Решение линейных систем алгебраических уравнений методом гаусса: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Содержание

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса

Авторы: Майканова Алия Уразгалиевна, Шонин Максим Юрьевич, Бекмухометова Светлана Александровна, Плотникова Елена Александровна, Пензина Ирина Владимировна

Рубрика: Информационные технологии

Опубликовано в Молодой учёный №10 (248) март 2019 г.

Дата публикации: 06.

03.2019 2019-03-06

Статья просмотрена: 2430 раз

Скачать электронную версию

Скачать Часть 1 (pdf)

Библиографическое описание:

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса / А. У. Майканова, М. Ю. Шонин, С. А. Бекмухометова [и др.]. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 10 (248). — С. 1-5. — URL: https://moluch.ru/archive/248/56999/ (дата обращения: 14.11.2022).



В статье рассматривается алгоритм метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Выбран язык Maple, как наиболее оптимальный для реализации алгоритма. В статье содержится листинг программного кода.

Ключевые слова:

система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, алгоритм реализации метода Гаусса, прямой и обратный ход, программный код.

В прикладных задачах довольно часто приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это не удивительно, поскольку математические модели тех или иных процессов либо сразу строятся как СЛАУ, либо сводятся к таковым посредством дискретизации или линеаризации.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения СЛАУ. Являясь наиболее мощным и универсальным инструментом для нахождения решения СЛАУ, он обладает рядом преимуществ: 1) нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность; 2) методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю; 3) метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Но главное, что было отмечено в работе «Метод Гаусса в школе» М. Ю. Шонина и Л. А. Мамедалиной, «Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах» [3].

Настоящая статья посвящена составлению и апробации алгоритма численного решения СЛАУ в соответствии с алгоритмом метода Гаусса. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений [1]

Решение:

Для численного решения СЛАУ воспользуемся математическим пакетом Maple 15. В соответствии с условием задачи имеем:

и

Для эффективной работы в необходимо разбираться в тонкостях языка. К ним относится, например, команда и переменная .

Команда — очищает память . Это означает, что все определенные для этого в программе переменные и другие объекты будут стерты. При этом текст программы останется неизменным. Данная функция необходима для осуществления компиляции.

Переменная возвращает необходимое количество знаков после запятой . Установим точность вычисления . Поскольку нам придется иметь дело с матрицей и вектор-столбцом, то необходимо подключить библиотеку линейной алгебры — . Введем данные в программу.

>

>

>

>

>

>

>

В соответствии с логикой метода Гаусса, программа должна привести матрицу к треугольному виду (Прямой ход). Целесообразно воспользоваться циклом со счетчиком . Цикл предназначен для реализации итерационных (повторяющихся) действий [2].

>

>

>

>

>

Следующий этап — обратный ход, построчное вычисление входящих в систему переменных и их вывод на экран.

>

>

>

Заключительным этапом программы служит проверка адекватности найденного решения. Для этого воспользуемся командой решения СЛАУ — .

>

Найдем абсолютную погрешность (модуль разности значений переменных, полученных путем численного решения и при помощи встроенной команды соответственно). Команда выполняет операции над матрицами. Команда возвращает абсолютные значения.

>

Анализируя последние результаты, можно констатировать высокую точность вычисления. Таким образом, разработанная программа вполне адекватна для решения СЛАУ.

Литература:

  1. Ильин В. А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
  2. Кирсанов М. Н. Практика программирования в системе Maple. — М.: Издательский дом МЭИ, 2011. — 208 с.
  3. Мамедалина Л. А. Метод Гаусса в решении СЛАУ в школе / Л. А. Мамедалина, М. Ю. Шонин // Весенний школьный марафон: материалы III Междунар. науч.-практ. конф. школьников (Чебоксары, 31 мая 2016 г.) / редкол.: О. Н. Широков [и др.] — Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2016. — С. 139–143.

Основные термины (генерируются автоматически): метод Гаусса, численное решение, алгоритм метода Гаусса, обратный ход, переменная, программный код, система уравнений, число уравнений.

Ключевые слова

метод Гаусса, система линейных алгебраических уравнений, алгоритм реализации метода Гаусса, прямой и обратный ход, программный код

система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, алгоритм реализации метода Гаусса, прямой и обратный ход, программный код

Похожие статьи

Организация приближённого

решения интегральных уравнений. ..

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

В последнее время для решения задач вычислительной математики часто применяют

3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения.

Организация

численных методов в MathCAD | Статья в журнале…

приближенное решение , метод трапеций,

метод итераций , квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод

Применение описанных в статье методов позволяет восстановить утраченные исходные коды простых линейных и итерационных…

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона…

Аппроксимация полиномов n степени

методом наименьших…

Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием.

Применение итерационного

алгоритма Шульца в рекуррентных…

Метод Гаусса—Жордана. Сложность алгоритма — . — С помощью матрицы алгебраических дополнений.

В алгоритмах Гаусса и LU-разложения обратная матрица получается после фиксированного числа арифметических операций.

Модульный анализ сеточных

методов решения

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для различных моментов времени . Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений

Применение

метода вариационных итераций к приближенному…

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод

Решения таких уравнений методом вариационных итераций было показано многими

Для решения этой задачи применяем вышеописанную алгоритм МВИ для ОДУ второго порядка.

Методическое обеспечение

решения математических моделей

Им принадлежит применяемый метод решения систем алгебраических линейных уравнений и вычислительная система. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений подразделяются на и прямые. Прямые используют метод Гаусса, а итерационные методы

К вопросу о реализации профессиональной направленности…

решение систем алгебраических уравнений методами: Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы. Алгоритмы решения «базовых» профессиональных задач разбираются на практических занятиях и даются студентам для типовых расчетов.

Похожие статьи

Организация приближённого

решения интегральных уравнений

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

В последнее время для решения задач вычислительной математики часто применяют

3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения.

Организация

численных методов в MathCAD | Статья в журнале…

приближенное решение , метод трапеций, метод итераций , квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод

Применение описанных в статье методов позволяет восстановить утраченные исходные коды простых линейных и итерационных…

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона…

Аппроксимация полиномов n степени

методом наименьших…

Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием.

Применение итерационного

алгоритма Шульца в рекуррентных…

Метод Гаусса—Жордана. Сложность алгоритма — . — С помощью матрицы алгебраических дополнений.

В алгоритмах Гаусса и LU-разложения обратная матрица получается после фиксированного числа арифметических операций.

Модульный анализ сеточных

методов решения

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для различных моментов времени . Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений

Применение

метода вариационных итераций к приближенному…

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод

Решения таких уравнений методом вариационных итераций было показано многими

Для решения этой задачи применяем вышеописанную алгоритм МВИ для ОДУ второго порядка.

Методическое обеспечение

решения математических моделей

Им принадлежит применяемый метод решения систем алгебраических линейных уравнений и вычислительная система. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений подразделяются на и прямые. Прямые используют метод Гаусса, а итерационные методы

К вопросу о реализации профессиональной направленности…

решение систем алгебраических уравнений методами: Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы. Алгоритмы решения «базовых» профессиональных задач разбираются на практических занятиях и даются студентам для типовых расчетов.

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.


Поиск на сайте DPVA

Поставщики оборудования

Полезные ссылки

О проекте

Обратная связь

Ответы на вопросы.

Оглавление

Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник



Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Решение уравнений и неравенств. Системы уравнений. Формулы. Методы./ / Системы уравнений. Понятие системы уравнений. Свойства систем уравнений. Линейные системы уравнений. Основные методы решения систем уравнений / / Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.

Поделиться:   

Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — по формулам Крамера, матричный способ.


*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)

Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Наличие решений.


*Бабичева, Болдовская, Справочник по математике. СибАДИ, 2010. (классная книга)

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

na.численный анализ — Методы решения линейных систем уравнений, как выбрать подходящий метод

Отказ от ответственности 1: Правильное рассмотрение этих тем потребует быстрого курса численного анализа.

Отказ от ответственности 2: Если вы используете любую разумную компьютерную систему, в ней уже будет реализована библиотечная функция для решения линейных систем, которая будет лучше, чем то, что вы можете написать самостоятельно, если у вас нет четкого понимания числовая линейная алгебра и научные вычисления. Если у вас нет особых требований, просто используйте A\b или scipy.linalg.solve или DGESV или любой другой язык программирования.

Отказ от ответственности 3: Дальнейшее относится к решению плотных, мелкомасштабных (скажем, $n\leq 10000$) квадратно-линейных систем в арифметике IEEE с плавающей запятой. Все может быть по-другому, если вы используете целочисленную/рациональную/символьную арифметику в системе компьютерной алгебры или если вы вычисляете вручную.

Тем не менее:

  • Факторизация LU (с частичным поворотом): отраслевой стандарт. У него есть недостаток, заключающийся в том, что в некоторых примерах (очень маловероятно, в основном это происходит только в контрпримерах) количество элементов $U$ может вырасти в $\sim 2^n$ раз по сравнению с элементами $A$, и, таким образом, он может стать нестабильным. На практике обычно не вызывает беспокойства.

  • Факторизация QR: стоит в 2 раза больше, чем факторизация LU, но позволяет избежать упомянутой выше проблемы. Если вы не против заплатить в 2 раза больше только за дополнительное спокойствие, сделайте это.

  • Исключение Гаусса: в основном это метод факторизации LU, но вы избегаете хранения L в памяти (поэтому вы не можете повторно использовать факторизацию, если у вас есть несколько правых частей $b$, поступающих в разное время). Люди обычно просто используют LU, потому что несколько сохраненных операций записи в память обычно не стоят затраченных усилий. 93$ проваливается) и имеет худшие свойства устойчивости (неустойчив в случаях, когда $\|b\| \ll \|A\|\|x\|$).

  • Исключение Гаусса-Жордана: избегать. Нет преимуществ перед LU и имеет худшие свойства стабильности (он стабилен вперед, но обычно не стабилен назад).

  • Факторизация Холецкого и LDL (с подходящими схемами поворота, например, Банча-Кауфмана): специализированные решатели для симметричных матриц. Используйте их поверх LU, если у вас есть симметричные матрицы; они дешевле в 2,9 раза0003

  • Разложение по собственным значениям / разложение Жордана: избегать. Может быть смехотворно нестабильным.

  • Факторизация Шура: избегать. Намного дороже; если вам просто нужно решить линейную систему, это не стоит проблем.

  • Редукция Хессенберга + специализированный решатель Хессенберга: может быть полезен в особом случае, когда вам нужно решать системы с $A+\sigma_i I$ для многих значений $\sigma_i$, поскольку в этом случае вы можете повторно использовать один и тот же факторизация для решения всех систем. В противном случае избегайте; медленнее, чем LU и QR без других преимуществ.

  • Разложение по сингулярным числам: избегать. Намного дороже; если вам просто нужно решить квадратную линейную систему, это не стоит проблем. Если у вас есть задача наименьших квадратов, то это совсем другая история.

Обратите внимание, что реализация любого из этих методов с учетом производительности потребует использования специализированных библиотек для примитивов линейной алгебры (например, произведений матрицы на вектор или обновлений ранга 1) и реализации факторизации на месте, сжатых представлений ортогональных матриц ( для алгоритмов, в которых они появляются), и (что наиболее важно) заблокированные версии этих алгоритмов.

Ссылка: Higham, Точность и стабильность численных алгоритмов ; Голуб, Ван Лоан, Матричные вычисления , 4-е изд.

Решение системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Решение системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), заключающийся в постепенном понижении порядка системы и исключении неизвестного.

Решение СЛАУ методом Гаусса состоит из двух шагов:

  1. На первом этапе (прямое исключение): с помощью элементарных преобразований по строкам система приводится к ступенчатому или треугольному виду, либо устанавливается, что система несовместна. Выбрать ненулевой элемент из элементов первого столбца матрицы, переместить его в верхнюю позицию с помощью перестановки строк и вычесть первую строку, полученную после перестановки, из других строк; сначала пользователю нужно умножить эту строку на значение, равное отношению первого элемента каждой строки к первому элементу первой строки, тем самым обнулив столбец под этим элементом. Затем мысленно вычеркиваются первая строка и столбец. Продолжайте таким образом, пока не останется нулевая матрица. Если в ходе одной из итераций в первом столбце не найден ненулевой элемент, переходим к следующему столбцу и делаем то же самое.

  2. На втором этапе используется обратная замена. Смысл этого шага состоит в том, чтобы выразить все выходные базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений. Если все переменные основные, то необходимо выразить единственное решение системы линейных уравнений в численном виде. Эта процедура начинается с последнего уравнения. Это уравнение используется для выражения единственной соответствующей базовой переменной, которая должна быть заменена в предыдущих уравнениях. Продолжайте в том же духе, поднимаясь по «лестнице». Каждой строке соответствует только одна базовая переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего, ситуация такая же, как и в случае с последней строкой.

Допустим, есть исходная система, которая выглядит следующим образом:

(1)

Матрица A называется главной матрицей системы, а матрица b называется столбцом свободных членов.

Используя свойство элементарных операций над строками, базовую матрицу можно преобразовать в ступенчатую матрицу. Те же операции следует применить к столбцу свободных членов:

Предположим, что главный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы расположен в верхнем левом углу, т. е. содержит только коэффициенты при переменных x j1 , …, x jr . Этого положения минора можно добиться перестановкой столбцов основной матрицы и соответствующей перенумерацией переменных.

Поэтому переменные x j1 , …, x jr называются основными переменными . Все остальные переменные называются . Свободные переменные .

Если хотя бы одно число β i   ≠ 0, где i > r рассматриваемая система несовместима.

Предположим, что β i   = 0 для любого i > r .

Вынести свободные переменные за знаки равенства и разделить каждое из уравнений системы на его крайний левый коэффициент (αij, i  = 1, …, r , где i — номер строки):

(2)

Где i  = 1, …, r , k  =  i  + 1, …, n .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *