Решение онлайн метод крамера онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Содержание

Решение высшей математики онлайн

‹— Назад

Рассмотрим частный случай системы линеных уравнений (15.1), когда , то есть когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Именно такие системы при или рассматриваются в школе.

Если число уравнений равно числу неизвестных, то матрица исходной системы — квадратная, порядка , и — столбцы высоты . Предположим, что . Тогда по теореме 14.1 существует обратная матрица. Умножив слева обе части равенства (15.2) на , получим

Таким образом, система уравнений (15.1) имеет единственное решение и оно в матричной форме может быть записано в виде

(15.3)

Это так называемый матричный способ решения системы линейных уравнений.

Введем следующие обозначения. Пусть , — определитель матрицы, полученной из матрицы заменой столбца с номером на столбец свободных членов, :

Теорема 15.1 (Правило Крамера) Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Доказательство. По теореме 14.1 обратная матрица находится по формуле

где — алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы.

Пример 15.1 Решите систему уравнений

Решение. Выписываем матрицу системы и столбец свободных членов .

Находим определитель системы: . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Итак,

Ответ: .

Замечание 15.1 При кажущейся простоте правила Крамера применяется оно для систем более, чем из трех уравнений, только в каких-то исключительных случаях. Дело в том, что вычисление определителей требует выполнения большого числа арифметических операций и существует способ, требующий меньшей вычислительной работы. Этот способ будет описан позже.

Замечание 15. 2 При решении системы уравнений приходится выполнять довольно большой объем вычислений. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы обнаружить эту ошибку, рекомендуется выполнить проверку ответа, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Если все уравнения превратятся в верные равенства, то решение найдено верно. В противном случае при вычислениях где-то допущена ошибка.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Правило Крамера Вопросы и ответы

Этот набор вопросов и ответов с множественным выбором численных методов (MCQ) посвящен «правилу Крамера».

1. Правило Крамера не выполняется для ___________
a) Определитель > 0
b) Определитель < 0
c) Определитель = 0
d) Определитель = недействительный
Просмотреть ответ

Ответ: c
Объяснение: правило включает деление на определитель, который никогда не должен быть равен 0, что приводит к неопределенным числам.

2. Правило Крамера не подходит для решения каких задач?
a) Малые системы с 4 неизвестными
b) Системы с 2 неизвестными
c) Большие системы
d) Системы с 3 неизвестными становится очень трудоемким для решения.

3. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 3x + у + 2z = 3
2x – 3y –z = -3
Х + 2у + z = 4

а) X = 1, y = 2, z = -1
b) X = 2, y = 1, z = -1
c) X = 2, y = -1, z = 1
d) X = 1, y = -1, z = 2
Посмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение:
∆ = \(\begin{pmatrix}3&1&2\\2&-3&-1\\1&2&1\ конец {pmatrix}\) = 8

X = (1/∆)\(\begin{pmatrix}3&1&2\\-3&-3&-1\\4&2&1\end{pmatrix}\) = (1/8)8 = 1

Y = (1 /∆)\(\begin{pmatrix}3&3&2\\2&-3&-1\\1&4&1\end{pmatrix}\) = (1/8)16 = 2

Z = (1/∆)\(\begin{pmatrix}3&1&3\\2&-3&-3\\1&2&4\end{pmatrix}\) = (1/8)(-8) = -1

Следовательно, x = 1, y = 2, z = -1.

4. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 х + 3у + 6з = 2
3х – у + г = 9
X – 4y + 2z = 7

а) X = 1, y = 2, z = -1
b) X = 2, y = – 1, z = -0,5
c) X = 1, y = 2, z = -0,5

г) X = 2, y = 2, z = -1
Посмотреть ответ

Ответ: b
Объяснение:
∆ = \(\begin{pmatrix}1&3&6\\3&-1&4\\1&-4&2\end{pmatrix}\) = -58

X = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}2&3&6\\9&-1&4\\7&-4&2\end{pmatrix}\) = -116/-58 = 2

Y = (1/ ∆) = \(\begin{pmatrix}1&2&6\\3&9&4\\1&7&2\end{pmatrix}\) = 58/-58 = -1

Z = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}1&3&2 \\3&-1&9\\1&-4&7\end{pmatrix}\) = -29/-58 = 0,5

Следовательно, x = 2, y = -1, z = -0,5.

5. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 х + у + г = 6,6
х – у + г = 2,2
х + 2у + 3z = 15,2

а) х = 1,5, у = 2,2, z = -0,5
б) х = 1,5, у = 2,2, z = -0,5
в) х = 1,2, у = 2, z = 3,2
d) x = 1,2, y = 2,2, z = -3,2
Посмотреть ответ

Ответ: c
Объяснение:
pматрица}\) = -4

X = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}6.

6&1&1\\2.2&-1&1\\15.2&2&3\end{pmatrix}\) = -4.8/-4 = 1.2

Y = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}1&6.6&1\\1&2.2&1\\1&15.2&3\end{pmatrix}\) = -8.8/-4 = 2.2

Z = ( 1/∆) = \(\begin{pmatrix}1&1&6,6\\1&-1&2,2\\1&2&15,2\end{pmatrix}\) = -12,8/-4 = 3,2

Следовательно, x = 1,2, у = 2,2, г = 3,2.

6. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 х + у + г = 3
х + 2у + 3г = 4
х + 4у + 9z = 1

а) х = -0,5, у = 6, z = -2,5
б) х = -0,5, у = 4, z = -2,5
c) x = 4.5, y = 6, z = 1
d) x = 4.5, y = 6, z = 2
Посмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение:
∆ = \(\begin{pmatrix}1&1&1 \\1&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}\) = 2

X = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}3&1&1\\4&2&3\\1&4&9\end{pmatrix}\) = -0,5

Y = (1/∆) = \(\begin{pmatrix }1&3&1\\1&4&3\\1&1&9\end{pmatrix}\) = 6

Z = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}1&1&3\\1&2&4\\1&4&1\end{pmatrix}\) = — 2,5

Следовательно, X = -0,5, y = 6, z = -2,5.

7. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 2х – у + г = 3
3х + 2у + 4з = 19
6x + 7y – z = 17

а) X = 0,456, y = 1,5442, z = 3,154
b) X = 0,437, y = 1,5312, z = 3,656
c) X = 0,356, y = 2,547, z = 5,474
d) X = 0,356, y = 1,722, z = 9,424
Просмотреть ответ

Ответ: b
Объяснение:
) = -64

x = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}3&-1&1\\19&4&3\\17&7&1\end{pmatrix}\) = -28/-64 = 0,437

y = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}2&3&1\\3&19&3\\6&17&1\end{pmatrix}\) = -98/-64 = 1,5312

z = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}2&-1&3 \\3&4&19\\6&7&17\end{pmatrix}\) = -234/-64 = 3,656

Следовательно, X = 0,437, y = 1,5312, z = 3,656.

8. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 3х + у + г = 8
2x – 3y -2z = -5
7x + 2y – 5z = 0,

а) Х = 1, у = 4, z = 2,5
б) Х = 4,562, у = 4, z = 3,1
в) Х = 0,2179, у = 1, z = 2,5
г) Х = 4,2, y = 4, z = 3,145
Посмотреть ответ

Ответ: c
Объяснение:
∆ = \(\begin{pmatrix}3&1&1\\2&-3&-2\\7&2&-5\end{pmatrix}\) = 78

x = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}8&1&1\\-5&-3&-2\\0&2&-5\end{pmatrix}\) = 117/78 = 0,2179

y = (1 /∆) = \(\begin{pmatrix}3&8&1\\2&-5&-2\\7&0&-5\end{pmatrix}\) = 78/78 = 1

z = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}3&1&8\\2&-3&-5\\7&2&5\end{pmatrix}\) = 195/78 = 2,5

Следовательно, X = 0,2179, y =1, z = 2,5.

9. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 2х + у + г = 10
3х + 2у + 3з = 18
X + 4y +9z = 16

а) X = -9, y = 1, z = 5
b) X = 7, y = -9, z = 5
c) X = 7, y = 1, z = 5
d) X = 9, y = 1, z = 3
Посмотреть ответ

Ответ: b
Объяснение:
∆ = \(\begin{pmatrix}2&1&1\\3&2&3\\1&4&9\конец{pmatrix}\) = -2

x = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}10&1&1\\18&2&3\\16&4&9\end{pmatrix}\) = -14/-2 = 7

y = (1/∆) = \ (\begin{pmatrix}2&10&1\\3&18&3\\1&16&9\end{pmatrix}\) = 18/-2 = -9

z = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}2&1&10\\3&2&18\ \1&4&16\end{pmatrix}\) = -10/-2 = 5

Следовательно, X = 7, y = -9, z = 5.

10. Примените правило Крамера, чтобы решить следующие уравнения.

 2x – у + 3z = 9х + у + г = 6
х – у + z = 2

а) х = 1, у = 2, z = 3
б) х = 2, у = 2, z = 3
в) х = 2, у = 3, z = 7
d) x = 1, y = 3, z = 8 \) = -2

x = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}9&-1&3\\6&1&1\\2&-1&1\end{pmatrix}\) = -2/-2 = 1

y = (1/ ∆) = \(\begin{pmatrix}2&9&3\\1&6&1\\1&2&1\end{pmatrix}\) = -4/-2 = 2

z = (1/∆) = \(\begin{pmatrix}2&-1&9\\1&1&6\\1&-1&2\end{pmatrix}\) = -6/-2 = 3

Следовательно, X = 1 , y = 2, z = 3.

Sanfoundry Global Education & Learning Series – Численные методы.

Чтобы попрактиковаться во всех областях численных методов, здесь есть полный набор из более чем 1000 вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .

Категории Численные методы MCQ

Подпишитесь на наши информационные бюллетени (тематические). Участвуйте в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатный Сертификат отличия. Присоединяйтесь к нашим социальным сетям ниже и будьте в курсе последних конкурсов, видео, стажировок и вакансий!

Маниш Бходжасиа, ветеран технологий с более чем 20-летним опытом работы в Cisco и Wipro, является основателем и техническим директором компании Sanfoundry . Он живет в Бангалоре и занимается разработкой Linux Kernel, SAN Technologies, Advanced C, Data Structures & Alogrithms. Оставайтесь на связи с ним в LinkedIn.

Подпишитесь на его бесплатные мастер-классы на Youtube и технические обсуждения в Telegram SanfoundryClasses.

Правило Крамера, математика Unacademy

Правила Крамера названы в честь Габриэля Крамера, который изобрел правило Крамера в 1750-х годах для нахождения решения линейной системы, содержащей такое же количество переменных и одинаковое количество уравнений. Этот метод обычно используется для вычисления значения какой-либо конкретной переменной без выяснения других переменных или решения всей системы. Это одно из самых важных правил в математике. Правило Крамера включает в себя применение матриц и определителей для решения линейных уравнений и поиска уникальных решений системы.

Правило Крамера для двух переменных

Рассмотрим систему двух переменных

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

Шаг 1. Преобразуйте систему в матричную форму, где A есть AX = B, матрица коэффициентов, X — переменная матрица, B — постоянная матрица. (Матрица коэффициентов — это матрица, которая содержит только коэффициенты переменных в данной системе линейных уравнений. Матрица переменных, как следует из названия, имеет только переменные. Матрица постоянных содержит постоянные члены, заданные в системе линейных уравнений. .)

Шаг 2. Найдите определитель (D) системы A, найдите определители Dx и Dy, где Dx – определитель системы A, когда элементы B заменяют первый столбец, Dy – определитель системы B, когда элементы B заменяют второй столбец.

Примечание. Определитель системы A не должен быть равен нулю ( D ≠ 0 ).

Шаг 3. Чтобы узнать значение переменных x и y, проделаем следующие шаги:

x = Dx/D

y = Dy/D

Пример:

Правило Крамера для трех переменных

Рассмотрим систему трех переменных x, y и z.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

матрица, X — переменная матрица, B — постоянная матрица.

Шаг 2: Найдите определитель (D) системы A, найдите определители Dx, Dy и Dz, где Dx — определитель системы A, когда элементы B заменяют первый столбец, Dy — определитель системы A, когда второй столбец заменяется элементами B, а Dz является элементом, определяющим систему A, когда элементы B заменяют третий столбец.

Шаг 3: Найдите значения переменных x, y и z (когда D ≠ 0)

x = Dₓ/D

y = Dᵧ/D

z = Dz/D

Пример :-

4x + 2y + 2z = 6

2x – 2y – 2z = 0

2x + 4y + 2z = 0

Найдите определители D, Dx, Dy и Dz, используя свойства определителя.

i) D = 4[ (-2)2 – (-2)(4) ] – 2[ 2(2) – (-2)2 ] + 2[ 2(4) – ( -2)(2) ]

= 4(-4 -(-8)) -2( 4+4) +2( 8+4)

= 4(4) -2(8) +2(12 )

Dx =

= 16 – 16 + 24

= 24

ii) Dx = 6[ (-2)2 – (-2)(4) ] – 2[ 0(-2) – 0 2) ] + 2[ 0(4) – (0)(-2) ]

= 6(-4 +8) -2 (0) + 2(0)

Dy =

= 6(4) +0 + 0

= 24

2[ (2)(0) – (2)(0) ]

= 4(0) -6(4 + 4) + 2(0)

Dz =

= 0 – 48 +0

9023 5 = -48

iv) Dz = 4[ (-2)(0) – (4)(0) ] – 2[ (2)(0) – (2)(0) ] + 6[ (2)(4) – (-2)(2) ]

= 4(0) -2(0) + 6(8+4)

= 0 + 0 +72

= 72

x = Dx/D = 24/24 = 1

y = Dy/D = -48/24 = -2

z = Dz/D = 72/24 = 3

3 Итак , мы видим, что значения x, y и z равны 1, -2 и 3 соответственно.

Условия правила Крамера

При использовании правила Крамера с тремя переменными для решения заданной системы уравнений необходимо выполнить несколько требований. Правило Крамера применимо только тогда, когда квадратная матрица образует линейные уравнения. Вот некоторые из наиболее заметных из них:

Поскольку D должно быть в знаменателе, чтобы обнаружить значения неизвестных, правило Крамера не работает в случае системы уравнений, в которой D = 0, потому что значения неизвестных становятся неопределимыми.

Кроме того, когда D = 0, будут две альтернативы для выбора:

i) Возможно, что система не даст решения.

ii) система может иметь бесконечное количество решений.

В результате мы можем заключить, что либо хотя бы один из определителей числителя равен 0 (что указывает на неограниченное число решений), либо что ни один из определителей числителя не равен 0 (что означает отсутствие решения).