Размещение в комбинаторике: Размещения и сочетания — урок. Алгебра, 11 класс.

размещения, перестановки, сочетания. Привести примеры.

Определение 1.Размещениемизnэлементов поm называется любойупорядоченный наборизmразличных элементов, выбранных из генеральной совокупности вnэлементов.

Пример 1. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1,2), (2,1), (1, 3), (3,1), (2,3),(3,2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком. Число размещений обозначаетсяи вычисляется по формуле:

Определение 2. Сочетаниемизnэлементов поmназывается любойнеупорядоченный наборизmразличных элементов, выбранных из генеральной совокупности вnэлементов.

Пример 2. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Число сочетаний обозначаетсяи вычисляется по формуле:

Определение 3. Перестановкойизnэлементов называется любойупорядоченный наборэтих элементов.

Пример 3.Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2). Число различных перестановок из n элементов обозначаетсяи вычисляется по формуле

2. Случайный эксперимент. Основные особенности. Привести пример. Случайным экспериментом или испытанием называется осуществление какого-либо комплекса условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз.

Основные особенности: множественность исходов, непредвиденность результата, многократность повторения (при одних и тех же условиях), наличие определённых закономерностей при многократном повторении.

Примеры случайного эксперимента: подбрасывание монеты, извлечение одной карты из перетасованной колоды.

3. Случайные события. Виды случайных событий. Действия над событиями. Полная группа событий. Противоположные события.

Результат (исход) испытания называетсяслучайным событием(или просто: событием).

Виды событий:Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Важным понятием является 

полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Введем понятие противоположного, или дополнительного, события. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий.

Действия над событиями:

Суммой, или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением, или пересечением, нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

4. Классическое определение вероятности. Привести пример. Вероятность события равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, из общего числаединственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу, т. е.

(.)

Пример вопросу №4. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

5. Геометрическая вероятность. Привести пример. Пусть на плоскости задана некоторая область площадью, в которой содержится другая областьплощадью(рис. 3). В областьнаудачу бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет в область? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области, и вероятность попасть в какую-либо часть областипропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в областьпри бросании наудачу точки в область

Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность попадания случайной точки внутрь некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности.

6. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Статистическая вероятность.

Пусть произведеноnиспытаний, при этом некоторое событие А наступилоmраз. Числоmназываетсяабсолютной частотой(или просто частотой) появления события А, а отношение ω(A)=m/nназываетсяотносительной частотойпоявления случайного события А в данной серии опытов. С увеличением числа испытаний в сериях относительная частота приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая всё более устойчивые значения.

Статистической вероятностьюсобытия А называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты события А при большом числе опытов (испытаний).

Mathematics @ NCSSM — Курсы и стажировка

Математический факультет Школы естественных наук и математики Северной Каролины предлагает учащимся возможность получить четкое представление о математике на прикладных и теоретических курсах, посвященных концепциям, приложениям и использованию технологии. Студенты могут продолжить учебу на курсах повышения квалификации или спонсируемых исследованиях, которые расширят широту и глубину их понимания и помогут им распознать множество применений математики в других областях обучения.

Выпускные требования по математике

Каждый учащийся должен успешно пройти три раздела по основной математике для получения зачетных единиц. Если учащийся не перешел на более высокий уровень математики при поступлении в NCSSM, два модуля должны быть в MA4000/MA4002: Precalculus и Modeling w/Advanced Topics.

Зачисление

Учащиеся младших классов распределяются по курсу, наиболее подходящему для них, как это определено факультетом математики на основании вступительных тестов и предыдущих курсовых работ. Типичными курсами для поступающих юниоров являются Precalculus или AP Calculus BC. Некоторые поступающие юниоры также выбирают курсы из других наших разнообразных курсов.

Зачисление старшеклассников определяется их успеваемостью на курсах математики, которые они заканчивают как младшие, и рекомендацией инструктора. Департамент признает индивидуальные различия, которые необходимо учитывать при переводе студентов на курсы старшего уровня.

Ниже вы найдете короткие видеоролики с описанием каждого из курсов, предлагаемых математическим факультетом. Обратите внимание, что преподаватели для каждого курса меняются из года в год. Хотя инструктор, показанный в видео, возможно, в настоящее время не ведет курс, все наши предложения курсов соответствуют нашим совместным убеждениям отдела.

Введение за один семестр в исчисление с применением биологии.

Мы предлагаем как AP Calculus AB, так и AP Calculus BC в виде годичных курсов, посвященных математическому моделированию.

Узнайте больше о методах решения дифференциальных уравнений с некоторыми темами линейной алгебры и сосредоточьтесь на моделировании.

Распространение основных концепций исчисления на пространства более высокой размерности.

Изучите математику аппроксимации с технологией, сочетая идеи исчисления и программирование.

Мы предлагаем годовой курс AP Statistics, посвященный математическому моделированию.

Введение в методы обработки данных, включая введение в программирование.

Развивайте навыки, полученные в курсе «Основы науки о данных», для изучения дополнительных методов науки о данных и программирования.

Научитесь составлять и расшифровывать коды, а также познакомьтесь с программированием.

Применять математику в различных областях, особенно в тех, которые связаны с концепцией честных и справедливых отношений между личностью и обществом.

Хотя математическое моделирование является неотъемлемой частью нашей учебной программы, этот курс посвящен развитию практики математического моделирования.

Узнайте о характеристиках хаотического и неожиданного поведения, а также о математике социальных сетей.

Комбинаторику можно рассматривать как математику счета и расположения. Помимо изучения этих тем, мы рассмотрим игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой.

Применение методов доказательства в различных областях абстрактной математики.

Введение в формальные математические доказательства и математические исследования в области теории графов.

Возможность применить методы написания корректуры для исследования открытой задачи по математике.

• Проверьте документ по математическим курсам

• С вашим нынешним инструктором по математике

• Достигнуть до:

  9005

  • Г-жа Чери Ганн, заведующая кафедрой математики в Дареме

Вакансия по математике — Факультет математики Регистрация.

Оценку можно будет пройти до 8 января 2023 г., 23:59. до начала весеннего семестра. Оценка возобновится с личного тестирования для нынешних студентов USC-Columbia в феврале и марте 2023 года. даты тестирования и регистрационная информация для личных сессий, которые будут объявлено в ближайшее время.

Инструкции, включая доступ к тестам

Пожалуйста, прочтите эти инструкции перед началом теста.

ВЕБВОРК

WeBWorK: онлайн-платформа программного обеспечения USC для вступительного тестирования по математике

Брошюра

Брошюра по оценке математики

Часто задаваемые вопросы об оценке

Есть вопрос? Вы можете найти ответ здесь.

Практические тесты MAP

Практические тесты дадут вам хорошее представление о том, чего ожидать от вступительных тестов.

Предпосылки

Многие курсы USC MATH имеют предварительные требования, которые необходимо выполнить, прежде чем вы сможете зарегистрироваться на них. их. Некоторые предполагают успешное завершение другого курса MATH, другие требуют квалификационного оценка по MAP, MPT или комбинации двух предыдущих вариантов.

AP/IB Форма запроса на временное предварительное изменение

Если вы сдали тест AP Calculus или IB Mathematics (более высокий уровень) и ожидаете чтобы баллы поступили в USC, чтобы удовлетворить предварительное требование, или если вы ждете кредит курса из другого колледжа или университета, чтобы удовлетворить предварительное условие, вы можете претендовать на переопределение предварительного условия.