Решение уравнения 3 степени – Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

р₃(х) = х³+2х²-9х-18 = 0

р₃(-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р₂(х) = х² -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х₁= -1; х₂ =-2; х₃ =-3; х₄ =-4

Составить уравнение

-b=-10;b=10

с=35

-d= -50; d=50

е=24

х⁴+ 10х³ + 35х² + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

p₄ (1)≠0

р₄ (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р₃(х) = x-³ + 9х² + 26x+ 24 = 0

p₃(-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р₂(х) = x² + 7x+ 12 = 0

Д=49-48=1

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х₁ = 1; х₂ = 1; х₃ = -3; х₄ = 8

Составить уравнение

-b=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

-d=-3-24+8-24= -43; d=43

е= -24

х⁴ — 7х³— 13х² + 43x — 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -24.

р = +1;±2;±3                                                                    

р₄(1)=1-7-13+43-24=0

р₃(1)=1-6-19+24=0                  

р₂(x)= х² -5x — 24 = 0

х₃=-3, х₄=8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х³ + 3х² + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

Решение:

R=Р₃(-1)=-1+3-m-15=0

-m- 13=0

m=-13

х³ + 3х² -13х — 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х₁ = — 1; Д=1+15=16

Р₂(х) = х²+2х-15 = 0

х₂=-1-4 = -5;

х₃=-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. ( Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х³ — 3х² + ах — 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р₃(1) = Р₃(-2)

Р₃(1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р₃(-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

4-a=-14-a

3a=-18

a=-6

x³ -Зх² -6х + 12 + 6 = х³ -Зх² -6х + 18

x²(x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х²-6) = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

х₁=3 или х² — 6 = 0

;

Ответ: -; ; 3 (Произведение 18) (Й)

4. Домашнее задание

1. Решить уравнение х³ — (2а + 1)х² + (а² + а)х — (а² — а) = 0 , где а — параметр.

Решение:

Подбором находим х₁ = 1 корень, а — любое число.

Р₃ (1)=1-2а-1+ а²+а-а² =0

Р₂(х) = х² -2ах+(а² – а)=0

Р₂(х) = 0;Д = а² -а² +а = а, Д >0

1)если а<0, то корней нет

2) а>0, х₂ = а — √а; х₃ = а + √а

3) а=0, х² -0*х² +0 = 0; х² =0; х₄=0

Ответ:

а<0; х=1

а=0; х=0; х=1

а>0; х=1; х=а ± √а

2. Составить уравнение

1 группа. Корни: -4; -2; 1; 7;

2 группа. Корни: -3; -2; 1; 2;

3 группа. Корни: -1; 2; 6; 10;

4 группа. Корни: -3; 2; 2; 5;

5 группа. Корни: -5; -2; 2; 4;

6 группа. Корни: -8; -2; 6; 7.

urok.1sept.ru

Как решать уравнение третьей степени 🚩 Математика

17 мая 2011

Автор КакПросто!

Уравнения третьей степени еще называют кубическими уравнениями. Это уравнения, в которых старшей степенью при переменной x является куб (3).

Статьи по теме:

Инструкция

Теперь, чтобы получить при y³ единичный коэффициент, делим все уравнение на a. Тогда получим следующие формулы для коэффициентов p и q в уравнении y³ + py + q = 0.

Затем вычисляем специальные величины: Q, α, β, которые позволят вычислить корни уравнения с y.

Тогда три корня уравнения y³ + py + q = 0 вычисляются по формулам на рисунке.

После нахождения y1, y2 и y3 подставьте их в замену x = y — b/3a и найдите корни первоначального уравнения.

Полезный совет

Если удается подобрать один из корней кубического уравнения x1, то можно кубический многочлен разделить на (x — x1) и решать получившееся квадратное уравнение.

Источники:

• Метод решения кубического уравнения
• уравнение 3 степени

Совет полезен?

Распечатать

Как решать уравнение третьей степени

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

§7. Уравнения третьей степени.

Уравнение третьей степени x³+ax²+bx+c=0 (1) подстановкойx=y–приводится кприведенному кубическому уравнению y³+py+q=0. (2) Корни такого уравнения можно найти по формулам Кардано:y=u+v=, (3) гдеu=,v=и они связаны соотношениемuv=. (4) С учётом (4) формулу Кардано (3) можно использовать и в таком виде:y=u, гдеu=. (5) Здесь можно брать любое (одно из двух) значение квадратного корня; три значе­ния кубического корня дают три корня приведенного уравнения (2). Заметим, чтоu0, еслиp0; еслиp=0, то никакая специальная формула не нужна (имеемдву­членное уравнение).

Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по сути повторяющим вывод формул Кардано. Чтобы найти корни уравнения (2) (считаем р0), пологаяy=u+v, подставляем его в уравнение: (u+v)³+p(u+v)+q=0. Раскрыв скобки, и перегруппировав члены, получим: (u³+v³+q)+( 3uv+p)(u+v)=0. Для уничтожения второго слагаемого подберёмu, vтак, чтобы 3uv+p=0 илиuv=. Тогда уравнение (2) приводится к системе уравнений:Замечаем, чтоu³,v³– корни квадратного уравненияz²+qz=0.

Затем, выбираем один (любой) корень z₁этого квадратного уравнения. Бе­рём в качествеu₁одно (любое) значение кубического корня изz₁и вычисляем корни кубического уравнения (1) по следующей схеме: u₁, v₁=,y₁=u₁+v₁,x₁=y₁–;u₂= u₁₁, v₂= v₁₂,y₂=u₂+v₂,x₂=y₂–;u₃= u₁₂, v₃= v₁₁,y₃=u₃+v₃,x₃=y₃–; где_1,2= невещественные кубические корни из единицы. Заметим, что₂=(₁)²=и₁=(₂)²=, это позволяет варьировать нахождениеu₂, v₂, u₃, v₃.

При исследовании уравнений третьей степени используют теорему:

Теорема. Пустьx³+px+q=0 неполное кубическое уравнение с действи­тельными коэффициентами. Обозначим ∆=.

1. Если ∆>0, то уравнение имеет один действительный и два мнимых со­пряжённых корня.

2. Если ∆=0, то корни уравнения действительны и хотя бы один из них кратный.

3. Если ∆<0, то все корни действительны и различны.

Если не все коэффициенты уравнения (2) действительны, то для упроще­ния вычислений можно вычислить ∆. Если ∆=0 (p0,q0), тогда уравнение (2) имеет два равных корняy₂=y₃, и в этом случае корни уравнения (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степени, а именноy₁=; y₂=y₃=. (6) Если же ∆0, то уравнение (2) имеет три различных корня, для нахождения кото­рых, используют один из вышеописанных способов.

Пример 1. Решить уравнение:

x³–6x+9=0.

Решение.Уравнение приведенное (отсутствует член сx²). Используем модифицированную формулу Кардано (5): ∆===>0.(берём только одно значение квадратного корня). Тогдаu=. Одно из значенийестьu₁=–1, ещё два значения получим, умножаяu₁на_1,2 – кубические корни из единицы. Итак, u₁=–1 , x₁= u₁–=–1–=–3; u₂= u₁₁=–₁, x₂= u₂–=–₁+=–₁–2/₁= =–₁–2₂=. Так как коэффициенты данного уравнения действительны и ∆>0, тоx₃=(x₃не нужно вычислять по формуле).

Ответ:x₁=–3, x₂,₃=.

Пример 2. Решить уравнение:x³+9x²+18x+28=0.

Решение. Сделаем подстановкуx=y–=y–3. Получим уравнениеy³–9y+28=0. Полагаемy=u+v: (u+v)³–9(u+v)+28=0, (u³+v³+28)+(3uv–9)(u+v)=0. Откуда, или, гдеu³,v³– корни квадратного урав­ненияz²+28z+27=0.

Один из корней последнего уравнения z₁=–1, тогдаu₁=–1, v₁==–3,y₁=–4,x₁=–7;u₂= u₁₁=,v₂= v₁₂=,y₂=,x₂=; Поскольку коэффициенты уравнения действительны и ∆>0, тоx₃=.

Ответ: x₁=–7, x₂,₃=.

Пример 3. Решить уравнение:x³+3x–2i=0.

Решение. Данное уравнение приведенное, и не все его коэффициенты дей­ствительны, поэтому вычислим ∆. ∆===–1+1=0 Таким образом корни уравнения можно вычислить по формулам (6).x₁==; x₂=x₃==.

Ответ: x₁=–2i, x₂,₃=i.

Пример 4. Решить уравнение:x³–3abx+ a³+b³=0

Решение. Пологаяx=u+v, получим (u+v)³–3ab(u+v)+ a³+b³=0 или (u₃+v₃+ a³+b³)+(3uv–3ab)(u+v)=0. ОткудаОдно из решений последней системы

Тогда u₁=–a, v₁=–b, x₁=–a–b; u₂= u₁₁=, v₂= v₁₂=, x₂=.

Ответ: x₁=–a–b, x₂,₃=.

Замечание: При выписывании ответа воспользовались тем, что при веще­ственныхa,bне надо вычислять x₃. Но если выписанное значениеx₃есть корень уравнения при (любых) вещественныхa иb, то ясно, чтоx₃ будет корнем при лю­быхa,b.

Для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

1. x³+6x²–12x+32=0

2. x³+9x²–18x+44=0

3. x³–3x²–6x+36=0

4. x³–12x²+24x–40=0

5. x³–6ix+4(1–i)=0

6. x³+(3–3i)x–9=0

7. x³+3ax+1–a³=0

Ответы:

1. (–8; )

2. (–11; )

3. (–3; )

4. (10; )

5. (2+2i; –1–i; –1–i)

6. (i;

7. (a–1;

studfiles.net