Решаем уравнение квадратное: Онлайн калькулятор. Решение квадратных уравнений

{2}\)

4. С помощью сокращённого дискриминанта найдем корни по формулам:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \ x_{1} = \frac{3 + 2\ }{1} \\ \ \\ \ x_{1} = \frac{3 — 2\ }{1}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 5 \\ {\text{\ \ \ }x}_{2} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Ответ: 5; 1.

Как мы видим, ответ остался прежним, но числа, используемые при вычислениях, стали меньше. Это значит, что при работе с большими коэффициентами решение через сокращённый дискриминант уменьшает вероятность вычислительной ошибки.

ТЕОРЕМА ВИЕТА:

В некоторых случаях (например, \(a = 1\)) корни проще искать по теореме Виета, решая подбором систему уравнений:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}\ \\ \ \\ \text{\ \ \ \ \ \ x}_{1} + x_{2} = — \frac{b}{a}\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Важно, что теорему Виета можно использовать при любом ненулевом коэффициенте а, формула представлена в общем виде.

Однако если \(a = 1,\) то чаще всего нужно работать с целыми числами, а не с дробными, что упрощает подбор.

Следствия из теоремы Виета:

Используя теорему Виета, можно увидеть взаимосвязь между коэффициентами b и c и знаками корней уравнения.

Коэффициент c показывает, будут ли одинаковыми знаки корней:

Если\(\ c > 0\), то корни\(\ x_{1}\) и \(x_{2}\ \) имеют одинаковый знак.
Если коэффициент \(c < 0\), корни \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут разных знаков.

Коэффициент b показывает, какой именно знак у корней, если он один, либо какой корень положительный, а какой отрицательный, если знаки разные.

Если \(x_{1} + x_{2} = — b > 0\) (т.е. сумма корней положительна), то возможны 2 варианта:

а) либо оба корня положительны;

б) либо модуль положительного корня больше модуля отрицательного.

Если\(\ x_{1} + x_{2} = — \ b < 0\) (т. {2} + \frac{c}{a} = 0\)
2. Смотрим на знак слагаемого без переменной.
Если \(\frac{c}{a} < 0\), то раскладываем по формуле разности квадратов, приравниваем каждую из скобок к нулю и решаем полученные уравнения.
Если \(\frac{c}{a} = 0\), то получаем единственное решение \(x = 0.\)
Если \(\frac{c}{a} > 0\), то решений нет.
Содержание
Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида ах² + bx + c = 0 (при а ≠ 0).
Рассмотрим несколько видов квадратных уравнений.
1. Неполные квадратные уравнения — это такие уравнения, в которых хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Пусть с = 0, тогда уравнение примет вид ах² + bx = 0.
Такое уравнение решается с помощью вынесения общего множителя x (возможно с числовых коэффициентом, если такой будет иметься) за скобку.
Пусть b = 0, тогда квадратное уравнение примет вид ах² + c = 0.
Чтобы решить такое уравнение надо выразить x² и извлечь корень.
Пусть b = 0 и с = 0. Тогда уравнение примет вид ax² = 0.
Такое уравнение также решается через выражение х².
2. Полные квадратные уравнения — уравнения, в которых числовые коэффициенты b и c отличны от 0 (Число а по умолчанию не равно нулю, помнишь? В противном случае, уравнение перестанет быть квадратным).
В основном их решают через дискриминант по формуле D = b²— 4ac. Возможны три случая:
КОРОЧЕ! Квадратное уравнение всегда имеет два корня! Вот такие дела) К сожалению, школьная алгебра слишком поверхностна для таких чудес.
Примеры.
3. Приведенные квадратные уравнения — это уравнения, в которых a = 1. Прекрасно решаются через дискриминант.
Но я не могу пройти мимо теоремы Виета. Она, конечно, работает и для полных квадратных уравнений, чутка по-другому правда, но речь не об этом.
Чаще всего теорема Виета используется именно для приведенных квадратных уравнений, т.к. она доступна для всех умов. На ней я и остановлюсь.
Итак, дано уравнение х² + bx + c = 0.
Если его корни равны х₁ и х₂, то должны выполнятся два равенства:
1) x₁· x₂= c;
2) x₁ + x₂ = -b.
В чем смысл? При решении приведенного квадратного уравнения мы должны подобрать корни таким образом, чтобы их произведение равнялось свободному члену с, а сумма равнялась коэффициенту b только с противоположным знаком. И этот подбор происходит в мозгу намного быстрее, чем расписывание дискриминанта и прилегающих к нему формул. Ты просто пишешь уравнение, а потом сразу к нему ответ. Клёво же?!
Конечно, без тренировок никуда; надо как следует потренироваться, чтобы в дальнейшем не возникало трудностей. А если корни подобрать невозможно, значит дискриминант отрицательный или корни дробные/иррациональные.
Решим по теореме Виета следующее приведенное квадратное уравнение:

Вот и всё!

Скажу по секрету, что решать уравнения с отрицательным дискриминантом ты тоже научишься, но это уже совсем другая история…)
Удачи!
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Поиск
Это самый простой метод решения квадратного уравнения, если биномиальное или трехчленное уравнение легко разложить на множители. В противном случае нам понадобятся другие методы, такие как завершение квадрата или использование квадратичной формулы.
Следующая диаграмма иллюстрирует основной подход к решению квадратного уравнения методом факторизации.
Диаграмма выше предлагает следующие ключевые моменты:
- Одна часть уравнения равна нулю.
- Противоположная сторона должна содержать множители данного многочлена.
- После того, как два условия, указанные выше, выполнены, теперь можно установить каждый фактор равным нулю, а затем найти значение неизвестной переменной.
Примеры решения квадратных уравнений методом факторинга
Пример 1 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение методом факторинга.
Я считаю этот тип проблемы «халявой», потому что она уже создана для нас, чтобы найти решения. Обратите внимание, что левая часть содержит множители некоторого многочлена, а правая часть просто нулевая!
Нам нужно просто приравнять каждый множитель к нулю и решить каждое уравнение относительно x.
Ответы: x = — \,7 и x = 2. Вы можете подставить эти значения x в исходное уравнение, чтобы проверить, являются ли они верными ответами. Я оставлю это вам в качестве упражнения.

Пример 2 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.
Левая часть уравнения представляет собой двучлен. 2} и x я могу вынести x. Итак, чтобы найти общий коэффициент (это похоже на нахождение GCF), я умножу — \,2 и x, чтобы получить — \,2x.
Обратите внимание, я также могу вынести 2x вместо — \,2x. Окончательный ответ должен быть таким же. Попробуйте!
Пример 3 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.
Разлагали ли вы ранее трехчлен, где коэффициент квадрата члена равен + 1? Если нет, то очень просто.
Чтобы разложить этот трехчлен на два бинома, мне нужно найти два числа (методом проб и ошибок), которые удовлетворяют двум заданным условиям:
- Произведение этих двух чисел равно постоянному члену (последнему числу), который равен — 10.
- Сумма этих двух чисел равна коэффициенту линейного члена , который равен + 3.
Поскольку произведение двух чисел отрицательно, я знаю, что эти числа должны иметь противоположные знаки. Более того, наличие суммы положительных чисел означает, что число с большим абсолютным значением должно быть положительным.
Если вы подсчитаете это в уме или с помощью бумаги и карандаша проведете возможные комбинации, два числа, которые могут удовлетворить заданным условиям, это + 5 и — 2. 93} и x, я могу убрать x. Следовательно, общее выражение, которое я могу выделить, — это их произведение: \left( 3 \right)\left( x \right) = 3x.
Обратите внимание, что после того, как я вынес на множитель 3x, у меня остался «особый» бином, называемый «Разницей двух квадратов», который очень легко вычислить.

Средние знаки всегда противоположны (см. желтый).
Вот полное решение.
Вы должны выполнить обратную замену, чтобы убедиться, что x = 0, x = — \,3 и x = 3 являются правильными решениями.
Пример 5 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.
Первое, что я понял в этой задаче, это то, что одна часть уравнения не содержит нуля . Я могу легко получить ноль в правой части, вычитая обе части на 20.
После этого в левой части должен быть разлагаемый трехчлен, который очень похож на задачу 3.
Чтобы разложить этот трехчлен, подумайте о двух числа при умножении дают — 14 (постоянный член), а при сложении дает + 5 (коэффициент x-члена). Методом проб и ошибок цифры должны быть — 2 и 7. Вы можете проверить эту правильную комбинацию.
Окончательные ответы: x = 2 и x = — \,7.

Пример 6 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.
Решение:
Здесь мы имеем x = — \,6 и x = 7 в качестве наших окончательных ответов.
Пример 7 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.
Решение:
Наши окончательные ответы: x = 5 и x = 1.
Пример 8 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.
Решение:
Окончательные решения: x = 1 и x = — 1,3.
Вас также могут заинтересовать:
Решение квадратных уравнений методом извлечения квадратного корня
Решение квадратных уравнений с помощью квадратной формулы
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата

квадратных уравнений | Колледж Алгебра
Результаты обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Факторизировать квадратное уравнение, чтобы решить его.
- Используйте свойство квадратного корня для решения квадратного уравнения.
- Используйте теорему Пифагора и свойство квадратного корня, чтобы найти неизвестную длину стороны прямоугольного треугольника.
- Заполните квадрат, чтобы решить квадратное уравнение.
- Используйте квадратную формулу для решения квадратного уравнения.
- Используйте дискриминант для определения количества и типа решений квадратного уравнения.
Левый монитор компьютера на изображении ниже — это 23,6-дюймовая модель, а правый — 27-дюймовая модель. Пропорционально мониторы очень похожи. Если пространство ограничено и нам нужен максимально большой монитор, как нам решить, какой из них выбрать? В этом разделе мы узнаем, как решать такие проблемы, используя четыре различных метода.

Факторинг и свойство квадратного корня
Уравнение, содержащее многочлен второй степени, называется 9{2}-4=0[/latex] — квадратные уравнения. Они бесчисленным образом используются в инженерии, архитектуре, финансах, биологических науках и, конечно же, в математике.
Часто самым простым методом решения квадратного уравнения является факторизация . Факторинг означает нахождение выражений, которые можно перемножить, чтобы получить выражение на одной стороне уравнения.
Если квадратное уравнение можно разложить на множители, оно записывается как произведение линейных членов. Решение факторингом зависит от свойства нулевого произведения, которое гласит, что если [латекс]а\cdot b=0[/латекс], то [латекс]а=0[/латекс] или [латекс]b=0[/латекс] , где a и b — действительные числа или алгебраические выражения. Другими словами, если произведение двух чисел или двух выражений равно нулю, то одно из чисел или одно из выражений должно быть равно нулю, потому что ноль, умноженный на что-либо, равен нулю.
Умножение коэффициентов расширяет уравнение до строки членов, разделенных знаками плюс или минус. Таким образом, в этом смысле операция умножения отменяет операцию факторизации. Например, разложите факторизованное выражение [латекс]\влево(х — 2\вправо)\влево(х+3\вправо)[/латекс], перемножив два множителя. 9{2}+x — 6=0[/latex] имеет стандартную форму.
Мы можем использовать свойство нулевого произведения для решения квадратных уравнений, в которых мы сначала должны вынести наибольший общий множитель (НОК), а также для уравнений, которые имеют специальные формулы факторизации, такие как разность квадратов, оба из которых мы увидим позже в этом разделе.
Общее примечание: свойство нулевого произведения и квадратные уравнения текст{ или }b=0[/латекс], 9{2}[/latex], равно 1.
У нас есть один метод факторизации квадратных уравнений в этой форме.
Как: Имея квадратное уравнение со старшим коэффициентом 1, разложите его на множители
1. Найдите два числа, произведение которых равно c и сумма которых равна b .
2. Используйте эти числа для записи двух множителей вида [латекс]\влево(х+к\вправо)\текст{ или }\влево(х-к\вправо)[/латекс], где k — одно из найденных чисел на шаге 1. Используйте числа точно так, как они есть. Другими словами, если эти два числа равны 1 и [латекс]-2[/латекс], множители будут [латекс]\влево(х+1\вправо)\влево(х — 2\вправо)[/латекс]. 9\circ [/latex] угол, а [latex]c[/latex] относится к гипотенузе. Он имеет неизмеримое применение в архитектуре, технике, естественных науках, геометрии, тригонометрии и алгебре, а также в повседневных приложениях.
  Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти длину одной стороны треугольника, зная длины двух других. Поскольку каждое из слагаемых в теореме возводится в квадрат, когда мы находим сторону треугольника, у нас получается квадратное уравнение.
  Мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, которые мы изучили в этом разделе, чтобы найти недостающую сторону. 9{\ circ }[/latex] угол, а [latex]c[/latex] относится к гипотенузе.
  Пример: нахождение длины недостающей стороны прямоугольного треугольника
  Найдите длину недостающей стороны прямоугольного треугольника.
  Показать решение
  Попробуйте
  Используйте теорему Пифагора для решения задачи о прямоугольном треугольнике: Катет a измеряет 4 единицы, катет b измеряет 3 единицы. Найдите длину гипотенузы.
  Показать решение
  Завершение формулы квадрата и квадрата
  Не все квадратные уравнения можно разложить на множители или решить в исходной форме, используя свойство квадратного корня. В этих случаях мы можем использовать метод решения квадратного уравнения
  , известный как , завершающий квадрат . Используя этот метод, мы добавляем или вычитаем члены с обеих сторон уравнения, пока у нас не получится идеальный квадратный трехчлен с одной стороны от знака равенства. Затем мы применяем свойство квадратного корня. Чтобы завершить квадрат, старший коэффициент, 9{2}-6x=13[/латекс].
  Показать решение
  Использование квадратной формулы
  Четвертый метод решения квадратного уравнения заключается в использовании квадратной формулы , которая решает все квадратные уравнения. Хотя квадратная формула работает с любым квадратным уравнением в стандартной форме, легко сделать ошибку при подстановке значений в формулу. Будьте внимательны при подстановке и используйте круглые скобки при вставке отрицательного числа. 9{2}-10x+15=0[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Ключевые понятия
- Многие квадратные уравнения можно решить с помощью разложения на множители, если уравнение имеет старший коэффициент, равный 1, или уравнение представляет собой разность квадратов. Затем свойство нулевого фактора используется для поиска решений.
- Многие квадратные уравнения со старшим коэффициентом, отличным от 1, могут быть решены путем факторизации с использованием метода группировки.
- Другим методом решения квадратичных уравнений является свойство квадратного корня. Переменная возводится в квадрат. Мы выделяем квадрат члена и берем квадратный корень из обеих частей уравнения. Решение даст положительное и отрицательное решение.
- Завершение квадрата — это метод решения квадратных уравнений, когда уравнение нельзя разложить на множители.
- Очень надежным методом решения квадратных уравнений является формула квадратного уравнения, основанная на коэффициентах и постоянном члене уравнения.
- Дискриминант используется для обозначения характера решений, которые даст квадратное уравнение: действительные или комплексные, рациональные или иррациональные, а также их количество.
- Теорема Пифагора, одна из самых известных теорем в истории, используется для решения задач о прямоугольных треугольниках и имеет приложения во многих областях.
  No related posts.