Операции над событиями. Диаграммы Эйлера – Венна
| Справочник по математике | Теория вероятностей и статистика | Теория вероятностей |
Содержание
| Произведение (пересечение) двух событий |
| Сумма (объединение) двух событий |
| Разность двух событий |
| Симметрическая разность двух событий |
| Переход к противоположному событию |
В теории вероятностей случайными событиями являются подмножества множества элементарных исходов Ω .
Над событиями, как и над любыми множествами, можно совершать следующие операции.
Произведение (пересечение) двух событий
Операцию произведения (пересечения) двух событий A и B обозначают
, или AB, или .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведением (пересечением) двух событий A и B называют такое событие, которое состоит из всех элементов, входящих как в событие A , так и в событие B (рис. 1).
| Событие A | Событие B |
| Событие | |
| Событие A |
| Событие B |
| Событие |
Рис.1
Сумма (объединение) двух событий
Операцию суммы (объединения) двух событий A и B обозначают
A + B или
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Суммой (объединением) двух событий A и B называют такое событие, которое состоит из элементов события A и элементов события B (рис. 2).
| Событие A | Событие B |
| Событие A + B | |
| Событие A |
| Событие B |
| Событие A + B |
Рис.2
Разность двух событий
Операцию разности двух событий A и B обозначают
A \ B
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Разностью событий A и B называют событие, состоящее из тех элементов события A , которые не входят в событие B (рис.
3).
| Событие A | Событие B |
| Событие A \ B | |
| Событие A |
| Событие B |
| Событие A \ B |
Рис.3
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Разностью событий B и A является событие B \ A , изображенное на рисунке 4.
| Событие A | Событие B |
| Событие B \ A | |
| Событие A |
| Событие B |
| Событие B \ A |
Рис.4
Симметрическая разность двух событий
Операцию симметрической разности двух событий A и B обозначают
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 .
Симметрической разностью событий A и B называют событие, состоящее из тех элементов события A , которые не входят в событие B , а также из тех элементов события B , которые не входят в событие A (рис. 5).
| Событие A | Событие B |
| Событие | |
| Событие A |
| Событие B |
| Событие |
Рис.5
Переход к противоположному событию
Событие, противоположное к событию A , обозначают
или AC
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Противоположным событием к событию A называют событие, состоящее из тех элементов всего множества элементарных событий Ω , которые не входят в событие A (рис.
6).
| Множество Ω | Событие A |
| Событие | |
| Множество Ω |
| Событие A |
| Событие |
Рис.6
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Справедлива формула
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Событие Ω называют достоверным событием, пустое множество называют невозможным событием.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Рисунки, на которых наглядно показаны операции над множествами, называют диаграммами Эйлера-Венна. В частности, диаграммами Эйлера-Венна являются рисунки 1-6 .
Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. | ||||||||
| Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Теория вероятностей. Математическая статистика. Комбинаторика. / / Случайные события и действия над ними. Достоверные и невозможные, совместные и несовместные. Поделиться:
| |||||||
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. | ||||||||
Коды баннеров проекта DPVA.ru Консультации и техническая | Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. | |||||||
Теоремы сложения и умножения вероятностей, условная вероятность, формулы.
Введите свой запрос:Разница между вероятностью и шансом Вероятности всегда находятся в диапазоне от 0 до 1. Шансы определяются как вероятность того, что событие произойдет, деленная на вероятность того, что событие не произойдет.
Если вероятность события равна Y, то вероятность того, что событие не произойдет, равна 1-Y. (Пример: если вероятность события равна 0,80 (80%), то вероятность того, что событие не произойдет, составляет 1-0,80 = 0,20, или 20%.
Шансы события представляют собой отношение (вероятность того, что событие произойдет) / (вероятность того, что событие не произойдет). Это можно выразить следующим образом:
Шансы события = Y / (1-Y)
Итак, в этом примере, если вероятность наступления события = 0,80, тогда шансы равны 0,80 / (1-0,80) = 0,80/0,20 = 4 (т. е. 4 к 1).
- Если скаковая лошадь участвует в 100 скачках и выигрывает 25 раз, а остальные 75 раз проигрывает, вероятность победы составляет 25/100 = 0,25 или 25%, но шансы на победу лошади составляют 25/75 = 0,333 или 1.
победа до 3 поражений. - Если лошадь участвует в 100 скачках, выигрывает 5 и проигрывает остальные 95 раз, вероятность победы составляет 0,05 или 5%, а шансы на победу лошади составляют 5/95 = 0,0526.
- Если лошадь участвует в 100 скачках и выигрывает 50, вероятность победы составляет 50/100 = 0,50 или 50%, а шансы на победу равны 50/50 = 1 (четные шансы).
- Если лошадь участвует в 100 скачках и выигрывает 80, вероятность победы составляет 80/100 = 0,80 или 80%, а шансы на победу составляют 80/20 = 4 к 1.
победа до 3 поражений.ПРИМЕЧАНИЕ: когда вероятность низкая, шансы и вероятность очень похожи.
С планом случай-контроль мы не можем рассчитать вероятность заболевания в каждой из групп воздействия; следовательно, мы не можем вычислить относительный риск. Тем не менее, мы можем рассчитать вероятность заболевания в каждой из групп, подвергшихся воздействию, и мы можем сравнить их, вычислив отношение шансов. В гипотетическом исследовании пестицидов отношение шансов составляет
OR= (7/10) / (5/57) = 6,65
Обратите внимание, что это отношение шансов очень близко к RR, которое было бы получено, если бы была проанализирована вся исходная популяция.
Объяснение этому заключается в том, что если изучаемый результат довольно необычен, то вероятность заболевания в группе, подвергшейся воздействию, будет аналогична вероятности заболевания в группе, подвергшейся воздействию. Следовательно, отношение шансов обеспечивает относительную меру эффекта для исследований случай-контроль и дает оценку отношения рисков в исходной популяции при условии, что интересующий результат является необычным.
Мы подчеркнули, что в исследованиях случай-контроль единственной мерой связи, которую можно рассчитать, является отношение шансов. Однако в исследованиях когортного типа, которые определяются следующими группами воздействия для сравнения частоты исхода, можно рассчитать как отношение риска, так и отношение шансов.
Если мы произвольно пометим ячейки в таблице непредвиденных обстоятельств следующим образом:
| Больные | Здоровые |
|
Открытый | и | б |
|
Не подвергающийся воздействию | с | д |
|
, то отношение шансов вычисляется путем взятия отношения шансов, где шансы в каждой группе вычисляются следующим образом:
OR = (a/b) / (c/d)
соглашение состоит в том, чтобы поместить шансы в нераскрытую группу в знаменателе.
Вычисление доверительного интервала для отношения шансов
Чтобы вычислить доверительный интервал для отношения шансов, используйте формулу
- Вычислите доверительный интервал для Ln(OR), используя приведенное выше уравнение.
- Вычислите доверительный интервал для ОШ, найдя антилогарифм результата на шаге 1, т. е. ехр (нижний предел), ехр (верхний предел).
Нулевое значение доверительного интервала для отношения шансов равно единице.
Если 95% ДИ для отношения шансов не включает единицу, тогда говорят, что шансы статистически значимо различаются. Мы снова пересматриваем предыдущие примеры и производим оценки отношения шансов и сравниваем их с нашими оценками различий рисков и относительных рисков.
Пример:
Снова рассмотрим гипотетическое пилотное исследование воздействия пестицидов на рак молочной железы:
| Заболевшие | Здоровые |
|
Воздействие пестицидов | 7 | 10 |
|
6 | 57 |
|
Выше мы отметили, что
OR= (7/10) / (5/57) = 6,6
Мы можем вычислить 95% доверительный интервал для этого отношения шансов следующим образом:
Подставляя, мы получаем следующее :
Это дает следующий интервал (0,61, 3,18), но его все еще необходимо преобразовать, найдя их антилогарифм (1,85-23,94), чтобы получить 95% доверительный интервал.
Интерпретация: Вероятность рака молочной железы у женщин с высоким воздействием ДДТ в 6,65 раз выше, чем вероятность рака молочной железы у женщин без высокого воздействия ДДТ. Мы на 95% уверены, что истинное отношение шансов находится между 1,85 и 23,94. Нулевое значение равно 1, и поскольку этот доверительный интервал не включает 1, результат указывает на статистически значимую разницу в шансах заболеть раком молочной железы у женщин с низким уровнем воздействия ДДТ.
Обратите внимание, что отношение шансов является хорошей оценкой отношения рисков, когда результат возникает относительно редко (<10%). Поэтому отношения шансов обычно интерпретируются так, как если бы они были отношениями риска.
Также обратите внимание, что хотя этот результат считается статистически значимым, доверительный интервал очень широк, поскольку размер выборки невелик. В результате точечная оценка является неточной. Обратите также внимание на то, что доверительный интервал является асимметричным, то есть точечная оценка OR=6,65 не лежит точно в центре доверительного интервала.
Помните, что мы использовали логарифмическое преобразование для вычисления доверительного интервала, потому что отношение шансов не имеет нормального распределения. Таким образом, доверительный интервал является асимметричным, поскольку мы использовали логарифмическое преобразование для вычисления Ln(OR), а затем использовали антилогарифмическое преобразование для вычисления нижнего и верхнего пределов доверительного интервала для отношения шансов.
Помните, что в настоящем исследовании случай-контроль можно рассчитать отношение шансов, но не отношение риска. Однако можно рассчитать разницу рисков (RD), отношение рисков (RR) или отношение шансов (OR) в когортных исследованиях и рандомизированных клинических испытаниях. Рассмотрим еще раз данные в таблице ниже из рандомизированного исследования, оценивающего эффективность недавно разработанного болеутоляющего средства по сравнению со стандартным лечением. Помните, что в предыдущем вопросе викторины в этом модуле вас просили рассчитать точечную оценку разницы в доле пациентов, сообщивших о клинически значимом уменьшении боли при приеме обезболивающих препаратов, как (0,46–0,22) = 0,24, или 24%, и 95% доверительный интервал для разницы рисков составил (6%, 42%).
Поскольку 95% доверительный интервал для разницы рисков не содержал нуля (нулевое значение), мы пришли к выводу, что существует статистически значимая разница между болеутоляющими средствами. Затем, используя те же данные, мы произвели точечную оценку отношения рисков и нашли RR = 0,46/0,22 = 2,09 и 95% доверительный интервал (1,14, 3,82). Поскольку этот доверительный интервал не включал 1, мы еще раз пришли к выводу, что это различие было статистически значимым. Теперь мы будем использовать эти данные для получения точечной оценки и 9Оценка 5% доверительного интервала для отношения шансов.
Теперь мы просим вас использовать эти данные для расчета шансов облегчения боли в каждой группе, отношения шансов для пациентов, получающих новое обезболивающее, по сравнению с пациентами, получающими стандартное обезболивающее, и 95% доверительного интервала для шансов соотношение.
Лечебная группа |
п | # с переходником из 3+ баллов | Пропорция с уменьшением из 3+ баллов |
Новое обезболивающее | 50 | 23 | 0,46 |
Стандартное обезболивающее | 50 | 11 | 0,22 |
Ответ
Когда дизайн исследования позволяет рассчитать относительный риск, этот показатель является предпочтительным, поскольку он гораздо более интерпретируем, чем отношение шансов.
Однако отношение шансов чрезвычайно важно, так как это единственная мера эффекта, которую можно рассчитать в дизайне исследования случай-контроль. Когда интересующий исход относительно редок (<10%), тогда отношение шансов и относительный риск будут очень близкими по величине. В таком случае исследователи часто интерпретируют отношение шансов как относительный риск (т. е. как сравнение рисков, а не сравнение шансов, что менее интуитивно).
вернуться наверх | предыдущая страница | следующая страница
вероятность — Сравните разницу двух вероятностей или отношение вероятностей?
Спросил
Изменено 5 лет, 6 месяцев назад
Просмотрено 11 тысяч раз
$\begingroup$
В эксперименте со случайной величиной с непрерывным значением, т. Итак, я создаю 2 гистограммы для длин, соответствующих каждому из 2 удобрений, $H_A$ и $H_B$. По этим гистограммам вероятности для диапазонов L рассчитываются по количеству бинов и т. д. Моя цель — показать, что только для некоторых диапазонов (или даже 1 диапазона) L вероятности (или значения приведенной выше гистограммы) различаются, в то время как в в большинстве других диапазонов длин вероятности не отличаются. Как лучше выразить эту разницу? Обычное отношение $\frac{P1}{P2}$ страдает, когда $P1$ или $P2$ равны нулю. хорошим является $P1-P2$, но тогда я хотел бы, чтобы это было нормализовано по P, чтобы иметь что-то вроде процентного изменения для сравнения, я подумал что-то вроде: $\frac{P1-P2}{P1+P2} $ Я хотел бы нанести на график эти различия вероятностей для различных L и, если возможно, использовать статистический тест, который проверяет значимость различий вероятностей только для одного диапазона, а не в целом (что делает t-критерий). $\endgroup$ 1 $\begingroup$ Являются ли эти распределения достаточно нормальными? Вы можете проверить график qq, чтобы убедиться, что они достаточно хороши для вашего удовлетворения. Если это так, то площадь под подобранным нормальным распределением никогда не будет точно равна 0, как в конечной выборке, так что это будет одним из способов решения этой проблемы. В другом вопросе я бы взял пропорции в пределах заданных диапазонов и преобразовал их в шансы попадания огурца в этот диапазон, учитывая, что он был выращен с этим удобрением. Затем я бы использовал отношение шансов, чтобы сравнить их. Я думаю, что это будет лучший подход, чем использование отношения вероятностей.
е. измерение длины огурцов. Я хотел бы сравнить вероятность получения определенного диапазона длин в двух разных условиях. например $P1=P(0,1
Я предполагаю, что значимость разницы зависит также от подсчета для этого конкретного диапазона длин.