Делители и кратные. Признаки делимости
Делители и кратные. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10
План урока:
- Делители и кратные
- Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
- Признаки делимости на 9 и на 3
Цели урока:
- Знать понятия «делитель», «кратное», признаки делимости чисел
- Уметь находить делители и кратные числа, определять делимость числа на 2, 3, 5, 9 и 10
Разминка
- Как называются компоненты умножения?
- Как называются компоненты деления?
- Назовите число, на которое разделится любое натуральное число без остатка.
Делители и кратные
Самый первый знак деления, скорее всего, знак «/». Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде Clavis Mathematicae (1631, Лондон). Немецкий математик Лейбниц предпочитал двоеточие «:». Этот символ он использовал впервые в 1684 году в своём труде Acta eruditorum.
С делением связывают компоненты: делимое, делитель и частное. Сегодня мы познакомимся с ещё одним понятием — кратное.
Понятия кратного и делителя
Натуральное число a делится нацело на натуральное число b, если найдётся натуральное число c такое, что справедливо равенство
a = b · c
Если одно натуральное число делится нацело на другое натуральное число, то первое число называют кратным второму числу, а второе число называют делителем первого числа.
Для любого натурального числа a каждое из чисел a · 1; а · 2; а · 3; … является кратным числа a.
Заметим, что число 15 делится без остатка на 5.
В этом случае говорят, что 15
делится нацело
на 5, 15
кратно
5. Число 5 называют
делителем
числа 15, а число 15 —
кратным
числа 5. Символ «⋮» обозначает понятие кратности. Пишут 15 ⋮ 5.
Пример 1
Выпишите делители числа 24 и 5 чисел, кратных числу 24.
Решение
1) Чтобы найти делители числа 24, необходимо выбрать натуральные числа от 1 до 24, на которые число 24 делится без остатка.
Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
2) Чтобы найти кратные числа 24, нужно выписать числа, которые делятся на 24. Для этого умножим число 24 на 1, 2, 3, 4 и 5.
24·1=24; 24·2=48; 24·3=72; 24·4=96; 24·5=120.
Кратные 24: 24, 48, 72, 96, 120.
Ответ: Делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24;
Кратные 24: 24, 48, 72, 96, 120.
Заметим, что любое натуральное число делится на 1 и само на себя, то есть имеет как минимум 2 делителя (кроме числа 1, у него 1 делитель): 1 — наименьший делитель числа, само число — наибольший делитель.
Среди чисел, кратных a, наибольшего нет, а наименьшее — само число a.
Количество делителей числа конечно, а количество кратных — бесконечно, как и сам ряд натуральных чисел.
Если рассмотреть кратность суммы чисел a и b на число c, то можно выделить 3 варианта:
1) Если одно из слагаемых кратно с, то сумма не будет кратна с.
4 + 5; 4 делится на 2, 5 не делится на 2, значит, 4 + 5 не делится на 2.
2) Если оба слагаемых не кратны с, то сумма может быть кратным с
, а может не быть кратным с.4 + 5; 4 не делится на 3, 5 не делится на 3, но 4 + 5 = 9, и 9 делится на 3.
4 + 7; 4 не делится на 3, 7 не делится на 3, 4 + 7 = 11, и 11 не делится на 3.
3) Если оба слагаемых кратны с, то и сумма этих чисел будет кратна с.
4 + 6; 4 делится на 2, 6 делится на 2, значит, и сумма 4 + 6 делится на 2.
Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Признак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится нацело на 10.
Если запись натурального числа не оканчивается цифрой 0, то это число не делится нацело на 10.
Эти два утверждения называют признаком делимости на 10.
Число 145 не делится на 10, так как не оканчивается цифрой 0.
145 = 14 · 10 + 5
Заметим, что если натуральное число разделить на 10, то остаток будет равен числу, записанному последней цифрой делимого.
Числа, которые делятся нацело на 2, называют чётными . А те, которые не делятся нацело на 2, — нечётными .
Например, число 36 — чётное, т. к. оно делится на 2.
36 : 2=18
Число 37 — нечётное, т. к. оно не делится нацело на 2.
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными , а 1, 3, 5, 7 и 9 — нечётными .
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число делится нацело на 2.
Если запись натурального числа оканчивается нечётной цифрой, то это число не делится нацело на 2.
Число 37 не делится на 2, так как оканчивается нечётной цифрой 7.
37 = 18 · 2 + 1. Заметим, что все нечётные числа при делении на 2 дают в остатке 1.
Рассмотрим произведения числа 5 на нечётные числа:
5 · 3 = 15; 5 · 9 = 45; 5 · 11 = 55
Во всех случаях произведение оканчивается на цифру 5.
Если найти произведение 5 на чётные числа:
5 · 4 = 20; 5 · 8 = 40; 5 · 20 = 100, то можно заметить, что все произведения оканчиваются на цифру 0.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 5 или 0, то это число делится нацело на 5.
Если запись натурального числа не оканчивается цифрой 5 или 0, то это число не делится нацело на 5.
Признаки делимости на 9 и на 3
Признаки делимости на 9
Если сумма цифр числа делится нацело на 9, то само число делится нацело на 9.
Если сумма цифр числа не делится нацело на 9, то и само число не делится нацело на 9.
Проверим, делится ли число 1944 на 9.
1 + 9 + 4 + 4 = 18. 18 делится на 9, значит, и 1944 делится на 9.
Признаки делимости на 3
Если сумма цифр числа делится нацело на 3, то само число делится нацело на 3.
Если сумма цифр числа не делится нацело на 3, то и само число не делится нацело на 3.
Проверим, делится ли число 147 на 3.
1 + 4 + 7 = 12. 12 делится на 3, значит, и 147 делится на 3.
Упражнения
1. Как называется натуральное число b, которое делится без остатка на число а?
2. Выпишите:
а) из чисел 0, 1, 3, 5, 10, 15 делители числа 15;
б) из чисел 0, 1, 2, 4, 7, 14 числа, кратные числу 2.
3. Запишите:
а) все делители числа 18;
б) первые пять чисел, кратных числу 3.
4. Сколько делителей и сколько кратных имеет число 11?
5. Докажите, что число 4578 кратно числу 327, а число 583 является делителем числа 13 992.
Контрольные вопросы
1. Что такое кратное?
2. Что обозначает выражение «16 кратно 4»?
3. Сколько делителей имеет число 1?
4. Сформулируйте признак делимости на 2.
5. Какие числа называются нечётными?
6. Сформулируйте признак делимости на 5 и на 10.
7. Все ли числа, кратные 10, будут кратны и 5?
8. Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9.
9. Все ли числа, кратные 3, будут кратны и 9?
Ответы
1. Кратное числу а.
2. а) 1, 3, 5, 15; б) 2, 4, 14.
3. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15.
4. 2 делителя, бесконечное количество кратных.
5. 4578 : 327 = 14, значит, 4578 кратно 327.
13992 : 583 = 24, значит, 583 — делитель числа 13 992.
Издательство H&H | Онлайн-курсы по математике
H&H Publishing | Онлайн-курсы по математикеАрифметика
Арифметика. Индивидуальный подход может использоваться учащимися, нуждающимися в полном курсе арифметики, или теми, у кого есть пробелы в знаниях, которые постоянно мешают прогрессу в изучении математических курсов помимо арифметики.
Инструкция содержит все темы, подробно объясненные и многочисленные примеры. Тем не менее, презентация предназначена для тех, кто старше младшего школьного возраста. Взрослые особенно найдут презентацию на своем уровне зрелости. Каждая единица материала заканчивается упражнением, специально разработанным для оценки степени усвоения целей. Студент всегда информируется о любых навыках, которые он не освоил.
Рассматриваемые темы:
- целые числа
- дроби
- десятичных знаков
- процентов
- соотношение и пропорции
Prices
- $2000,00 Годовая лицензия для учреждения
(Позволяет неограниченному количеству студентов в вашем кампусе иметь доступ к материалам в течение одного года) - $95.00 Студенческая покупка
(позволяет одному учащемуся неограниченное использование материалов в течение одного года)Купить сейчас
Алгебра для начинающих
Это первый курс алгебры для тех, у кого нет предыдущего опыта в предмете или для тех, кому необходимо изучить предмет должным образом с самого начала.
Он особенно подходит в качестве альтернативного варианта для студентов колледжей, проходящих курсы повышения квалификации по математике, поскольку он содержит язык, навыки и концепции для успешного перехода к математике в колледже. Тем не менее, он также подходит в качестве домашнего школьного курса по алгебре средней школы I. Каждая цель подробно объясняется и разрабатывается. Многочисленные примеры иллюстрируют концепции и процедуры. Студентам предлагается работать с частичными примерами. Каждый блок заканчивается упражнением, специально разработанным для оценки степени усвоения целей. Студент всегда информируется о любых навыках, которые он не освоил.
Темы:
- операции с числами со знаком
- рациональных чисел
- основные упрощения
- процентов
- решение линейных уравнений с решениями в рациональных числах
Prices
- $2000,00 Годовая лицензия для учреждения
(Позволяет неограниченному количеству студентов в вашем кампусе иметь доступ к материалам в течение одного года) - $95.
(позволяет одному учащемуся неограниченное использование материалов в течение одного года)Купить сейчас
Элементарная алгебра
Элементарная алгебра. Индивидуальный подход — это полная система обучения для второго курса алгебры. Он предназначен для учащихся 8-х классов и старше, обладающих знаниями, содержащимися в курсе «Алгебра для начинающих». Каждая цель подробно объясняется и разрабатывается. Многочисленные примеры иллюстрируют концепции и процедуры. Студентам предлагается работать с частичными примерами. Каждый блок заканчивается упражнением, специально разработанным для оценки степени усвоения целей. Студент всегда информируется о любых навыках, которые он не освоил.
Затронутые темы:
- целочисленные показатели степени
- одновременных уравнений, решенных графически, сложением или заменой
- сложение, вычитание, умножение и деление многочленов
- факторинговые полиномы
- полиномиальные дроби
- квадратные уравнения
- иррациональные числа
Цены
- $2000. 00 Институциональная годовая лицензия на сайт
(Позволяет неограниченному количеству студентов в вашем кампусе получить доступ к материалам в течение одного года) - $95.00 Студенческая покупка
(позволяет одному учащемуся неограниченное использование материалов в течение одного года)Купить сейчас
00 Институциональная годовая лицензия на сайт Алгебра среднего уровня
Этот курс предполагает определенный уровень владения начальной и элементарной алгеброй. Каждая новая тема вводится с кратким обзором необходимых знаний из предыдущих курсов, но обзор предназначен только для повторения. Каждая цель подробно объясняется и разрабатывается. Многочисленные примеры иллюстрируют концепции и процедуры. Студентам предлагается работать с частичными примерами. Каждый блок заканчивается упражнением, специально разработанным для оценки степени усвоения целей. Студент всегда информируется о любых навыках, которые он не освоил.
Темы:
- Упрощение подкоренных выражений и дробей
- степени рационального числа
- многочленов
- решение уравнения
- неравенства и абсолютные значения
- линейные функции
- квадратичные функции и соотношения (коники)
- системы уравнений
Цены
- $2000.00 Институциональная годовая лицензия на сайт
(Позволяет неограниченному количеству студентов в вашем кампусе получить доступ к материалам в течение одного года) - $95.00 Студенческая покупка
(позволяет одному учащемуся неограниченное использование материалов в течение одного года)Купить сейчас
Тригонометрия
Тригонометрия. Индивидуальный подход — это система обучения для современного курса тригонометрии. Он предназначен для студентов, успешно окончивших начальный, элементарный и средний курсы алгебры.
В инструкции особое внимание уделяется круговым функциям. Другие темы развиваются из основных шести круговых функций. Каждая цель курса подробно объясняется и разрабатывается. Многочисленные примеры иллюстрируют каждую концепцию и процедуру. Участие студента гарантировано, так как презентация приглашает студента работать с частичными примерами. Каждая единица материала заканчивается упражнением, специально разработанным для оценки степени усвоения целей и поощрения повторного изучения любых навыков, которые не были освоены.
Рассматриваемые темы:
- Функция упаковки
- Круговые функции
- удостоверений
- инверсия и решение уравнений
- треугольник Тригонометрия
- тем для исчисления
Цены
- $2000,00 Покупка для студентов
(Позволяет неограниченному количеству студентов в вашем кампусе получить доступ к материалам в течение одного года) - $95.00 Студенческая покупка
(позволяет одному учащемуся неограниченное использование материалов в течение одного года)Купить сейчас
PreCalculus
PreCalculus, индивидуальный подход — это система обучения для студентов, планирующих пройти курс исчисления.
Он предназначен для студентов, успешно завершивших два года обучения алгебре и тригонометрии. Инструкция подчеркивает функции в различных обстоятельствах. Каждая цель курса подробно объясняется и разрабатывается. Многочисленные примеры иллюстрируют каждую концепцию и процедуру. Участие студента гарантировано, так как презентация приглашает студента работать с частичными примерами. Каждая единица материала заканчивается упражнением, специально разработанным для оценки степени усвоения целей и поощрения повторного изучения любых навыков, которые не были освоены.
Темы:
- наборы и настоящие числа
- уравнений и неравенств
- многочленов
- решение полиномиальных уравнений
- функций
- базовые навыки построения графиков
- графическое отображение полиномиальных и рациональных функций
- коники
- экспоненциальные и логарифмические функции
- системы уравнений
Prices
- $2000. 00 Годовая лицензия для учреждения
(Позволяет неограниченному количеству студентов в вашем кампусе иметь доступ к материалам в течение одного года) - $95.00 Студенческая покупка
(позволяет одному учащемуся неограниченное использование материалов в течение одного года)Купить сейчас
00 Годовая лицензия для учреждения Дифференциальное исчисление
Дифференциальное исчисление. Индивидуальный подход обучает основным понятиям и навыкам первого курса исчисления в колледже. Зачисленные студенты должны были пройти курс алгебры, в котором особое внимание уделяется функциям и обозначениям функций, потому что они требуются для самого исчисления. В результате этот курс готовит студента к концепциям, навыкам и пониманию традиционного первого курса колледжа по математическому анализу. Акцент в представлении всех тем является интуитивной основой для понимания исчисления и применения этого понимания к множеству повседневных проблем, решение которых зависит от исчисления.
Упражнения и викторины предназначены для того, чтобы учащийся мог следить за своим прогрессом, полагая, что мудрое поведение всегда обеспечит полное понимание, прежде чем продолжить. Студент несет ответственность за работу в своем лучшем темпе, чтобы обеспечить полное обучение.
Темы:
- функции
- предел функции в точке
- поиск производных
- приложений дифференциального исчисления
Prices
- $2000,00 Годовая лицензия для учреждения
(Позволяет неограниченному количеству студентов в вашем кампусе иметь доступ к материалам в течение одного года) - $95.00 Студенческая покупка
(позволяет одному учащемуся неограниченное использование материалов в течение одного года)Купить сейчас
Алгебра: от элементарного до продвинутого — уравнения и неравенства
Об этом курсе
47 981 недавних просмотров
предварительное исчисление, исчисление, вероятность и статистика.
Этот курс поможет укрепить ваши вычислительные методы, просмотреть алгебраические формулы и свойства и применить эти концепции к моделированию реальных ситуаций. Этот курс предназначен для любого студента, который будет использовать алгебраические навыки в будущих курсах математики. Темы включают: действительные числа, равенства, неравенства, многочлены, рациональные выражения и уравнения, графики, отношения и функции, радикалы и показатели степени, а также квадратные уравнения.
Гибкие сроки
Сброс сроков в соответствии с вашим графиком.
Общий сертификатОбщий сертификат
Получите сертификат по завершении
100% онлайн100% онлайн
Начните сразу и учитесь по собственному графику.
СпециализацияКурс 1 из 3 в
Алгебра: от начального до продвинутого уровня специализации
Начальный уровеньНачальный уровень
Часов для завершенияПрибл. 10 часов, чтобы закончить
Доступные языкиАнглийский
Субтитры: Английский
Гибкие срокиГибкие сроки
Сброс сроков в соответствии с вашим графиком.
Общий сертификат
Получите сертификат по завершении
100% онлайн100% онлайн
Начните сразу и учитесь по собственному графику.
СпециализацияКурс 1 из 3 в
Алгебра: от начального до продвинутого уровня специализации
Начальный уровеньНачальный уровень
Часов до завершенияПрибл. 10 hours to complete
Available languages English
Subtitles: English
Instructor
Joseph W. Cutrone, PhD
Top Instructor
Associate Teaching Professor and Director of Online Programs
Mathematics
53,291 Learners
16 Курсы
Предлагает
Университет Джона Хопкинса
Миссия Университета Джонса Хопкинса состоит в том, чтобы обучать своих студентов и развивать их способности к обучению на протяжении всей жизни, поощрять независимые и оригинальные исследования и приносить миру пользу от открытий.
Reviews
4.8
Filled StarFilled StarFilled StarFilled StarFilled Star87 reviews
5 stars
85.88%
4 stars
11.41%
3 stars
1,20%
2 Звезды
0,30%
1 Звезда
1,20%
Верхние обзоры от Algebra: Elementarary до Advanced — Уравнения и неравенство
заполненные звезды Star , 2022Преподаватель фантастический, преподносит информацию четко и в очень хорошем для меня темпе.
Заполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗвездаот JTS24 сентября 2021 г.
Легко понять, было бы 5 звезд, если бы только было больше примеров вопросов для практики.
Заполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаЗаполненная звездаот JHS1 сентября 2021 г.
Отличные объяснения со сложными примерами задач.