Решения иррациональных уравнений примеры: Иррациональные уравнения

Содержание

Математический анализ. (Виленкин)

Виленкин Н.Я., Шварцбурд С.И. Математический анализ. Учебное пособие для IX—X классов средних школ с математической специализацией. M., Просвещение, 1969 г.

Учебное пособие для школ с математической специализацией, снабженное большим количеством задач и упражнений. Как и вышедшая ранее (1968 г.) книга «Алгебра» того же авторского коллектива, может быть использована преподавателями и учащимися общеобразовательной школы.

8. Вычитание множеств.
9. Отображение множеств.
10. Краткие исторические сведения.
Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Тождественные преобразования многочленов
2. Целые рациональные выражения и функции.
3. Степень с натуральным показателем и ее свойства.
4. Многочлены.
5. Умножение многочленов.
6. Числовые кольца и поля.
7. Кольцо многочленов над данным числовым полем.
8. Бином Ньютона.
§ 2. Деление многочленов. Корни многочленов
2. Теорема Безу. Схема Горнера.
3. Корни многочлена.
4. Интерполяционные формулы.
5. Кратные корни.
6. Многочлены второй степени.
7. Многочлены с целыми коэффициентами.
8. Краткие исторические сведения.
Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Общая теория уравнений
2. Область допустимых значений.
3. Уравнения.
4. Совокупности уравнений.
5. Преобразования уравнений.
6. Теоремы о равносильности уравнений.
§ 2. Уравнения с одним неизвестным

Метод разложения на множители.
3. Метод введения нового неизвестного.
4. Биквадратные уравнения.
5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней.
§ 3. Функциональные неравенства
2. Равносильные неравенства.
3. Доказательство неравенств.
4. Линейные неравенства.
5. Решение неравенств второй степени.
6. Решение алгебраических неравенств высших степеней.
7. Краткие исторические сведения.
Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
§ 1. Степени с целым показателем
2. Степень с нулевым показателем.
3. Степень с целым отрицательным показателем.
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями
2. Степени с рациональными показателями.
3. Свойства степеней с рациональными показателями.
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения
2. Одночленные иррациональные выражения.
3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.
4. Извлечение корня из произведения и степени.
5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень.

6. Возведение корня в степень.
7. Извлечение корня из корня.
8. Подобные корни.
9. Сложение и вычитание корней.
10. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе алгебраической дроби.
11. Преобразование выражений вида …
12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений.
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства
2. Сведение иррациональных уравнений к рациональным.
3. Уединение радикала.
4. Введение нового неизвестного.
5. Особые случаи решения иррациональных уравнений.
6. Иррациональные неравенства.
7. Краткие историчесие сведения.
Глава IV. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

§ 1. Системы алгебраических уравнений
2. Системы уравнений.
3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.
4. Совокупность уравнений.
5. Равносильные системы уравнений.
6. Метод подстановки.
7. Метод алгебраического сложения уравнений.

8. Метод введения новых неизвестных.
9. Системы однородных уравнений.
10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными.
§ 2. Системы линейных уравнений
2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений.
3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.
4. Метод Гаусса (приведение системы к обобщенно-треугольному виду).
5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений.
6. Системы однородных линейных уравнений.
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений
2. Выражение степенных сумм
3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
4. Системы симметрических алгебраических уравнений.
5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений.
§ 4. Неравенства с многими переменными
2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.
3. Неравенство Коши (двумерный вариант).
4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.

§ 5. Решение неравенств
2. Неравенства с двумя переменными.
3. Задание областей неравенствами и системами неравенств.
4. Понятие о линейном программировании.
5. Краткие исторические сведения.
Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
2. Комплексные числа.
3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа.
4. Умножение комплексных чисел.

5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами.
6. Деление комплексных чисел.
7. Сопряженные комплексные числа.
8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
2. Полярная система координат.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра.
6. Извлечение корня из комплексного числа.
7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости.

§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений
2. Двучленные уравнения.
3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников.
4. Трехчленные уравнения.
§ 4. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия
2. Многочлены с действительными коэффициентами.
3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами.

4. Краткие исторические сведения.
Глава VI. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Конечные цепные дроби
2. Пример цепной дроби.
3. Определение цепной дроби.
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби.
5. Подходящие дроби.
6. Свойства подходящих дробей.
8. Подходящие дроби и календарь.
9. Приближение цепной дроби подходящими дробями.
§ 2. Бесконечные цепные дроби
2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными.
3. Цепные дроби как вычислительный инструмент.
4. Краткие исторические сведения.
Глава VII. КОМБИНАТОРИКА
§ 1. Комбинаторные задачи
§ 2.

Комбинаторные задачи. Продолжение
§ 3. Определения и формулы
§ 4. Соединения с повторениями
§ 5. Комбинаторные задачи. Окончание
§ 6. Бином Ньютона и его обобщения
§ 7. Краткие исторические сведения

Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения. Условные вероятности
§ 3. Примеры вычисления вероятностей
§ 4. Полная вероятность. Формула Байеса
§ 5. Повторение испытаний
§ 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание
§ 7. Краткие исторические сведения

41. Иррациональные уравнения

Иррациональным уравнением Называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня или под дробным показателем. (В этом параграфе термин «корень» будет соответствовать операции извлечения корня с определенным показателем, в отличие от термина «решение»).

Основной метод решения таких уравнений – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, чтобы корни исчезли. Иногда приходится возводить в степень несколько раз. При этом следует анализировать, какие корни надо оставлять в левой части уравнения, а какие корни перенести в правую часть (если корней несколько). От этого часто зависит рациональность решения.

Поскольку корни нечетной степени определены для любых по знаку подкоренных выражений и принимают любые по знаку значения, то возведение уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием (т. е. мы не теряем решений и не получаем посторонних).

Корни с четным показателем определены для F(X) ³ 0. Возведение уравнения, содержащего такие корни, в четную степень может изменить ОДЗ уравнения и привести к посторонним решениям. В таком случае итоговым моментом в решении уравнения является проверка полученных решений подстановкой в заданное уравнение. Проверка решения по ОДЗ такого уравнения недостаточна.

ОДЗ иррационального уравнения следует находить в том случае, если предполагается, что она состоит только из нескольких чисел или может быть пустым множеством.

Если ОДЗ состоит из одного, двух и т. д. чисел, то уравнение можно не решать, а эти числа проверять (являются ли они решением) подстановкой в заданное уравнение.

Если ОДЗ есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.

При решении иррациональных уравнений используют также метод замены переменной и другие методы.

Если имеется уравнение вида где С < 0, то оно не имеет решений, так как корни с четным показателем понимаем в арифметическом смысле, т. е. как неотрицательные.

Некоторые типы иррациональных уравнений

Пусть далее – некоторые выражения с неизвестной Х,

I тип: Уравнение вида

(5.1)

Возведение в -ю степень приводит к равносильному уравнению

Уравнение

(5.2)

После возведения в -ю степень сводится к равносильному уравнению

Уравнение

(5.3)

После возведения в степень 2

N приводит к уравнению-следствию

(5.4)

Найденные корни уравнения (5. 4) проверяют подстановкой в уравнение (5.3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (5.3).

Уравнение

(5.5)

После возведения в степень 2N сводится к уравнению-следствию

(5.6)

Корни уравнения (5.6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.5).

II тип: Уравнение вида

(5.7)

Где

1-й способ. Необходимо возвести уравнение (5.7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.

2-й способ. Умножение уравнения (5.7) на сопряженное выражение

Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение H(X) = 0. Затем для H(X) ¹ 0 рассматривают систему

Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (5.3).

3-й способ. Замена переменных

И переход к системе уравнений относительно U, V.

Уравнение

(5. 8)

Где A, B Î R, возведением в куб обеих частей сводится к уравнению

(5.9)

Выражение в скобках (в левой части уравнения (5.9)) заменяют на используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (5.8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.

Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.8).

III тип: Уравнения, решаемые заменой переменной.

В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.

Если уравнение имеет вид

(5.10)

Где F – Некоторое алгебраическое выражение относительно то заменой оно сводится к уравнению

(5.11)

После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (5.10).

IV тип: уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения

(5.12)

Где A > 0, B > 0, сводится к решению системы

V тип: Уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.

Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.

1. Если и для всех , то на множестве X уравнение F(X) = G(X) Равносильно системе уравнений

2. Если функции F(X) и G(X) непрерывны и F(X) возрастает, а G(X) убывает для X Î X, то уравнение F(X) = G(X) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.

3. Если F(X) – возрастающая функция, то уравнение равносильно уравнению

4. Если F(X) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение равносильно уравнению

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:

Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз:

Решая последнее квадратное уравнение, находим корни которые теперь необходимо проверить. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Первый корень не подходит.

Приходим к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в куб:

Воспользовавшись исходным уравнением, заменим выражение выражением Получаем:

Решаем совокупность уравнений

В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, так как такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.

Приходим к ответу:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.

Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:

Заменив получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни

Возвращаемся к исходной неизвестной:

Первое уравнение решений не имеет, так как его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем:

т. е.

Его корни С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят, т. е. приходим к ответу:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Перенесем второй корень вправо:

Возводим обе части в квадрат:

Еще раз возводим в квадрат и получаем квадратное уравнение, решая которое и получаем корни Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Оба корня подходят.

2-й способ. Введем замену тогда Таким образом получили более простое уравнение

т. е.

Возведем его в квадрат:

Возвращаемся к исходной неизвестной:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

откуда

При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

3-й способ. Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим:

Сложим последнее уравнение с исходным. Получим:

т. е.

Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение

Решая его, находим корни

Приходим к ответу:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Пусть Тогда и по условию.

Получили систему

Решаем ее методом подстановки:

Второе уравнение решим отдельно

Получаем корни:

Возвращаемся к системе:

Получаем:

Переходим к заданным неизвестным:

Решая последнюю совокупность, находим корни и С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят.

Получили ответ:

При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, так как проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:

Решаем последнюю систему неравенств графически (рис. 5.10).

Рис. 5.10

Получили, что ОДЗ состоит из единственной точки

Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:

Получили, что – решение.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Используем графический способ. Строим графики функций (рис. 5.11).

Рис. 5.11

Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке X = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем X = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.

Получили ответ: X = 7.

< Предыдущая		Следующая >

Решение радикальных уравнений: Основные понятия | Purplemath

Простые уравнения, сложные уравнения, болезненные уравнения, уравнения с более высоким индексом

Purplemath

«Радикальное» уравнение — это уравнение, в котором по крайней мере одно выражение переменной застряло внутри радикала, обычно квадратного корня. Большую часть этого урока мы будем работать с квадратными корнями.

Например, это радикальное уравнение, потому что переменная находится внутри квадратного корня:

Однако это уравнение не является радикальным уравнением:

. ..потому что внутри радикала нет переменной.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Решение радикальных уравнений

Обычно мы решаем уравнения, изолируя переменную; то есть мы манипулируем уравнением, чтобы получить переменную с одной стороны знака «равно», с числовым значением с другой стороны. Общий процесс изоляции — это, в некотором смысле, отмена всего, что было сделано с переменной в исходном уравнении.

Например, предположим, что нам дано следующее линейное уравнение:

x + 2 = 5

Чтобы решить, мы должны отменить сложение 2; то есть мы вычтем 2 из другой части уравнения:

то есть мы разделили бы на −3:

Когда у нас есть переменная внутри квадратного корня, мы отменяем корень, делая противоположное; то есть мы возводим в квадрат обе части уравнения. Например, учитывая уравнение

, мы решим возведением в квадрат обеих частей уравнения:

Прежде чем мы углубимся в рабочие примеры, нам нужно обсудить пару вопросов.

Выпуск 1: Стороны квадрата, а не члены

При решении уравнения мы должны сделать то же самое с обеими частями уравнения; в частности, мы ничего не делаем с каждым членом в уравнении. В первом приведенном выше примере при решении « x + 2 = 5» я вычел по 2 с каждой стороны, а не из всех трех членов.

При решении радикального уравнения мы должны возвести в квадрат обе стороны ; мы никогда не должны пытаться возвести в квадрат каждое слагаемое. Например, я могу начать с истинного уравнения:

3 + 4 = 7

… а затем возвести в квадрат обе стороны:

(3 + 4) ² = 7 ²

49 = 49

Возводя в квадрат обе стороны уравнения, я получаю истинное уравнение. Вот как должна работать математика. Но если я попытаюсь возвести в квадрат слагаемых в левой части исходного утверждения выше, я не получу правильное значение.

3 ² + 4 ²

= 9 + 16 = 25

Очевидно, это неправильно.

В каждом случае я начинал с истинного утверждения. Когда я возвел в квадрат обе сторон этого истинного утверждения, я закончил истинным утверждением. Но когда я возвел в квадрат слагаемых в левой части, я получил неверное утверждение: «25 = 49».

Самая распространенная ошибка при решении радикальных уравнений — попытка возведения членов в квадрат. Всегда квадратные стороны, а не термины.

Выпуск 2: Проверьте свои ответы

Мы всегда можем проверить наше решение уравнения, подставив это решение обратно в исходное уравнение и убедившись, что оно дает верное утверждение. Например, в моем первом примере выше, « x + 2 = 5″, я получил решение x = 3. Я могу подтвердить это решение, подставив его обратно в исходное уравнение:

x + 2 = (3) + 2 = 5

Вы, вероятно, использовали этот тип проверки, когда впервые узнали о решении линейных уравнений. Но в конце концов вы отточили свои навыки и перестали проверять.

Сложность с решением радикальных уравнений заключается в том, что мы можем сделать каждый шаг правильно, но все равно получить неправильный ответ. Это связано с тем, что сам процесс возведения сторон в квадрат может создать решений, которых раньше никогда не существовало. Например, я мог бы утверждать следующее:

−2 = 2

Это, конечно, вздор. Но посмотрите, что получится, если возвести в квадрат обе стороны:

(−2) ² = (2) ²

4 = 4

Я начал с чего-то, что было , а не верно, возвели в квадрат обе стороны и закончили чем-то вроде того, что было верно. Это не хорошо.

Возведение в квадрат обеих частей уравнения является «необратимым» шагом в том смысле, что, сделав этот шаг, мы не обязательно можем вернуться к тому, с чего начали. При возведении в квадрат мы могли потерять часть исходной информации. (Это всего лишь одна из многих потенциальных ошибок, возможных в математике.)

Чтобы увидеть, как это работает в нашем текущем контексте, давайте рассмотрим очень простое радикальное уравнение:

Это уравнение не более верно, чем ерунда «−2 = 2», которую мы рассматривали ранее, и она абсурдна по той же самой причине: никакое положительное значение (в данном случае, квадратный корень) никогда не может равно отрицательному числу .

Но предположим, что я не заметил, что это уравнение не может иметь никакого решения, и вместо этого бездумно возвел обе части в квадрат: волшебным образом создавая решение, которого ранее не существовало и которое на самом деле недействительно. Но я не обнаружу эту ошибку, если не забуду проверить свое решение! Подставляя значение решения в левую часть исходного уравнения, я проверяю, получается ли требуемое значение исходной правой части:

Теперь я ясно вижу, что что-то не так. У меня не может быть отрицательного числа, равного положительному числу. Теперь я вижу, что фактический ответ для этого уравнения:

нет решения

Есть другой способ взглянуть на эту трудность «нет решения». Когда мы решаем уравнение, мы можем рассматривать процесс как попытку найти, где пересекаются две линии на графике. Левую часть уравнения можно изобразить в виде одной кривой, а правую часть уравнения можно изобразить в виде другой кривой. Решением исходного уравнения является пересечение двух кривых. (Да, это означает, что вы можете использовать свой графический калькулятор для проверки своей работы.)

Когда я решал « x + 2 = 5» выше, можно также сказать, что я пытался найти пересечение двух кривых:

y ₁ = x + 2

y ₂ = 5

На графике показано, где пересекаются эти две линии:

Точка пересечения находится в точке x = 3, что было значением решения, которое я нашел ранее. Точно так же, когда я решал уравнение

, вы могли рассматривать это как попытку найти пересечение следующих двух кривых:

y ₁ = кв. ( x )

y ₂ = 4

График этих двух функций выглядит следующим образом:

Как и прежде, решение равно x = 16. пытался найти пересечение графика радикальной функции y ₁ = sqrt ( x ) и постоянной функции y ₂ = −3, которые не пересекаются:

Так что же произошло, когда я возвел в квадрат обе части этого бессмысленного уравнения? В каком-то смысле я возвел оба линейных уравнения в квадрат и получил две новые линии:

y ₁ = x

y ₂ = 9

3, как показывает график. , эти две новые линии на самом деле до пересекаются!

Как видите, возведение в квадрат обеих частей исходного уравнения дало решение, которому не место. И решение после возведения в квадрат сделало , а не работают в уравнении до возведения в квадрат, потому что исходных линий не пересекались. Это иллюстрирует, почему мне пришлось проверить свое решение, чтобы понять, что настоящий ответ был «нет решения».

Предупреждение. Многие преподаватели не показывают много примеров (в классе или в домашней работе) радикальных уравнений, решения которых на самом деле не работают. Но затем они поставят один или несколько из них на следующий тест. Вы должны ожидать, что радикальное уравнение «нет решения» в тесте, поэтому не забудьте проверить свои решения.

URL: https://www.purplemath.com/modules/solverad.htm

Страница 2Страница 3Страница 4Страница 5

6.3 – Радикальные и рациональные уравнения – Алгебра и Тригонометрия :

6.3.1 – Решить рациональное уравнение
6.3.2 – Решение радикальных уравнений

Мы решили линейные уравнения, показательные уравнения и квадратные уравнения, используя несколько методов. Однако существует множество других типов уравнений, и в этом разделе мы рассмотрим еще несколько типов. Мы рассмотрим рациональные уравнения и радикальные уравнения. Однако при решении любого уравнения используются одни и те же основные алгебраические правила. Мы изучим некоторые новые методы, применимые к определенным уравнениям, но алгебра никогда не изменится.

6.3.1 – Решение рационального уравнения

В этом разделе мы рассмотрим рациональные уравнения, которые после некоторых манипуляций приводят к линейному или квадратному уравнению. Если уравнение содержит хотя бы одно рациональное выражение, оно считается рациональным уравнением .

Напомним, что рациональное число — это отношение двух чисел, таких как [латекс]\,\frac{2}{3}\,[/latex] или [латекс]\,\frac{7}{2}. \,[/latex] Рациональное выражение — это отношение или частное двух многочленов. Вот три примера. 9{2}+x-2}$$[/latex]

Рациональные уравнения имеют переменную в знаменателе хотя бы в одном из членов.
Наша цель — выполнить алгебраические операции так, чтобы переменные появились в числителе. На самом деле, мы исключим все знаменатели, умножив обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (LCD).

Нахождение LCD означает определение выражения, которое содержит наибольшую мощность всех множителей во всех знаменателях. Мы делаем это, потому что, когда уравнение умножается на LCD, общие множители в LCD и в каждом знаменателе будут равны единице и сокращаются.

Пример 1. Решение рационального уравнения

Решите рациональное уравнение: [латекс]\,\frac{7}{2x}-\frac{5}{3x}=\frac{22}{3}.[/ латекс]

У нас есть три знаменателя; [латекс]\,2x,3x,[/латекс] и 3. ЖК-дисплей должен содержать [латекс]\,2x,3x,[/латекс] и 3. ЖК-дисплей из [латекс]\,6x\,[/латекс ] содержит все три знаменателя. Другими словами, каждый знаменатель можно разделить на ЖК поровну. Затем умножьте обе части уравнения на LCD [латекс]\,6x.[/латекс]

[латекс]$$\begin{array}{cccc}\hfill \left(6x\right)\left[\ frac{7}{2x}-\frac{5}{3x}\right]& =& \left[\frac{22}{3}\right]\left(6x\right)\hfill & \\ \hfill \left(6x\right)\left(\frac{7}{2x}\right)-\left(6x\right)\left(\frac{5}{3x}\right)& =& \left(\ frac{22}{3}\right)\left(6x\right)\hfill & \phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Использовать распределительное свойство}.\hfill \\ \hfill 3\left (7\right)-2\left(5\right)& =& 22\left(2x\right)\hfill& \phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Отменить общие множители}. \ hfill \\\hfill 21-10& =& 44x\hfill & \\ \hfill 11& =& 44x\hfill & \\ \hfill \frac{11}{44}& =& x\hfill & \\ \hfill \frac {1}{4}& =& x\hfill & \end{массив}$$[/latex]

Распространенная ошибка, допускаемая при решении рациональных уравнений, заключается в нахождении ЖКД, когда один из знаменателей является биномиальным — два слагаемых сложены или вычтены — например, [латекс]\,\влево(х+1\вправо).\,[/ латекс] Всегда рассматривайте бином как отдельный фактор — термины не могут быть разделены. Например, предположим, что задача состоит из трех членов, а знаменателями являются [латекс]\,х,[/латекс] [латекс]х-1,[/латекс] и [латекс]\,3х-3.\,[/латекс ] Во-первых, фактор все знаменатели. Затем у нас есть [латекс]\,x,[/латекс] [латекс]\левый(х-1\правый),[/латекс] и [латекс]\,3\левый(х-1\правый)\,[ /латекс] в качестве знаменателей. (Обратите внимание на скобки, заключенные вокруг второго знаменателя.) Только последние два знаменателя имеют общий множитель [латекс]\,\left(x-1\right).\,[/латекс] [латекс]\,х\ ,[/latex] в первом знаменателе отделен от [latex]\,x\,[/latex] в знаменателях [latex]\,\left(x-1\right)\,[/latex]. Эффективный способ запомнить это — записать факторизованный и биномиальный знаменатели в скобках и рассматривать каждую скобку как отдельную единицу или отдельный множитель. LCD в этом случае находится путем умножения [латекс]\,х,[/латекс] на один коэффициент [латекс]\,\левый(х-1\правый),[/латекс] и 3. Таким образом, ЖК-дисплей следующий: 9{2}+2x=x\left(x+2\right),[/latex] есть общий делитель x в обоих знаменателях, а ЖК-дисплей равен [латекс]\,x\left(x+2\ справа).[/latex]

Иногда мы имеем рациональное уравнение в виде пропорции; то есть когда одна дробь равна другой дроби и в уравнении нет других членов.

[латекс]$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$[/latex]

Мы можем использовать другой метод решения уравнения без нахождения LCD: перекрестное умножение. Мы умножаем члены, перечеркивая знак равенства.

Умножьте [латекс]\,а\влево(г\вправо)\,[/латекс] и [латекс]\,b\влево(с\вправо),[/латекс], что даст [латекс]\ ,ad=bc.[/latex]

Любое решение, которое делает знаменатель в исходном выражении равным нулю, должно быть исключено из возможных.

Рациональные уравнения

Рациональное уравнение содержит по крайней мере одно рациональное выражение, в котором переменная стоит хотя бы в одном из знаменателей.

Как

Имея рациональное уравнение, решите его.

Умножьте все знаменатели в уравнении.
Найти и исключить значения, каждый знаменатель которых равен нулю.
Найдите ЖК-дисплей.
Умножьте все уравнение на ЖК-дисплей. Если ЖКИ правильный, знаменателей не останется.
Решите оставшееся уравнение.
Не забудьте проверить решения в исходных уравнениях, чтобы избежать решения, дающего ноль в знаменателе

Пример 2. Решение рационального уравнения без факторинга

Решите следующее рациональное уравнение:

[латекс]\frac{2}{x}-\frac{3}{2}=\frac{7}{2x}[/latex]

У нас есть три знаменателя: [латекс]\,x,[/латекс] [латекс]2,[/латекс] и [латекс]\,2x.\,[/латекс] Факторизация не требуется. Произведение первых двух знаменателей равно третьему знаменателю, поэтому ЖК-экран равен [латекс]\,2х.\,[/латекс] Из набора решений исключено только одно значение, 0. [латекс][/латекс ] Затем умножьте все уравнение (обе части знака равенства) на [латекс]\,2х.[/латекс]

[латекс]$$\begin{array}{cccc}\hfill 2x\left[\frac{2}{x}-\frac{3}{2}\right]& =& \left[\frac{ 7}{2x}\right]2x& \\ \hfill 2x\left(\frac{2}{x}\right)-2x\left(\frac{3}{2}\right)& =& \left( \frac{7}{2x}\right)2x\hfill & \phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Distribute}2x\text{.}\hfill \\ \hfill 2\left(2\ right)-3x& =& 7\hfill & \phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Знаменатели исключаются}.\hfill \\ \hfill 4-3x& =& 7\hfill & \\ \hfill — 3x& =& 3\hfill & \\ \hfill x& =& -1\hfill & \\ & & \text{or}\phantom{\rule{0.3em}{0ex}}\left\{-1\right\ }\hfill & \end{массив}$$[/латекс]

Предлагаемое решение равно -1, [латекс][/латекс], что не является исключенным значением, поэтому набор решений содержит одно число, [латекс]\,х=-1,[/латекс] или [латекс]\ ,\left\{-1\right\}\,[/latex] записаны в заданной нотации.

Попробуйте

Решите рациональное уравнение: [латекс]\,\frac{2}{3x}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6x}.[/latex]

Показать ответ

[латекс]x=\frac{10}{3}[/латекс]

Пример 3. Решение рационального уравнения путем факторизации знаменателя

Решите следующее рациональное уравнение: [латекс]\,\frac{1}{x}=\frac{1}{10}-\frac{3}{4x }.[/латекс]

Сначала найдите общий знаменатель. Три знаменателя в факторизованной форме: [латекс]\,x,10=2\cdot 5,[/латекс] и [латекс]\,4x=2\cdot 2\cdot x.\,[/латекс] Наименьшее выражение которое делится на каждый из знаменателей, равно [латекс]\,20x.\,[/латекс] Только [латекс]\,х=0\,[/латекс] является исключенным значением. Умножьте все уравнение на [латекс]\,20x.[/latex]

[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill 20x\left(\frac{1}{x}\right)& = & \left(\frac{1}{10}-\frac{3}{4x}\right)20x\hfill \\ \hfill 20& =& 2x-15\hfill \\ \hfill 35& =& 2x\hfill \ \ \hfill \frac{35}{2}& =& x\hfill \end{массив}$$[/latex]

Решение: [латекс]\,\frac{35}{2}. [/latex]

Попробуйте

Решите рациональное уравнение: [латекс]\,-\frac{5}{2x}+\ frac{3}{4x}=-\frac{7}{4}.[/latex]

Показать ответ

[latex]x=1[/latex]

Пример 4. Решение рациональных уравнений с биномом в знаменателе

Решите следующие рациональные уравнения и укажите исключенные значения:

[латекс]\frac{3}{x-6}=\frac{5}{x }[/латекс]
[латекс]\frac{x}{x-3}=\frac{5}{x-3}-\frac{1}{2}[/latex]
[латекс]\frac{x}{x-2}=\frac{5}{x-2}-\frac{1}{2}[/latex]

Знаменатели [латекс]\,х\,[/латекс] и [латекс]\,х-6\,[/латекс] не имеют ничего общего. Таким образом, ЖК-дисплей является произведением [латекс]\,х\влево(х-6\вправо).\,[/латекс] Однако для этой задачи мы можем выполнить перекрестное умножение.
[латекс]\begin{array}{cccc}\hfill \frac{3}{x-6}& =& \frac{5}{x}\hfill & \\ \hfill 3x& =& 5\left(x -6\справа)\hfill & \phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Distribute}\text{.}\hfill \\ \hfill 3x& =& 5x-30\hfill & \\ \hfill — 2x& =& -30\hfill & \\ \hfill x& =& 15\hfill & \end{массив}[/latex]
Решение: 15. [латекс][/латекс] Исключены значения [латекс]6[/латекс] и [латекс]0.[/латекс]
ЖК-дисплей имеет вид [латекс]\,2\влево(х-3\вправо).\,[/латекс] Умножьте обе части уравнения на [латекс]\,2\влево(х-3\вправо).[ /латекс]
[латекс]\begin{array}{ccc}\hfill 2\left(x-3\right)\left[\frac{x}{x-3}\right]& =& \left[\frac{5 }{x-3}-\frac{1}{2}\right]2\left(x-3\right)\hfill \\ \hfill \frac{2\left(x-3\right)x}{ x-3}& =& \frac{2\left(x-3\right)5}{x-3}-\frac{2\left(x-3\right)}{2}\hfill \\ \ hfill 2x& =& 10-\left(x-3\right)\hfill \\ \hfill 2x& =& 10-x+3\hfill \\ \hfill 2x& =& 13-x\hfill \\ \hfill 3x& =& 13\hfill \\ \hfill x& =& \frac{13}{3}\hfill \end{массив}[/latex]
Решение: [latex]\,\frac{13}{3}.\,[/latex] Исключенное значение: [latex]3.[/latex]
Наименьший общий знаменатель: [латекс]\,2\левый(х-2\правый).\,[/латекс] Умножьте обе части уравнения на [латекс]\,х\левый(х-2\правый) .[/латекс]
[латекс]\begin{array}{ccc}\hfill 2\left(x-2\right)\left[\frac{x}{x-2}\right]& =& \left[\frac{5 }{x-2}-\frac{1}{2}\right]2\left(x-2\right)\hfill \\ \hfill 2x& =& 10-\left(x-2\right)\hfill \\ \hfill 2x& =& 12-x\hfill \\ \hfill 3x& =& 12\hfill \\ \hfill x& =& 4\hfill \end{массив}[/latex]
Решение равно 4. {2}-1}.\,[/latex] Укажите исключенные значения. 9{2}-1.\,[/латекс] Мы распознаем это как разность квадратов и факторизуем как [латекс]\,\влево(х-1\вправо)\влево(х+1\вправо).\ ,[/latex] Таким образом, LCD, который содержит каждый знаменатель, равен [latex]\,\left(x-1\right)\left(x+1\right).\,[/latex] Умножьте все уравнение на LCD, сократите знаменатели и решите оставшееся уравнение.
[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left[\frac{2}{x+1}-\ frac{1}{x-1}\right]& =& \left[\frac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]\left(x -1\вправо)\влево(x+1\вправо)\hfill \\ \hfill 2\влево(x-1\вправо)-1\влево(x+1\вправо)& =& 2x\hfill \\ \ hfill 2x-2-x-1& =& 2x\phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Распределить знак минус}.\hfill \\ \hfill -3-x& =& 0\hfill \\ \ hfill -3& =& x\hfill \end{массив}$$[/latex] 9{2}-2x}.[/latex]
Показать ответ
[latex]x=-1,[/latex] [latex]x=0[/latex] не является решением.
6.3.2 – Решение радикальных уравнений
Радикальные уравнения – это уравнения, содержащие переменные в подкоренной части (выражение под подкоренным символом), например,
[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill \sqrt{3x+18}& =& x\hfill \\ \hfill \sqrt{x+3}& =& x-3\hfill \\ \hfill \sqrt{x+5}-\sqrt{x-3 }& =& 2\hfill \end{array}$$[/latex]
Радикальные уравнения могут иметь один или несколько радикальных членов и решаются путем исключения каждого радикала по одному. Мы должны быть осторожны при решении радикальных уравнений, так как нередко можно найти посторонние решения, корни, которые на самом деле не являются решениями уравнения. Эти решения не из-за ошибки в методе решения, а являются результатом процесса возведения обеих частей уравнения в степень. Однако проверка каждого ответа в исходном уравнении подтвердит истинные решения.
Радикальные уравнения
Уравнение, содержащее члены с переменной в радикале, называется радикальным уравнением.
Как
Имея радикальное уравнение, решите его.
1. Изолируйте подкоренное выражение с одной стороны от знака равенства. Перенесите все оставшиеся члены на другую сторону.
2. Если радикал представляет собой квадратный корень, возведите в квадрат обе части уравнения. Если это кубический корень, возведите обе части уравнения в третью степень. Другими словами, для n -й корневой радикал, возведите обе стороны в n -ю степень. При этом удаляется радикальный символ.
3. Решите оставшееся уравнение.
4. Если радикальный термин все еще остается, повторите шаги 1–2.
5. Подтвердите решения, подставив их в исходное уравнение.
Пример 7. Решение уравнения с одним радикалом
Решите [латекс]\,\sqrt{15-2x}=x.[/latex]
Радикал уже изолирован в левой части равной стороны, поэтому приступайте к выравниванию обеих сторон. 9{2}+2x-15\hfill \\ & =& \left(x+5\right)\left(x-3\right)\hfill \\ \hfill x& =& -5\hfill \\ \hfill x& =& 3\hfill \end{array}$$[/latex]
Предлагаемые решения: [latex]-5\,[/latex] и [latex]3.\,[/latex] Проверим каждое решение обратно в исходное уравнение. Сначала проверьте [латекс]\,x=-5.[/латекс]
[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill \sqrt{15-2x}& =& x\hfill \\ \ hfill \sqrt{15-2\left(-5\right)}& =& -5\hfill \\ \hfill \sqrt{25}& =& -5\hfill \\ \hfill 5& \ne & -5\ hfill \end{массив}$$[/latex]
Это постороннее решение. Хотя при решении уравнения не было допущено ошибок, мы нашли решение, не удовлетворяющее исходному уравнению.
Проверка [латекс]\,x=3.[/латекс]
[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill \sqrt{15-2x}& =& x\hfill \\ \hfill \sqrt{15-2\left(3\right)}& =& 3\hfill \\ \hfill \sqrt{9}& =& 3\hfill \\ \hfill 3& =& 3\hfill \end{массив} $$[/latex]
Решение [latex]\,3.[/latex]
Попробуйте
Решите радикальное уравнение: [латекс]\,\sqrt{x+3}=3x-1[/латекс]
Показать ответ
[латекс]х=1;[/латекс] посторонний раствор [латекс]\,х= -\frac{2}{9}[/латекс]
Пример 8. Решение радикального уравнения, содержащего два радикала
Решите [латекс]\,\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}=4.[/latex]
Поскольку это уравнение содержит два радикала, мы выделяем один радикал, устраняем его, а затем изолируем второй радикал.
[латекс]$$\begin{array}{cccc}\hfill \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}& =& 4\hfill & \\ \hfill \sqrt{2x+3} & =& 4-\sqrt{x-2}\hfill & \phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Вычитание}\sqrt{x-2}\text{ с обеих сторон}.\hfill \ \ \ hfill {\ left (\ sqrt {2x + 3} \ right)} ^ {2} & = & {\ left (4- \ sqrt {x-2} \ right)} ^ {2} \ hfill & \ phantom{\rule{2em}{0ex}}\text{Квадрат с обеих сторон}. \hfill \end{массив}$$[/latex] 9{2}-86x+249& =& 0\hfill & \\ \hfill \left(x-3\right)\left(x-83\right)& =& 0\hfill & \phantom{\rule{2em} {0ex}}\text{Умножить и решить}.\hfill \\ \hfill x& =& 3\hfill & \\ \hfill x& =& 83\hfill & \end{array}$$[/latex]
Предлагаемые решения: [латекс]\,3\,[/латекс] и [латекс]\,83.\,[/латекс] Проверьте каждое решение в исходном уравнении.
[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}& =& 4\hfill \\ \hfill \sqrt{2x+3}& =& 4-\sqrt{x-2}\hfill \\ \hfill \sqrt{2\left(3\right)+3}& =& 4-\sqrt{\left(3\right)-2}\ hfill \\ \hfill \sqrt{9}& =& 4-\sqrt{1}\hfill \\ \hfill 3& =& 3\hfill \end{array}$$[/latex]
Одним из решений является [latex]\,3.[/latex]
Проверить [латекс]\,x=83.[/латекс]
[латекс]$$\begin{array}{ccc}\hfill \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-2}& = & 4\hfill \\ \hfill \sqrt{2x+3}& =& 4-\sqrt{x-2}\hfill \\ \hfill \sqrt{2\left(83\right)+3}& =& 4-\sqrt{\left(83-2\right)}\hfill \\ \hfill \sqrt{169}& =& 4-\sqrt{81}\hfill \\ \hfill 13& \ne & -5\hfill \end{массив}$$[/латекс]
Единственным решением является [латекс]\,3. \,[/латекс] Мы видим, что [латекс]\,х=83\,[/латекс] является посторонним решением.
Попробуйте
Решите уравнение с двумя радикалами: [латекс]\,\sqrt{3x+7}+\sqrt{x+2}=1.[/latex]
Показать ответ
[латекс]x=- 2;[/latex] посторонний раствор [латекс]\,x=-1[/latex]
Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с различными типами уравнений.
- Решение рациональных уравнений
- Рациональное уравнение без решения
- Решение радикальных уравнений, часть 1 из 2
- Решение радикальных уравнений, часть 2 из 2
Ключевые понятия
- Рациональное выражение — это частное двух многочленов. Мы используем ЖК-дисплей, чтобы убрать дроби из уравнения. См. пример 1 и пример 2 .
- Все решения рационального уравнения должны быть проверены в исходном уравнении, чтобы избежать неопределенного члена или нуля в знаменателе. См. пример 3, пример 4 и пример 5 .
  No related posts.