh
 cosh 9н$. {5}$ 9{2}+405x+243$   
 Проблемы с математикой? 
 Доступ к подробным пошаговым решениям тысяч проблем, число которых растет с каждым днем!
 Онлайн-вычисление LCM двух целых чисел — вычисление наименьшего общего кратного 
 Биномиальный коэффициент, расчет онлайн 
 Сводка: 
 Калькулятор биномиального коэффициента, который позволяет вычислить биномиальный коэффициент из двух целых чисел.
 биномиальный_коэффициент онлайн
 Описание: 
 Определение биномиального коэффициента 
 В математике биномиальный коэффициент   двух целых чисел n и k представляет собой число `(n!)/(k!(n-k)!`, где `k
 Калькулятор биномиального коэффициента 
 Калькулятор биномиального коэффициента   позволяет вычислять биномиальный коэффициент из двух целых чисел.
 К  вычислить биномиальный коэффициент  из двух чисел n и k, калькулятор использует следующую формулу: `(n!)/(k!(n-k)!`. Указаны шаги расчета.
 Например, чтобы 90 527 вычислить биномиальный коэффициент 90 528 следующих двух целых чисел 5 и 3, просто введите
 биномиальный_коэффициент(`5;3`),
 и калькулятор возвращает результат, равный 10.
 Биномиальные коэффициенты вмешиваются, в частности, в 
 расширение алгебраического выражения с помощью биномиальной формулы Ньютона
 или в вероятности с комбинаторикой или комбинациями.
 Одна из особенностей 9.Калькулятор биномиальных коэффициентов 0527 предназначен для указания различных шагов вычисления , которые позволяют найти результат.
 Синтаксис: 
 binomial_coefficient(n;k), n и k — целые числа.
 Примеры: 
 binomial_coefficient(5;3), возвращает 10
 Расчет онлайн с помощью binomial_coefficient (расчет биномиальных коэффициентов)
 См. также
  Список связанных калькуляторов:  
 Номер расстановки комплекта калькулятор : расстановка. Вычислить онлайн количество расположения p элементов множества из n элементов.
 Расчет биномиальных коэффициентов: binomial_coefficient. Калькулятор биномиального коэффициента, который позволяет вычислить биномиальный коэффициент из двух целых чисел.
 Чтобы подсчитать количество комбинаций: комбинация. Вычислить количество k элементов части множества из n элементов.
 Преобразователь base-n : base_converter. Калькулятор позволяет выполнять десятичные, двоичные, шестнадцатеричные преобразования и, в более общем случае, преобразование в любое основание n от 2 до 36.
 Калькулятор простой факторизации: prime_factorization. Функция prime_factorization используется для онлайн-расчета разложения целого числа на простые множители.
 Калькулятор частного и остатка: euclidean_division. Калькулятор позволяет найти в режиме онлайн частное и остаток при евклидовом делении двух многочленов или двух целых чисел.
 Четность числа: is_odd. Функция Is_odd возвращает true, если переданное число нечетное, иначе false.
 Четность числа: is_even. Функция Is_even возвращает 1, если число четное, иначе 0.
 Калькулятор факториала: факториал. Факториал натурального числа n — это произведение натуральных чисел, меньших или равных n. Калькулятор факториала позволяет найти это число.
 Калькулятор перестановок: перестановка. Подсчитать онлайн количество перестановок набора из n элементов.
 Расчет НОД онлайн: НОД. Калькулятор НОД, который использует алгоритм Евклида для определения шагов вычисления НОД.
 Наименьшее общее кратное: lcm. Калькулятор LCM для расчета наименьшего общего кратного (НОК).
 Калькулятор теоремы Пифагора: пифагорейский. Калькулятор использует теорему Пифагора, чтобы проверить прямоугольность треугольника или найти длину одной стороны прямоугольного треугольника.
 Решатель обратного отсчета: arithmetic_solver. Этот решатель обратного отсчета позволяет найти целевое число из набора целых чисел с помощью арифметических операций.No related posts.