Калькулятор линейных уравнений
Калькулятор линейных уравненийЭтот калькулятор сможет за секунду решить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, методом Крамера или матричным методом. Системы можно исследовать на совместность по теореме Кронекера-Капелли, найти общее, частное и базисные решения, а также определить количество решений.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Пример:
Пример:
Пример:
Переменные: Параметры:
Система линейных алгебраических уравнений
Как решать линейные уравнения
Каждое уравнение в системе является линейным – алгебраическим уравнением первой степени. Также
употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ.
Коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные в классическом варианте считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются, либо естественным образом обобщаются, на случай любых полей, к примеру, комплексных чисел.
В зависимости от количества уравнений в системе алгебраических уравнений, содержится столько же переменных. Например, если уравнения два, то и в системе уравнений будет две переменные, x и y. Решением такой системы алгебраических уравнений будут всевозможные пары (x, y), при подстановке которых в каждое уравнение системы будет получаться верное равенство.
Системы алгебраических уравнений часто записывают в матричной форме, значения которой будут соответствовать соответствующим коэффициентам уравнений в системе. А значит для решения алгебраических уравнений можно использовать калькулятор.
Решением алгебраических уравнений могут быть пары как целых, так и дробных чисел.
Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных способов для этого. Вы можете решить систему алгебраических уравнений, используя онлайн калькулятор. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.
«Решение системы линейных уравнений методом Крамера»
«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса»
Также читайте нашу статью «Калькулятор матриц онлайн»
Бесплатный онлайн калькулятор линейных уравнений
Наш бесплатный решатель линейных уравнений и любых функций позволит решить уравнение онлайн любой
сложности за считанные секунды.
Математика | Определение, история и значение
Вавилонская математическая табличка
Просмотреть все медиа
- Ключевые люди:
- Глэдис Уэст Исаак Ньютон Галилео Бертран Рассел Альфред Норт Уайтхед
- Похожие темы:
- анализ теория вероятности Информатика комбинаторика процент
Просмотреть весь соответствующий контент →
Резюме
Прочтите краткий обзор этой темы
математика , наука о структуре, порядке и отношениях, развившаяся из элементарных практик подсчета, измерения и описания форм объектов.
Он имеет дело с логическими рассуждениями и количественными расчетами, и его развитие связано с возрастающей степенью идеализации и абстракции его предмета. С 17 века математика была незаменимым дополнением к физическим наукам и технике, а в более поздние времена она взяла на себя аналогичную роль в количественных аспектах наук о жизни.
Во многих культурах — под влиянием потребностей практических занятий, таких как торговля и сельское хозяйство — математика развилась далеко за пределы простого счета. Этот рост был самым большим в обществах, достаточно сложных, чтобы поддерживать эту деятельность и предоставлять досуг для размышлений и возможность развивать достижения более ранних математиков.
Все математические системы (например, евклидова геометрия) представляют собой комбинации наборов аксиом и теорем, которые могут быть логически выведены из аксиом. Исследования логических и философских основ математики сводятся к вопросам о том, обеспечивают ли аксиомы данной системы ее полноту и непротиворечивость.
Для полного рассмотрения этого аспекта см. математика, основы.
Эта статья предлагает историю математики с древнейших времен до наших дней. Вследствие экспоненциального роста науки большая часть математики развивалась с 15 века н. . По этим причинам основная часть этой статьи посвящена европейским событиям, начиная с 1500 г.
Однако это не означает, что события в других местах были незначительными. Действительно, чтобы понять историю математики в Европе, необходимо знать ее историю хотя бы в древней Месопотамии и Египте, в древней Греции и в исламской цивилизации IX–XV вв. То, как эти цивилизации влияли друг на друга, и важный непосредственный вклад Греции и ислама в более поздние события обсуждаются в первых частях этой статьи.
Вклад Индии в развитие современной математики был сделан благодаря значительному влиянию индийских достижений на исламскую математику в годы ее становления. Отдельная статья «Математика Южной Азии» посвящена ранней истории математики на Индийском субконтиненте и развитию там современной десятичной позиционной системы счисления.
Статья «Математика Восточной Азии» посвящена преимущественно независимому развитию математики в Китае, Японии, Корее и Вьетнаме.
Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подписаться сейчас
Основные разделы математики рассматриваются в нескольких статьях.
Математики Калифорнийского технологического института решают числовую загадку XIX века — наконец доказывают «гипотезу Паттерсона»
Математики Калифорнийского технологического института Алекс Данн и Максим Радзивилл наконец доказывают загадочную особенность чисел, на которую впервые наткнулся немецкий математик Эрнст Куммер. Предоставлено: Caltech
Математики Калифорнийского технологического института Алекс Данн и Максим Радзивилл наконец доказали «гипотезу Паттерсона».
Загадочная особенность чисел, впервые обнаруженная немецким математиком Эрнстом Куммером, ставила исследователей в тупик последние 175 лет. В какой-то момент в 1950-х годах считалось, что эта причудливая особенность теории чисел ошибочна, но затем, десятилетия спустя, математики обнаружили намеки на то, что она на самом деле верна. Теперь, после нескольких поворотов, два математика из Калифорнийского технологического института, наконец, нашли доказательство того, что Куммер был прав с самого начала.
«У нас было несколько моментов «ага», но потом вы должны засучить рукава и понять это», — объясняет Александр (Алекс) Данн, постдоктор Калифорнийского технологического института и преподаватель математики Ольги Таусской и Джона Тодда, написавший доказательство со своим руководителем, профессором математики Максимом Радзивиллом, и разместил его в Интернете в сентябре 2021 года.
Математическая задача связана с суммами Гаусса, которые названы в честь плодовитого математика 18-го века Карла Фридриха Гаусса.
Когда Гаусс был молод, он поразил своих одноклассников, быстро разработав формулу сложения чисел от 1 до 100. Позже Гаусс разработал сложную концепцию, известную как суммы Гаусса, которые легко отображают распределение решений уравнений. Он посмотрел на распределение так называемых квадратных сумм Гаусса для нетривиальных простых чисел (простых чисел, которые дают в остатке 1 при делении на 3) и нашел «красивую структуру», по словам Радзивилла.
Максим Радзивилл, профессор математики. Предоставлено: Caltech
Эта деятельность по суммированию включает в себя тип математики, известный как модульная арифметика. Простой способ понять модульную арифметику — представить себе часы и их циферблат, разделенный на 12 часов. Когда наступает полдень или полночь, числа сбрасываются и возвращаются к 1. Эта система «по модулю 12» упрощает хронометраж, поскольку нам не нужно вечно считать часы.
В случае сумм Гаусса используется та же идея, но базовый «циферблат» делится на p часа, где p — простое число.
«Математика по модулю p — это способ убрать информацию и упростить невероятно сложные уравнения», — говорит Радзивилл.
В 19 веке Куммер интересовался распределением кубических сумм Гаусса для нетривиальных простых чисел или в системе по модулю p. Он проделал это вручную для первых 45 нетривиальных простых чисел и нанес ответы один за другим на числовую прямую (для этого ему пришлось сначала нормализовать ответы, чтобы они находились между -1 и 1). Результат был неожиданным: решения не были случайными, а имели тенденцию группироваться к положительному концу линии.
«Имея дело с распределением естественных объектов в теории чисел, наивно ожидать, что они имеют одинаковое распределение, а если нет, то должна быть очень убедительная причина», — говорит Данн. «Вот почему было так шокирующе, что Куммер заявил, что это не относится к кубам».
Алекс Данн, научный сотрудник и преподаватель математики Ольги Таусской и Джона Тодда. Предоставлено: Caltech
Позже, в 1950-х годах, исследователи под руководством покойной Хедвиг Сельберг из Института перспективных исследований использовали компьютер для вычисления кубических сумм Гаусса для всех нетривиальных простых чисел, меньших 10 000 (около 500 простых чисел).
Когда решения были нанесены на числовую прямую, смещение, замеченное Куммером, исчезло. Распределение решений казалось случайным.
Затем появился математик Сэмюэл Паттерсон, который предложил решение этой путаницы в 1978 году, теперь известное как гипотеза Паттерсона. Паттерсон, который в то время был аспирантом Кембриджского университета, понял, что систематическая ошибка в распределении решений может быть преодолена по мере того, как размер выборки становится все больше и больше. Это означало, что Куммер был прав — что-то смешное происходило с его суммами для 45 простых чисел. Но чтобы доказать, почему это так, придется подождать до прошлого года, когда Данн и Радзивилл, наконец, поняли это.
«Предвзятость, наблюдаемая с несколькими числами, похожа на физически невозможную монету, которая слегка смещается в сторону орла, но становится все меньше и меньше, поэтому чем чаще вы ее подбрасываете», — объясняет Радзивилл.
Два исследователя из Калифорнийского технологического института решили работать вместе, чтобы попытаться решить проблему гипотезы Паттерсона около двух лет назад.
Они не проводили вместе много времени в кампусе из-за пандемии, но столкнулись на парковке в Пасадене и разговорились. Они решили встречаться в парках, чтобы поработать над проблемой, где они записывали свои математические доказательства на листах бумаги.
«Я только что пришел в Калифорнийский технологический институт и мало кого знал, — говорит Данн. «Так что было действительно здорово встретиться с Максом и иметь возможность лично поработать над проблемой вместе».
Их решение было основано на работе Роджера Хита-Брауна из Оксфордского университета.
Оксфордский университет — коллегиальный исследовательский университет в Оксфорде, Англия. организованы в четыре отдела. Он был основан около 109 г.6, что делает его старейшим университетом в англоязычном мире и вторым старейшим непрерывно действующим университетом в мире после Болонского университета.
Данн и Радзивилл решили проблему, когда поняли, что сито работает неправильно или имеет «барьер», который они смогли убрать.