Линейное уравнение с тремя неизвестными. Решение уравнений с тремя неизвестными по математике
Системой линейных уравнений называется совокупность рассматриваемых совместно нескольких линейных уравнений.
В системе может быть любое число уравнений с любым числом неизвестных.
Решением системы уравнений называется совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, то есть обращающая их в тождества.
Система, имеющая решение, называется совместной, в противном случае – несовместной.
Для решения системы применяют различные методы.
Пусть
(число уравнений равно числу неизвестных).
Метод Крамера
Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
(7)
Для нахождения
неизвестных
применим формулу Крамера:
(8)
где — определитель системы, элементы которого есть коэффициенты при неизвестных:
.
получается путём замены первого столбца определителя столбцом свободных членов:
.
Аналогично:
;
.
.
Решение: Воспользуемся формулами (8):
;
;
;
;
Ответ:
.
Для любой системы линейных уравнений снеизвестными можно утверждать:
Матричный способ решения
Рассмотрим решение системы (7) трёх линейных уравнений с тремя неизвестными матричным способом.
Используя правила
умножения матриц, данную систему
уравнений можно записать в виде:
,
где
.
Пусть матрица
невырожденная, т.е.
.
Умножая обе части матричного уравнения
слева на матрицу
,
обратную матрице,
получим:
.
Учитывая, что
,
имеем
(9)
Пример 2. Решить систему матричным способом:
.
Решение: Введём матрицы:
— из коэффициентов при неизвестных;
— столбец свободных членов.
Тогда систему
можно записать матричным уравнением:
.
Воспользуемся
формулой (9). Найдём обратную матрицу
по формуле (6):
;
.
Следовательно,
Получили:
.
Ответ:
.
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
Основная идея применяемого метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Поясним смысл этого метода на системе трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Допустим, что
(если
,
то изменим порядок уравнений, выбрав
первым уравнением то, в котором коэффициент
прине равен нулю).
Первый шаг: а) делим
уравнение
на
;
б) умножаем полученное уравнение на
и вычитаем из
;
в) затем полученное умножаем на
и вычитаем из
.
В результате первого шага будем иметь
систему:
,
Второй шаг: поступаем
с уравнением
и
точно так же, как с уравнениями
.
В итоге исходная система преобразуется к так называемому ступенчатому виду:
Из преобразованной системы все неизвестные определяются последовательно без труда.
Замечание.
Практически удобнее приводить к
ступенчатому виду не саму систему
уравнений, а матрицу из коэффициентов,
при неизвестных, и свободных членов.
Пример 3. Решить методом Гаусса систему:
.
Переход от одной матрицы к другой будем записывать при помощи знака эквивалентности ~.
~
~
~
~
~
.
По полученной матрице выписываем преобразованную систему:
.
Ответ:
.
Замечание: Если
система имеет единственное решение, то
ступенчатая система приводится к
треугольной, то есть к такой, в которой
последнее уравнение будет содержать
одно неизвестное. В случае неопределённой
системы, то есть такой, в которой число
неизвестных больше числа линейно
независимых уравнений, треугольной
системы не будет, так как последнее
уравнение будет содержать более одного
неизвестного (система имеет бесчисленное
множество решений). Когда же система
несовместна, то, после приведения её к
ступенчатому виду, она будет содержать
хотя бы одно
значение вида
Метод Гаусса применим
к произвольной системе линейных уравнений
(при любыхи).
Теорема существования решения системы линейных уравнений
При решении системы линейных уравнений методом гаусса ответ на вопрос, совместна или несовместна данная система может быть дан лишь в конце вычислений. Однако часто бывает важно решить вопрос о совместности или несовместности системы уравнений, не находя самих решений. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Кронекера-Капелли.
Пусть дана система
(10)
Для того, чтобы система (10) была совместной, необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы
.
был равен рангу её расширенной матрицы
.
Причём, если
,
то система (10) имеет единственное решение;
если же
,
то система имеет бесчисленное множество
решений.
Рассмотрим однородную систему (все свободные члены равны нулю) линейных уравнений:
.
Эта система всегда
совместна, так как она имеет нулевое
решение
.
В следующей теореме даны условия, при которых система имеет также решения, отличные от нулевого.
Терема. Для того, чтобы однородная система линейчатых уравнений имела нулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю:
.
Таким образом,
если
,
то решение- единственное. Если
,
то существует бесконечноё множество
других ненулевых решений. Укажем один
из способов отыскания решений для
однородной системы трёх линейных
уравнений с тремя неизвестными в случае
Можно доказать,
что если
,
а первое и второе уравнения непропорциональны
(линейно независимы), то третье уравнение
есть следствие первых двух. Решение
однородной системы трёх уравнений с
тремя неизвестными сводится к решению
двух уравнений с тремя неизвестными.
Появляется так называемое свободное
неизвестное, которому можно придавать
произвольные значения.
Пример 4. Найти все решения системы:
.
Решение. Определитель этой системы
.
Поэтому система имеет нулевые решения. Можно заметить, что первые два уравнения, например, непропорциональны, следовательно, они линейно независимые. Третье является следствием первых двух (получается, если к первому уравнению прибавить удвоенное второе). Отбросив его, получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:
.
Полагая, например,
,
получим
.
Решая систему двух
линейных уравнений, выразим
ичерез:
.
Следовательно, решение системы можно
записать в виде:
,
где- произвольное число.
Пример 5. Найти все решения системы:
.
Решение. Нетрудно
видеть, что в данной системе только одно
независимое уравнение (два других ему
пропорциональны). Система из трёх
уравнений с тремя неизвестными свелась
к одному уравнению с тремя неизвестными.
Появляются два свободных неизвестных.
Найдя, например, из первого уравнения
при произвольныхи,
получим решения данной системы. Общих
вид решения можно записать,
гдеи- произвольные числа.
Вопросы для самопроверки
Сформулируйте правило Крамера для решения системы линейных уравнений снеизвестными.
В чём сущность матричного способа решения систем?
В чём заключается метод Гаусса решения системы линейных уравнений?
Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
Сформулируйте необходимое и достаточноё условие существования ненулевых решений однородной системы линейных уравнений.
Примеры для самостоятельного решения
Найдите все решения систем:
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
; 8.
;
9.
; 10.
;
11.
; 12.
;
13.
;
14.
;
15.
.
Определите, при каких значениях исистема уравнений
а) имеет единственное решение;
б) не имеет решения;
в) имеет бесконечно много решений.
16.
; 17.
;
Найти все решения следующих однородных систем:
18.
; 19.
;
20.
; 21.
;
22.
; 23.
;
1.
; 2.
; 3.
Ǿ; 4. Ǿ;
5.
— произвольное число.
6.
,
где- произвольное число.
7.
; 8.
; 9.
Ǿ; 10. Ǿ;
11.
,
где- произвольное число.
12. , гдеи- произвольные числа.
13.
; 14.
гдеи- произвольные числа.
15. Ǿ; 16. а)
;
б)
;
в)
.
17. а)
;
б)
;
в)
;
18.
; 19.
; 20.,
где- произвольное число.
21. , где- произвольное число.
22. , где- произвольное число.
23. , гдеи- произвольные числа.
Для системы составляем главный определитель
и вычисляем его.
Затем составляем дополнительные определители
и вычисляем их.
По правилу Крамера решение системы находят по формулам
;
;
,если
1)
Вычислим:
По формулам Крамера находим:
Ответ: (1; 2; 3)
2)
Вычислим:
Так как главный
определитель
,
а хотя бы один дополнительный не равен
нулю (в нашем случае
),
то решения у системы нет.
3)
Вычислим:
Так как все
определители равны нулю, то система
имеет бесконечное множество решений,
которое можно найти так
Решите самостоятельно системы:
а)
б)
Ответ: а) (1; 2; 5) б) ;;
Практическое занятие № 3 на тему:
Скалярное произведение двух векторов и его приложение
1. Если дан
и
,
то скалярное произведение находим по
формуле:
∙
2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле
1. Даны два вектора
и
Их скалярное произведение находим так:
.
2. Даны два вектора:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
скалярное произведение находят так:
3.
,
3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути
1) Под действием
силы в 15Н тело переместилось по прямой
на 2 метра. Угол между силой и направлением
перемещения =60 0 .
Вычислить работу силы по перемещению
тела.
Дано:
Решение:
2) Дано:
Решение:
3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.
Решение: находим
вектор перемещения
Находим модуль вектора перемещения:
По формуле
находим работу:
3.2 Определение ортогональности двух векторов
Два вектора
ортогональны, если
,
то есть
так как
1)
–не ортогональны
2)
–ортогональны
3) Определить, при
каком
векторы
и
взаимно-ортогональны.
Так как
,
то
,
значит
Решите самостоятельно:
а)
. Найти их скалярное произведение.
б) Вычислить, какую
работу производит сила
,
если точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, переместилась из точки
M
(5; -6; 1) в точку N
(1; -2; 3)
в) Определить,
ортогональны ли вектора
и
Ответы: а) 1 б) 16 в) да
3.
3.Нахождение угла между векторами1)
. Найти .
Находим
подставляем в формулу:
.
1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.
Подставим в формулу:
Решите самостоятельно:
Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.
Ответ: 90 о
Практическое занятие № 4 на тему:
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.
Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:
имеет вид | ||
1) Найти модуль векторного произведения:
Составим определитель
и вычислим его (по правилу Саррюса или
по теореме о разложении определителя
по элементам первой строки).
1-ый способ: по правилу Саррюса
2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.
2) Найти модуль векторного произведения:
4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.
1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
2). Найти векторное произведение и его модуль
4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.
Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.
Найдем их векторное произведение
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Если вектора
и
коллинеарны, то
, т. е. координаты векторов должны быть пропорциональны.
а) Даны вектора::
,
.
Они коллинеарны
потому, что
и
после сокращения
каждой дроби получается соотношение
б) Даны вектора:
.
Они не коллинеарны,
потому, что
или
Решите самостоятельно:
а) При каких
значениях m
и n
вектора
коллинеарны?
Ответ:
;
б) Найти векторное
произведение и его модуль
,
.
Ответ:
,
.
Практическое занятие № 5 на тему:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача № 1. Найти
уравнение прямой, проходящей через
точку А(-2; 3) параллельно прямой
1. Найдем угловой
коэффициент прямой
.
— это уравнение
прямой с угловым коэффициентом и
начальной ординатой (
).
Поэтому
.
2. Так как прямые
MN
и АС
параллельны, то их угловые коэффициенты
равны, т.е.
.
3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки А(-2; 3), вместо подставим – 3. В результате подстановки получим:
Ответ:
Задача №2. Найти
уравнение прямой, проходящей через
точку К(1; –2)
параллельно прямой
.
1. Найдем угловой коэффициент прямой .
Это общее уравнение прямой, которое в
общем виде задается формулой
.
Сравнивая уравнения
и
находим, что А
= 2, В = –3. Угловой
коэффициент прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле
.
Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3,
получим угловой коэффициент прямой MN.
Итак,
.
2. Так как прямые
MN
и КС параллельны, то их угловые коэффициенты
равны:
.
3. Для нахождения
уравнения прямой КС воспользуемся
формулой уравнения прямой, проходящей
через точку с данным угловым коэффициентом
.
В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–2; 3),
вместо
Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .
1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .
и находим, что А = 3, В = 4.
Угловой коэффициент
прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле:
.
Подставив в эту формулу А
= 3 и В = 4, получим
угловой коэффициент прямой MN:
.
2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:
.
3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
. В эту формулу вместо и подставим координаты точки К(–1; –3), вместо подставим . В результате подстановки получим:
Решите самостоятельно:
1. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–4; 1)
параллельно прямой
.
Ответ:
.
2. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(5; –2)
параллельно прямой
.
3. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–2; –6)
перпендикулярно прямой
.
4. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(7; –2)
перпендикулярно прямой
.
Ответ:
.
5. Найти уравнение
перпендикуляра, опущенного из точки
К(–6; 7) на прямую
.
После того, как автор сайта смог научить своего бота решать линейное диофантово уравнение с двумя переменными , возникло желание научить бота решать подобные уравнения, но уже с тремя неизвестными.
Пришлось окунутся в книги.
Вынырнув оттуда через два месяца, автор понял, что он ничего не понял. Зело умные математики, так мудрёно писали алгоритм вывода формул, что мне смертному было стыдно. Опечалился было, но мысль на книжных просторах все таки одну полезную нашел, и с этой мысли пришло понимание как решать диофантовые уравнения с тремя неизвестными.
Итак для всех, кто не математик, но хочет им быть:)
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными имеет вот такой вид
где целые числа
Если мы подумаем какое же общее решение может быть у неизвестных, то самое банальное выглядит так
Подставим наше общее решение в уравнение
Какой же от этого прок, спросит нетерпеливый читатель? А вот какой, сгруппируем все по неизвестным,получим
Смотрите, в правой части стоит какое то постоянное число, обозначенное буквой d
Значит, от t (она же переменная, мало ли каким она значением хочет стать) оно не зависит а значит
Логично предположить что и от z оно не зависит а значит
а вот от постоянных значений A 3 и B 3 оно зависит напрямую, то есть
Что же в конечном итоге мы получили? А получили мы три типовых классических диофантовых уравнений с двумя неизвестными , которые решать мы можем легко и непринужденно.
Попробуем решить?
В первых строках поисковых систем нашлось вот такое уравнение
Первое уравнение будет вот такое
корни его
Избавимся от нулей, взяв к примеру k=-1. (Хотите можете взять 2 или 100 или -3) На окончательное решение это не повлияет.
Решаем второе уравнение
и его корни
здесь пусть k=0 (так как X и Y не совпадают уже при нулевых значениях)
И последнее третье уравнение
Корни тут такие
Подставим теперь все найденные значения в общий вид
Вот и все!
Заметьте, что все решается очень легко и прозрачно! Наверняка преподаватели и способные студенты возьмут себе на вооружение эту методику, так как в книгах автор бота её так и нашел.
Еще один пример, уже решенный с помощью бота.
Дополнение: Когда будете решать подобные уравнения с помощью бота, можете столкнуться с тем, что бот Вам выдаст ошибку с просьбой, поменять переменные местами, для другой попытки решить уравнение. Это связано с тем что при промежуточных вычислениях, получается нерешаемое уравнение
Как пример
При попытке решить уравнение
в нашем случае
мы получим ошибку, так как при любых значениях, в левой части будет всегда(!!) чётное число, а в правой части как мы видим нечетное.
Но это не значит что изначальное уравнение нерешаемое. Достаточно поменять слагаемые в другом порядке, например так
и получаем ответ
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Система из трех уравнений с тремя неизвестными не во всех случаях имеет решение, несмотря на большое количество уравнений. Как правило, данного рода системы решаются с помощью метода подстановки или с помощью метода Крамера. Второй метод дает возможность определить на первых этапах, имеет ли система решение.
Допустим, нам дана следующая система из трех уравнений с тремя неизвестными:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end{matrix}\right.\]
Можно решить данную неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера:
\[\Delta _A\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}=2\]
Определитель системы \ не равен нулю.
Найдем вспомогательные определители \ если они
не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
\[\Delta _1\begin{vmatrix} 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end{vmatrix}=6\]
\[\Delta _2\begin{vmatrix} 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end{vmatrix}=2\]
\[\Delta _3\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end{vmatrix}=-2\]
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение
\[\left\{\begin{matrix} X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end{matrix}\right.\]
Где можно решить систему уравнений с тремя неизвестными онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель
позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это
просто вdести свои данные в решателе.
Так же вы можете посмотреть видео инструкцию
и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей
групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда
рады помочь вам.
Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными
Определение 1 . Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид
Решение . Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :
Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида
где x – любое число.
Замечание
. Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений . Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y )
является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x
можно взять любым, а число y
после этого вычислить по формуле (3).
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Определение 3 . Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид
где a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 – заданные числа.
Определение 4 . В системе уравнений (4) числа a 1 , b 1 , a 2 , b 2 называют , а числа c 1 , c 2 – свободными членами .
Определение 5 . Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y ) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).
Определение 6 . Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными) , если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.
Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»
Системы линейных уравнений решают с помощью , который мы проиллюстрируем на примерах.
Пример 2 . Решить систему уравнений
Решение . Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х .
С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.
Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид
Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему
Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем
Ответ . (-2 ; 3) .
Пример 3 . Найти все значения параметра p , при которых система уравнений
а ) имеет единственное решение;
б ) имеет бесконечно много решений;
в ) не имеет решений.
Решение . Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим
Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):
| y (2 — p ) (2 + p ) = 2 + p | (9) |
Если , то уравнение (9) имеет единственное решение
Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение
Если p = — 2 , то уравнение (9) принимает вид
и его решением является любое число . Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество всех пар чисел
,
где y — любое число.
Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид
и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет .
Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Определение 7
.
Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
x , y
и z
называют систему уравнений, имеющую вид
где a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 – заданные числа.
Определение 8 . В системе уравнений (10) числа a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 называют коэффициентами при неизвестных , а числа d 1 , d 2 , d 3 – свободными членами .
Определение 9 . Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z ) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.
Пример 4 . Решить систему уравнений
Решение . Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных .
Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
- из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему
Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное x , совершив над системой (12) следующие преобразования:
- первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
- из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему
Из системы (13) последовательно находим
z = — 2 ; x = 1 ; y = 2 .
Ответ . (1 ; 2 ; -2) .
Пример 5 . Решить систему уравнений
Решение . Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие , сложив все три уравнения системы:
2.2. Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными
|
В этом и в разделе мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения
неоднородной
системы (3.
19) с определителем, равным
нулю. Сначала рассмотрим
однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестными:
++= 0,+= 0
Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из матрицы
|
равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 коэффициенты первого из
уравнений (3.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих
уравнений. Стало быть, в этом случае второе уравнение (3.25) является
следствием первого, и его можно отбросить. Но одно уравнение с тремя
неизвестными
+
+= 0, естественно,
имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать
произвольные
значения, а третье неизвестное определять
из уравнения).
Рассмотрим теперь систему (3.25) для случая, когда хотя бы один из
определителей второго порядка, составленных из матрицы (3.26), отличен
от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что отличен от нуля
определитель
|
0
Тогда мы можем переписать систему (3.25) в виде
+=,
+ =
и утверждать, что для каждого z существует единственное решение этой системы,
определяемое формулами Крамера (см. разд. 1.2, формулы (3.8)):
|
,
.
Далее удобно использовать алгебраические дополнения
, и
элементов третьей строки определителя:
В силу результатов разд. 1.5 о связи алгебраических дополнений и миноров
можно записать
|
= ,=,=.
Основываясь на (3.29), мы можем переписать формулы (3.28) в виде
|
, .
Для того чтобы получить решение в виде, симметричном относительно всех
неизвестных х, у, и z, положим
(отметим,
что в силу (3.
27) определитель
отличен от нуля). Поскольку z может принимать любые значения, то и новая
переменная t может принимать любые значения.
|
Мы приходим к выводу, что в случае, когда определитель (3.27) отличен от
нуля, однородная система (3.25) имеет бесчисленное множество решений,
определяемых формулами
, ,,
в которых t принимает какие угодно значения, а алгебраические дополнения
, и
определяются формулами (3.29).
Рассмотрим теперь однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными:
|
32)++= 0,
+ = 0,
++= 0.
Очевидно, что эта система всегда имеет так называемое тривиальное решение: х
= 0, у = 0, z = 0.
В случае, когда определитель системы
, это тривиальное решение является единственным (в силу разд. 2.1).
Докажем, что в случае, когда определитель
равен нулю, однородная система (3.32) имеет бесчисленное множество решений.
Если все определители второго порядка, которые можно составить из матрицы
равны нулю, то в силу утверждения из разд. 1.1 соответствующие коэффициенты всех
трех уравнений (3.32) пропорциональны. Но тогда второе и третье уравнения
(3.32) являются следствиями первого и могут быть отброшены, а одно уравнение
+
+= 0, как уже
отмечалось
в разд.
2.2, имеет бесчисленное множество
решений.
Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрицы (3.33)
отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в
нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен
от нуля определитель (3.27). Но тогда, как установлено в разд. 2.2, система
первых двух уравнений (3.32) имеет бесчисленное множество решений,
определяемых формулами (3.31) (при любом t).
Остается доказать, что х, у, z, определяемые формулами (3.31) (при любом t,
обращают в тождество и третье уравнение (3.32). Подставляя в левую часть
третьего уравнения (3.32) х, у и z, определяемые формулами (3.31), получим
Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно
определителю
системы
(3.
32). Но определитель
по условию равен нулю, и поэтому при любом t мы получим
+
+= 0.
Итак, доказано, что однородная система (3.32) с определителем А. равным
нулю, имеет бесчисленное множество решений. Если отличен от нуля минор
(3.27), то эти решения определяются формулами (3.31) при произвольно взятом t.
Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система
(3.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда
определитель ее равен нулю.
Определение системы уравнений с тремя переменными по алгебре.
(существительное)
Набор из одного или нескольких уравнений, каждое из которых может содержать одну или несколько из трех переменных, обычно x , y и z .
Решение систем уравнений с тремя переменными
- Система из уравнений в три переменные включают две или более уравнений , каждое из , которое содержит от одного до трех переменных .
- в A System из Уравнения в Три Переменные , вы можете иметь одно или несколько уравнения , из , которые могут содержать одно или несколько из , из , которые могут содержать одно или несколько из , из , которые могут содержать одно или несколько , из , которые могут содержать одно или несколько , из , которые могут содержать одно или несколько , из , которые могут содержать одно или несколько . переменные , обычно x, y и z.
- Это набор из 9 штук.0005 линейные уравнения , также известные как линейная система из уравнений , в три переменные :
- Графический метод из Решения Система из уравнений 9005 в Три Переменные включает в себя построение плоскостей, которые образуются при графике каждые уравнения в 5. точка пересечения из все три самолета .
- На этом изображении показана система из трех уравнений в трех переменных .
Несогласованные и зависимые системы с тремя переменными
- Решение системы уравнений в трех переменных является упорядоченной тройкой $(x, y, z)$, и описывает точку, где три плоскости пересекают в пространстве .
- Существует три возможных сценария решения для систем из три уравнения в три переменные :
- То же самое верно для зависимые системы из уравнения в три переменные .
- Аналогично системам из уравнений в две переменные , мы можем столкнуться с противоречивой системой из уравнений в трех переменных , а значит, не имеет решение, удовлетворяющее всем трем уравнениям .
- Теперь обратите внимание, что у нас есть система из уравнений в две переменных :
- Решение системы уравнений в трех переменных является упорядоченной тройкой $(x, y, z)$, и описывает точку, где три плоскости пересекают в пространстве .
Несовместимые и зависимые системы
- В математике система из линейных уравнений (или линейная система ) представляет собой набор из линейных переменных из , включающий один и тот же набор8 из8.
- это система из три уравнения в три переменные х, у, я.
- Решением линейной системы является присвоение чисел переменным таким образом, что все уравнений одновременно удовлетворяются.
- Линейная система может вести себя в любым из тремя возможными способами:
- Это пример.
- В математике система из линейных уравнений (или линейная система ) представляет собой набор из линейных переменных из , включающий один и тот же набор8 из8.
Введение в системы уравнений
- A System из Уравнения состоит из из Два или более уравнения с двумя или более переменными , где любое решение должно удовлетворить из Уравнения в . в то же время.
- Например, рассмотрим следующее система из линейная уравнения в две переменные :
- это система из три уравнения в три переменные $x, y, z$.
- В вообще, линейная система может вести себя в любым из тремя возможными способами:
- Каждая из этих возможностей представляет определенный тип из система из линейных уравнений в двух переменных .
Несогласованные и зависимые системы с двумя переменными
- Для линейных уравнений в две переменных , несовместные системы не имеют решений, а зависимые системы имеют бесконечно много решений.
- Напомним, что линейная система может вести себя в любой из три возможные способы:
- Также напомним, что каждому из этих возможностей соответствует тип из система из линейные уравнения в две переменные .
- Они не добавляют новую информацию о переменных , а потеря уравнения из зависимой системы не изменяет размер набор решений.
- Объясните, когда системы из уравнений в две переменных несовместимы или зависимы как графически, так и алгебраически.
Применение систем уравнений
- Системы из уравнений могут быть использованы для решения многих реальных задач в , в которых множественные ограничения используются для одних и тех же переменных .
- Система из уравнений , также известная как одновременные уравнений , представляет собой набор из уравнений , которые имеют несколько переменных .
- Ответом на систему уравнений является набор из значений, который удовлетворяет всем уравнениям в системе , и таких ответов может быть много18 для любой заданной системы
5 .
- Существует несколько практических приложений из систем из уравнений .
- Применение систем из уравнений в двух переменных к примерам из реальной жизни
Метод замены
- Метод подстановки — это способ из решения системы из уравнений путем выражения уравнения в терминах из только одна переменная .
- Метод замены для решения Систем из Уравнения — это способ упростить систему из Уравнения , выражая один переменный в терминах из , а один, а один, а другой — такого, что, следовательно, — — — — — — — — — — — — . из уравнения .
- В первые уравнение , решить для одного из переменных в членов из других.
- Продолжайте, пока не сведете систему к одному линейному уравнению .
- Мы начнем с решения первого уравнения , чтобы мы могли выразить x через терминов из y.
Что такое уравнение?
- Во многих случаях уравнение содержит одну или несколько переменных .
- Например, $x + y + 7 = 13$ — это уравнение в двух переменных .
- Однако этот урок посвящен исключительно уравнениям в одной переменной .
- Значения из переменных , которые делают уравнение истинным, являются решениями из уравнения .
- Объясните, что такое уравнение в одна переменная представляет и причины использования одной
приложений
- Кинематика — раздел классической механики, описывающий движение точек, тел (объектов) и систем тел (групп объектов) без учета 8 причин движение.
- Обратите внимание, что четыре кинематических уравнения включают пять кинематических переменных : $d$, $v$, $v_0$, $a$ и $t$.
- Каждое из этих уравнений содержит только четыре из пяти переменных и имеет другую пропущенную.
- Это говорит нам о том, что нам нужны значения из трех переменных , чтобы получить значение из четвертого, и нам нужно выбрать уравнение , содержащее три известных переменных и одна неизвестная переменная для каждой конкретной ситуации.
- Выберите, какую кинематику уравнение использовать в задачах в начальное начальное положение которых равно нулю
- Кинематика — раздел классической механики, описывающий движение точек, тел (объектов) и систем тел (групп объектов) без учета 8 причин движение.
Метод ликвидации
- Метод исключения используется для исключения переменной в для более простого решения оставшейся переменной (s) в системе из уравнений .
- Метод исключения для решения систем из уравнений , также известный как исключение путем сложения, является способом исключения одной из переменных в системы 5 для более простого решения оценить оставшуюся переменную .
- Сначала выровняйте переменных так, чтобы уравнения можно легко сложить вместе в на более позднем этапе:
- Затем посмотрите, не настроены ли какие-либо из переменных в таким образом, что их сложение аннулирует их из система .
- Всегда важно проверить ответ, подставив оба из этих значений в для соответствующих переменных в одно из уравнения .
- Метод исключения используется для исключения переменной в для более простого решения оставшейся переменной (s) в системе из уравнений .
Solving Systems of Linear Equations in Three Variables
- Expression
- Equation
- Inequality
- Contact us
- Simplify
- Factor
- Expand
- GCF
- LCM
- Solve
- Graph
- System
- Solve
- Graph
- System
- Математический решатель на вашем сайте
В этом разделе мы используем исключение переменных для
решать системы уравнений с тремя переменными.
Определение
Уравнение 5x — 4y = 7 называется линейным уравнением с двумя переменными , потому что его график представляет собой прямую линию. Уравнение 2x + 3y — 4z = 12 аналогично по форме, поэтому это линейное уравнение с тремя переменными . Уравнение с тремя переменными изображено на трехмерная система координат. График линейного уравнения с тремя переменными это плоскость, а не линия. В этом тексте мы не будем рисовать уравнения с тремя переменными, но мы можем решать системы без построения графиков. В общем делаем следующее определение.
Линейное уравнение с тремя переменными
Если A, B, C и D — действительные числа, причем A, B и C не все равны нулю, то Ax + By + Cz = D называется линейным уравнением с тремя переменными .
Решением уравнения с тремя переменными является упорядоченная тройка , такая как
(-2, 1, 5), где первая координата — это значение x, вторая координата — это
значение y, а третья координата является значением z.
Есть бесконечно много
решение линейного уравнения с тремя переменными.
Решением системы уравнений с тремя переменными является множество всех упорядоченных тройки, удовлетворяющие всем уравнениям системы.
Стратегия, которую мы используем для решения системы трех линейных уравнений в трех переменных формулируется следующим образом.
1. Используйте замену или сложение, чтобы исключить любую переменную из пары уравнений системы. Ищите переменную, которую проще всего исключить.
2. Исключить эту же переменную из другой пары уравнений системы.
3. Решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.
4. После того, как вы нашли значения двух переменных, подставьте в одну из них исходные уравнения, чтобы найти значение третьей переменной.
5. Проверьте три значения во всех исходных уравнениях.
Пример
Использование сложения и замены
Решить систему:
| (1) | х | + у | = 4 | |
| (2) | 2x | -3з | = 14 | |
| (3) | 2г | + г | = 2 |
Раствор
Из уравнения.
(1) получаем у = 4 — х. Если мы подставим y = 4 — x в уравнение. (3), тогда
уравнения (2) и (3) будут уравнениями, включающими только x и z.
| (3) | 2 года + я | = 2 | |
| 2(4 — х) + z | = 2 | Заменить у на 4 — х. | |
| 8 — 2x + г | = 2 | Упростить. | |
| (4) | -2x + г | = -6 |
Теперь решите систему, состоящую из уравнений. (2) и (4) добавлением:
| 2x — 3z -2x + г | = 14 = -6 | Уравнение (2) экв. |
