Решение простейших логарифмических неравенств: Решение простейших логарифмических неравенств — Сайт Александра Бабаева

{2}+3 x-4

Решение логарифмических неравенств

Множество решений представляет собой числовой интервал \(\ (-4 ; 1) \), на котором левая часть последнего неравенства отрицательна (есть знак минус). Принимая во внимание ДВУ, мы получаем решение данного неравенства: \(\ x \in(-1 ; 1) \)

Ответ

\(\ x \in(-1 ; 1) \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Квадратные неравенства и их решение Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и ее формулы Формула n-го члена геометрической прогрессии Формула n-го члена арифметической прогрессии

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Логарифмические неравенства.

2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из знаков сравнения). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если основание логарифма — число и оно больше 1 — знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание — число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

\(\log_2⁡{(8-x)}<1\) ОДЗ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Решение: \(\log\)\(_2\)\((8-x)<\log\)\(_2\)\({2}\) \(8-x\)\(<\)\(2\) \(8-2<x\) \(x>6\) Ответ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_{0,5⁡}\)\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)⁡\({(x+1)}\) ОДЗ: \(\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}\) \(\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x\in(2;\infty)\) Решение: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Ответ: \((2;5]\)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

\(-\) вы написали ОДЗ для исходного неравенства. 2-24≥-x\) невозможен.

Заметим, однако, что неравенства 3 и 4 можно легко решить, если воспользоваться 

свойствами логарифмов.

Пример. Решить неравенство: \(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)	Выпишем ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)\(>0\)	ОДЗ представляет собой дробно-рациональное неравенство. Решим его с помощью метода интервалов. Вынесем в числителе за скобки \(3\), а в знаменателе \(2\), чтобы убрать коэффициенты перед иксами.
\(\frac{3(x-\frac{2}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(>0\)	Теперь очевидно, что корни у нас – числа \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) Построим числовую ось и отметим на ней эти точки. {-1}\) \(=\log\) \(_\frac{1}{3}\) \(⁡3\).
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤\log\) \(_{\frac{1}{3}}\)\(3\)	Мы привели неравенство к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\). Теперь можно избавиться от логарифмов и оснований. Нужно только определиться, менять знак сравнения или нет. Основание \(\frac{1}{3}<1\), следовательно, знак меняем.
\(⁡\frac{3x-2}{2x-3}\)\(≥\) \(3\)	Переносим \(3\) и приводим к общему знаменателю, пользуясь  свойствами дробей.
\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)	Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые.
\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)	Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\)\(≤\) \(0\)	Далее выносим \(3\) из числителя и \(2\) из знаменателя.
\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\)\(≤\) \(0\)	Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\). Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.
\(x∈(\)\( \frac{3}{2}\)\(;\)\(\frac{7}{3}]\)	Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.
	Записываем окончательный ответ. 2-t-2>0\)	Раскладываем левую часть неравенства на множители.
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac{1+3}{2}=2\) \(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)	Решаем неравенство методом интервалов.
	Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности, имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\),    \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).
\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Делаем переход  к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.
\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.
	Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)

Смотрите также:
Показательные неравенства

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции.

Логарифмические уравнения и неравенства. — Решение логарифмических неравенств.

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств

Клю­чом к ре­ше­нию ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств яв­ля­ют­ся свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, т.е. функ­ции вида  (). Здесь t – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, а= кон­крет­ное число, у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях

Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции, . При  мо­но­тон­но убы­ва­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции,, .

Имен­но мо­но­тон­ность ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции поз­во­ля­ет ре­шать про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства.

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

То есть знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т.к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел по­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

 

При­мер 1 – ре­шить нера­вен­ство:

Со­глас­но ме­то­ди­ке ре­ше­ния про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ких нера­венств, пер­вым дей­стви­ем необ­хо­ди­мо урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов, в дан­ном слу­чае пред­ста­вить пра­вую часть в виде ло­га­риф­ма с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

По­лу­ча­ем нера­вен­ство:

По­сколь­ку ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, в эк­ви­ва­лент­ной си­сте­ме знак нера­вен­ства со­хра­нит­ся:

Пре­об­ра­зу­ем:

Ответ: 

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма пре­об­ра­зу­ем в левой части сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем в ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Нам из­вест­но, что число Пи боль­ше еди­ни­цы (). По­это­му в эк­ви­ва­лент­ном нера­вен­стве знак ис­ход­но­го нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное нера­вен­ство:

Корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части, со­глас­но тео­ре­ме Виета . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас зна­че­ния на­хо­дят­ся между кор­ней урав­не­ния:

Ответ с уче­том ОДЗ:  

Све­де­ние к про­стей­ше­му ло­га­риф­ми­че­ско­му нера­вен­ству часто осу­ществ­ля­ет­ся с по­мо­щью за­ме­ны пе­ре­мен­ных.

 

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство:

При­ве­дем вто­рой член к ос­но­ва­нию 5:

По­лу­чи­ли нера­вен­ство:

Оче­вид­на за­ме­на: 

Имеем:

Со­глас­но тео­ре­ме Виета корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части: . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас ре­ше­ния на­хо­дят­ся в ин­тер­ва­ле между кор­ня­ми.

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Пре­об­ра­зу­ем со­глас­но опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Ответ: 

 

При­мер 4 – ре­шить нера­вен­ство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма пре­об­ра­зу­ем в левой части сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем в ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть в ло­га­рифм с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

Имеем нера­вен­ство:

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, по­лу­ча­ем эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство с тем же зна­ком:

Пре­об­ра­зу­ем:

Со­глас­но тео­ре­ме Виета корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части: . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас ре­ше­ния на­хо­дят­ся в ин­тер­ва­ле между кор­ня­ми:

Ответ с уче­том ОДЗ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных ти­по­вых ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств. 

 

Ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств (про­дол­же­ние) 1. Введение

Пусть а – неко­то­рое фик­си­ро­ван­ное число, при чем , а – ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма. Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет. Тогда нам из­вест­но эк­ви­ва­лент­ное ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства:

 

 Те­перь пусть . Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет:

Рас­смот­рим слу­чай, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма за­ви­сит от х . Тогда нужно рас­смот­реть два слу­чая:

Наша цель со­сто­ит в том, чтобы упро­стить по­лу­чен­ную гро­мозд­кую со­во­куп­ность.

На­пом­ним важ­ный опор­ный факт:

Нам по­тре­бу­ют­ся сле­ду­ю­щие вы­ра­же­ния:

 

Те­перь нам проще ре­шить сле­ду­ю­щую за­да­чу.

 

Дано: 

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Мы опре­де­ли­ли, что за­дан­ное нера­вен­ство эк­ви­ва­лент­но сле­ду­ю­щей со­во­куп­но­сти:

Пре­об­ра­зу­ем:

Со­глас­но опор­но­му факту, по­лу­чен­ная со­во­куп­ность эк­ви­ва­лент­на си­сте­ме:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер 1 – ре­шить нера­вен­ство:

Урав­ня­ем ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов, в дан­ном слу­чае пред­ста­вим число в пра­вой части как ло­га­рифм с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

Имеем нера­вен­ство:

Решим нера­вен­ство двумя спо­со­ба­ми.

            Спо­соб 1:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние:

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к ре­ше­нию при­ме­ра 1

Ответ: 

Со­ста­вим эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние дроб­но-ра­ци­о­наль­но­го нера­вен­ства:

Рис. 2. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства

По­лу­ча­ем ре­ше­ние си­сте­мы:

Ответ: 

Те­перь рас­смот­рим ре­ше­ние нестро­го­го ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства , где 

За­дан­но­му нера­вен­ству эк­ви­ва­лент­на си­сте­ма:

 

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

Ре­ша­ем с по­мо­щью эк­ви­ва­лент­ной си­сте­мы (вто­рой спо­соб). Урав­ня­ем ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов, в дан­ном слу­чае пред­ста­вим число в пра­вой части как ло­га­рифм с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

Имеем нера­вен­ство:

Со­ста­вим эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

По­ка­жем ре­ше­ние пер­во­го нера­вен­ства ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция ре­ше­ния при­ме­ра 2

Учи­ты­вая ОДЗ, имеем ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств по­вы­щен­ной слож­но­сти. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=fgzG30EqVys

http://ege-ok.ru/2012/02/10/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv

https://downloader. disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader. disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://ov1098.jimdo.com/учащимся/11-класс-тесты/

 

 

логарифмических неравенств | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Введение
• Логарифмические неравенства — одно и то же основание
• Логарифмические неравенства — основание меньше 1
• Логарифмические неравенства — аналогичное основание
• Логарифмические неравенства — другое основание
• Логарифмические неравенства — несколько терминов
• Логарифмические неравенства — решение задач
• Смотрите также

Ключом к работе с логарифмическими неравенствами является следующий факт:

Если a>1a>1a>1 и x>yx>yx>y, то log⁡ax>log⁡ay\log_ax>\log_ayloga​x>loga​y. В противном случае, если 0

Конечно, основание логарифма не может быть 1 или неположительным. Что еще более важно, верно и обратное:

Если a>1a>1a>1 и log⁡ax>log⁡ay\log_ax>\log_ayloga​x>loga​y, то x>yx>yx>y. В противном случае, если 0

Говоря более формально, логарифмическая функция f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x равна монотонно возрастающей (\big((увеличение xxx всегда увеличивает f(x) )f(x)\big)f(x)) для a>1a>1a>1 и монотонно убывающих (\big((увеличение xxx всегда уменьшает f(x))f(x)\big)f( x)) для 0

К счастью, оба этих факта интуитивно понятны: когда основание больше 1, сторона с большим аргументом будет больше, и наоборот, когда основание меньше 1. Например, без всякого Зная факты, формализованные выше, можно было бы интуитивно ожидать, что log⁡2100\log_2100log2​100 будет больше, чем log⁡295\log_295log2​95.

Также важно иметь в виду следующий факт:

Аргумент логарифма должен быть положительным!

Таким образом, также необходимо учитывать любые неравенства, вытекающие из положительности аргументов; например, неравенство, включающее термин log⁡2(2x−3)\log_2 (2x-3)log2​(2x−3), немедленно требует x>32x>\frac{3}{2}x>23​.

Когда обе части неравенства имеют одну и ту же основу, ключевые факты из введения могут быть применены напрямую. Например,

Какие значения xxx удовлетворяют следующему неравенству:

log⁡2(2x+3)>log⁡2(3x)?\log_2(2x+3)>\log_2(3x)?log2​(2x+3)>log2​(3x)?

---

Поскольку основание равно 2, что больше 1, тот факт, что log⁡2(2x+3)>log⁡2(3x)\log_2(2x+3)>\log_2(3x)log2​(2x+ 3)>log2​(3x) означает, что 2x+3>3x2x+3>3x2x+3>3x. Вычитание 2x2x2x с обеих сторон дает 3>x3>x3>x.

Кроме того, аргументы обоих логарифмов должны быть положительными, поэтому дополнительно 3x>03x>03x>0 и 2x+3>02x+3>02x+3>0. Первый является более строгим, так как x>0x>0x>0, поэтому окончательный набор решений равен 0

Истинно, только если n≤10 n \leq 10 n≤10 Ложь всегда Верно, только если n≤100 n \leq 100 n≤100 Всегда верно

Верно или неверно?

Для всех натуральных чисел n≥2n \geq 2n≥2,

log⁡10(n−1)+log⁡10(n+1)<2log⁡10n. \log_{10} (n-1) + \log_{10} (n+1) < 2 \log_{10} n.log10​(n−1)+log10​(n+1)<2log10​n.

1log⁡4(x+1x+2)<1log⁡4(x+3) \dfrac{1}{\log_{4}\left(\dfrac{x+1}{x+2}\right)}

Если диапазон xxx, который удовлетворяет равенство выше равно (a,∞)(a,\infty)(a,∞), найдите значение aaa.

Эта же концепция может быть применена к большим «стекам» логарифмов:

Какие значения xxx удовлетворяют следующему неравенству:

log⁡2(log⁡3(4x+1))>log⁡2(log⁡3(2x+3))?\log_2\big(\log_3(4x+1)\big)>\log_2\big( \log_3(2x+3)\big)?log2​(log3​(4x+1))>log2​(log3​(2x+3))?

---

Поскольку основание равно 2, что больше 1, данное неравенство подразумевает log⁡3(4x+1)>log⁡3(2x+3)\log_3(4x+1) > \log_3(2x+3) log3​(4x+1)>log3​(2x+3). Отсюда также следует, что 4x+1>2x+34x+1>2x+34x+1>2x+3 или что 2x>2  ⟹  x>12x>2 \ подразумевает x>12x>2⟹x>1. Следовательно, xxx должно быть больше 1.

Кроме того, аргументы всех логарифмов должны быть положительными, но это действительно так, когда xxx больше 1. Следовательно, набор решений равен x>1x>1x>1. □_\квадрат□​ 9{ 2 }+4x+а) }. 1+log5​(x2+1)≥log5​(ax2+4x+a).

Если диапазон значений aaa может быть выражен в виде (A,B], (A,B],(A,B], то найти значение A+B. A + B. A+B

В случае, когда основание меньше 1, предыдущая интуиция существенно меняется на противоположную: теперь больше сторона имеет меньший показатель

Какие значения xxx удовлетворяют следующему неравенству:

log⁡12(3x)>log⁡12(2x+3)?\log_{\frac{1}{2}}(3x)>\log_{\frac{1}{2}}(2x+3) ?log21​(3x)>log21​​(2x+3)?

---

Поскольку основание равно 12\frac{1}{2}21​, что меньше 1, из данного неравенства следует 3x<2x+33x<2x+33x<2x+3. Тогда х<3х<3х<3.

Кроме того, аргумент каждого логарифма должен быть положительным, поэтому 3x>03x>03x>0 и 2x+3>02x+3>02x+3>0. {2} + 1}\right) > 0 log0.2​log6​(x2+1×2−x​)> 0

Найдите xxx.

x∈(43,1722) x\in \left(\frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 17 }{ 22 } \right ) x∈(34​,2217​) x∈(43,−1722) x\in \left(\frac {4}{3},-\frac{17}{22} \right) x∈(34​,−2217​) x∈(−43,1722) x\in \left(-\frac { 4 }{ 3 } ,\frac { 17 }{ 22 } \right ) x∈(−34​,2217​) x∈(−43,−1722) x\in \left(-\frac { 4 }{ 3 } ,-\frac { 17 }{ 22 } \right ) x∈(−34​,−2217​) 9{ 2 }+8x+8\big) } >2 log3x+5​(9×2+8x+8)>2

Решите приведенное выше неравенство для x x x.

---

Попробуйте Fun с неравенствами-1 и Fun с неравенствами-3.

Та же концепция может применяться, когда имеется несколько терминов:

Какие значения xxx удовлетворяют следующему неравенству:

log⁡2(x)>log⁡2(3)+log⁡4(25)+log⁡8(343)?\log_2(x)>\log_2(3)+\log_4(25)+\log_8( 343)?log2​(x)>log2​(3)+log4​(25)+log8​(343)?

---

Запись всех логарифмов по основанию 2 дает

log⁡2(x)>log⁡2(3)+log⁡2(5)+log⁡2(7)⇒log⁡2(x)>log⁡2(105),\begin{выровнено} \log_2(x)&>\log_2(3)+\log_2(5)+\log_2(7)\\ \стрелка вправо \log_2(x)&>\log_2(105), \end{выровнено}log2​(x)⇒log2​(x)​>log2​(3)+log2​(5)+log2​(7)>log2​(105),​

, значит х>105х>105х>105. Все xxx больше 105 удовлетворяют исходному неравенству. □_\квадрат□​

Когда основания разные и не связаны общей основой (как в предыдущем разделе), становится необходимым использование формулы смены основания. Например,

Какие значения xxx удовлетворяют следующему неравенству:

log⁡7(x+5)>log⁡5(x+5)? \log_7(x+5)>\log_5(x+5)?log7​(x+5)>log5​(x+5)?

---

При замене основания неравенство дает

log⁡(x+5)log⁡7>log⁡(x+5)log⁡5.\frac{\log(x+5)}{\log 7}>\frac{\log(x+5) }{\log 5}.log7log(x+5)​>log5log(x+5)​.

Это верно только тогда, когда log⁡(x+5)\log(x+5)log(x+5) отрицательно, что означает, что

log⁡(x+5)<0  ⟹  x+5<1  ⟹  x<−4,\log(x+5)<0 \подразумевается x+5<1 \подразумевается x<-4,log(x+5) )<0⟹x+5<1⟹x<−4,

, и поскольку x+5x+5x+5 должно быть положительным, x>−5x>-5x>−5, а окончательный набор решений равен −5

2

Если log⁡0,3(x−1)0y2+y−6=(y−2)(y+3)>0, что верно, когда y>2y>2y>2 или y< −3. y<-3.y<−3.

Таким образом, либо log⁡2(x)>2  ⟹  log⁡2(x)>log⁡24  ⟹  x>4\log_2(x)>2 \имплицитно \log_2(x)>\log_24 \имплицитно x>4log2​ (x)>2⟹log2​(x)>log2​4⟹x>4 или log⁡2(x)<−3  ⟹  log⁡2(x)

Таким образом, набор решений равен 04x>4x>4, поскольку аргумент логарифма должен быть положительным. □_\квадрат□​ 92\ + \log_{x} 16\ — 5 < 0log4​x2 +logx​16 −5<0

Сколько натуральных решений могут удовлетворять указанному выше неравенству?

В случае цепочки неравенств обычно целесообразно рассматривать каждое неравенство отдельно, а затем объединять результаты. Например,

Какие значения xxx удовлетворяют следующему неравенству:

log⁡12(x+2)<−2

---

Первое неравенство имеет вид log⁡12(x+2)<−2\log_{\frac{1}{2}}(x+2)<-2log21​​(x+2)<−2, или log ⁡12(x+2) Поскольку основание 12\frac{1}{2}21 меньше 1, это означает, что x+2>4x+2>4x+2>4, поэтому x>2x>2x>2.

Второе неравенство: −22×16>2×16>2x или 8>x8>x8>x.

Таким образом, 2

Имейте в виду, что основание логарифма может быть меньше 1, что связано с равенством

log⁡ab=−log⁡1ab,\large \log_ab = -\log_{\frac{1}{a} }b,loga​b=−loga1​​b,

, так что не забывайте об этом регистре!

Решить неравенство

log⁡x+42(log⁡22x−13+x)<0.\log_{\frac{x+4}{2}}\left(\log_{2}\frac{2x-1}{3+ x}\right)<0.log2x+4​(log2​3+x2x−1​)<0.

---

Во-первых, основание должно быть положительным и не равным 1, поэтому сразу x>−4x>-4x>−4 и x≠−2x \neq -2x​=−2. Точно так же аргумент log⁡22x−13+x\log_2\frac{2x-1}{3+x}log2​3+x2x−1​ должен быть положительным, поэтому 2x−1x+3>0  ⟹  x>12 или x<−3\frac{2x-1}{x+3}>0 \ подразумевает x>\frac12 \text{ или } x<-3x+32x−1​>0⟹x>21​ или x<−3 . Таким образом, единственными возможными значениями xxx являются x>12  или  −4\frac12 \, \text{ или }\, -421​ или −4

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1. 0

В этом случае необходимо, чтобы log⁡22x−13+x>1\log_2\frac{2x-1}{3+x}>1log2​3+x2x−1​>1 или 2x−13+x >2\frac{2x-1}{3+x}>23+x2x−1​>2, поэтому 2x−13+x−2=−73+x>0\frac{2x-1}{3+x }-2=\frac{-7}{3+x}>03+x2x−1​−2=3+x−7​>0. Следовательно, 3+x3+x3+x отрицательно, или x<−3x<-3x<−3. Таким образом, все xxx такие, что −4

Помните, что эта стратегия вычитания двух сторон, а не умножения, позволяет избежать работы с делами, связанной с умножением, поскольку больше нет необходимости учитывать последствия отрицательного значения умноженного количества.

Случай 2. x+42>1  ⟺  x>−2\frac{x+4}{2}>1 \iff x>-22x+4​>1⟺x>−2

В этом случае необходимо, чтобы log⁡22x−13+x<1\log_2\frac{2x-1}{3+x}<1log2​3+x2x−1​<1, или 2x−13+x <2\frac{2x-1}{3+x}<23+x2x−1​<2, поэтому 2x−13+x−2=−73+x<0\frac{2x-1}{3+x }-2=\frac{-7}{3+x}<03+x2x−1​−2=3+x−7​<0. Это всегда верно, поскольку x>−2x>-2x>−2, поэтому любое значение x>−2x>-2x>−2 будет работать. Однако помните, что только x>12 или −4\frac12 \text{ или } -421​ или −412x>\frac12x>21 делают.

Следовательно, набор решений равен

.

x>12, −4\frac12,\ -421​, −4

Типичная стратегия решения проблем заключается в использовании формулы замены основания, чтобы все логарифмы имели одинаковое основание. Это значительно упрощает применение других неравенств, таких как AM-GM.

Покажите, что

log⁡n(n+1)>log⁡n+1(n+2)\log_n(n+1)>\log_{n+1}(n+2)logn​(n+1)>logn+ 1​(n+2)

для всех целых чисел n≥2n \geq 2n≥2. 92>\лог п\лог(п+2). \end{выровнено}logn​(n+1)>logn+1​(n+2)​⟺lognlog(n+1)​>log(n+1)log(n+2)​⟺(log(n +1))2>lognlog(n+2).​

Произведения логарифмов — важный признак использования AM-GM, поскольку с суммой логарифмов очень легко иметь дело.

В частности,

log⁡n+log⁡(n+2)2≥log⁡nlog⁡(n+2)  ⟹  log⁡(n(n+2))2≥log⁡nlog⁡(n+2).\frac{\ log n + \ log (n + 2)} {2} \ geq \ sqrt {\ log n \ log (n + 2)} \ подразумевает \ frac {\ log \ big (n (n + 2) \ big)} { 2} \geq \sqrt{\log n\log(n+2)}.2logn+log(n+2)​≥lognlog(n+2)​⟹2log(n(n+2))​≥lognlog( п+2)​. 92>\log n\log(n+2),(log(n+1))2>lognlog(n+2),

, доказывающее исходное неравенство. □_\квадрат□​

• Логарифмы
• Свойства логарифмов — основные
• Свойства логарифмов — средний уровень
• Экспоненциальные неравенства

Процитировать как: Логарифмические неравенства. Brilliant. org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/логарифмические-неравенства/

6.4: Логарифмические уравнения и неравенства

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

80790

• Carl Stitz & Jeff Zeager
• Общественный колледж Лейкленда и Общественный колледж округа Лорейн

В разделе 6.3 мы решали уравнения и неравенства, включающие экспоненциальные функции, используя одну из двух основных стратегий. Теперь мы обратим наше внимание на уравнения и неравенства, включающие логарифмические функции, и неудивительно, что есть две основные стратегии на выбор. Например, предположим, что мы хотим решить \(\log_{2}(x) = \log_{2}(5)\). 2-7x-4=0\). Решая, находим \(x = -\frac{1}{2}\) и \(x=4\). Построив график, находим \(y = f(x) = \frac{\ln(1-2x)}{\ln(7)}\) и \(y=g(x) = 1 — \frac{\ln (3-x)}{\ln(7)}\) пересекаются только в точке \(x=-\frac{1}{2}\). Проверка \(x=4\) в исходном уравнении дает \(\log_{7}(-7) = 1 — \log_{7}(-1)\), что является явным нарушением предметной области. 9{3} = \frac{x+3}{6-x}\nonumber\] Это сводится к линейному уравнению \(8(6-x) = x+3\), которое дает нам \(x = 5\ ). Когда мы рисуем \(f(x) = \frac{\ln(x+3)}{\ln(2)}\) и \(g(x) = \frac{\ln(6-x)}{ \ln(2)} + 3\), мы находим, что они пересекаются в точке \(x=5\).

Начиная с \(1 + 2 \log_{4}(x+1) = 2 \log_{2}(x)\), мы собираем бревна в одну сторону, чтобы получить уравнение \(1 = 2 \log_{ 2}(x) — 2 \log_{4}(x+1)\). Однако, прежде чем мы сможем складывать логарифмы, нам нужно общее основание. Поскольку \(4\) является степенью \(2\), мы используем замену базы для преобразования \[\log_{4}(x+1) = \frac{\log_{2}(x+1)} {\log_{2}(4)} = \frac{1}{2} \log_{2}(x+1)\nonumber\] Следовательно, наше исходное уравнение принимает вид 92-2x-2 = 0\). Используя квадратичную формулу, мы получаем \(x = 1 \pm \sqrt{3}\). Графики \(f(x) = 1 + \frac{2\ln(x+1)}{\ln(4)}\) и \(g(x) = \frac{2 \ln(x)}{ \ln(2)}\), мы видим, что графики пересекаются только в точке \(x = 1 + \sqrt{3} \приблизительно 2,732\). Решение \(x = 1 — \sqrt{3} < 0\), что означает, что при подстановке в исходное уравнение член \(2 \log_{2}\left(1 - \sqrt{3}\right) \) не определено.

Как минимум, пример 6.4.1 демонстрирует важность проверки на наличие посторонних решений ² при решении уравнений с логарифмами. Несмотря на то, что мы проверили наши ответы графически, посторонние решения легко обнаружить — любое предполагаемое решение, которое приводит к отрицательному числу внутри логарифма, должно быть отброшено. Как и в случае с уравнениями в примере 6.3.1, многое можно узнать, проверив все ответы в примере 6.4.1 аналитически. Мы оставляем это читателю и обращаем наше внимание на неравенства с логарифмическими функциями. {1}\), что допускает \(x = 9\). Мы выбираем тестовые значения \(x\) так, чтобы \(x+1\) было степенью \(10\), и мы получаем \(-1 < -0,9 < 0 < \sqrt{10} -1 < 9 < 99\). Наша диаграмма знаков дает решение \((-1,0] \cup [9, \infty)\). Калькулятор указывает, что график \(y= f(x) = x \log(x+1)\) находится выше \(y=g(x) = x\) на интервалах решения, и графики пересекаются в \ (х=0\) и \(х=9\).

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ котором который его которого он ему он показал, мы пересматриваем понятие pH, впервые использованное в упражнении 77 в разделе 6.1. 9{-1}(x)\) и проверьте свой ответ графически с помощью калькулятора.

Решение

Сначала запишем \(y=f(x)\), затем поменяем местами \(x\) и \(y\) и найдем \(y\).

\[\begin{array}{rclr} y & = & f(x) & \\ y & = & \dfrac{\log(x)}{1-\log(x)} & \\[8pt ] x & = & \dfrac{\log(y)}{1-\log(y)} & \mbox{Поменять местами $x$ и $y$.}\\[8pt] x\left(1-\log (y)\right) & = & \log(y) & \\ x — x\log(y) & = & \log(y) & \\ x & = & x \log(y) + \log( y) & \\ x & = & (x+1) \log(y) & \\ \dfrac{x}{x+1} & = & \log(y) & \\ y & = & 10^{ \frac{x}{x+1}} & \mbox{Перепишите как показательное уравнение. }\\ \end{массив}\nonumber\] 9{-12}}\справа) = 150\)

\(6-3\log_{5}(2x)=0\)

\(3\ln(x)-2=1-\ln(x)\)

\(\log_{3}(х — 4) + \log_{3}(х + 4) = 2\)

\(\log_{5}(2x + 1) + \log_{5}(x + 2) = 1\)

\(\log_{169}(3x + 7) — \log_{169}(5x — 9) = \dfrac{1}{2}\)

\(\ln(x+1) — \ln(x) = 3\)

\(2\log_{7}(x) = \log_{7}(2) + \log_{7}(x+12)\)

\(\log(x) — \log(2) = \log(x+8) — \log(x+2)\)

\(\log_{3}(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x) + 8\) 9{-1}(x)\) и найти его область определения и область значений.

Объясните уравнение в упражнении 10 и неравенство в упражнении 28 выше, используя шкалу Рихтера для магнитуды землетрясения. (См. упражнение 75 в разделе 6.1.)

Объясните уравнение в упражнении 12 и неравенство в упражнении 27 выше с точки зрения уровня интенсивности звука, измеренного в децибелах. (См. упражнение 76 в разделе 6.1.)

Объясните уравнение в упражнении 11 и неравенство в упражнении 29 выше с точки зрения рН раствора. (См. упражнение 77 в разделе 6.1.) 9{-1}\) равно \((-\infty, \infty)\), и его диапазон совпадает с доменом \(f\), а именно \((-1, 1)\).

---

Ссылка

¹ Однако они представляют одно и то же семейство комплексных чисел. На этом мы останавливаемся и отсылаем читателя к хорошему курсу по комплексным переменным.

² Напомним, что постороннее решение – это полученный аналитически ответ, не удовлетворяющий исходному уравнению.

³ Обратитесь к странице 4 для обсуждения того, что это означает.

---

Эта страница под названием 6.4: Логарифмические уравнения и неравенства распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Карлом Стицем и Джеффом Зегером с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами. платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Автор

   Карл Ститц и Джефф Зигер

   Лицензия

   СС BY-NC-SA

   Версия лицензии

   3,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@https://www. stitz-zeager.com/latex-source-code.html
   2. источник[1]-math-4006

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ – Math-Yahoo!

21 сентября 2018 г. 21 сентября 2018 г. от Frezelle

Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и найдите переменную.

Пример 1: Найдите x в уравнении  Ln ( x )=8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе стороны являются показателями основания e. Уравнение Ln ( x )=8 можно переписать.

Шаг 2. К настоящему моменту вы должны знать, что если основание показателя степени и основание логарифма совпадают, то в левой части можно записать x. Уравнение теперь можно написать.

Шаг 3. Точный ответ: .

и примерный ответ

Проверить. Вы можете проверить свой ответ двумя способами. Вы можете построить график функции Ln ( x )-8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересечь ось X в ответе, который вы получили алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в исходное уравнение и определить, равна ли левая часть правой части. Например, если Ln (2980,95798704)=8, вы правы. Так и есть, и вы правы.

Пример 2. Найдите x в уравнении 7 Log (3 x )=15.

Решение:

Шаг 1. Выделите логарифмический член, прежде чем преобразовывать логарифмическое уравнение в показательное уравнение. Разделите обе части исходного уравнения на 7:

Шаг 2. Преобразуйте логарифмическое уравнение в показательное уравнение. Если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10. Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени  . Уравнение

теперь можно записать как

Шаг 3. Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

 это точный ответ и  приблизительный ответ.

Проверка. Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построить график функции

или подставить значение x в исходное уравнение. Если вы выберете графическое изображение, пересечение по оси x должно совпадать с полученным вами ответом (  ).
Если вы выберете замену, значение левой части исходного уравнения должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы вычислите значение каждой стороны на основе вашего ответа на x.

Пример 3. Найдите x в уравнении

Шаг 1. Обратите внимание, что первый член  Ln ( x -3) действителен только тогда, когда  x >3; срок Ln ( x -2) действителен, только если x >2; а терм Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x >-12. Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом, большим 3, все три термина будут действительными. Если все три условия верны, то уравнение верно.

Шаг 2. Упростите левую часть приведенного выше уравнения. По свойствам логарифмов мы знаем, что

Шаг 3. Теперь можно написать уравнение

Шаг 4. Пусть каждая часть приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e:

Шаг 5. Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение на шаге 3 — понять, что если Ln ( a ) = Ln ( b ), то a должно быть равно b. В случае этой проблемы, то

Шаг 6. Упростите левую часть приведенного выше уравнения:

Шаг 7. Вычтите 2x + 24 с каждой стороны:

Шаг 8. Умножьте левую часть приведенного выше уравнения на множители: .

Шаг 9. Если произведение двух множителей равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Если . Если . x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 единственное решение? Мы определили наш домен как все действительные числа больше 3.

Проверить: Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определить, равен ли x-пересечение также 9. Если это так, вы правильно решили задачу.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив 9 вместо x в левой и правой частях исходного уравнения. Если после подстановки левая часть уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения, вы правильно решили задачу.

 

Посмотрите, как решать логарифмические неравенства:

 

Ресурсы:

/watch?v=7J4cIyko2uI

https://www.

No related posts.