Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение
Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α+β2 и α-β2. Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов
Формулы суммы и разности для синусовsinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2
Формулы суммы и разности для косинусовcosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2cosα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·β-α2
Данные формулы справедливы для любых углов α и β. Углы α+β2 и α-β2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.
Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.
Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов
Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.
α=α+β2+α-β2=α2+β2+α2-β2β=α+β2-α-β2=α2+β2-α2+β2
Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.
Вывод формулы суммы синусов
В сумме sinα+sinβ заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим
sinα+sinβ=sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2
Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)
sinα+β2+α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу
sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα+β2cosα-β2
Действия по выводу остальных формул аналогичны.
Вывод формулы разности синусов
sinα-sinβ=sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2-sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα-β2cosα+β2
Вывод формулы суммы косинусов
cosα+cosβ=cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2+cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==2cosα+β2cosα-β2
Вывод формулы разности косинусов
cosα-cosβ=cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2-cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==-2sinα+β2sinα-β2
Примеры решения практических задач
Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов.
Пусть α=π2, β=π6. Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.
α=π2, β=π6sinπ2+sinπ6=1+12=32sinπ2+sinπ6=2sinπ2+π62cosπ2-π62=2sinπ3cosπ6=2·32·32=32
Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α=165°, β=75°. Вычислим значение разности синусов этих углов.
Пример 2. Применение формулы разности синусовα=165°, β=75°sinα-sinβ=sin165°-sin75°sin165-sin75=2·sin165°-75°2cos165°+75°2==2·sin45°·cos120°=2·22·-12=22
С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Сумма и разность синусов (sin) и косинусов (cos): вывод формул, примеры, объяснение
Формулы суммы и разности синусов и косинусов для двух углов α и β позволяют перейти от суммы указанных углов к произведению углов α+β2 и α-β2. Сразу отметим, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности. Ниже мы перечислим эти формулы, приведем их вывод и покажем примеры применения для конкретных задач.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов
Запишем, как выглядят формулы суммы и разности для синусов и для косинусов
sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2cosα+β2
Формулы суммы и разности для косинусовcosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2cosα-β2, cosα-cosβ=2sinα+β2·β-α2
Данные формулы справедливы для любых углов α и β.
Углы α+β2 и α-β2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета. Дадим формулировку для каждой формулы.
Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.
Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.
Вывод формул суммы и разности синусов и косинусов
Для вывода формул суммы и разности синуса и косинуса двух углов используются формулы сложения. Приведем их ниже
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβcos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
Также представим сами углы в виде суммы полусумм и полуразностей.
α=α+β2+α-β2=α2+β2+α2-β2β=α+β2-α-β2=α2+β2-α2+β2
Переходим непосредственно к выводу формул суммы и разности для sin и cos.
Вывод формулы суммы синусов
В сумме sinα+sinβ заменим α и β на выражения для этих углов, приведенные выше. Получим
sinα+sinβ=sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2
Теперь к первому выражению применяем формулу сложения, а ко второму — формулу синуса разностей углов (см. формулы выше)
sinα+β2+α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2sinα+β2+α-β2+sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим искомую формулу
sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2+sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα+β2cosα-β2
Действия по выводу остальных формул аналогичны.
Вывод формулы разности синусов
sinα-sinβ=sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2sinα+β2+α-β2-sinα+β2-α-β2=sinα+β2cosα-β2+cosα+β2sinα-β2-sinα+β2cosα-β2-cosα+β2sinα-β2==2sinα-β2cosα+β2
Вывод формулы суммы косинусов
cosα+cosβ=cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2+cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2+cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==2cosα+β2cosα-β2
Вывод формулы разности косинусов
cosα-cosβ=cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2cosα+β2+α-β2-cosα+β2-α-β2=cosα+β2cosα-β2-sinα+β2sinα-β2-cosα+β2cosα-β2+sinα+β2sinα-β2==-2sinα+β2sinα-β2
Примеры решения практических задач
Для начала, сделаем проверку одной из формул, подставив в нее конкретные значения углов.
Пусть α=π2, β=π6. Вычислим значение суммы синусов этих углов. Сначала воспользуемся таблицей основных значений тригонометрических функций, а затем применим формулу для суммы синусов.
α=π2, β=π6sinπ2+sinπ6=1+12=32sinπ2+sinπ6=2sinπ2+π62cosπ2-π62=2sinπ3cosπ6=2·32·32=32
Рассмотрим теперь случай, когда значения углов отличаются от основных значений, представленных в таблице. Пусть α=165°, β=75°. Вычислим значение разности синусов этих углов.
Пример 2. Применение формулы разности синусовα=165°, β=75°sinα-sinβ=sin165°-sin75°sin165-sin75=2·sin165°-75°2cos165°+75°2==2·sin45°·cos120°=2·22·-12=22
С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Разница между Sin и Cos
Автор: Andrew
Sin vs Cos
Раздел математики, изучающий стороны и углы треугольника и тригонометрические функции этих углов, называется тригонометрией. Основными тригонометрическими функциями угла являются синус (sin) и косинус (cos) этого угла. Тригонометрические sin и cos являются отношениями двух определенных сторон в прямоугольном треугольнике и полезны для связи углов и сторон треугольников. Использование этих тригонометрических sin и cos быстро расширяется при решении инженерных, навигационных и физических задач.
Синус (Sin)
Синус — первая тригонометрическая функция. Тригонометрический синус используется для вычисления «подъема» сегмента прямой относительно горизонтальной линии в заданном треугольнике. Для прямоугольного треугольника синус угла равен отношению длины перпендикуляра или противолежащего катета к гипотенузе. Он выражается через синус θ, где θ — угол между противоположной стороной и гипотенузой. Синус θ сокращенно обозначается как sin θ. В выражении
Sin θ = противолежащая сторона треугольника / гипотенуза треугольника.
Тригонометрический синус используется при изучении периодических явлений звуковых и световых волн, определении средних колебаний температуры в течение всего года, расчете продолжительности дня, положения гармонических осцилляторов и многом другом. , обратный синусу θ, равен косекансу θ. Косеканс θ — это отношение гипотенузы к противоположной стороне треугольника и , сокращенно Cosec θ .
Косинус (Cos)
Косинус — вторая тригонометрическая функция. Относительно горизонтальной линии косинус используется для вычисления «пробега» от угла. Для прямоугольного треугольника косинусом угла называется отношение основания или прилежащего катета к гипотенузе треугольника. Этот термин выражается как косинус θ, где θ — угол между соседней стороной и гипотенузой. Косинус θ обозначается аббревиатурой Cos θ. В терминах выражения
Cos θ = смежная сторона треугольника / гипотенуза треугольника
, обратная Cos θ, является секущей θ. Секанс θ — это отношение гипотенузы к прилежащей стороне треугольника. Секанс θ равен , сокращенно Sec θ .
Сравнение
• Если длина отрезка равна 1 см, синус показывает увеличение по отношению к углу, а для той же длины линии Cos показывает увеличение по отношению к углу.
• Закон синуса используется для вычисления длины неизвестной стороны того треугольника, у которого известны одна сторона и два угла.
• Поскольку 2 π радиан = 360 градусов, поэтому, если мы хотим вычислить значения Sin и Cos для угла больше 2 π или меньше -2 π, тогда Sin и косинус являются периодическими функциями 2 π. Как
Sin θ = Sin (θ + 2 π k)
Cos θ = Cos (θ + 2 π k)
Заключение
Синус и косинус являются основными тригонометрическими функциями; однако каждая функция имеет свое значение при решении математических задач. Однако, если мы выразим синус и косинус в радианах, мы сможем соотнести эти два тригонометрических тождества в радианах.0005
Sin θ = Cos (π/2 – θ) и Cos θ = Sin (π/2 – θ)
Сравнение функций косинуса и синуса на графике
21-12-2021Из книги: Тригонометрия для чайников
Тригонометрия для чайников
Исследовать книгу Купить на Amazon он сдвинут влево на 90 градусов или π/2.
Уравнение тригонометрии, которое представляет эту связь, имеет вид. Посмотрите на графики функций синуса и косинуса на одних и тех же координатных осях, как показано на следующем рисунке. График косинуса — более темная кривая; обратите внимание, как он смещен влево от синусоиды.
Графики y = sin x и y = cos x на одних и тех же осях
Графики функций синуса и косинуса иллюстрируют свойство, которое существует для нескольких пар различных триггерных функций. Представленное здесь свойство основано на прямоугольном треугольнике и двух острых или дополнительных углах в прямоугольном треугольнике. Тождества, возникающие из треугольника, называются кофункция тождества .Тождества кофункций следующие:
Эти тождества показывают, как связаны значения функций дополнительных углов в прямоугольном треугольнике. Например, cosθ = sin (90° – θ) означает, что если θ равно 25 градусам, то cos 25° = sin (90° – 25°) = sin 65°. Это уравнение — окольный способ объяснить, почему графики синуса и косинуса отличаются всего лишь одним слайдом.
Вы, наверное, заметили, что все эти тождества кофункций используют разность углов, но смещение функции синуса влево было суммой. График сдвинутого синуса и график косинуса действительно эквивалентны — они становятся графиками одного и того же набора точек. Вот как доказать это утверждение.
Вы хотите показать, что функция синуса, сдвинутая на 90 градусов влево, равна функции косинуса:
Замените cos x его тождеством кофункции.
Примените два тождества для синуса суммы и разности двух углов.
Две личности
Замена в x х и углах,
Упростите термины, используя значения функций.
Итак, вы видите, сдвинутый график синуса равен графику косинуса.
Эта статья взята из книги:
- Тригонометрия для чайников,
Об авторе книги:
Мэри Джейн Стерлинг — автор книги Алгебра I для чайников и многих других книг для чайников 90.