Решение квадратных дробных уравнений: Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

  • найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
  • заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
  • решить получившееся целое уравнение,
  • исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

.

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

.

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

.

При решении квадратного уравнения получаем его корни:

.

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —

.

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение

, получаем его корни:

.

Если x = -3, то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

,

то же самое, если x = 3.

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

.

Общий знаменатель — выражение

Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

.

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Введём новую переменную, обозначив

. Получим уравнение с переменной y:

.

Корни этого уравнения:

Значит

или .

Из уравнения находим, что

.

Из уравнения находим, что

.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

, .

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Содержание

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. 

Например:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9x^2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8x^2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

  1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

  2. Найдите общий знаменатель дробей.

  3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

  4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

  5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

  6. Решите полученное уравнение.

  7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.

  8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

\(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

ОДЗ:   \(x-2≠0⇔x≠2\)
\(x+2≠0 ⇔x≠-2\)
\(x^2-4≠0⇔ x≠±2\)

Сначала записываем и «решаем» ОДЗ.

\(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)

 

По формуле сокращенного умножения: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\).

\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} — \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\)

 

Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.

\(x(x+2)-7(x-2)=8\)

 

Раскрываем скобки

\(x^2+2x-7x+14=8\)


Приводим подобные слагаемые

\(x^2-5x+6=0\)


Решаем полученное квадратное уравнение.

\(x_1=2;\)            \(x_2=3\)


Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй.

Ответ: \(3\).

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)

ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\)
\(x+5≠0 ⇔x≠-5\)
\(x^2+7x+10≠0\)
\(D=49-4 \cdot 10=9\)
\(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\)
\(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)

Записываем и «решаем» ОДЗ.

Раскладываем   квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на  множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\).
Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)

 

Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.

\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\)
\(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)

 

Сокращаем дроби

\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)

 

Раскрываем скобки

\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)


Приводим подобные слагаемые

\(2x^2+9x-5=0\)


Находим корни уравнения

\(x_1=-5;\)        \(x_2=\frac{1}{2}.\)


Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).

Смотрите также:
Дробно-рациональные  неравенства

Скачать статью
Как решать уравнения с дробями онлайн калькулятор

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В 5 классе школьники по математике изучают довольно много новых тем, одной из которых будет дробные уравнения. Для многих это довольно сложная тема, в которой родители должны помочь разобраться своим детям, а если родители забыли математику, то они всегда могут воспользоваться онлайн программами, решающими уравнения. Так на примере вы сможете быстро понять алгоритм решения уравнений с дробями и помочь своему ребенку.

решение уравнений с дробями

Так же читайте нашу статью «Решить дробное уравнение онлайн решателем»

Ниже для наглядности мы решим несложное дробное линейное уравнение следующего вида:

\[\frac{x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Чтобы решить данного рода уравнения необходимо определить НОЗ и умножить на него левую и правую часть уравнения:

НОЗ = 6

\[\frac {x-2}{3} — \frac{3x}{2}=5\]

Благодаря этому мы получим простое линейное уравнение, поскольку общий знаменатель, а также знаменатель каждого дробного члена сократится:

\[2(2-x)-9x=30\]

Далее нам необходимо открыть скобки:

\[2x-4-9x=30\]

Сделаем перенос членов с неизвестной в левую сторону:

\[-7x=30+4\]

Выполним деление левой и правой части на -7:

\[x=-\frac{34}{7}\]

Из полученного результата можно выделить целую часть, что и будет конечным результатом решения данного дробного уравнения:

\[x=-4\frac {6}{7}\]

Где можно решить уравнение с дробями онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Дробно-рациональные уравнения | Алгебра

Дробн0-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения) — это уравнения c одной переменной вида

   

где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь (то есть в таких уравнениях в знаменателе есть переменная).

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают  по следующей схеме:

1) Все слагаемые переносим в одну сторону.

2) Дроби приводим к НОЗ (наименьшему общему знаменателю).

3) После упрощения решаем уравнение типа «дробь равна нулю«.

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

Решить дробно-рациональные уравнения:

   

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю» Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

   

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

   

   

   

Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

   

   

Это — квадратное уравнение. Его корни

   

Оба корня удовлетворяют условиям x≠2, x≠ -4.Ответ: 5; -6.

   

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

— при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

   

Из двух корней квадратного уравнения

   

   

— второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

Ответ: -4.

   

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

   

   

   

   

Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ:

   

Уравнение

   

— частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, который не входит в множество решений данного уравнения — 3.

Ответ: x — любое число, кроме 3.

   

Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

   

   

   

   

   

   

— при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

   

   

Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

квадратичных уравнений

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения создают хорошие кривые, как этот:

Имя

Название Quadratic происходит от квадрата, означающего квадрат, потому что переменная получает квадрат (например, x 2 ).

Это также называется «уравнение степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом:


  • a , b и c являются известными значениями. a не может быть 0.
  • « x » — это переменная , или неизвестно (мы пока не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0 В этом a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0 Это немного сложнее:
  • Где ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 »
  • b = −3
  • А где с ? Скважина c = 0 , поэтому не показана.
5x — 3 = 0
Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2
(другими словами a = 0 , что означает, что оно не может быть квадратичным)

поиграй с ним

Поиграйте в «Исследователь квадратичных уравнений», чтобы увидеть:

  • график, который он делает, и
  • решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, стандартная форма квадратного уравнения равна

Но иногда квадратное уравнение выглядит не так!

Например:

замаскированный В стандартной форме а, б и в
x 2 = 3x — 1 Переместить все термины в левую часть x 2 — 3x + 1 = 0
a = 1, b = −3, c = 1
2 (Вт 2 — 2 Вт) = 5 Расширить (отменить скобки),
и переместить 5 влево
2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0 a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3 Разверните и переместите 3 влево z 2 — z — 3 = 0 a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

«Решения » для квадратного уравнения — это где равно нулю .

Их также называют « корни », или иногда « нули »

Обычно есть 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько способов найти решение:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто подключите значения a, b и c и выполните расчеты.

Мы рассмотрим этот метод более подробно сейчас.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, что выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b 2 — 4ac) 2a

x = −b — √ (b 2 — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но так не всегда получается!

  • Представьте, что кривая «просто касается» оси X.
  • Или представьте, что кривая настолько высока, что и даже не пересекают ось X!

Здесь «Дискриминант» помогает нам …

Дискриминант

Видите ли вы b 2 — 4ac в формуле выше? Он называется Дискриминант , потому что он может «различать» между возможными типами ответа:

  • , когда b 2 — 4ac положительно, мы получаем два реальных решения
  • , когда он равен нулю, мы получаем ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
  • , когда оно отрицательное, мы получаем пару комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как посмотрим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто поместите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: а = 5, б = 6, с = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac)

Положите в a, b и c: x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: х = −6 ± √ (36 — 20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

x = −0.2 или −1

Ответ: x = −0.2 или x = −1

И мы видим их на этом графике.

Чек -0,2 : 5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1
= 5 × (0,04) + 6 × (–0,2) + 1
= 0,2 — 1,2 + 1
= 0
Чек -1 : 5 × ( -1 ) 2 + 6 × ( -1 ) + 1
= 5 × (1) + 6 × (-1) + 1
= 5 — 6 + 1
= 0

Вспоминая Формулу

Добрая читательница предложила спеть ее для «Pop Goes the Weasel»:

«x равно минус b «Все вокруг куста шелковицы
плюс или минус квадратный корень Обезьяна преследовала ласку
б-квадрат минус четыре а с Обезьяна подумала, что все в порядке
ВСЕ более двух « Поп! идет ласка «

Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b 2 — 4ac)

«Отрицательный мальчик думал о да или нет о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он говорил с квадратным парнем, но не с 4 потрясающими цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи.
«

Комплексные решения?

Когда дискриминант (значение b 2 — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару комплексных решений … что это значит?

Это означает, что наш ответ будет включать в себя мнимые числа. Вот Это Да!

Пример: Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

Коэффициенты : : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант является отрицательным: b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = -2 ± √ (−16) 10

√ (−16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: х = -2 ± 4 i 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 i

График не пересекает ось X. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте это как -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты : : a = 1, b = −4, c = 6.25

Обратите внимание, что дискриминант отрицателен: b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось X.Вот почему мы получили комплексные числа.

, НО перевернутое зеркальное изображение нашего уравнения пересекает ось X при 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Резюме

  • Квадратичное уравнение в стандартной форме: топор 2 + bx + c = 0
  • Квадратичные уравнения могут быть учтены
  • Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac)
  • Когда дискриминант ( b 2 −4ac ) равен:
    • положительных, есть 2 реальных решения
    • ноль, есть одно реальное решение
    • минус, есть 2 комплексных решения

,

Алгебра. Квадратичные уравнения. Часть II

Пол Заметки Онлайн

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы практики
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Квадратичные уравнения — Часть I
  • Квадратичные уравнения: краткое изложение
  • глав
  • Предварительные сведения
  • Графика и функции
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Обзор алгебры и триггеров
  • Распространенные математические ошибки
  • Комплексное число праймер
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои ученики
  • Примечания Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Практика Проблемы Загрузки
  • Complete Book — Проблемы только
  • Complete Book — Решения
  • Текущая глава — только проблемы
  • Текущая глава — Решения
  • Текущий раздел — только проблемы
  • Текущий раздел — Решения
  • Проблемы с назначением Загрузки
  • Полная книга
  • Текущий Глава
  • Текущий раздел
  • Другие предметы
  • Получить URL для загрузки элементов
  • Распечатать страницу в текущей форме (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • алгебра
    • Предварительные
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • полиномов
      • Факторинг Полиномы
      • Rational Expressions
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и комплекты решений
      • линейных уравнений
      • приложений линейных уравнений
      • уравнений с более чем одной переменной
      • Квадратичные уравнения — Часть I
      • Квадратичные уравнения — Часть II
      • Квадратичные уравнения: краткое изложение
      • Приложения квадратичных уравнений
      • Уравнения
      • , приводимые к квадратичной форме
      • Уравнения с радикалами
      • линейных неравенств
      • Полиномиальное неравенство
      • Рациональное неравенство
      • Уравнения абсолютной стоимости
.

Решение квадратичных уравнений

Решение квадратичных уравнений

Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать как

топор 2 + bx + c = 0

когда а 0.

Существует три основных метода решения квадратных уравнений: факторинг, использование квадратной формулы и заполнение квадрата.

Факторинг

Чтобы решить квадратное уравнение с помощью факторинга,

  1. Поместите все члены на одну сторону знака равенства, оставив ноль на другой стороне.

  2. Фактор.

  3. Установите каждый фактор равным нулю.

  4. Решите каждое из этих уравнений.

  5. Проверьте, вставив свой ответ в исходное уравнение.

Пример 1

Решить x 2 — 6 x = 16.

Следуя инструкциям,

x 2 — 6 x = 16 становится x 2 — 6 x — 16 = 0

Фактор.

( x — 8) ( x + 2) = 0

Установка каждого фактора на ноль, equation

Тогда, чтобы проверить, equation

Оба значения, 8 и –2, являются решениями исходного уравнения.

Пример 2

Решить y 2 = — 6 y — 5.

Установка всех слагаемых, равных нулю,

y 2 + 6 y + 5 = 0

Фактор.

( y + 5) ( y + 1) = 0

Установка каждого коэффициента на 0, equation

Для проверки, y 2 = –6 y — 5

equation

Квадратик с отсутствующим термином называется неполным квадратичным (до тех пор, пока не исчезнет топор 2 ).

Пример 3

Решить x 2 — 16 = 0.

Фактор.

equation

Для проверки, x 2 — 16 = 0

equation

Пример 4

Решить x 2 + 6 x = 0.

Фактор.

equation

Для проверки, x 2 + 6 x = 0

equation

Пример 5

Решить 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5.

Во-первых, упростите, поместив все термины на одну сторону и объединив одинаковые термины.

equation

Теперь фактор.

equation

Для проверки: 2 x 2 + 2 x — 1 = x 2 + 6 x — 5

equation

Квадратичная формула

Многие квадратные уравнения не могут быть решены с помощью факторинга. Это обычно верно, когда корни или ответы не являются рациональными числами.Второй метод решения квадратных уравнений предполагает использование следующей формулы: equation

a, b, и c взяты из квадратного уравнения, записанного в его общей форме

топор 2 + bx + c = 0

, где a — это число перед x 2 , b — это число перед x , а c — это число без переменной рядом с ним (a ,к.а., «константа»).

При использовании квадратной формулы вы должны знать о трех возможностях. Эти три возможности отличаются частью формулы, называемой дискриминантом. Дискриминант — это значение под знаком радикала, b 2 — 4 ac . Квадратное уравнение с действительными числами в качестве коэффициентов может иметь следующее значение:

  1. Два разных реальных корня, если дискриминант b 2 — 4 ac является положительным числом.

  2. Один действительный корень, если дискриминант b 2 — 4 ac равен 0.

  3. Нет реального корня, если дискриминант b 2 — 4 ac является отрицательным числом.

Пример 6

Решить для x : x 2 — 5 x = –6.

Установка всех слагаемых, равных 0,

x 2 — 5 x + 6 = 0

Затем подставьте 1 (который понимается перед x 2 ), –5 и 6 для a , b и c, соответственно в квадратной формуле и упростите.

equation

Поскольку дискриминант b 2 — 4 ac положителен, вы получаете два разных реальных корня.

Пример производит рациональные корни. В примере квадратная формула используется для решения уравнения, корни которого не рациональны.

Пример 7

Решить за у : у 2 = –2y + 2.

Установка всех слагаемых, равных 0,

y 2 + 2 y — 2 = 0

Затем замените 1, 2 и –2 для на , b и c, соответственно в квадратной формуле и упростите.

equation

Обратите внимание, что два корня иррациональны.

Пример 8

Решить для x : x 2 + 2 x + 1 = 0.

Подставляя в квадратную формулу,

equation

Поскольку дискриминант b 2 — 4 ac равен 0, уравнение имеет один корень.

Квадратичная формула также может быть использована для решения квадратных уравнений, корни которых являются мнимыми числами, то есть они не имеют решения в системе вещественных чисел.

Пример 9

Решить для x : x ( x + 2) + 2 = 0 или x 2 + 2 x + 2 = 0.

Подставляя в квадратную формулу,

equation

Поскольку дискриминант b 2 — 4 ac отрицателен, это уравнение не имеет решения в системе вещественных чисел.

Но если бы вы выразили решение, используя мнимые числа, решения были бы equation.

Завершение квадрат

Третий метод решения квадратных уравнений, который работает как с действительными, так и с мнимыми корнями, называется завершением квадрата.

  1. Поместите уравнение в форму ax 2 + bx = — c .

  2. Убедитесь, что a = 1 (если a ≠ 1, перед продолжением умножьте уравнение на equation).

  3. Используя значение b из этого нового уравнения, добавьте equation к обеим сторонам уравнения, чтобы сформировать идеальный квадрат в левой части уравнения.

  4. Найдите квадратный корень с обеих сторон уравнения.

  5. Решите полученное уравнение.

Пример 10

Решить для x : x 2 — 6 x + 5 = 0.

Упорядочить в виде

equation

Поскольку a = 1, добавьте equation или 9 с обеих сторон, чтобы завершить квадрат.

equation

Возьмите квадратный корень с обеих сторон.

x — 3 = ± 2

Решить.

equation

Пример 11

Решить за г. : г. 2 + 2 г. — 4 = 0.

Упорядочить в виде

equation

Поскольку a = 1, добавьте equation или 1 к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

equation

Возьмите квадратный корень с обеих сторон.

equation

Решить.

equation

Пример 12

Решить для x : 2 x 2 + 3 x + 2 = 0.

Упорядочить в виде

equation

Поскольку a ≠ 1, умножьте уравнение на equation.

equation

Добавьте equation или equation в обе стороны.

equation

Возьмите квадратный корень с обеих сторон.

equation

Нет решения в реальной системе счисления. Возможно, вам будет интересно узнать, что завершающий квадратный процесс для решения квадратных уравнений был использован для уравнения ax 2 + bx + c = 0 для получения квадратной формулы.

,

Quadratic Equation

Привет друзья! Квадратичные уравнения являются неотъемлемой частью математики, которая также применяется в различных других областях. Поэтому мы создали этот сайт, чтобы объяснить вам , что такое квадратное уравнение. После понимания концепции квадратичных уравнений вы сможете легко решать квадратные уравнения .

Теперь давайте объясним вам, что такое квадратное уравнение. Это математическое уравнение с наибольшей степенью 2.Он имеет форму топор ² + bx + c . Здесь x представляет неизвестное значение, а a, b и c представляют известные числа. Решения квадратных уравнений можно использовать с помощью квадратной формулы. Существуют и другие методы поиска решений квадратных уравнений, такие как разложение на множители, заполнение квадрата или построение графиков. Поскольку квадратные уравнения имеют наивысшую степень 2, всегда будет два решения для x, которые будут приняты. Эти значения x, которые удовлетворяют уравнению, называются корнями или нулями уравнения.Следовательно, квадратное уравнение всегда будет иметь два корня или решения.

Здесь, в этой статье, мы попытались объяснить вам все понятия квадратичных уравнений. Если вы студент, то изучение этих понятий очень важно, поскольку это поможет вам решить проблемы в школе. Это важная концепция, которая имеет широкий спектр применения в таких областях, как физика, химия, машиностроение и т. Д.

Определение уравнения с квадратичной формулой

Equation Definition with Quadratic Formula Equation Definition with Quadratic Formula

Мы обсудили с вами общий формат квадратного уравнения.Теперь, если вам требуется решить квадратное уравнение, вы должны использовать квадратную формулу. Любое квадратное уравнение имеет два решения или корни. Таким образом, вы получите два корня, один в «+» и один в «-», и оба являются решениями уравнения.

Здесь мы предоставили вам таблицу с квадратной формулой, поэтому вам будет легко ее запомнить и применить.

Калькулятор квадратного уравнения

Калькулятор квадратного уравнения — это специальный калькулятор, который используется для решения сложных квадратных уравнений.Хотя для вычисления корней квадратного уравнения можно использовать научный калькулятор, он не всегда удобен. Поэтому многие онлайн-сайты предоставляют калькулятор квадратного уравнения, который очень прост в использовании. Вам просто нужно ввести известные значения a, b и c. Он рассчитает корни квадратного уравнения автоматически.

Здесь мы предоставили вам калькулятор квадратного уравнения, где вам просто нужно ввести коэффициенты квадратного уравнения.

Рабочие таблицы по квадратным уравнениям PDF

Quadratic Equation Worksheets PDF Quadratic Equation Worksheets PDF

Даже если вы знаете, как правильно решать квадратные уравнения, вам нужно попрактиковаться в их решении, чтобы овладеть концепцией. Как студенты, практика темы важна для того, чтобы быть прекрасной в этом. Следовательно, вы можете оценить, как много вы узнали о квадратных уравнениях, решив задачи, приведенные в этой таблице.

Этот лист представлен в формате PDF, поэтому вы можете взять его распечатку и взять с собой куда угодно.

График квадратного уравнения

График квадратного уравнения представляет собой график, отображающий значения всех корней квадратного уравнения. Поскольку в квадратном уравнении существуют как отрицательные, так и положительные корни, график принимает форму параболы. Следовательно, вы можете построить график квадратного уравнения, найдя различные корни x, которые решают равенство.

Чтобы помочь вам лучше понять график квадратичного уравнения, мы предоставили вам график квадратного уравнения, который поможет вам понять, как вы можете построить график квадратичного уравнения.

Стандартная форма квадратного уравнения

 Standard Form of a Quadratic Equation  Standard Form of a Quadratic Equation

Стандартная форма квадратного уравнения — это уравнение в форме ах 2 + bx + c = 0. Здесь x — неизвестное значение, и a, b и c являются переменными. Но иногда квадратные уравнения могут не прийти в стандартной форме, и нам, возможно, придется расширить их.

Здесь мы предоставили вам таблицу, показывающую примеры различных форм квадратных уравнений, таких как форма вершины и фактор-форма.

Вершинная форма квадратного уравнения задается следующим образом:

f ( x ) = a ( x — h ) 2 + k , где ( ч, k ) это вершина параболы.

Факторизованная форма квадратного уравнения говорит нам о корнях квадратного уравнения. Он записывается в виде a⋅ (x − p) ⋅ (x − q) или a⋅ (x − p) 2

Дискриминант квадратного уравнения

В математике дискриминант является полиномиальной функцией своего коэффициента , что позволяет нам иметь представление о некоторых свойствах корней без их вычисления.Следовательно, в случае квадратного уравнения дискриминант является частью квадратного уравнения под квадратным корнем. Это помогает нам определить число корней для квадратного уравнения.

Здесь мы предоставили вам пример дискриминанта квадратного уравнения.

 Quadratic Equation  Quadratic Equation

Как решить квадратное уравнение

Как известно, квадратное уравнение является полиномом со степенью 2. Существуют различные методы, с помощью которых можно решить квадратное уравнение.Ниже приведены методы решения квадратного уравнения:

  1. Факторинг

Давайте посмотрим, как использовать метод факторинга для решения квадратного уравнения.

Например, давайте решим уравнение (x + 4) (x-3) = 0

. Мы будем сохранять значение каждого фактора равным 0.

(x + 4) = 0 и (x-3) = 0

Следовательно, x + 4 — 4 = 0 -4; или x-3 + 3 = 0 + 3

x = -4 или x = 3

2. Завершение квадрата

Иногда некоторые квадратные уравнения могут быть учтены как идеальные квадраты.

Например, квадратное уравнение x² + 6x + 5 не является идеальным квадратом. Но если мы добавим 4 к нему, он станет идеальным квадратом. И результирующее выражение, которое мы получили бы (x + 3) ².

3. Квадратичная формула

Это наиболее распространенный метод решения квадратного уравнения. Это включает использование квадратной формулы, чтобы найти решение или корни квадратного уравнения.

Ниже приведена квадратная формула, используемая для решения любого квадратного уравнения:

 Quadratic Equation  Quadratic Equation

4.Graphing

Используя этот метод, все корни квадратного уравнения можно получить, подставив любое значение для x, которое решает равенство.

Прежде чем графически решить квадратное уравнение, мы должны понять, что такое x-intercept и y-intercept. X-перехват относится к корням квадратичных уравнений, которые пересекают график по оси X. Точно так же Y-перехват относится к корням квадратного уравнения, которое пересекает график по оси Y. Значимость x и y-перехватчиков заключается в том, что они изображают насест или решение квадратного уравнения.Вы можете использовать любое значение для x-перехвата, чтобы найти различные значения y-перехвата и построить соответствующие точки на графике.

Использование квадратичной формулы

Мы рассказали вам о различных методах, с помощью которых вы можете найти решения квадратных уравнений. В то время как другие обычно используемые методы, такие как факторинг и построение графиков, могут использоваться для поиска решений для квадратных уравнений, процесс может усложниться, и результат также может быть неточным.

Следовательно, наиболее предпочтительным методом решения квадратного уравнения является использование квадратной формулы.

Квадратичная формула дается в виде:

 Quadratic Equation  Quadratic Equation

Здесь мы объясним вам, как вы можете применять квадратное уравнение для решения задач. Вы можете следовать этим пошаговым инструкциям для решения любого квадратного уравнения:

Например, возьмите квадратное уравнение x 2 + 2x + 1 = 0

Теперь давайте найдем дискриминанты уравнения:

Дискриминант формула = b 2 — 4ac

Применение значений a, b и c в приведенном выше уравнении:

22 — 4 × 1 × 1 = 0

Теперь примените квадратную формулу:

x = (−2 ± √0) / 2 = −2/2

Следовательно, x = -1

Решатель квадратичных уравнений

Часто мы сталкиваемся с решением сложных квадратных уравнений, которое может быть сложным и требует сложных вычислений.Кроме того, существует риск ошибочного результата. Таким образом, вы можете воспользоваться помощью решателя квадратного уравнения, который в основном калькулятор квадратного уравнения.

Этот калькулятор прост в использовании и даст вам правильные результаты в считанные секунды. Вам просто нужно ввести коэффициенты для a, b и c, и он автоматически найдет для вас значение обоих корней квадратного уравнения.

Чтобы объяснить вам, как вы можете решать квадратные уравнения онлайн с помощью решателя квадратичных уравнений, здесь мы предоставили вам видео.

Заключение

Таким образом, в этой статье мы попытались объяснить вам все понятия квадратичных уравнений и различные методы, с помощью которых вы можете их решать. Используя такие методы, как факторинг и построение графиков, вы можете легко найти решения любого квадратного уравнения. Но наиболее предпочтительным методом, который можно использовать для решения любого квадратного уравнения, является квадратная формула. Мы надеемся, что эта статья помогла вам лучше понять квадратные уравнения и позволит вам легко решить любое квадратное уравнение.

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.