Решение уравнения 3 степени – Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

Решение уравнений 3-й и 4-й степеней

Цели:

  1. Систематизировать и обобщить знания и умения по теме: Решения уравнений третьей и четвертой степени.
  2. Углубить знания, выполнив ряд заданий, часть из которых не знакома или по своему типу, или способу решения.
  3. Формирование интереса к математике через изучение новых глав математики, воспитание графической культуры через построение графиков уравнений.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: графопроектор.

Наглядность: таблица «Теорема Виета».

Ход урока

1. Устный счет

Вопросы:

а) Чему равен остаток от деления многочлена рn (х) = аnхn + аn-1хn-1 + ... + а1х1 + a0на двучлен х-а?

б) Сколько корней может иметь кубическое уравнение?              

в) С помощью чего мы решаем уравнение третьей и четвертой степени?

г) Если b четное число в квадратном уравнение, то чему равен Д и х

1;х2

2. Самостоятельная работа (в группах)

Составить уравнение, если известны корни (ответы к заданиям закодированы) Используется «Теорема Виета»

3

2

-4

8

-18

7

1

-1

-10

-5

ы

п

ф

р

й

л

0

н

и

ь

1 группа

Корни: х1 = 1; х2 = -2; х3 = -3; х4 = 6

Составить уравнение:

- b=1 -2-3+6=2; b=-2

с=-2-3+6+6-12-18= -23; с= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

е=1(-2)(-3)6=36

х4 - 2 х3 - 23х2 - 12 х + 36 = 0 (это уравнение решает потом 2 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 36.

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

р4(1)=1-2-23-12+36=0 Число 1 удовлетворяет уравнению, следовательно, =1 корень уравнения. По схеме Горнера

 

1

-2

-23

-12

36

1

1

-1

-24

-36

0

-2

1

-3

-18

0

 

р3(x) = х32 -24x -36

р3(-2) = -8 -4 +48 -36=0, х2=-2

р2(x) = х2 -3х -18=0

х3=-3, х4=6

Ответ: 1;-2;-3;6 сумма корней 2 (П)

2 группа

Корни: х1 = -1; х2 = х3 =2; х4

=5

Составить уравнение:

- b=-1+2+2+5-8; b= -8

с=2(-1)+4+10-2-5+10=15; с=15

-d=-4-10+20-10= -4; d=4

е=2(-1)2*5=-20;е=-20

-8+15+4х-20=0 (это уравнение решает на доске 3 группа)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

 

1

-8

15

4

-20

-1

1

-9

24

-20

0

2

1

-7

10

0

 

р4(1)=1-8+15+4-20=-8

р4(-1)=1+8+15-4-20=0

р3(x) = х3 -9х2 +24x -20

р3(2) = 8 -36+48 -20=0

р2(x) = х2 -7х +10=0 х1=2; х2=5

Ответ: -1;2;2;5 сумма корней 8(Р)

3 группа

Корни: х1 = -1; х2 =1; х3 =-2; х4 =3

Составить уравнение:

-в=-1+1-2+3=1;в=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

-d=2+6-3-6=-1; d=1

е=-1*1*(-2)*3=6

х4 - х3 - 7х2 + х + 6 = 0 (это уравнение решает потом на доске 4 группа)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 6.

р = ±1;±2;±3;±6

 

1

-1

-7

1

6

1

1

0

-7

-6

0

1

1

-1

-6

0

 

р4(1)=1-1-7+1+6=0

р3(x) = х3 - 7x -6

р3(-1) = -1+7-6=0

р2(x) = х2 -х -6=0; х1=-2; х2=3

Ответ:-1;1;-2;3 Сумма корней 1(О)

4 группа

Корни: х1 = -2; х2 =-2; х

3 =-3; х4 =-3

Составить уравнение:

-b=-2-2-3+3=-4; b=4

с=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

-d=-12+12+18+18=36; d=-36

е=-2*(-2)*(-3)*3=-36;е=-36

х4 + 3 – 5х2 – 36х -36 = 0 (это уравнение решает потом 5 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -36

р = ±1;±2;±3…

 

1

4

-5

-36

-36

-2

1

2

-9

-18

0

-2

1

0

-9

0

 

р(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

р4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

р3(х) = х3+2х2-9х-18 = 0

р3(-2)= -8 + 8 + 18-18 = 0

р2(х) = х2 -9 = 0; x=±3

Ответ: -2; -2; -3; 3 Сумма корней-4 (Ф)

5 группа

Корни: х1= -1; х2 =-2; х3 =-3; х4 =-4

Составить уравнение

-b=-10;b=10

с=35

-d= -50; d=50

е=24

х4+ 10х3 + 35х2 + 50х + 24 = 0 (это уравнение решает потом 6группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа 24.

р = ±1;±2;±3

 

1

10

35

50

24

-1

1

9

26

24

0

-2

1

7

12

0

 

p4 (1)≠0

р4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

р3(х) = x-3 + 9х2 + 26x+ 24 = 0

p3

(-2) = -8 + 36-52 + 24 = О

р2(х) = x2 + 7x+ 12 = 0

Д=49-48=1

 

Ответ:-1;-2;-3;-4 сумма-10 (И)

6 группа

Корни: х1 = 1; х2 = 1; х3 = -3; х4 = 8

Составить уравнение

-b=1+1-3+8=7;b=-7

с=1 -3+8-3+8-24= -13

-d=-3-24+8-24= -43; d=43

е= -24

х4 - 7х3- 13х2 + 43x - 24 = 0 (это уравнение решает потом 1 группа на доске)

Решение. Целые корни ищем среди делителей числа -24.

 

1

-7

-13

43

-24

1

1

-6

-19

24

0

1

1

-5

-24

0

 

р = +1;±2;±3                                                                    

р4(1)=1-7-13+43-24=0

р3(1)=1-6-19+24=0                  

р2(x)= х2 -5x - 24 = 0

х3=-3, х4=8

Ответ: 1;1;-3;8 сумма 7 (Л)

3. Решение уравнений с параметром

1. Решить уравнение х3 + 3х2 + mх — 15 = 0; если один из корней равен (-1)

Ответ записать в порядке возрастания

Решение:

 

1

3

-13

-15

-1

1

2

-15

0

R=Р3(-1)=-1+3-m-15=0

-m- 13=0

m=-13

х3 + 3х2 -13х - 15 = 0; -1+3+13-15=0

По условию х1 = - 1; Д=1+15=16

Р2(х) = х2+2х-15 = 0

х2=-1-4 = -5;

х3=-1 + 4 = 3;

Ответ:- 1;-5; 3

В порядке возрастания: -5;-1;3. ( Ь Н Ы)

2. Найти все корни многочлена х3 - 3х2 + ах - 2а + 6, если остатки от его деления на двучлены х-1 и х +2 равны.

Решение: R=Р3(1) = Р3(-2)

Р3(1) = 1-3 + а- 2а + 6 = 4-а

Р3(-2) = -8-12-2а-2а + 6 = -14-4а

4-a=-14-a

3a=-18

a=-6

x3 -Зх2 -6х + 12 + 6 = х3 -Зх2 -6х + 18

x2(x-3)-6(x-3) = 0

(х-3)(х2-6) = 0

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

х1=3 или х2 - 6 = 0

;

Ответ: -; ; 3 (Произведение 18) (Й)

4. Домашнее задание

1. Решить уравнение х3 - (2а + 1)х2 + (а2 + а)х - (а2 - а) = 0 , где а - параметр.

Решение:

Подбором находим х1 = 1 корень, а - любое число.

Р3 (1)=1-2а-1+ а2+а-а2 =0

 

1

-2а-1

а²+а

-а²+а

1

1

-2а

а²-а

0

Р2(х) = х2 -2ах+(а2 – а)=0

Р2(х) = 0;Д = а22 +а = а, Д >0

1)если а<0, то корней нет

2) а>0, х2 = а - √а; х3 = а + √а

3) а=0, х2 -0*х2 +0 = 0; х2 =0; х4=0

Ответ:

а<0; х=1

а=0; х=0; х=1

а>0; х=1; х=а ± √а

2. Составить уравнение

1 группа. Корни: -4; -2; 1; 7;

2 группа. Корни: -3; -2; 1; 2;

3 группа. Корни: -1; 2; 6; 10;

4 группа. Корни: -3; 2; 2; 5;

5 группа. Корни: -5; -2; 2; 4;

6 группа. Корни: -8; -2; 6; 7.

urok.1sept.ru

Как решать уравнение третьей степени 🚩 Математика

Автор КакПросто!

Уравнения третьей степени еще называют кубическими уравнениями. Это уравнения, в которых старшей степенью при переменной x является куб (3).

Статьи по теме:

Инструкция

Кубическое уравнение в общем виде выглядит так: ax³ + bx² + cx + d = 0, a не равно 0; a, b, c, d - вещественные числа. Универсальным методом решения уравнения третьей степени является метод Кардано. Для начала приводим уравнение к виду y³ + py + q = 0. Для этого производим замену переменной x на y - b/3a. Подстановку замены смотрите на рисунке. Для раскрытия скобок используются две формулы сокращенного умножения: (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ и (a-b)² = a² - 2ab + b². Затем приводим подобные слагаемые и группируем по степеням переменной y.

Теперь, чтобы получить при y³ единичный коэффициент, делим все уравнение на a. Тогда получим следующие формулы для коэффициентов p и q в уравнении y³ + py + q = 0.

Затем вычисляем специальные величины: Q, α, β, которые позволят вычислить корни уравнения с y.

Тогда три корня уравнения y³ + py + q = 0 вычисляются по формулам на рисунке.

Если Q > 0, то уравнение y³ + py + q = 0 имеет только один вещественный корень y1 = α + β (и два комплексных, вычислите их по соответствующим формулам, если необходимо).
Если Q = 0, то все корни вещественны и по крайней мере два из них совпадают, при этом α = β и корни равны: y1 = 2α, y2 = y3 = -α.
Если Q

После нахождения y1, y2 и y3 подставьте их в замену x = y - b/3a и найдите корни первоначального уравнения.

Полезный совет

Если удается подобрать один из корней кубического уравнения x1, то можно кубический многочлен разделить на (x - x1) и решать получившееся квадратное уравнение.

Источники:

  • Метод решения кубического уравнения
  • уравнение 3 степени

Совет полезен?

Распечатать

Как решать уравнение третьей степени

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

§7. Уравнения третьей степени.

Уравнение третьей степени x3+ax2+bx+c=0 (1) подстановкойx=yприводится кприведенному кубическому уравнению y3+py+q=0. (2) Корни такого уравнения можно найти по формулам Кардано:y=u+v=, (3) гдеu=,v=и они связаны соотношениемuv=. (4) С учётом (4) формулу Кардано (3) можно использовать и в таком виде:y=u, гдеu=. (5) Здесь можно брать любое (одно из двух) значение квадратного корня; три значе­ния кубического корня дают три корня приведенного уравнения (2). Заметим, чтоu0, еслиp0; еслиp=0, то никакая специальная формула не нужна (имеемдву­членное уравнение).

Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по сути повторяющим вывод формул Кардано. Чтобы найти корни уравнения (2) (считаем р0), пологаяy=u+v, подставляем его в уравнение: (u+v)3+p(u+v)+q=0. Раскрыв скобки, и перегруппировав члены, получим: (u3+v3+q)+( 3uv+p)(u+v)=0. Для уничтожения второго слагаемого подберёмu, vтак, чтобы 3uv+p=0 илиuv=. Тогда уравнение (2) приводится к системе уравнений:Замечаем, чтоu3,v3– корни квадратного уравненияz2+qz=0.

Затем, выбираем один (любой) корень z1этого квадратного уравнения. Бе­рём в качествеu1одно (любое) значение кубического корня изz1и вычисляем корни кубического уравнения (1) по следующей схеме: u1, v1=,y1=u1+v1,x1=y1;u2= u11, v2= v12,y2=u2+v2,x2=y2;u3= u12, v3= v11,y3=u3+v3,x3=y3; где1,2= невещественные кубические корни из единицы. Заметим, что2=(1)2=и1=(2)2=, это позволяет варьировать нахождениеu2, v2, u3, v3.

При исследовании уравнений третьей степени используют теорему:

Теорема. Пустьx3+px+q=0 неполное кубическое уравнение с действи­тельными коэффициентами. Обозначим ∆=.

  1. Если ∆>0, то уравнение имеет один действительный и два мнимых со­пряжённых корня.

  2. Если ∆=0, то корни уравнения действительны и хотя бы один из них кратный.

  3. Если ∆<0, то все корни действительны и различны.

Если не все коэффициенты уравнения (2) действительны, то для упроще­ния вычислений можно вычислить ∆. Если ∆=0 (p0,q0), тогда уравнение (2) имеет два равных корняy2=y3, и в этом случае корни уравнения (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степени, а именноy1=; y2=y3=. (6) Если же ∆0, то уравнение (2) имеет три различных корня, для нахождения кото­рых, используют один из вышеописанных способов.

Пример 1. Решить уравнение:

x3–6x+9=0.

Решение.Уравнение приведенное (отсутствует член сx2). Используем модифицированную формулу Кардано (5): ∆===>0.(берём только одно значение квадратного корня). Тогдаu=. Одно из значенийестьu1=–1, ещё два значения получим, умножаяu1на1,2 – кубические корни из единицы. Итак, u1=–1 , x1= u1=1–=–3; u2= u11=–1, x2= u2=1+=–1–2/1= =–1–22=. Так как коэффициенты данного уравнения действительны и ∆>0, тоx3=(x3не нужно вычислять по формуле).

Ответ:x1=–3, x2,3=.

Пример 2. Решить уравнение:x3+9x2+18x+28=0.

Решение. Сделаем подстановкуx=y=y–3. Получим уравнениеy3–9y+28=0. Полагаемy=u+v: (u+v)3–9(u+v)+28=0, (u3+v3+28)+(3uv–9)(u+v)=0. Откуда, или, гдеu3,v3– корни квадратного урав­ненияz2+28z+27=0.

Один из корней последнего уравнения z1=–1, тогдаu1=–1, v1==–3,y1=–4,x1=–7;u2= u11=,v2= v12=,y2=,x2=; Поскольку коэффициенты уравнения действительны и ∆>0, тоx3=.

Ответ: x1=–7, x2,3=.

Пример 3. Решить уравнение:x3+3x–2i=0.

Решение. Данное уравнение приведенное, и не все его коэффициенты дей­ствительны, поэтому вычислим ∆. ∆===–1+1=0 Таким образом корни уравнения можно вычислить по формулам (6).x1==; x2=x3==.

Ответ: x1=–2i, x2,3=i.

Пример 4. Решить уравнение:x3–3abx+ a3+b3=0

Решение. Пологаяx=u+v, получим (u+v)3–3ab(u+v)+ a3+b3=0 или (u3+v3+ a3+b3)+(3uv–3ab)(u+v)=0. ОткудаОдно из решений последней системы

Тогда u1=–a, v1=–b, x1=a–b; u2= u11=, v2= v12=, x2=.

Ответ: x1=a–b, x2,3=.

Замечание: При выписывании ответа воспользовались тем, что при веще­ственныхa,bне надо вычислять x3. Но если выписанное значениеx3есть корень уравнения при (любых) вещественныхa иb, то ясно, чтоx3 будет корнем при лю­быхa,b.

Для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

  1. x3+6x2–12x+32=0

  2. x3+9x2–18x+44=0

  3. x3–3x2–6x+36=0

  4. x3–12x2+24x–40=0

  5. x3–6ix+4(1–i)=0

  6. x3+(3–3i)x–9=0

  7. x3+3ax+1–a3=0

Ответы:

  1. (–8; )

  2. (–11; )

  3. (–3; )

  4. (10; )

  5. (2+2i; –1–i; –1–i)

  6. (i;

  7. (a–1;

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *