Размножение на множители: Разложение на множители онлайн

Разложение на множители с примерами решения

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Рассмотрим примеры решения уравнений, в которых используется разложение многочлена на множители. При этом будем использовать следующее правило:

• произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысл.

Примеры с решением

Пример 1:

Решим уравнение

Разложив левую часть уравнения на множители, получим

Это уравнение равносильно данному, так как его левую часть, т.е. выражение мы заменили тождественно равным ему выражением

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей.

В данном случае произведение равно нулю, когда или

Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений, т.е. корнями уравнения являются как корень уравнения так и корень уравнения Первое уравнение имеет корень, равный 0, второе уравнение — корень, равный 3.

Запись решения уравнения можно вести так:

Ответ:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример 2:

Решим уравнение

Разложим на множители левую часть уравнения способом группировки. Имеем:

Второе уравнение не имеет корней, так как при любом значение выражения — положительное число.

Ответ: 8.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Область допустимых значений

Метод Якоби

Как найти длину

Свойства корней

Пример 3:

Решим уравнение

Перенесем выражение в левую часть уравнения (изменив его знак) и разложим полученное выражение на множители.

Имеем:

Ответ: -3; 6.

Пример 4:

Решим уравнение

Имеем:

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение

Ответ: 0, 2, 3, 5

Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

Возьмем формулы квадрата суммы и квадрата разности. В каждой из них поменяем местами левую и правую части. Получим новые формулы:

Они показывают, как трехчлены вида и представить в виде квадратов двучленов, т. е. разложить на два одинаковых множителя.

Пример 5:

Разложим на множители многочлен

Первое слагаемое является квадратом третье — квадратом числа 3, второе — удвоенным произведением и 3, так как

Поэтому:

Пример 6:

Разложим на множители многочлен

Первое слагаемое представляет собой квадрат выражения третье — квадрат числа 4, а второе — удвоенное произведение и 4 со знаком «минус». Следовательно,

Разложение на множители суммы и разности кубов

Формулы куба суммы и куба разности двух выражений являются формулами сокращенного умножения. Рассмотрим еще две формулы сокращенного умножения.

Умножим разность на выражение называемое неполным квадратом суммы Оно отличается от квадрата суммы т. е. выражения тем, что в него входит произведение вместо удвоенного произведения Теперь выполним умножение:

Значит,

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 7:

Представим в виде многочлена произведение

Множитель представляет собой разность

Множитель есть неполный квадрат суммы так как он равен квадрату плюс произведение и плюс квадрат

По формуле (1) данное произведение

равно разности кубов выражений

Умножим сумму на выражение называемое неполным квадратом разности

Значит,

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 8:

Представим в виде многочлена произведение

Множитель представляет собой разность

Множитель есть неполный квадрат суммы так как он равен квадрату плюс произведение и плюс квадрат

По формуле (1) данное произведение

равно разности кубов выражений

Умножим сумму на выражение называемое неполным квадратом разности

Значит,

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 9:

Представим в виде многочлена произведение

Один из множителей произведения есть сумма выражений а другой — неполный квадрат их разности, так как

По формуле (2) данное произведение

равно сумме кубов выражений

В каждом из тождеств (1) и (2) поменяем местами левую и правую части. Получим тождества:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Формулы (3) и (4) дают возможность представлять в виде произведения сумму и разность кубов двух выражений.

Пример 10:

Представим в виде произведения выражение

Представим выражение в виде разности кубов и применим формулу (3). Получим:

Пример 11:

Разложим на множители многочлен

Представим выражение в виде суммы кубов и воспользуемся формулой (4). Получим:

Формулы при разложении на множители

Рассматривая умножение многочленов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ и для (a – b)³.

Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из этих формул, то его явится возможным разложить на множители. Напр., многочлен a² – 2ab + b², мы знаем, равен (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т. е. удалось a² – 2ab + b² разложить на 2 множителя]; также

Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа): x⁶ есть квадрат первого числа, а, следовательно, само первое число есть x³, квадратом второго числа является последний член данного многочлена, т. е. 1, само второе число есть, следовательно, также 1; произведением двойки на первое число и на второе является член –2x³, ибо 2x³ = 2 · x³ · 1. Поэтому наш многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел x³ и 1, т. е. он равен (x³ – 1)². Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы видим, что данный многочлен a²b² – 25 можно рассматривать, как разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа служит a²b², следовательно, само первое число есть ab, квадратом второго числа является 25, почему само второе число есть 5. Поэтому наш многочлен можно рассматривать получившимся от умножения суммы двух чисел на их разность, т. е.

(ab + 5) (ab – 5).

Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены не в том порядке, к которому мы привыкли, напр.

9a² + b² + 6ab – мысленно мы можем переставить второй и третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен = (3a + b)².

… (переставим мысленно первый и второй члены).

25a⁶ + 1 – 10x³ = (5x³ – 1)² и т. п.

Рассмотрим еще многочлен

a² + 2ab + 4b².

Мы видим, что первый член его представляет собою квадрат числа a и третий член представляет собою квадрат числа 2b, но второй член не является произведением двойки на первое число и на второе, – такое бы произведение было бы равно 2 · a · 2b = 4ab. Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу квадрата суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a² + 2ab + 4b² = (a + 2b)², то это было бы неверно – надо тщательно рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему разложение на множители по формулам.

40. Соединение обоих приемов. Иногда при разложении многочленов на множители приходится комбинировать и прием вынесения общего множителя за скобки и прием применения формул. Вот примеры:

1. 2a³ – 2ab². Вынесем сначала общего множителя 2a за скобки, – получим 2a (a² – b²). Множитель a² – b², в свою очередь, разлагается по формуле на множители (a + b) и (a – b).

Иногда приходится применять прием разложения по формулам многократно:

1. a⁴ – b⁴ = (a² + b²) (a² – b²)

Мы видим, что первый множитель a² + b² не подходит ни к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые случаи деления (п. 37), мы установим, что a² + b² (сумма квадратов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй из полученных множителей a² – b² (разность квадратом двух чисел) разлагается на множители (a + b) и (a – b). Итак,

41. Применение особых случаев деления. На основании п. 37 мы можем сразу написать, что, напр.,

Все умножение на умножении.

Учителя и дети любят наши:

• Стратегии построения памяти
• Автобирные Veizzes
• Премиум.

  Умножение, сложение, вычитание, деление, классная комната

  Премиум-членство

  Supercharged LEARNING

  Тесты с автооценкой

  Умножение, сложение, вычитание, деление

  Успех для ВСЕХ детей

  От второго класса до старшей школы, с особыми потребностями для одаренных, это работает и работает быстро!

  3 наиболее часто задаваемых вопроса

  • Сколько времени потребуется, чтобы узнать факты?

    Это действительно зависит от усилий и времени ребенка. Большинство учителей планируют от одного до трех месяцев на освоение умножения. Используя наш метод картинок/рассказов, многие ученики выучили их менее чем за неделю. Запланируйте три недели, если ваш ребенок плохо знаком с фактами умножения. После того, как ребенок узнал факты, важно, чтобы они продолжали практиковаться в течение от 6 месяцев до года, чтобы закрепить их в долговременной памяти.

  • В каком возрасте следует начинать ребенку?

    Обычно диапазон составляет от семи до десяти лет, но дети намного младше узнают факты умножения. Наша система очень успешно использовалась во многих средних и старших школах

  • У меня сработала механическая память. Почему это не сработает для моего ребенка?

    Многие взрослые, кажется, забыли, как сложно и долго было изучать факты умножения. Механическая память, похоже, плохо работает для большинства детей. Запоминание фактов умножения не должно быть трудным и разочаровывающим. Исследования говорят, что лучший способ запомнить — это использовать визуальные образы и истории. Это именно то, что делает наша система. Это действительно может быть ИНТЕРЕСНО!

  Автоматически адаптируется, чтобы дети быстрее учились (При наличии Премиум-членства все рекламные объявления удаляются — Игры и занятия отображаются в полноэкранном режиме)

• Дети действительно ХОТЯТ практиковаться в умножении фактов (Дети любят игры и занятия.)

• Работает! (Хотя многие родители и учителя настроены скептически, когда они попробуют, они будут в восторге от результатов.)

• Облегчает рабочую нагрузку (система исправляет и записывает викторины и отслеживает прогресс во время игр, занятий и викторин .)

• Успех для ВСЕХ детей (От второго класса до старшей школы, особые потребности для одаренных, это работает и работает быстро!)

Отзывы

Что мне больше всего нравится в Премиум-системе обучения, так это то, что она позволяет мне отслеживать успеваемость учащихся в режиме реального времени. Студентам это нравится, потому что с Zippy в качестве руководства и играми, чтобы развлечь их, программа больше похожа на игру, чем на работу.

Скотт, учитель третьего класса

Каждый учащийся получает пользу от этого уникального подхода к изучению фактов умножения. Настоящая сила этой программы заключается в спасении, которое она предлагает учащимся с ограниченными академическими возможностями и учащимся из группы риска.

Кароль, учитель третьего класса

У моего сына в прошлом году были проблемы с математикой, постепенно он терял уверенность в себе. Я знал, что это потому, что он просто не знал этих фактов. Он почти завершил программу и тесты со 100% точностью

Diane, родитель

Предыдущие следующие

Увлекательные

• Смешные анимационные фильмы
• . Вовлечение
• Соревнование по мульти-игрокам

. Соревнования по мульти-игрокам

.0002 Самостоятельно

• Автоматические вращивания к способности
• игр приспосабливаются к студенту
• Veizzes Monitor.
• Ежедневная автоматическая настройка

.

Беглость, точность, время

Умножение Определение и значение | Dictionary.com

• Лучшие определения
• Викторина
• Связанный контент
• Примеры
• Британский
• Научный

Показывает уровень оценки в зависимости от сложности слова.

[ muhl-tuh-pli-key-shuhn ]

/ ˌmʌl tə plɪˈkeɪ ʃən /

Сохранить это слово!

См. синонимы для умножения на Thesaurus.com

Показывает уровень обучения в зависимости от сложности слова.

---

сущ.

действие или процесс умножения или состояние умножения.

Арифметика. математическая операция, обозначаемая символами a × b, a ⋅ b, a ∗ b или ab и означающая, когда a и b — положительные целые числа, что a должно быть добавлено к самому себе столько раз, сколько единиц в b; добавление числа к самому себе так часто, как указано другим числом, например, 2×3 или 5×10.

Математика. любое обобщение этой операции, применимое к числам, отличным от целых чисел, таких как дроби или иррациональные числа.

ВИКТОРИНА

Сыграем ли мы в «ДОЛЖЕН» ПРОТИВ. «ДОЛЖЕН» ВЫЗОВ?

Следует ли вам пройти этот тест на «должен» или «должен»? Это должно оказаться быстрым вызовом!

Вопрос 1 из 6

Какая форма обычно используется с другими глаголами для выражения намерения?

Начало размножения

1350–1400; Среднеанглийское multiplicacio(u)n<латинское multiplicātiōn- (основа слова multiplicatiō). См. умножение, умножение

ДРУГИЕ СЛОВА ОТ Умножение

умножение, прилагательное, не умножение, существительное, не умножение , прилагательное o·ver·multi·pli·cation, существительное

повторная умножение, существительное

Слова рядом с умножением

мультиплекс, мультиплексор, умножаемый, множимое, умножение, умножение, знак умножения, таблица умножения, умножение, умножение группы, умножение тождества

Словарь .com без сокращений На основе Random House Unabridged Dictionary, © Random House, Inc. 2022

Слова, относящиеся к умножению

усиление, добавление, увеличение, соединение, увеличение, размножение, повторение, удвоение, повторение, повторение, воспроизведение, увеличение, умножение, воспроизведение

Как использовать умножение в предложении

• Вы как бы останавливаете события очень рано, так что либо болезни нет, либо размножение вируса очень ограничено.

  Вакцины против COVID-19 могут положить конец пандемии, устранив тяжелые случаи|Кейт Бэггали|29 января 2021|Популярная наука

• Сегодня они занимались вычитанием, сложением и умножением, должно быть, это был третий класс.

  Разворачивающийся гуманитарный кризис в Эфиопии объяснил высокопоставленный чиновник по оказанию помощи|Джен Кирби|3 декабря 2020 г.|Голос

• Этот подход — распространенный способ доказать, что системы переписывания завершаются — позволил бы им думать о преобразованиях символов как о матричном умножении.

  Ученые-компьютерщики пытаются опровергнуть гипотезу Коллатца|Кевин Хартнетт|26 августа 2020 г.|Журнал Quanta

• Там, где Коби и Шак занимались дополнительно, Леброн и А.Д. занимались умножением.

  Леброн и AD доминируют, как Коби и Шак. Но смогут ли они побеждать, как классические «Лейкерс»?|Роберт О’Коннелл|24 августа 2020 г.|FiveThirtyEight

• Математики говорят, что группа действительных чисел «закрыта» при умножении, а это означает, что вы никогда не покинете группу, просто перемножая элементы.

  «Бесполезная» точка зрения, изменившая математику|Кевин Хартнетт|9 июня 2020 г.|Журнал Quanta

• Все названия его компаний оканчивались на X — EBX, OGX, MMX — потому что в нумерологии X означает умножение богатство.

  Миллионеры, которые потеряли все|Том Сайкс|26 октября 2014 г.|DAILY BEAST

• Умножение любви в доме — это просто наслаждение.

  Дэн Стивенс взрывает «Даунтон»: от пухлощекого аристократа до худощавого, подлого американского психопата|Тим Тиман|19 сентября 2014 г.|DAILY BEAST

• песня в стиле рок.

  Скала школы: троянский конь знаний и силы|Джейсон Линч|6 сентября 2014|DAILY BEAST

• «Это было чудо умножения бензина», — позже сказал Сабойя боливийскому репортеру.

  Побег из Боливии|Мак Марголис|2 сентября 2013 г.|DAILY BEAST

• Работая вместе, люди испытывают то, что Нельсон Мандела, герой борьбы с апартеидом, назвал «умножением мужества».

  Марк Хертсгаард анализирует психологию активизма, связанного с изменением климата|Марк Хертсгаард|14 июля 2013 г.|DAILY BEAST

• Мы видели достаточно в других местах умножения комментариев к приговорам ломбарда и других схоластических работ.

  Средневековый разум (Том II из II)|Генри Осборн Тейлор

• Сколько самых важных дел жизни можно продемонстрировать с помощью таблицы умножения?

  Философия Евангелия|Дж. H. Ward

• Будет ли продолжаться размножение эритроцитов, чтобы люди могли акклиматизироваться намного выше?

  Mount Everest the Reconnaissance, 1921|Charles Kenneth Howard-Bury

• Большинство из вас, без сомнения, знают, что такое таблица умножения, и я уверен, что вы думали, что это довольно неприятная вещь.

  История пятидесяти двух разговаривает с мальчиками и девочками|Говард Дж. Чидли

• Капитан — амбициозный осел, он не мог сообразить, как разобраться в таблице умножения.

  DELELICT | ALAN EDWARD NOURSE

Определения британского словаря для умножения

Умножение

/ (ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃən) /

---

SUN —

АРТИТМЕТРИЯ, Обычно инициированные, в условиях. a.b, или ab, по которым вычисляется произведение двух величин: умножить a на положительный интеграл b значит прибавить a к самому себе b раз. Затем умножение на дроби можно определить в свете ассоциативных и коммутативных свойств; умножение на 1/n эквивалентно умножению на 1 с последующим делением на n: например, 0,3 × 0,7 = 0,3 × 7/10 = (0,3 × 7)/10 = 2 1/10 = 0,21

акт размножения или состояние размножения

акт или процесс размножения или размножения животных, растений или людей

Производные формы умножения

multiplicational, прилагательное Версия © William Collins Sons & Co. Ltd., 1979, 1986 © HarperCollins Издательства 1998, 2000, 2003, 2005, 2006, 2007, 2009, 2012

Научные определения умножения

умножение

[ mŭl′tə-plĭ-kā′shən ]

---

Математическая операция, выполняемая над парой чисел для получения третьего числа, называемого произведением. Для положительных целых чисел умножение состоит в прибавлении числа (множимого) к самому себе заданное количество раз. Таким образом, умножение 6 на 3 означает прибавление 6 к самому себе три раза. Операция умножения распространяется на другие действительные числа в соответствии с правилами, управляющими мультипликативными свойствами натуральных чисел.