Способы решения квадратных уравнений
- Авторы
- Руководители
- Файлы работы
- Наградные документы
Малова И.А. 1
1МБОУ «Караульно Горская ООШ» Нурлатского района Республики Татарстан
Жирнова Г.Н. 1
1МБОУ «Караульно Горская ООШ»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF
Введение
В 8 классе мы изучили квадратные уравнения. Умение решать их необходимо, поскольку решения квадратного уравнения — это базовая тема школьного курса математики. Умение решать квадратные уравнения нам пригодятся при подготовке к ГИА и ЕГЭ, а так же к решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач.
В учебниках по алгебре рассматриваются три способа решения квадратных уравнений. Меня заинтересовало, есть ли еще способы решения квадратных уравнений. Поэтому для своей исследовательской работы я выбрала тему «Способы решения квадратных уравнений», которая посвящена исследованию способов решения квадратных уравнений.
Цели работы:
Знакомство с новыми методами решения квадратных уравнений
Углубление знаний по теме «Квадратные уравнения»
Развитие математических, интеллектуальных способностей, навыков исследовательской работы
Создание условий для самореализации личности
Задачи:
подобрать информацию по данной теме из учебников, письменных источников и сети Интернет;
узнать можно ли решить любое квадратное уравнение со всеми способами; выявить, особенности и недостатки этих способов решения квадратных уравнений;
исследовать историю развития данной темы в математике.
Показать применение данных способов при решении уравнений
Для этого я изучила историю и теорию, о котором я излагаюв этой работе.
Для выявления актуальности моей темы я провела исследование. Учащимся 8-9 классов было предложено решение полного квадратного уравнения любым известным им способом. В исследовании приняло участие 9 учащихся (100%) . Результаты исследования выявили следующее:
|
Способы решения квадратного уравнения |
Количество учащихся |
|
|
Метод выделения квадрата двучлена |
0 |
0 % |
|
Метод разложения левой части уравнения на множители способом группировки |
0 |
0% |
|
Решение уравнения по формулам дискриминанта и корней квадратного уравнения |
5 |
56% |
|
Решение уравнения, используя теорему Виета. |
3 |
33 % |
|
Решение уравнения графическим способом. |
0 |
0 % |
|
Неверно решили уравнение |
1 |
11 % |
Объект исследования:квадратные уравнения.
Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.
Гипотеза:существуют ли другие способы решения квадратного уравнения ?
Практическая значимость: квадратные уравнения – это фундамент, на котором построен курс алгебры. К решению квадратных уравнений сводятся решения дробно-рациональных уравнений и текстовых задач, находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, иррациональных уравнений. Начинают изучать решение квадратных уравнений в 8 классе и решают их до окончания вуза.
Методы исследования: анализ литературы, социологический опрос, наблюдение, сравнение и обобщение результатов.
Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.В него вошли как известные нам из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.
2.1. Квадратные уравнения.
Квадратным уравнением называют уравнение вида ах²+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с — любые действительные числа, причём, а≠0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а — первый или старший коэффициент; b — второй или коэффициент при х; с — свободный член, свободен от переменной х.
Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.
х²+рх+q=0 — стандартный вид приведенного квадратного уравнения
Кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.
Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.
Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.
Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 — это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство.
0=0.
Решить квадратное уравнение — это значит найти все его корни или установить, что их нет.
2.2. История возникновения квадратных уравнений
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений. Правило решения таких уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадают с современным, однако неизвестно, каким образом дошли они до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме.
Квадратные уравнения в Европе 13-17 вв. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
«Квадраты равны корням», т. е.
«Квадраты равны числу», т. е.
«Корни равны числу», т. е.
«Квадраты и числа равны корням», т. е.
«Квадраты и корни равны числу», т. е.
«Корни и числа равны квадратам», т. е. .
Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим.
При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.
На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.
2.3. Способы решения квадратных уравнений.
Способ 1. Решение квадратных уравнений по формуле.
Корни уравненияах2 + bх + с = 0, а ≠ 0можно найти по формуле
, где выражение b2 — 4ac= Dназывается дискриминантом.
Таким образом:
В случае положительного дискриминанта, т.е. при b2 — 4ac>0, уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
Если дискриминант равен нулю, т.е. b2 — 4ac = 0, то уравнение имеет один корень x=.
Если дискриминант отрицателен, т.е. b2 — 4ac< 0, квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Даннаяформула корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.
Пример:,
а=5, в=4, с=-9,
,
,
,
,
.
Способ 2. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.
Если второй коэффициент уравнения b = 2k– четное число, то формулу корней можно записать в виде
Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид
Формулу удобно использовать, когда р— четное число.
Пример:
,
,
,
,
,
,
.
Способ 3. Метод выделения полного квадрата.
,
,
,
,
,если,
,
Пример:,
,
,
,
,
,
,
,
,,
Способ 4.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Приведенное квадратное уравнение имеет вид . (1). Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая приа = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p иqможно предсказать знаки корней).
а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q>0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.
Например:
б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q< 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.
Например:
Теорема Виета для квадратного уравнения имеет вид:
Например:
Справедлива теорема, обратная теореме Виета.
Если числа х1 и х2 таковы, что то х1 и х2 – корни квадратного уравнения Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
Приведу пример:
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
Такими числами являются -6 и 5. По теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного квадратного уравнения.
Ответ: — 6; 5
Способ 5. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть задано квадратное уравнение
Свойства:
Если
Пример:
Так как
Ответ: 0,2; 1
Если
Пример:
Так как
Ответ: — 4/3; — 1.
Если
Пример:
Так как
Ответ: -6; — 1/6.
Если
Пример:
Так как
Ответ: 1/15; 15
Если
Пример:
Так как
Ответ: -17; 1/17
Если
Пример:
Так как
Ответ: — 1/10; 10
Способ 6.
Способ переброски старшего коэффициента.
Решим уравнение Умножив обе части уравнения на а, получим Пусть , откуда Тогда получим уравнение с новой переменной Его корни у1 и у2. Окончательно
Приведу пример:
Перебросим коэффициент а = 2 к свободному члену и получим уравнение: из которого по теореме Виета
Тогда корнями исходного уравнения будут
Ответ: 2,5; 3.
Способ 7. Разложение на множители способом группировки.
При решении квадратных уравнений часто применяется метод разложения на множители (с помощью вынесения за скобки общего множителя, формул сокращенного умножения или способа группировки).
Пример:,
,
,
,
Способ 8. Метод введения новой переменной
Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
Пример: решите уравнение
Пусть: t = 4х + 1
Произведем замену переменной
=4t-3, -4t+3=0,a+b+c=0
t1 = 1, t2 = 3
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х
Если t = 1, то 4x+1=1, x=0
Если t = 3, то 4x+1=3, x=0,5
Ответ: 0; 0,5
Способ 9. Графическое решение квадратного уравнения
Данный способ заключается в том, чтобы в уравнении перенести второй и третий члены в правую часть, и получить . Построить графики зависимостей
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи:
-прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е. уравнение имеет одно решение;
— прямая и парабола не имеют общих точек, т.
е. квадратное уравнение не имеет корней.
|
Пример: Запишем уравнение в виде и в одной системе координат построим графики функций Ответ: — 6; 1 |
Заключение
Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.
В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.
Способов решения квадратных уравнений много. Я нашла 9 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ и ЕГЭ.
Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в математике.
Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, а так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должны заинтересовать увлекающихся математикой школьников.
|
Название способа решения квадратных уравнений |
Положительные стороны |
Недостатки |
|
Разложение левой части уравнения на множители |
Дает возможность сразу увидеть корни уравнения. |
Нужно правильно разложить слагаемые для группировки. |
|
Метод выделения полного квадрата |
За минимальное количество действий можно найти корни уравнений |
Нужно правильно найти все слагаемые для выделения полного квадрата. |
|
Решение квадратных уравнений по формуле |
Можно применить ко всем квадратным уравнениям. |
Нужно выучить формулы.
|
|
Решение уравнений с использованием теоремы Виета |
Достаточно легкий способ, дает возможность сразу увидеть корни уравнения. |
Легко находятся только целые корни. |
|
Решение уравнений способом переброски |
За минимальное количество действий можно найти корни уравнения, применяется совместно со способом теоремы Виета. |
Легко найти только целые корни. |
|
Свойства коэффициентов квадратного уравнения |
Не требует особых усилий |
Подходит только к некоторым уравнениям |
|
Графическое решение квадратного уравнения |
Наглядный способ |
Могут быть не точности при составлении графиков |
Основным в решении квадратных уравнений является правильно выбрать рациональный способ решения и применить алгоритм решения.
Исследуя все способы решения, я выяснила, что самый эффективный способ нахождения корней квадратных уравнений по формуле. Легко запоминаются формулы для вычисления корней и дискриминанта, да к тому же имеются всего лишь 3 свойства дискриминанта, которые легко запомнить. Хотя в своей практике использую и другие способы: по теореме Виета, по свойствам коэффициентов квадратного уравнения, по способу «переброски»
Литература:
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. — М.: Просвещение, 1988
Глейзер Г.И. История математики в школе. — М.: просвещение, 1982
Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М.: Просвещение, 1972
Плужников И.10 способов решения квадратных уравнений//Математика в школе.-2000.-№40
http://revolution.allbest
Просмотров работы: 471
Решение квадратного уравнения | Python
Необходимо решить квадратное уравнение
Формат ввода Вводится 3 вещественных числа a, b, c — коэффициенты уравнения вида: ax^2+bx+c=0ax
Формат вывода Если у уравнения нет решений — следует вывести «No solution».
Если корней конечное число — их нужно вывести через пробел в порядке возрастания с точностью до сотых.
Если корней неограниченное число — следует вывести «Infinite solutions».
Примечание Обратите внимание, что ограничения на значения коэффициентов отсутствуют.
a = float(input())
b = float(input())
c = float(input())
x1 = float(0.00)
x2 = float(0.00)
if a == 0 and b == 0 and c == 0:
print("Infinite solutions")
elif a == 0 and b != 0 and c != 0:
x1 = -(c / b)
print("%.2f" % x1)
elif a == 0 and b == 0 and c != 0:
print("No solution") # no sol
elif a == 0 and b != 0 and c == 0:
x1 = 0
print("%.2f" % x1)
elif b == 0 and c == 0 and a != 0:
x1 = 0
print("%.2f" % x1)
elif c == 0 and b != 0 and a != 0:
x1 = 0
x2 = -(b / a)
print(min("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), max("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), sep=' ')
elif b == 0 and a != 0 and c != 0:
if (-(c / a)) < 0:
print("No solution")
else:
x1 = (-c / a) ** 0.
5
x2 = -((-c / a) ** 0.5)
print(min("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), max("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), sep=' ')
elif a != 0 and b != 0 and c != 0:
disc = (b ** 2) - (4 * a * c) # discriminant
if disc < 0:
print("No solution")
elif disc == 0:
x1 = (-b / (2 * a))
print("%.2f" % x1)
elif disc > 0:
x1 = (-b - (disc ** 0.5)) / (2 * a)
x2 = (-b + (disc ** 0.5)) / (2 * a)
print(min("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), max("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), sep=' ')
5
x2 = -((-c / a) ** 0.5)
print(min("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), max("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), sep=' ')
elif a != 0 and b != 0 and c != 0:
disc = (b ** 2) - (4 * a * c) # discriminant
if disc < 0:
print("No solution")
elif disc == 0:
x1 = (-b / (2 * a))
print("%.2f" % x1)
elif disc > 0:
x1 = (-b - (disc ** 0.5)) / (2 * a)
x2 = (-b + (disc ** 0.5)) / (2 * a)
print(min("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), max("%.2f" % x1, "%.2f" % x2), sep=' ')
Итог: 13 тестов код проходит, а на 14-ом ловлю ошибку «Wrong answer(WA)»
UPD.Итог2.0:
Примитивная ликвидация %f форматтера спасла ситуацию и код прошёл все тесты, после чего на пол экрана проявилась табличка с зелёным шрифтом «Решена полностью». Спасибо всем причастным к решению моей проблемы как советами, так и комментариями, задачу требовалось решить зная лишь 3 типа данных, условные и логические операторы — задача выполнена. Рабочий код ниже:
a = float(input()) b = float(input()) c = float(input()) x1 = float(0.
00)
x2 = float(0.00)
if a == 0 and b == 0 and c == 0:
print("Infinite solutions")
elif a == 0 and b != 0 and c != 0:
x1 = -(c / b)
print(x1)
elif a == 0 and b == 0 and c != 0:
print("No solution") # no sol
elif a == 0 and b != 0 and c == 0:
x1 = 0
print(x1)
elif b == 0 and c == 0 and a != 0:
x1 = 0
print(x1)
elif c == 0 and b != 0 and a != 0:
x1 = 0
x2 = -(b / a)
print(min(x1, x2), max(x1, x2), sep=' ')
elif b == 0 and a != 0 and c != 0:
if (-(c / a)) < 0:
print("No solution")
else:
x1 = (-c / a) ** 0.5
x2 = -((-c / a) ** 0.5)
print(min(x1, x2), max(x1, x2), sep=' ')
elif a != 0 and b != 0 and c != 0:
disc = (b ** 2) - (4 * a * c) # discriminant
if disc < 0:
print("No solution")
elif disc == 0:
x1 = (-b / (2 * a))
print("%.2f" % x1)
elif disc > 0:
x1 = (-b - (disc ** 0.5)) / (2 * a)
x2 = (-b + (disc ** 0.5)) / (2 * a)
print(min(x1, x2), max(x1, x2), sep=' ')
Укороченный код:
a = float(input()) b = float(input()) c = float(input()) x1 = float(0.
00)
x2 = float(0.00)
if a == 0 and b == 0 and c == 0:
print("Infinite solutions")
elif a == 0 and b != 0 and c != 0:
x1 = -(c / b)
print(x1)
elif a == 0 and b == 0 and c != 0:
print("No solution") # no sol
elif a == 0 and b != 0 and c == 0:
x1 = 0
print(x1)
else:
disc = (b ** 2) - (4 * a * c) # discriminant
if disc == 0:
x1 = (-b) / (2 * a)
print(x1)
elif disc > 0:
x1 = (-b - (disc ** 0.5)) / (2 * a)
x2 = (-b + (disc ** 0.5)) / (2 * a)
print(min(x1, x2), max(x1, x2), sep=' ')
elif disc < 0:
print("No solution")
Алгебра: квадратные уравнения без линейного члена
Алгебра: квадратные уравнения без линейного члена — EnchantedLearning.com EnchantedLearning.com — это сайт, поддерживаемый пользователями.
В качестве бонуса участники сайта получают доступ к версии сайта без баннерной рекламы и страницам, удобным для печати.
Щелкните здесь, чтобы узнать больше.
| . Вам также может понравиться: | Алгебра: Решение рабочего листа квадратичных уравнений #3 Печата | Алгебра: решить рабочие уравнения № 1. Алгебра: решение квадратных уравнений Рабочий лист № 2, распечатка | Алгебра: решение квадратных уравнений Рабочий лист № 4, распечатка | Сегодняшняя избранная страница: Фигуры |
| Оценочный уровень наших подписчиков для этой страницы: 7-й |
| Другие математические задания | EnchantedLearning.com Алгебра: Квадратные уравнения | |
| Квадратное уравнение: ax 2 — c = 0 Рабочие листы для печати |
Решение квадратных уравнений без линейных членов:
Существует множество способов решения квадратных уравнений.
Самый простой тип квадратных уравнений имеет вид: ax 2 — c = 0 (без линейного члена, то есть без члена x 1 ). Этот тип уравнения также называется чистым квадратным уравнением, и его легко решить, добавив с к каждой стороне, разделив каждую сторону на а, а затем извлекая квадратный корень из каждой стороны.
Например:
Некоторые квадратные уравнения немного сложнее, например, ax 2 + e = dx 2 + d. Этот тип проблемы также легко решить. Первым шагом является упрощение уравнения путем объединения одинаковых членов (объединение квадратов членов и чисел). Затем уравнение решается так же, как и в предыдущем примере (в математике задачи часто решаются путем сведения их к типу задач, которые вы уже знаете, как решать).
Например:
Перейти к печатным листам по квадратным уравнениям (без линейного члена).
Зачарованное обучение ®
Более 35 000 веб-страниц
Примеры страниц для потенциальных подписчиков или нажмите ниже
| Обзор сайта Что нового Enchanted Learning Home Ежемесячный календарь активности Книги для печати Указатель сайта K-3 Рукоделие K-3 Темы Маленькие исследователи Словарь в картинках PreK/K Занятия Rebus Rhymes Истории Письмо Клоузные занятия Темы эссе Газета Письменные задания Части речи Художественная литература Испытание временем | Биология Распечатки животных Распечатки этикеток биологии Биомы Птицы Бабочки Динозавры Пищевая цепь Анатомия человека Млекопитающие Растения Тропические леса Акулы Киты Физические науки: К-12 Астрономия Земля Геология Ураганы Формы рельефа Океаны Цунами Вулкан | Языки Голландский Французский Немецкий Итальянский Японский (ромадзи) Португальский Испанский Шведский География/История Исследователи Флаги География Изобретатели История США Другие темы Искусство и художники Календари Поиск колледжей Ремесла Графические органайзеры Наклейку на меня! Распечатки Математика Музыка Word Wheels |
Нажмите, чтобы прочитать нашу Политику конфиденциальности
| Электронная почта |
| Найдите на веб-сайте Enchanted Learning: |
Copyright © 2005-2018 EnchantedLearning.com —— Как цитировать веб-страницу
Урок Решение квадратных уравнений без формулы квадратного
Этот урок (Решение квадратного уравнения без формулы квадратного) создан пользователем ikleyn(47779) : Просмотр исходного кода, Показать
6 О ikleyn 6 : 8
Уроки ДОКАЗАТЕЛЬСТВО квадратной формулы… и Введение в квадратные уравнения этого модуля объясняют, что такое квадратная формула и как ее использовать для решения квадратных уравнений.
На самом деле формула квадрата похожа на «тяжелый танк» и работает всегда.
Но в некоторых простых случаях квадратное уравнение можно решить проще и быстрее без использования этой формулы, и в этом уроке объясняется, как это сделать.
Первая форма квадратного уравнения
Рассмотрим квадратное уравнение .
Решение очевидно: x=2 и x=-2 (два корня).
То же в случае . Решение x=3 и x=-3.
Что насчет ?
?
?
?
?
?
?
Решение и .
?
Решение и .
И так далее…
Теперь решите себе подобные уравнения:
.
.
.
Вторая форма квадратного уравнения
Теперь рассмотрим квадратное уравнение .
Это тоже решается просто.
Сначала обратите внимание, что, извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получаем 3x+2=5 или 3x+2=-5.
Из первого из этих двух уравнений получаем 3x=5-2=3 и x=1.
Из второго уравнения 3x=-5-2=-7 и x=-7/3.
Решения: x=1 и x=-7/3.
Теперь решите себе подобные уравнения:
Используя формулы Виете
Рассмотрим квадратное уравнение
. (1)
Если и являются корнями квадратного уравнения (1), тогда
и .
(2)
Формулы (2) — это формулы Виета для квадратного уравнения (1) (см. формулы Виета в Википедии или доказательство в конце этого раздела).
Формулы Виета обычно применяются к квадратному уравнению с коэффициентом при , равным 1. В этом случае эти формулы становятся особенно простыми:
и . (3)
Теперь, если вам дано квадратное уравнение
(4)
с коэффициентом при члене равным 1, попробуйте угадать два числа и , соответствующие условиям
и . (5)
В случае успеха эти числа и , являются решениями квадратного уравнения (4).
Пример 1
Решите квадратное уравнение по формулам Виета.
Обратите внимание, что 3*1=3 и 3+1=4, поэтому числа 3 и 1 являются решениями согласно (5).
Конечно, поскольку мы сделали только догадки, мы должны проверить эти решения напрямую и независимо. Пожалуйста, сделайте это сами.
Пример 2
Решите квадратное уравнение по формулам Виете.
Обратите внимание, что (-3)*1=-3 и (-3)+1=-2, поэтому числа -3 и 1 являются решениями согласно (5).
Опять же, поскольку мы сделали только правильные предположения, мы должны проверить эти решения напрямую и независимо. Пожалуйста, сделайте это сами.
Пример 3
Решите квадратное уравнение с помощью формул Виета.
Обратите внимание, что 3*2=6 и 3+2=5, поэтому числа 3 и 2 являются решениями согласно (5).
Вы должны проверить эти решения напрямую и независимо друг от друга. Пожалуйста, сделайте это сами.
Другие примеры
Решите квадратные уравнения, используя формулы Виета.
.
.
.
.
.
.
.
.
Не забывайте проверять свои решения напрямую и самостоятельно.
Доказательство формул Виета
Если и корни квадратного уравнения (1), то
. Выполняя умножение многочленов в правой части
и сравнивая коэффициенты отдельно при х и при постоянных членах в левой и правой части, получаем формулы (2).
