Решение уравнение матрицы: Метод обратной матрицы онлайн

Содержание

Страница не найдена — ПриМат

По данному адресу ничего не найдено. Попробуйте воспользоваться поиском.

Искать:

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Олег Шпинарев (7), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2), Сергей Запорожченко (2), Николай Козиний (2), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2),

I.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

Глава I Элементы линейной алгебры‎ > ‎

I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы

(схема 17)

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется невырожденной

; имеющая равный нулю определитель – вырожденной.

Матрица A^-1 называется обратной для заданной квадратной матрицы , если при умножении матрицы на обратную ей как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть

A^-1∙A=A∙A^-1=E. (1. 7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц A и A^-1 коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Для невырожденной матрицы можно найти обратную ей матрицу A^-1 по следующему алгоритму.

1. Транспонируем матрицу A в матрицу A^T .

2. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы A^T и записываем их в матрицу .

3. Составим обратную матрицу A^-1 по формуле:

. (1.

4. Сделаем проверку правильности найденной матрицы А^-1 согласно формуле (1.7). Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения: A∙X=B, где A – главная матрица системы, – столбец неизвестных, – столбец свободных членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу A^-1, получим: A^-1∙A∙X=A^-1∙B. Так как по определению обратной матрицы A^-1∙A=E, то уравнение принимает вид

E∙X=A^-1∙B или X=A

-1∙B . (1. 9)

Таким образом, чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений нужно столбец свободных членов умножить слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример 1.6. Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

Следовательно, матрица невырожденная и обратная к ней матрица существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы :

Запишем алгебраические дополнения в матрицу

. Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы

. Отсюда x=2, y=0, z=1

Вопросы для самопроверки

Решения матричного уравнения с некоторыми ограничениями

На этой странице

АннотацияВведениеБлагодарностиСсылкиАвторское правоСтатьи по теме

Пусть данная эрмитова матрица удовлетворяет . Используя разложение по собственным значениям, рассмотрим решения матричного уравнения методом наименьших квадратов с ограничениями и . Также обсуждается аналогичная задача этого матричного уравнения с обобщенными связями.

1. Введение

Везде комплексное матричное пространство обозначается через . Символы , , и обозначают единичную матрицу соответствующего размера, сопряженную транспонированную, обратную и норму Фробениуса соответственно.

Изучение решений различных матричных уравнений является очень активной темой исследований [1–4]. Есть много авторов, которые исследовали классическое матричное уравнение с различными ограничениями, такими как симметричные, рефлексивные, эрмитово-обобщенные гамильтонианы и репозитивно определенные [5–9]. С помощью специальных матричных разложений, таких как разложения по сингулярным числам (SVD) и разложения CS [10–12], Ху и его сотрудники [13–15], Дай [16] и Дон [17] представили условия существования и подробные представления решения для (1) с соответствующими ограничениями соответственно.

Например, Пэн и Ху [18] представили решения с участием собственных векторов для (1) с рефлексивными и антирефлексивными ограничениями; Ван и Ю [19] вывел би(косо)симметричные решения и би(косо)симметричные решения методом наименьших квадратов с минимальной нормой этого матричного уравнения; Цю и Ван [20] предложили метод без собственных векторов для (1) с ограничениями и , где – эрмитова инволютивная матрица и .

Вдохновленные упомянутой выше работой, мы сосредоточимся на матричном уравнении (1) с ограничениями и, которое можно описать следующим образом: найти такое, что

Кроме того, мы также обсуждаем решения уравнения (1) методом наименьших квадратов с ограничениями и , где – заданная унитарная матрица порядка .

В разделе 2 представлены решения методом наименьших квадратов матричного уравнения (1) с ограничениями и . В разделе 3 мы получаем решения методом наименьших квадратов матричного уравнения (1) с ограничениями и . В разделе 4 мы приводим алгоритм и численный пример для иллюстрации наших результатов.

2. Метод наименьших квадратов Решения матричного уравнения (1) с ограничениями и

Требуется преобразовать задачу с ограничениями в задачу без ограничений. С этой целью пусть – разложение по собственным значениям эрмитовой матрицы с унитарной матрицей . Очевидно, имеет место тогда и только тогда, когда куда . Разделение (4) эквивалентно Следовательно, Ограничение эквивалентно с .

Разделение и обозначение затем предположим, что сингулярное разложение и выглядит следующим образом: где , и – унитарные матрицы, , , , , , и .

Теорема 1. Дано . Тогда решения наименьших квадратов матричного уравнения (1) с ограничениями и могут быть выражены как , где и — произвольная матрица.

Доказательство. Согласно (8) и унитарной инвариантности нормы Фробениуса По (9), задача наименьших квадратов эквивалентна Мы получаем Согласно (10), задача наименьших квадратов эквивалентна Предположить, что Тогда у нас есть Следовательно разрешима тогда и только тогда, когда существуют такие, что Из (19) следует, что Подставляя (20) в (16), а затем в (8), можно получить, что форма имеет вид (11).

3. Метод наименьших квадратов решения матричного уравнения (1) с ограничениями и

В этом разделе мы обобщаем ограничения на , где заданная унитарная матрица порядка . Очевидно, ограничение равно Обратите внимание, что (1) может быть эквивалентно переписано в Обозначая и устанавливая , уравнение принимает вид с ограничениями и .

Следовательно, решения матричного уравнения (1) с ограничениями и методом наименьших квадратов могут быть решены аналогично теореме 1.

Теорема 2. Дано . Тогда решения наименьших квадратов матричного уравнения (1) с ограничениями и могут быть выражены как где и — произвольная матрица. 4. Алгоритм и численные примеры Все тесты выполняются программой MATLAB 6.5 с машинной точностью около

Алгоритм 3. Введите и вычислите , , путем разложения собственного значения до .
Вычислить согласно (9).
Вычислить по сингулярному разложению .
Вычислить согласно (16).
Вычисление по теореме 1.

Пример 4. Предположим,
Применяя Алгоритм 3, получаем следующее:

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в связи с публикацией данной статьи.

Благодарности

Это исследование было поддержано Фондом естественных наук провинции Хэбэй (A2012403013), Фондом естественных наук провинции Хэбэй (A2012205028) и Фондом Департамента образования провинции Хэбэй (Z2013110).

Ссылки

Q.-W. Ван и З.-Х. Он, «Система матричных уравнений и ее приложения», Science China Mathematics , vol. 56, нет. 9, стр. 1795–1820, 2013.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Q.-W. Ван и З.-Х. Он, «Условия разрешимости и общее решение для смешанных уравнений Сильвестра», Automatica , vol. 49, нет. 2013. Т. 9. С. 2713–2719.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Q. -W. Ван и З.-Х. Он, «Некоторые матричные уравнения с приложениями», Linear and Multilinear Algebra , vol. 60, нет. 11–12, стр. 1327–1353, 2012.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
С.-Ф. Юань, К.-В. Ван и X.-Ф. Дуан, «О решениях матричного уравнения кватернионов AX=B и их применении для восстановления цветных изображений», Прикладная математика и вычисления , том. 221, стр. 10–20, 2013 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
К.-Э. Чу, «Симметричные решения линейных матричных уравнений с помощью матричных разложений», Linear Algebra and its Applications , vol. 119, стр. 35–50, 1989.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Z. -H. Он и К.-В. Ван, «Вещественное матричное уравнение кватерниона с приложениями», Линейная и полилинейная алгебра , том. 61, нет. 6, стр. 725–740, 2013.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
И. Кырчей, «Формулы явного представления для минимальной нормы решений наименьших квадратов некоторых матричных уравнений кватерниона», Линейная алгебра и ее приложения , том. 438, нет. 1, стр. 136–152, 2013 г.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Ю. Ли, Ю. Гао и В.-Б. Го, «Эрмитово решение матричного уравнения AXB = C методом наименьших квадратов с учетом ограничений неравенства», Computers & Mathematics with Applications , vol. 64, нет. 6, стр. 1752–1760, 2012.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Л. Ву, «Положительно определенные решения матричной обратной задачи AX=B», Линейная алгебра и ее приложения , том. 174, стр. 145–151, 1992.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
К.-Э. Чу, «Сингулярные и обобщенные сингулярные разложения и решение линейных матричных уравнений», Linear Algebra and its Applications , vol. 88–89, стр. 83–98, 1987.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | MathSciNet
C.-C. Пейдж, «Вычисление обобщенного сингулярного разложения», SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing , vol. 7, нет. 4, стр. 1126–1146, 1986.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
C. -C. Пейдж и М.-А. Сондерс, «К обобщенному разложению по сингулярным числам», SIAM Journal on Numerical Analysis , vol. 18, нет. 3, стр. 398–405, 1981.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
К.-Дж. Мэн, X.-Y. Ху и Л. Чжан, «Кососимметричные ортогональные решения матричного уравнения AX=B», Linear Algebra and its Applications , vol. 402, стр. 303–318, 2005.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
C.-J. Мэн и X.-Y. Ху, «Обратная задача для симметричных ортогональных матриц и ее оптимальное приближение», Mathematica Numerica Sinica , vol. 28, нет. 3, стр. 269–280, 2006.
Посмотреть по адресу:
Google Scholar | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
З. -З. Чжан, X.-Y. Ху и Л. Чжан, «Об эрмитовых обобщенных гамильтоновых решениях линейных матричных уравнений», SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , vol. 27, нет. 1, стр. 294–303, 2005.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Х. Дай, «О симметричных решениях линейных матричных уравнений», Линейная алгебра и ее приложения , том. 131, стр. 1–7, 1990.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Ф.-Дж. Хенк Дон, «О симметричных решениях линейного матричного уравнения», Linear Algebra and its Applications , vol. 93, стр. 1–7, 1987.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
З. -Ю. Пэн и X.-Y. Ху, «Рефлексивные и антирефлексивные решения матричного уравнения AX=B», Линейная алгебра и ее приложения , том. 375, стр. 147–155, 2003.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet
Q.-W. Ван и Дж. Ю. Об обобщенных би (косо) симметричных решениях линейного матричного уравнения и его прокрустных задачах. 219, нет. 19, стр. 9872–9884, 2013.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | MathSciNet
Ю.-Ю. Цю и А.-Д. Ван, «Решения без собственных векторов для AX=B с ограничениями PX=XP и XH=sX», Applied Mathematics and Computation , vol. 217, нет. 12, стр. 5650–5657, 2011.
Посмотреть по адресу:
Сайт издателя | ученый Google | Zentralblatt МАТЕМАТИКА | MathSciNet

Copyright

Copyright © 2014 Chang-Zhou Dong and Yu-Ping Zhang. Это статья с открытым доступом, распространяемая в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Общее решение системы уравнений

На уроках алгебры, если система уравнений имеет бесконечно много решений, вы просто пишете «бесконечно много решений» и переходите к следующей задаче. Однако, когда мы говорим «бесконечно много решений», происходит гораздо больше. В этой статье мы рассмотрим эту идею с общими решениями.

реклама

Содержание:

Запись общего решения
Нахождение конкретных решений на основе общего решения
Краткое описание шагов

Запись общего решения

Сначала давайте рассмотрим, как записать общее решение данной системы уравнений. Для этого рассмотрим пример.

Пример

Найдите общее решение системы уравнений:

\(
\begin{array}{c}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11\\
x_1 + x_2 + 5x_3 +11x_4 = 10\\
\конец{массив}\)

Как и в любой системе уравнений, мы будем использовать расширенную матрицу и сокращение строк.

\(
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 2 & 8 & 18 & 11\\
1 & 1 & 5 & 11 & 10\\
\end{массив}
\right ]
\sim
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 2 & 4 & 9\\
0 & 1 & 3 & 7 & 1\\
\end{массив}
\справа]
\)

Теперь выпишите уравнения из этой сокращенной матрицы.

\(
\begin{array}{c}
x_1 + 2x_3 + 4x_4 = 9\\
x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 1\\
\end{массив}\)

Обратите внимание, что в матрице начальные единицы (первая ненулевая запись в каждой строке) находятся в столбцах для \(x_1\) и \(x_2\).

Найдите эти переменные.

\(
\begin{array}{c}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4\\
\end{массив}\)

Остальные переменные являются свободными переменными , что означает, что они могут принимать любое значение. Значения \(x_1\) и \(x_2\) основаны на значении этих двух переменных. В общем решении, вы хотите отметить это.

Общее решение:

\(
\boxed{
\begin{array}{l}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4\\
x_3 \text{ свободен}\\
x_4 \text{ свободен}\\
\end{array}
}
\)

Существует бесконечно много решений этой системы уравнений, использующих разные значения двух свободных переменных.

Поиск конкретных решений

Предположим, вы хотите привести пример конкретного решения приведенной выше системы уравнений. Их бесконечно много, поэтому у вас есть большой выбор! Вам просто нужно рассмотреть возможные значения свободных переменных.

Пример решения

Пусть:

\(
\begin{array}{l}
x_3 = 0\\
x_4 = 1\\
\end{array}
\)

Не было особой причины выбирать 0 и 1. Опять же, это будет работать для ЛЮБОГО значения, которое вы выберете для этих двух переменных.

Используя эти значения, решение:

\(
\begin{array}{l}
x_1 = 9 – 2x_3 – 4x_4 = 9 – 2(0) – 4(1)\\
x_2 = 1 – 3x_3 – 7x_4 = 1 – 3(0) – 7 (1)\\
x_3 = 0\\
x_4 = 1\\
\end{массив}
\rightarrow
\boxed{
\begin{array}{l}
x_1 = 5\\
x_2 = -6\\
x_3 = 0\\
x_4 = 1\\
\end{array}
}
\)

Вы можете проверить эти значения в исходной системе уравнений, чтобы быть уверенным:

\(
\begin{array}{l}
x_1 + 2x_2 + 8x_3 + 18x_4 = 11\\
x_1 + x_2 + 5x_3 +11x_4 = 10\\
\end{array}
\rightarrow
\begin{array} {l}
(5) + 2(-6) + 8(0) + 18(1) = 11 \text{ (true)}\\
(5) + (-6) + 5(0) +11 (1) = 10 \text{ (истина)}\\
\конец{массив}
\)

Поскольку оба уравнения верны для этих значений, мы знаем, что нашли одно из многих решений.