Задачи по алгебре, арифметике и анализу.
Виктор Васильевич Прасолов
2005.
| |||||||||||
В книгу включены задачи по алгебре, арифметике и анализу, относящиеся к школьной программе, но, в основном, несколько повышенного уровня по сравнению с обычными школьными задачами. Есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназаначенных для учащихся математических классов. Сборник содержит более 1000 задач с полными решениями.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов пединститутов.
Содержание
Предисловие
Глава 1.
Квадратный трехчлен
1.1. Наименьшее значение квадратного трехчлена
1.2. Дискриминант
1.3. Разные задачи
1.4. Теорема о промежуточном значении
1.5. Уравнение касательной к конике
1.6. Результант
Решения
Глава 2. Уравнения
2.1. Замена переменных
2.2. Угадывание корней
2.3. Уравнения с радикалами
2.4. Разные уравнения
Решения
Глава 3. Системы уравнений
3.1. Нахождение всех решений
3.2. Нахождение вещественных решений
3.3. Положительные решения
3.4. Количество решений системы уравнений
3.5. Линейные системы уравнений
Решения
Глава 4. Делимость
4.1. Чёт и нечёт
4.2. Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
4.
4. Признаки делимости
4.5. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
4.6. Делимость нацело
4.7. Делимость на степень простого числа
4.8. Остатки от деления
4.9. Взаимно простые числа
4.10. Простые числа
4.11. Арифметика остатков
Решения
Глава 5. Тождества
5.1. Разложение на множители
5.2. Доказательство тождеств
5.3. Суммы квадратов
5.4. Вспомогательные тождества
5.5. Разложение рациональных функций
5.6. Разложение квадратичных функций
5.7. Тождества с целыми частями
Решения
Глава 6. Рациональные и иррациональные числа
6.2. Иррациональности в знаменателях
6.3. Тождества с радикалами
6.4. Доказательства иррациональности и рациональности
6.
5. Сопряжённые числа
6.6. Последовательность Фарея
6.7. Задачи с целыми частями
Решения
Глава 7. Текстовые задачи
7.1. Решения без вычислений
7.2. Вычисления
7.3. Неравенства
7.4. Целочисленные приближения
7.5. Соответствия
Решения
Глава 8. Неравенства
8.1. Неравенство x+1/x ≥ 2
8.2. Неравенство треугольника
8.3. Неравенство Коши
8.4. Монотонность
8.5. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
8.7. Циклические неравенства
8.8. Разные неравенства
8.9. Выпуклость
8.10. Неравенства Гёльдера и Минковского
Решения
Глава 9. Вычисление сумм и произведений
9.
1. Арифметическая и геометрическая прогрессии
9.2. Изменение порядка суммирования
9.3. Суммы Sk(n)=1k+2k+…+nk
9.4. Разбиение на пары
9.5. Вычисление одной суммы двумы способами
Решения
Глава 10. Многочлены I
10.1. Выделение полного квадрата
10.2. Корни многочленов
10.3. Коэффициенты многочлена
10.4. Теорема Виета
10.5. Делимость
10.7. Количество вещественных корней многочлена
10.8. Разные задачи
10.9. Интерполяционные многочлены
10.10. Рациональные функции
10.11. Целозначные многочлены
10.12. Многочлены от нескольких переменных
Решения
Глава 11. Тригонометрия
11.1. Неравенства и сравнение чисел
11.
2. Тригонометрические тождества
11.3. Уравнения
11.4. Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками
11.5. Вычисление сумм и произведений
11.6. Выражения для cos nφ и т.п.
11.7. Вспомогательные тригонометрические функции
11.8. Тригонометрические многочлены
Решения
Глава 12. Уравнения в целых числах
12.1. Пифагоровы тройки
12.2. Нахождение всех решений
12.3. Нахождение некоторых решений
12.4. Доказательство конечности числа решений
12.5. Уравнений Пелля
12.6. Уравнение Маркова
Решения
Глава 13. Индукция
13.1. Вычисление сумм
13.2. Неравенсвта
13.3. Доказательство тождеств
13.4. Разные задачи
Решения
Глава 14. Комбинаторика
14.
1. Элементы комбинаторики
14.2. Тождества для биномиальных коэффициентов
14.3. Формулы с биномиальными коэффициентами
14.4. Бином Ньютона в арифметике
14.5. Комбинаторика в арифметике
14.6. Неравенства для биномиальных коэффициентов
14.8. Формула включений и исключений
14.9. Аналоги биномиальных коэффициентов
14.10. Числа Каталана
14.11. Элементы теории вероятностей
Решения
Глава 15. Рекуррентные последовательности
15.1. Общие свойства
15.2. Числа Фибоначчи
15.3. Числа Фибоначчи и алгоритм Евклида
15.4. Числа Фибоначчи в комбинаторике
15.5. Специальные рекуррентные последовательности
Решения
Глава 16. Примеры и конструкции
16.1. Наборы чисел
16.
2. Бесконечные последовательности
16.3. Последовательности операций
16.4. Многочлены и рациональные функции
16.5. Разные примеры и конструкции
Решения
Глава 17. Принцип Дирихле. Правило крайнего
17.1. Остатки от деления
17.2. Последовательности
17.3. Разные задачи
17.4. Приближения иррациональных чисел рациональными
17.5. Правило крайнего
Решения
Глава 18. Инварианты и полуинварианты
18.1. Остатки от деления
18.2. Полуинварианты
18.3. Чётность перестановки
Решения
Глава 19. Логика
19.1. Логические задачи
19.2. Логические парадоксы
19.3. Логика высказываний
Решения
Глава 20. Стратегии. Турниры. Таблицы
20.1. Выбор стратегии
20.
2. Переливания
20.3. Турниры
20.4. Взвешивания
20.5. Таблицы
Решения
Глава 21. Системы счисления
21.1. Последние цифры
21.2. Первые цифры
21.3. Другие цифры
21.4. Сумма цифр
21.5. Разные задачи о десятичной записи
21.6. Репьюниты и периоды десятичных дробей
21.7. Определение d-ичной записи числа
21.8. Двоичная система
21.9. Другие системы счисления
21.10. Другие представления чисел
Решения
Глава 22. Графы
22.1. Обходы графов
22.2. Ориентированные графы
22.3. Паросочетания
Решения
Глава 23. Комплексные числа
23.1. Тождества и неравенства для комплексных чисел
23.2. Формула Муавра
23.3. Корни из единицы
23.
4. Корни многочленов
Глава 24. Уравнения, разрешимые в радикалах
24.1. Решение кубических уравнений
24.2. Дискриминант кубического многочлена
24.3. Решение уравнений 4-й степени
24.4. Другие уравнения, разрешимые в радикалах
Решения
Глава 25. Предел последовательности
25.1. Свойства пределов
25.2. Теорема Вейерштрасса
25.3. Вычисление пределов
25.4. Число е
25.5. Сопряжённые числа
25.6. Точная верхняя грань
Решения
Глава 26. Непрерывные и разрывные функции
26.1. Монотонные функции
26.2. Периодические функции
26.3. Предел функции
26.4. Непрерывность
26.5. Теорема о промежуточных значениях
26.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке
26.
26.8. Равномерная непрерывность
26.9. Функции ограниченной вариации
Решения
Глава 27. Логарифм и покаазтельная функция
27.1. Определение показательносй функции и логарифма
27.2. Показательная функция
27.3. Тождества для логарифмов
27.4. Неравенства и сравнения чисел
27.5. Иррациональность логарифмов
27.6. Некоторые замечательные пределы
27.7. Гиперболические функции
Решения
Глава 28. Производная
28.1. Определение производной
28.2. Производные элементарных функций
28.3. Кратный корень многочлена
28.4. Производная многочлена
28.5. Тождества
28.6. Касательная и нормаль
28.7. Функции, дифференцируемые на отрезке
28.8. Неравенства
28.9. Правило Лопиталя
28.
10. Количество корней уравнения
28.11. Периодические функции
28.12. Нормированные симметрические функции
28.13. Алгебраические и трансцендентные функции
28.14. Формула Тейлора
Решения
Глава 29. Интеграл
29.1. Неопределенный интеграл
29.2. Определенный интеграл
29.3. Вычисление интегралов
29.4. Вычисление площадей
29.5. Вычисление объемов
29.6. Длина кривой
29.7. Площадь поверхности
29.8. Неравенства
29.9. Вычисление пределов
29.10. Тождества
29.11. Примеры и конструкции
29.12. Несобственные интегралы
Решения
Глава 30. Ряды
30.1. Вычисление бесконечных сумм
30.2. Вычисление бесконечных произведений
30.3. Гармонический ряд
30.4. Ряд для логарифма
30.
5. Ряды для числа π
30.6. Экспонента в комплексной области
30.7. Доказательства неравенств
30.8. Сходящиеся и расходящиеся ряды
30.9. Сходимость бесконечных произведений
Решения
Глава 31. Элементы теории чисел
31.1. Малая теорема Ферма
31.2. Псевдопростые числа
31.3. Функция Эйлера
31.4. Теорема Вильсона
31.5. Задачи о сравнениях
31.6. Функция σk(n). Делители
31.7. Квадратичные вычеты
31.8. Квадратичный закон взаимности
31.9. Гауссовы суммы
31.10. Суммы двух квадратов
31.11. Суммы четырех квадратов
31.12. Первообразные корни по простому модулю
31.13. Первообразные корни по составному модулю
31.14. Теорема Чебышёва о простых числах
Решения
Глава 32. Многочлены II
32.
1. Разделение корней
32.2. Неприводимые многочлены
32.3. Симметрические многочлены
32.4. Многочлены Чебышёва
32.5. Алгебраические и трансцендентные числа
32.6. Присоединение корня многочлена
Решения
Глава 33. Алгоритмы и вычисления
33.1. Вычисления некоторых чисел
33.2. Арифметические операции. Многочлены
33.3. Сортировка
33.4. Криптография с открытым ключом
Решения
Глава 34. Функциональные уравнения
34.1. Метод подстановки
34.2. Функциональные уравнения для многочленов
34.3. Функциональные уравнения для производящих функций
34.4. Функциональные уравнения для непрерывных функций
34.5. Функциональные уравнения для диффернцируемых функций
Решения
Глава 35. Цепные дроби
35.
1. Определение и основные свойства
35.2. Наилучшие приближения
35.3. Цепные дроби и уравнения Пелля
Решения
Глава 36. Формальные ряды и производящие функции
36.1. Формальные ряды
36.2. Формальная производная
36.3. Корень из формального ряда
36.4. Экспонента и логарифм
36.5. Тождества для формальных рядов
36.6. Производящие функции
36.7. Числа и многочлены Бернулли
36.8. Число разбиений
36.9. Формулы Варинга
Решения
Глава 37. Исчисление конечных разностей
37.1. Свойства конечных разностей
37.2. Обобщённая степень
37.3. Формула суммирования Эйлера
Решения
Глава 38. Кривые на плоскости
38.1. Полярные координаты
38.2. Огибающая семейства кривых
38.
3. Кривизна
38.4. Соприкасающаяся окружность
38.5. Фокальные точки. Эволюта
Решения
Глава 39. Теория множеств
39.1. Конечные множества
39.2. Операции над множествами
39.3. Равномощные множества
39.4. Счётные множества
39.5. Мощность континуума
39.6. Свойства мощности
39.7. Парадоксы теории множеств
Решения
Дополнение
Указатель имен
Предметный указатель
| |||||||||||
Постоянный адрес этой страницы:
http://math.
ru/lib/389
Нестандартные задачи по алгебре. | Методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме:
Нестандартные задачи по алгебре для 7-8 классов
Представленный материал может быть использован на факультативных, групповых занятиях, на заседаниях математического кружка, во внеклассной работе по математике.
Цель данных занятий — развитие творческого мышления учащихся, а также формирование их мировоззрения; возможность углубленного изучения основного курса путем рассмотрения задач, требующих нестандартного подхода при своем решении.
Достижению этой цели служат специально подобранные задачи. Систематические упражнения в решении таких задач помогут обеспечить действенность приобретаемых учащимися знаний по математике, развить у них творческое мышление и интерес к предмету.
Задача 1. В результате деления двузначного числа на его обратное получились равные частное и остаток. Найти это число.
Решение: Пусть a= 10x +y — искомое число, q – частное, остаток,
тогда 10 x + y = (10y + x)q +q или (10 – q)x – (10q – 1)q = q.
При q= 1, получаем равенство 9(x – у) = 1, которое невозможно.
При q = 2 , имеем 8х – 19у = 2, откуда следует, что число у – четное.
При у = 2 получаем х = 5, а при у = 4, 6, 8 правая часть не делится на 8. Другими словами , в этом случае мы имеем решение а = 52.
Далее, при q = 3 из равенства 7х – 29у = 3 при у = 2 х – получается дробным, а при у 3 х 10, то есть в этом случае решений нет.
При q = 4 имеем 6х – 39у = 4, что невозможно, так как 4 не делится на 3.
Наконец, если q 5, то 5х ( 10 – q)х =( 10q – 1)у + q 49 +q 54, откуда
х 11. Следовательно, искомое число равно 52.
Задача 2. Найти все целые числа х и у, для которых выполняется равенство 2ху + х + у = 83.
Решение: Умножив обе части уравнения на 2 и прибавив к обеим частям 1, представим его в виде :
( 2х + 1)( 2у + 1 ) = 167, и поскольку число 167 – простое, то оно раскладывается на целые множители четырьмя способами:
167 = 1∙167 = 167∙1= (- 1)∙(- 167) = (- 167) ∙ (- 1), откуда находим четыре решения уравнения: (0;83), (83;0), ( — 1; — 84), ( — 84; -1).
Задача 3. Имеется несколько мешков с монетами, в одном из которых все монеты фальшивые , а в остальных – настоящие. Фальшивая монета на 1 г легче настоящей. Каким наименьшим числом взвешиваний на пружинных весах можно обнаружить фальшивые монеты, если в каждом мешке монет достаточно много?
Решение. Занумеруем мешки числами от 1 до n, из каждого мешка возьмем столько монет, каков его номер, и взвесим взятые монеты. Всего их S = 1 +2 + 3 + ….+ n штук. Если вес настоящей монеты равен а грамм, а фальшивые монеты содержатся в мешке с номером к, то весы покажут
= а +2а + …+ к( а- 1) +… + nа = Sа – к.
Взвесим теперь S монет из первого мешка. Если все они фальшивые, то их общий вес окажется меньше, если же все настоящие, то будет больше Поэтому, если , то фальшивые монеты в первом мешке, в противном случае мы узнаем вес Sа настоящих монет, и разность дает число к фальшивых монет.
Таким образом, найти мешок с фальшивыми монетами можно двумя взвешиваниями. Ясно, что одним взвешиванием обойтись не удастся.
Задача 4.Найти все такие простые числа р и q, что числа 7р + q и рq + 11 также простые.
Решение. Если число рq + 11 простое, то оно нечетно и, поэтому одно из чисел q или р — четное, то есть равно 2.
Пусть р = 2, тогда числа q + 14 и 2 q + 11 простые. Если при делении на 3 число q дает остаток 1, то q + 14 делится на 3, то есть q = 3 и р = 2 удовлетворяют условию задачи.
Аналогично можно показать, что значения р = 3 и q =2, также являются решением задачи.
Задача 5. Показать, что + n + 1 при натуральном n есть нечетное число, не являющееся квадратом никакого другого натурального числа.
Решение. Число + n + 1 может быть представлено в виде n( n + 1) + 1, где n – натуральное число. Произведение n( n + 1) – четное число, следовательно, n( n + 1) + 1 –нечетное.
Ближайшие к числу + n + 1 квадраты натуральных чисел – это и .
Действительно, + n + 1 и + n + 1 + n + 1) + n = .
Так как и — квадраты последовательных натуральных чисел, а число + n + 1 находится между названными квадратами, то само оно квадратом натурального числа быть не может.
Задача 6. Доказать, что дробь является несократимой тогда и только тогда, когда b и d взаимно простые числа.
Доказательство. Необходимость очевидна. В самом деле, если предположить, что b и d имеют общий делитель, то этот делитель имеют числа , следовательно, и сумма Тогда дробь сократима, что противоречит условию.
Покажем, что если b и d не имеют общего делителя, отличного от единицы, то дробь несократимая.
Предположим противное. Тогда сумма имеет общий множитель либо cd , либо сb. Примем для определенности, что имеет общий натуральный делитель сb. Но это невозможно, поскольку число сb кратно b, а число — взаимнопростое с b ( сомножитель а- числитель несократимой дробиd и b не имеют общих множителей по условию).
Аналогично показываем, что сумма не имеет общего натурального делителя cd. Таким образом, достаточность доказана.
Задача 7. Доказать, что
= + + …+ .
Доказательство. = — , = — , … , = — .
Сложив почленно эти равенства, получим:
+ +…+ = — =
= .
Задача 8. Дано, что mn + pq делится без остатка на m p. Доказать, что mq + np тоже делится без остатка на m p.
Доказательство. Представим mn = mn np + np = ( mn + np,
pq = = pq mq + mq = ( pq + mq.
Отсюда, mn + pq = ( mn + ( pq + (np + mq).
Первые два слагаемых делятся без остатка на m значит, и np + mq делится на m.
Задача 9. Доказать, что корень квадратный из натурального числа не может быть выражен несократимой дробью ( n1).
Доказательство. Предположим, что = — несократимая дробь, возводя обе части равенства в квадрат, получаем: к = = , где и — натуральные числа ( 1), не имеющие общих множителей, то есть приходим к противоречию.
Задача 10. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2, получим: .
Задача 11. Какое из двух чисел больше: 2 +или 4?
Решение. 2 += ( 2 +) = ( +) 2 2 = 4.
Задача 12. Доказать, что число [ — 3n + 1 при натуральных значениях n делится без остатка на 5.
Доказательство. Натуральное число n является четным или нечетным.
Если оно четное, то [ = и данное выражение можно записать так:
— 3n + 1 = Полученное отрицательное число делится без остатка на 5.
Если же n – число нечетное, то [ = и тогда получим: — 3n 1 = И на этот раз получили целое число, делящееся без остатка на 5. Итак, данное выражение при всех натуральных значениях n делится без остатка на 5.
Задача 13. Какое надо добавить слагаемое, чтобы сумма X+Y+Z+XY+XZ+YZ+ XYZ разлагалась на произведение трех множителей? Какие это множители?
Решение. Добавить следовало число 1:
(1 + X)(1 + Y)(1 + Z) = 1 + X+Y+Z+XY+XZ+YZ+ XYZ.
Задача 14. Известно, что d a + b = c + d, a + d b + c. Можно ли по этим данным числа a, b, c, d записать в порядке возрастания?
Решение. Из неравенства a + d b + c следует, что d b a.
Но с a = b поэтому d b d, d a = b и неравенства d
Итак, b > d > c > a.
Задача 15 . Какая из двух дробей А = и В = больше?
Решение. Если пойти в решении этой задаче традиционным путем, то придется перемножать слишком большие числа, а затем их сравнивать. Мы же воспользуемся следующим приемом. Обозначим числитель дроби А чеез х, знаменатель – через у. Тогда А = , В = , причем х у 2х. Определим знак разности: А – В = = 0.
Следовательно, А В.
Задача 16. Показать, что выражение 8n – 3, где n – натуральное число, не может быть квадратом никакого целого числа.
Решение. Рассмотрим выражение х( х – 1) + 1, где х _ натуральное число. Его значение — нечетное число, потому что х( х – 1) – число четное.
Запишем заведомо противоречивое равенство: х( х – 1) + 1= 2 n (1).
Решим полученное квадратное уравнение х + 1 = 0 относительно х.
Получим, = .
Если теперь допустить, что является при каком-то значении n квадратом целого числа, то получим, что при этом значении n равенство (1) справедливо. А оно, как нам известно, неверно при всех значениях n.
Следовательно, не может являться квадратом целого числа.
Задача 17. Доказать, что для любого натурального числа n удастся найти такое натуральное число m, что число mn + 1 окажется составным.
Доказательство. Проще всего в качестве m выбрать n + 2. Тогда число
mn + 1 выражает собой квадрат натурального числа n + 1.
Задача 18. Как разделить 7 яблок поровну на 12 человек, не разрезая яблоки более, чем на 4 части ?
Решение. Каждое из трех яблок надо разделить на 4 равные части, а каждое из остальных четырех – на 3 равные части. При дележке каждому достанется по четверти и по трети яблока.
Задача 19. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.
Решение. Пусть 10х + у — двузначное число. По условию 10х + у = 2ху, откуда следует, что 10х + у – четно, то есть у – четно. Разделив обе части равенства на 2х, получим: 5 + = , откуда следует, что у 5. Значит, у = 6 или у = 8. Если у = 8, то 5 + = 8 , откуда х = , что невозможно. При у = 6, х = 3. Искомое число: 36.
Задача 20. Доказать, что 3, 5, 7 – единственная тройка последовательных нечетных чисел, каждое из которых простое.
Доказательство. Возьмем любую тройку последовательных нечетных чисел: n, n + 2 и n + 4. Пусть меньшее из них простое и не равно 3, тогда оно не делится на 3, то есть может быть представлено как 3к +1, либо 3к +2. Но тогда либо n + 2, либо n + 4 делится на 3, то есть не являются простыми.
Преподавание ранней алгебры посредством решения задач на основе примеров: выводы
Содержание Описание книги
ISBN 9780367750824
222 страницы 41 черно-белая иллюстрация
Опубликовано
9 января 2023 г.
к
Рутледж
Бесплатная доставка (7-14 рабочих дней)
варианта доставки
Формат Мягкая обложкаТвердый переплетVitalSource электронная книга
Первоначальная цена 36,9 фунтов стерлингов9
Цена продажи фунтов стерлингов £ 29,59
КОЛ-ВО
добавить в корзину
Добавить в список желаний
ISBN 9780367431785
222 страницы 41 черно-белая иллюстрация
Опубликовано 8 апреля 2021 г. к Рутледж
Бесплатная доставка (7-14 рабочих дней)
варианта доставки
Формат Мягкая обложкаТвердый переплетVitalSource электронная книга
Первоначальная цена £130,00
Цена продажи фунтов стерлингов 9 фунтов стерлингов0032 104.00
КОЛ-ВО
добавить в корзину
Добавить в список желаний
ISBN 9781003001713
222 страницы 41 черно-белая иллюстрация
Опубликовано
7 апреля 2021 г.
к
Routledge
Узнать об электронных книгах VitalSource Открытие всплывающего окна
Также доступно в виде электронной книги по адресу:
- Amazon Kindle открывается в новой вкладке или окне
- Электронные книги Тейлора и Фрэнсиса
(покупка для организаций)Открывается в новой вкладке или окне
Формат Мягкая обложкаТвердый переплетVitalSource электронная книга
Купить электронную книгу 36,99 фунтов стерлингов 29,59 фунтов стерлингов 36,99 фунтов стерлингов Аренда на 6 месяцев 20,35 фунтов стерлингов 20,35 фунтов стерлингов 20,35 фунтов стерлингов Аренда на 12 месяцев 24,05 фунта стерлингов 24,05 фунта стерлингов 24,05 фунта стерлингов
- Любой соответствующий налог с продаж будет применяться во время оформления заказа.
добавить в корзину
Добавить в список желаний
Продолжить покупки
В этой книге, основанной на обширных наблюдениях педагогов, преподающих в Китае и США, описан инновационный и эффективный подход к обучению алгебре на начальном уровне, а именно «обучение через решение задач на примерах» (TEPS).
.
Признавая особые когнитивные способности и возможности развития детей младшего возраста, эта книга убедительно доказывает важность включения алгебраического мышления в обучение математике в младших классах и иллюстрирует, как это было достигнуто учителями в США и Китае. Документируя передовой опыт и ответы учащихся на инструкции, основанные на примерах, текст демонстрирует, что этот подход TEPS, который включает использование проработанных примеров, представлений и глубоких вопросов, помогает учащимся изучать и осваивать фундаментальные математические идеи, что делает его очень эффективным в развитии. алгебраическая готовность и математическое понимание.
Этот текст будет полезен аспирантам, исследователям и ученым в области математики, STEM и начального образования, а также исследований в области алгебры в более широком смысле. Эта книга также будет интересна тем, кто интересуется педагогическим образованием, практикой в классе, психологией развития и когнитивной психологией.
Предисловие
Глава 1: Введение
Глава 2. Обратная связь между сложением и вычитанием
Глава 3. Обратная связь между умножением и делением
Глава 4: Свойства дополнения: CP и AP
Глава 5: Свойства умножения: CP, AP и DP
Глава 6: Заключение
Приложение 1: План урока китайского языка G1 о семействе фактов (аддитивная инверсия)
Приложение 2: План урока китайского языка G1 о том, как «сложить десятку» (неформальное обучение AP)
Приложение 3: План урока китайского языка G4 по формальному обучению CP и AP умножения
Биография
Мейся Дин — адъюнкт-профессор математического образования в Колледже образования и человеческого развития Университета Темпл, США.
Мы предлагаем бесплатную стандартную доставку каждого заказа по всему миру.
- Бесплатная доставка (7-14 рабочих дней)
Добавить в корзину
Как решать текстовые задачи по алгебре — Криста Кинг Математика
Какой словарный запас следует использовать для решения задач на соотношения и пропорции?
В этом уроке вы научитесь составлять и решать задачи на соотношение и пропорции.
Для текстовых задач лучше всего рассмотреть несколько примеров, но сначала давайте рассмотрим несколько словарных терминов.
Соотношение: Соотношение представляет собой сравнение двух элементов и часто записывается в виде дроби.
Пропорция: Пропорция – это равенство между двумя отношениями.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Решение задач по алгебре с использованием соотношений и пропорций
Пройти курс
Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Изучение различных примеров задач по алгебре
Пример
В зоомагазине ???12??? собаки, ???14??? рыба и ???32??? кошки. Каково соотношение кошек к общему количеству животных?
Мы знаем, что ???32??? кошки, и мы ищем отношение
???\frac{\text{кошки}}{\text{всего}}???
Мы можем найти общее количество животных, сложив все группы вместе.
???12+14+32 = 58???
Получаем
???\фракция{32}{58}???
Нам нужно уменьшить коэффициент до минимального значения
???\frac{16(2)}{29(2)}???
???\фракция{16}{29}???
Есть ???16??? кошек на каждый ???29??? животные.
Давайте рассмотрим другой тип текстовых задач.
Соотношение — это сравнение двух элементов, и его часто записывают в виде дроби.
Пример
Два числа имеют отношение ???1??? до ???9???, а сумма ???80???. Какие два числа?
Назовем два неизвестных номера ???x??? и ???y???. Затем составим пропорцию для ???x??? и ???й??? связать их с их соотношением ???1??? на ???9???, и найти переменную.
???\frac{x}{y} = \frac{1}{9}???
Крест умножить.
???9x = 1y???
???y = 9x???
Далее составьте уравнение для ???x??? и ???й??? используя сумму.
???х+у=80???
Давайте решим это для ???y???, так как мы уже знаем ???y=9Икс???.
???у = 80 — х???
Теперь воспользуемся нашей системой уравнений и методом подстановки. Мы знаем:
???y=80-x???
???y=9x???
Поскольку у нас есть два значения, равные ???y???, мы можем установить эти значения равными друг другу.
???80-х=9х???
???80=9x+x???
???80=10x???
???\frac{80}{10}=\frac{10x}{10}???
???8=х???
???х=8???
Теперь мы можем использовать ???y=9x??? и тот факт, что ???x=8??? решить для ???y???.
???y=9(8)???
???y=72???
Давайте проверим нашу работу.
Верно ли, что
???\frac{8}{72}=\frac{1}{9}???
и что
???8+72=80???
Давайте сделаем еще один такой же.
Пример
Два числа имеют отношение ???7??? до ???13???, а сумма ???300???. Какие два числа?
Назовем два неизвестных номера ???x??? и ???y???. Установите пропорцию для ???x??? и ???й??? связать их с их отношением ???7??? до ???13???, и найти переменную.
???\frac{x}{y} = \frac{7}{13}???
Крест умножить.
???13x=7y???
Найдите ???x???.
???\frac{13x}{13}=\frac{7y}{13}???
???x=\frac{7}{13}y???
Далее составьте уравнение для ???x??? и ???й??? используя сумму.
???х+у=300???
Найдем ???x??? так как мы уже знаем ???x=(7/13)y???.
???х=300-у???
Теперь воспользуемся нашей системой уравнений и методом подстановки. Мы знаем:
???х=300-у???
???x=\frac{7}{13}y???
Поскольку у нас есть два значения, равные ???x???, мы можем установить эти значения равными друг другу.
???\frac{7}{13}y=300-y???
???\frac{7}{13}y + y = 300???
???\frac{7}{13}y + \frac{13}{13}y=300???
???\frac{20}{13}y=300???
???\frac{13}{20} \cdot \frac{20}{13}y=\frac{13}{20} \cdot 300???
???y=13 \cdot 15???
???y=195???
Теперь найдите ???x???.
???х=300-195???
???х=105???
Используйте исходные уравнения для проверки своей работы.