Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Выполнил:
ученик 7 «Г» класса лицея № 86 г. Ярославля
Кукушкин Евгений
Учитель:
Кукушкина А. В.
Цель проекта:
- Выяснить практическую значимость метода Крамера при решении систем линейных уравнений
Задачи проекта:
- Познакомиться с методом Крамера для решения систем линейных уравнений
- Научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера
- Определить , может ли облегчить этот метод решение систем линейных уравнений
- Исследовать систему линейных уравнений на количество решений , используя метод Крамера
- Рассмотреть задачи на практическое применение метода Крамера
Габриэль Крамер
- Швейцарский математик
07.1704 в Женеве- Ученик и друг Иоганна Бернулли
- Один из создателей линейной алгебры
07.1704 в ЖеневеГабриэль Крамер
Самая известная из работ Крамера — трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» , опубликованная в 1750 году.
Для доказательства одной из теорем он строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера .
G A B R I E L C R A M E R
Метод Крамера
Крамер рассматривал систему из линейных уравнений c
неизвестными
коэффициенты при переменной
коэффициенты при переменной
коэффициенты при переменной
свободные члены
Метод Крамера
Рассмотрим систему из 2-ух линейных уравнений с 2-мя неизвестными
коэффициенты при переменной
коэффициенты при переменной
свободные члены
Метод Крамера
При решении системы из линейных уравнений c
неизвестными , Крамер использовал понятие
матрицы размером
Метод Крамера
Что такое матрица?
Матрицей размером называется прямоугольная таблица чисел
, состоящая из строк и столбцов
Метод Крамера
Что такое квадратная матрица?
Квадратная матрица – матрица размером
, состоящая из строк и
Метод Крамера
Составим квадратную матрицу из коэффициентов при неизвестных
Метод Крамера
Что делать дальше?
Крамер:
« Найдите определитель
полученной матрицы»
Ученик:
«Что такое определитель? »
Крамер:
« Определитель – число .
Для матрицы размером оно
находится по правилу: »
Метод Крамера
Ученик:
«Что-то я не очень понял…»
Крамер:
«Тогда смотри!»
Крамер:
«Умножаем элементы главной диагонали
»«Вычитаем произведение элементов побочной диагонали »
Метод Крамера
Крамер:
«Потренируйтесь: Найдите определитель матрицы »
Ученик:
«»
Крамер:
«Молодцы! Можем продолжить обучение!»
Метод Крамера
Крамер:
«Если определитель матрицы , то система имеет
единственное решение »
Ученик:
«Как же его найти?»
Крамер:
«,
где — определитель, полученный из определителя
заменой 1-го столбца на столбец свободных членов
Метод Крамера
Ученик:
«Я кажется понял!»
«,
где — определитель, полученный из определителя
заменой 2-го столбца на столбец свободных членов»
Крамер:
«Молодец!»
Метод Крамера
Крамер:
«Решите систему уравнений: »
Ученик:
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
Метод Крамера
Крамер:
«Решите систему уравнений: »
Ученик:
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
система имеет
единственное решение
Метод Крамера
Крамер:
«Решите систему уравнений: »
Ученик:
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
Метод Крамера
Крамер:
«Решите систему уравнений: »
Ученик:
«Составляем матрицу и находим ее определитель»
Метод Крамера
Крамер:
«Решите систему уравнений: »
Ученик:
«Ответ: »
Крамер:
«Замечательно!»
Замеряем время решения
Для проведения опыта были выбраны три системы приведенные к виду:
Все системы я решал тремя способами :
- методом подстановки
- методом алгебраического сложения
- методом Крамера
Время решения каждого способа фиксировал
Замеряем время решения
Исследование системы линейных уравнений на количество решений
Количество решений системы
Система из
- иметь единственное решение
- иметь бесконечное множество решений
- не иметь решений
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
любое, любое
Система имеет бесконечное множество решений
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
1) Находим определитель матрицы при неизвестных
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
2) Находим определитель матрицы
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
3) Находим определитель матрицы
Количество решений системы
Решения системы уравнений:
Метод
Метод
Сложение
Сложение
Крамер
Кол-во решений
Кол-во решений
Крамер
Гипотеза!
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом алгебраического сложения:
,
Система не имеет решений
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
1) Находим определитель матрицы при неизвестных
Количество решений системы
Решим систему уравнений методом Крамера:
2) Находим определитель матрицы
Решим систему уравнений методом Крамера:
3) Находим определитель матрицы
Количество решений системы
Решения системы уравнений:
Метод
Метод
Сложение
Сложение
Крамер
Кол-во решений
Кол-во решений
Крамер
Гипотеза!
Количество решений системы
Решения системы уравнений:
Значения определителей
Значения определителей
Количество решений
Количество решений
Единственное решение
Единственное решение
Бесконечно много решений
Бесконечно много решений
Решений нет
Решений нет
Применение метода Крамера к решению систем линейных уравнений с параметром
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
а) имеет единственное решение
б) не имеет решений
в) имеет бесконечно много решений
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
а) имеет единственное решение
Система имеет единственное решение, если
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
б) система не имеет решений
Система не имеет решений, если
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
б) система не имеет решений
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
б) система не имеет решений
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
в) имеет бесконечно много решений
Система имеет бесконечно много решений, если
Системы с параметром
Найдите все значения параметра при которых система:
в) имеет бесконечно много решений
Выводы:
В результате работы я
- научился решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом Крамера
- выяснил , что решение систем методом Крамера значительно упрощает решение и сокращает время решения системы
- исследовал систему двух линейных уравнений на количество решений
- рассмотрел решение систем линейных уравнений с параметром , используя метод Крамера
Перспективы работы:
В дальнейшем я планирую
- научиться решать системы трех (четырех) систем линейных уравнений с тремя (четырьмя) переменными
- продолжить работу по решению систем уравнений с параметром, используя метод Крамера
Спасибо за внимание!
Источники информации
- http://www. peoples.ru/science/mathematics/gabriel_cramer /
peoples.ru/science/mathematics/gabriel_cramer /Метод Крамера
Крамер рассмотрел систему произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей. Решение системы он представил в виде столбца дробей с общим знаменателем — определителем матрицы. Термина «определитель» (детерминант) тогда ещё не существовало (его ввёл Гаусс в 1801 году), но Крамер дал точный алгоритм его вычисления: алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, по одному из каждой строки и каждого столбца. Знак слагаемого в этой сумме, по Крамеру, зависит от числа инверсий соответствующей подстановки индексов: плюс, если чётное
Решающая система линейных уравнений с использованием правила Cramer’s
- Post Автор: Редакционная команда
- Пост опубликован: мая 26, 2021
- Post Category: Linear Algebra
Реклама
CRAMER правило.
система линейных уравнений с определителями. Он назван в честь Габриэля Крамера (1704–1752), открывшего этот метод. В этой статье мы обсудим и проработаем несколько примеров решения системы линейных уравнений с использованием правила Крамера.
Прежде чем вы начнете читать о правиле Крамера, научитесь вычислять определители матриц 2 x 2 и 3 x 3 в качестве предварительного условия для этой статьи: Нахождение определителей с помощью перекрестного умножения.
Матрица коэффициентов и расширенная матрица
Имея систему уравнений, вы можете вывести из нее матрицу коэффициентов и расширенную матрицу. Оба являются одним и тем же с небольшим отличием.
Предположим, вам дана система линейных уравнений с двумя неизвестными.
Расширенная матрица и матрица коэффициентов будут выглядеть следующим образом.
Рисунок 1 – Расширенная матрица и матрица коэффициентовСистема линейных уравнений имеет форму, которая записывается как
Матрица представляет собой матрицу коэффициентов, представляет собой вектор-столбец неизвестных и представляет постоянный вектор.
Определитель матрицы 2 x 2
Определитель матрицы 2 x 2 можно вычислить с помощью перекрестного умножения.
Пример #1
Найдите определитель числа .
Решение:
Содержание
Решение системы уравнений с двумя неизвестными с помощью правила Крамера
Дана система уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить с помощью правила Крамера, выполнив следующие шаги.
- Найдите расширенную матрицу и матрицу коэффициентов для системы уравнений.
- Найдите определитель матрицы .
- Заменить коэффициенты матрицы коэффициентов постоянным вектором, чтобы получить матрицу x и найти ее определитель
- Заменить коэффициенты матрицы коэффициентов постоянным вектором, чтобы получить y-матрицу и найти ее определитель
- Найти решение системы линейных уравнений согласно следующим уравнениям.
На следующем рисунке показано, как выглядят матрицы.
Рисунок 1. Определитель матрицы x и матрицы y необходимо получить вместе с определителем матрицы 2 x 2.Имея систему уравнений, показанную выше, сначала выведите расширенную матрицу и матрицу коэффициентов. Матрица коэффициентов не имеет постоянного вектора. Используйте матрицу коэффициентов, чтобы получить определитель матрицы, которая равна .
Матрица X и Матрица Y
Вы можете получить матрицу x, заменив первый столбец, который является столбцом x, постоянным вектором. См. изображение ниже.
Рисунок 2. Замените коэффициенты x постоянным вектором в матрице коэффициентов, чтобы получить матрицу xАналогичным образом вычислить матрицу y из матрицы коэффициентов . Вычислите определитель матрицы x, который равен , и вычислите определитель матрицы y, который равен .
Чтобы найти решение каждой неизвестной, используйте следующую формулу, упомянутую ранее.
Решение для x Решение для уВ следующем разделе мы решим систему линейных уравнений с двумя неизвестными.
Пример #1
Найдите решение следующей системы линейных уравнений с двумя неизвестными, используя правило Крамера.
.
.
Решение:
Учитывая систему линейных уравнений, мы можем получить дополненную матрицу и матрицу коэффициентов. Матрица коэффициентов должна быть квадратной матрицей, поэтому давайте запишем расширенную матрицу в форме в таком порядке. Вычислить определитель матрицы Вычислите определитель матрицы. Вычислите определитель матрицы. Следовательно,Мы можем проверить решение подстановкой.
Решения системы линейных уравнений верны.
Решение системы уравнений с 3 неизвестными с помощью правила Крамера
Мы можем решить систему уравнений с 3 неизвестными, дающую квадратную матрицу, с помощью правила Крамера.
Хотя нам нужно вычислить определитель дополнительных подматриц, потому что есть еще одно неизвестное, кроме x и y. Назовем его З.
