Решения систем неравенств: Системы неравенств — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

§ Как решать системы неравенств

Прежде чем перейти к разбору темы «Как решать систему линейных неравенств» обязательно внимательно изучите урок «Как решать неравенства».

Потренируйтесь в решении неравенств, тогда с системами неравенств у вас не возникнет трудностей.

Важно!

Системой неравенств называют два или более неравенства, которые объединены фигурной скобкой.

Рассмотрим пример системы неравенств.

	x > 2
	x > 5

Как видно на примере выше, систему неравенств легко определить по фигурной скобке.

Запомните!

Чтобы решить систему неравенств нужно:

решить отдельно каждое неравенство;
сравнить полученные решения каждого неравенства и получить общий ответ системы.

Вернемся к нашему примеру системы неравенств.

	x > 2
	x > 5

Так как оба неравенства в системе уже решены и представляют собою готовый ответ, то сразу переходим к поиску общего решения всей системы.

Для этого проведем две числовые оси (для каждого из неравенств свою). На осях заштрихуем результат решения неравенств.

Важно!

Числовые оси с решениями нужно располагать друг под другом.

Числа на осях отмечают в порядке возрастания. То есть число «2» будет находиться левее «5».

	x > 2
	x > 5

После того как мы построили числовые оси с решениями неравенств, необходимо провести через отмеченные на осях числа перпендикулярные прямые.

Запомните!

При проведении прямых через точки на осях соблюдают следующие правила:

если точка не входит в область решения («пустая» точка), то рисуют пунктирную линию;
если точка входит в область решения («заполненная» точка), то рисуют сплошную линию.

Проведем прямые через числовые точки на осях.

Для определения ответа найдем те области решения, которые удовлетворяют ответам обоим неравенствам. Другими словами, те области, где в обоих случаях области решений заштрихованы.

Исходя из полученного анализа, мы получаем, что решением системы неравенств будет «x > 5». Запишем полученный ответ.

	x > 2
	x > 5

Ответ: x > 5

Рассмотрим другой пример системы неравенств.

	x
	x ≥ − 2

Так как неравенства в системе снова представляют собой готовые ответы — сразу перейдем к поиску общего решения системы неравенств.

Нарисуем числовые оси для каждого неравенства и отметим на них решения. Проведем через каждое отмеченное число на осях прямую по правилам, описанным выше.

	x
	x ≥ − 2

Выберем те области решений, которые удовлетворяют обоим неравенствам.

Как видно на рисунке выше, область решений, которая подходит для обоих неравенств, находится между числами «−2» и «0».

Когда область решений находится между двумя числами, принято записывать ответ с помощью двойного неравенства.

	x
	x ≥ − 2

Ответ: −2 ≤ x

Запомните!

Запись двойного неравенства используют, когда интервал решения системы неравенств лежит между числами.

Знаки сравнения («

Числа записываются в том же порядке, что они расположены на оси.

Другие примеры решения систем неравенств

В отличии от примеров выше, как правило, в системах неравенств перед поиском общего решения всей системы необходимо предварительно решить каждое из неравенств.

Рассмотрим и решим систему, где неравенства требуют предварительного решения.

Решим линейные неравенства по правилам, описанным в уроке «Решение линейных неравенств». Затем найдем общий ответ системы.

	5(x + 1) − x > 2x + 2
	4(x + 1) − 2 ≤ 2(2x + 1) − x

	5x + 5 − x > 2x + 2
	4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

	5x − x + 5 > 2x + 2
	4x + 4 − 2 ≤ 4x + 2 − x

	4x + 5 > 2x + 2
	4x + 2 ≤ 3x + 2

	4x − 2x > 2 − 5
	4x − 3x ≤ 2 − 2

	2x > −3 \| (:2)
	x ≤ 0

	2x (:2) > −3 (:2)
	x ≤ 0

	x > −
	x ≤ 0

	x > − 1
	x ≤ 0

Ответ: −1

При решении систем неравенств, в которых есть неравенства, содержащие пропорцию, используем правило пропорции.

5(x + 1) ≤ 3(x + 3) + 1

2x − 1

≤

x + 1

	5x + 5 ≤ 3x + 9 + 1
	(2x − 1) · 2 ≤ (x + 1) · 7

	5x − 3x ≤ 10 − 5
	4x − 2 ≤ 7x + 7

	2x ≤ 5
	4x − 7x ≤ 7 + 2

	2x ≤ 5 \| (:2)
	− 3x ≤ 9 \| (:−3)

	2x (:2) ≤ 5 (:2)
	− 3x (:−3) ≥ 9 (:−3)

	x ≤
	x ≥ −3

	x ≤ 2
	x ≥ −3

Ответ: −3 ≤ x ≤ 2

Как решать систему неравенств 8 класс

Основные понятия

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Числовое неравенство — в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков

Типы неравенств

Строгие — используют только больше (>) или меньше (<)

a < b — это значит, что a меньше, чем b.
a > b — это значит, что a больше, чем b.
a > b и b < a означают одно и тоже, то есть равносильны.

Нестрогие — используют сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно)

a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.

Другие типы

a ≠ b — означает, что a не равно b.
a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
знаки >> и << противоположны.

Система неравенств

Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:

Если а > b , то b < а. Также наоборот: а < b, то b > а.

Если а > b и b > c, то а > c. И также если а < b и b < c, то а < c.

Если а > b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
Если же а < b, то а + c < b + c (и а – c < b – c). К обеим частям можно прибавлять или вычитать одну и ту же величину.

Если а > b и c > d, то а + c > b + d.
Если а < b и c < d, то а + c < b + d.
Два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Но важно перепроверять, т.к. возможны исключения. Например, если из 12 > 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а > b и c < d, то а – c > b – d.
Если а < b и c > d, то а – c < b – d.
Из одного неравенства можно почленно вычесть другое противоположного смысла, оставляя знак того, из которого вычиталось.

Если а > b, m — положительное число, то mа > mb и
.
Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа < nb и
.
Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
Если а < b и c < d, где а, b, c, d > 0, то аc < bd.
Неравенства одного смысла на множестве положительных чисел можно почленно перемножать.
Следствием является: если а > b, где а, b > 0, то а² > b², и если а < b, то а² < b². На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

Если а > b, где а, b > 0, то .
Если а < b , то .

Учёба без слёз (бесплатный гайд для родителей)

Пошаговый гайд от Екатерины Мурашовой о том, как перестать делать уроки за ребёнка и выстроить здоровые отношения с учёбой.

Таблица числовых промежутков

Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x < c		x ∈ (−∞; c)
x ≤ c		x ∈ (−∞; c]
x > c		x ∈ (c; +∞)
x ≥ c		x ∈ (c; +∞)

Еще один важный шаг — запись ответа. Вот, как правильно это делать:

Если знак строгий (>, <), точка на оси будет не закрашена, а скобка — круглой.

Если знак нестрогий (≥, ≤), точка на оси будет закрашена, а скобка — квадратной.

Скобка, рядом со знаком бесконечности всегда круглая.

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Решение системы неравенств

Линейное неравенство — то, в котором неизвестное представлено в первой степени. Для его решения нужно, чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом равном единице. Алгоритм решения:

1. Раскрыть скобки, перенести неизвестное в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Получится одно из следующих видов:

ax < b,
ax ≤ b,
ax > b,
ax ≥ b.

2. Если получилось ax ≤ b.Для его решения необходимо поделить левую и правую часть на коэффициент перед неизвестным a.

3. Если a > 0, то x ≤ ba.
Если a < 0, то знак меняется на противоположный.
Получаем x ≥ ba.

4. Записываем ответ как он есть или в соответствии с таблицей числовых промежутков.

Решим пример

3 * (2 − x) > 18

Как решаем

Раскрываем скобки, оставляем неизвестное слево, числа перемещаем вправо, приводим подобные слагаемые.
6 − 3x > 18
−3x > 18 − 6
−3x > 12

Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным. Так как −3 < 0, знак меняется на противоположный.
x < 12−3
x < −4

Ответ: x < −4 или в числовом промежутке x ∈ (−∞; −4).

И еще один

Как решаем

Оставляем неизвестное слева, избавляемся от знаменателя через умножение на это число обеих частей.
Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным.
Так как — 2 < 0, знак меняется на противоположный.

Ответ: х < – 2.

Последний, чтобы разобраться наверняка

Как решаем

Проверим, что неизвестное находится слева.
Делим обе части на коэффициент, который стоит перед неизвестным в каждом из них.

Ответ: числовой промежуток x ∈ (– 2; 0].

определение, понятие, алгоритм и примеры

Понятие системы неравенств с одной переменной и его решения

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} x+7 \ge 2 \\ x-4 \lt 1 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -5 \\ x \lt 5 \end{array} \right.} \iff -5 \le x \lt 5 или x \in \Bbb[-5;5)$ — полуинтервал

О пересечении числовых промежутков подробней см. §17 данного справочника

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника. Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Шаг 1. Найти множество частных решений для каждого из неравенств системы. Если хотя бы одно из частных решений является пустым множеством, вся система неравенств не имеет решений; перейти к шагу 4.

Шаг 2. Начертить друг под другом числовые прямые, число которых равно числу полученных частных решений. Начала отсчёта числовых прямых должны находиться на общем перпендикуляре, единичный отрезок должен совпадать .

Шаг 3. На числовых прямых изобразить полученные частные решения, на отдельной прямой найти их пересечение – это и будет общим решением системы .

Шаг 4. Работа завершена.

Например: ${\left\{ \begin{array}{c} x-2 \lt 1 \\ x+5 \ge 6 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 3 \\ x \ge 1 \end{array} \right.} \iff 1 \le x \lt 3 или x \in \Bbb[1;3)$ — полуинтервал

Например:

1) В системе $ {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end{array} \right. } $ наибольшее число (условие) справа 5.

По принципу «больше большего» останется: $ {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \gt 2 \\ x \gt 3 \end{array} \right.} \iff x \gt 5 $

2) В системе $ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} $ наименьшее число (условие) справа 2.

По принципу «меньше меньшего» останется: $ {\left\{ \begin{array}{c} x \lt 5 \\ x \lt 2 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} \iff x \lt 2 $

Примеры

Пример 1. Решите системы уравнений:

$а) {\left\{ \begin{array}{c} 2(x-8) \ge x-16 \\ 3(x+1) \le 11 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 2x-x \ge -16+16 \\ 2x \le 11-3 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge 0 \\ 2x \le 8 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge 0 \\ x \le 4 \end{array} \right.} \iff 0 \le x \le 4$

$x \in [0;4]$ — интервал

$б) {\left\{ \begin{array}{c} 5(x-6) \gt x-10 \\ 4(x-1) \lt x+5 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 5x-x \gt 30-10 \\ 4x-x \lt 5+4 \end{array} \right. } \iff {\left\{ \begin{array}{c} 4x \gt 20 \\ 3x \lt 9 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \lt 3 \end{array} \right.} \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing$ — решений нет

$в) {\left\{ \begin{array}{c} -5 \lt 3x+1 \le 4 \\ 3 \lt 2x+5 \lt 9 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -5-1 \lt 3x \le 4-1 \\ 3-5 \lt 2x \lt 9-5 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -6 \lt 3x \le 3 \\ -2 \lt 2x \lt 4 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} -2 \lt x \le 1 \\ -1 \lt x \lt 2 \end{array} \right.} \iff$

$$\iff -1 \lt x \le 1$$

$x \in (-1;1] $ — полуинтервал

Пример 2. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение:

$ а) \sqrt{x+2} + \sqrt{4-x} $

$ {\left\{ \begin{array}{c} x+2 \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -2 \\ x \le 4 \end{array} \right.} \iff -2 \le x \le 4 $

$x \in [-2;4]$

$ б) \sqrt{2x+3} + \frac{1}{x-4}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} 2x+3 \ge 0 \\ x-4 \neq 0 \end{array} \right. } \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -1,5 \\ x \neq 4 \end{array} \right.}$

$x \in [-1,5;4) \cup (4;+ \infty) $

$ в) \frac{1}{\sqrt{x-5}} + \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} x-5 \gt 0 \\ 1-x \gt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \gt 5 \\ x \lt 1 \end{array} \right.} \iff x \in \varnothing$

$x \in \varnothing $ — решений нет

$ г) {\sqrt{x+3}} + \frac{1}{\sqrt{x+1}}$

$ {\left\{ \begin{array}{c} x+3 \ge 0 \\ x+1 \gt 0 \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} x \ge -3 \\ x \gt -1 \end{array} \right.} \iff x>-1$

$x \in (-1;+ \infty) $

Пример 3*. У космического пирата Шутзема несколько затруднительное финансовое положение и только 510 астротугриков в кармане. Однако ему нужно пополнить запасы топлива и продовольствия. Одна капсула с топливом стоит 50 астротугриков, а одна капсула с едой – 30 астротугриков. Какой вариант покупок есть у Шутзема на всю сумму без сдачи, если топлива нужно не менее 4 капсул, а еды – не менее 5?

Пусть x — количество капсул с топливом, y – количество капсул с едой.

По условию задачи:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 50x+30y \le 500 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end{array} \right.} \iff {\left\{ \begin{array}{c} 5x+3y \le 50 \\ x \ge 4 \\ y \ge 5 \\ x,y \in \Bbb N \end{array} \right.} $$

Изобразим полученные полуплоскости графически и найдём их пересечение.

Прямая сверху – это бюджетное ограничение.

На этой прямой в области допустимых значений (закрашенный треугольник, стороны включительно) есть только одно целое решение: $ {\left\{ \begin{array}{c} x = 6 \\ y = 7 \end{array} \right.} $

Ответ: 6 капсул топлива и 7 капсул еды.

Алгебра Решение неравенств с одной переменной. Системы и совокупности неравенств

Сегодня на уроке мы обобщим наши знания при решении систем неравенств и изучим решение совокупности систем неравенств.

Текст.

Тема «Системы и совокупности неравенств»

Определение первое.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.

Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто — решение системы неравенств).

Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Текст.

Определение 1.

несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением системы неравенств.

Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств (чаще говорят просто решение системы неравенств).

Решить систему неравенств – значит найти все ее частные решения, либо доказать, что у данной системы решений нет.

Запомните! Решение системы неравенств – это пересечение решений неравенств, входящих в систему.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.

Текст.

Запомните! Решение системы неравенств – это пересечение решений неравенств, входящих в систему.

Неравенства, входящие в систему, объединяются фигурной скобкой.

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

Перовое — отдельно решить каждое неравенство.

Второе — найти пересечение найденных решений.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств

Текст.

Алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

1) отдельно решить каждое неравенство;

2) найти пересечение найденных решений.

Это пересечение и является множеством решений системы неравенств

Задание 1

Решить систему неравенств семь икс минус сорок два меньше либо равно нулю и два икс минус семь больше нуля.

Решение первого неравенства — икс меньше либо равно шести, второго неравенства – икс больше семи вторых. Отметим эти промежутки на координатной прямой. Решение первого неравенства помечено штриховкой снизу, второго неравенства – штриховкой сверху. Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств, то есть промежуток, на котором обе штриховки совпали. В итоге получаем полуинтервал от семи вторых до шести, включая шесть.

Задание 2

Решить систему неравенств: икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля и икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.

Решение

Решим первое неравенство — икс квадрат плюс икс минус шесть больше нуля.

Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс минус шесть. Нули функции: икс первое равно минус трем, икс второе равно двум. Изображая схематически параболу, найдем, что решением первого неравенства является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Решим второе неравенство системы икс квадрат плюс икс плюс шесть больше нуля.

Рассмотрим функцию игрек равен икс квадрат плюс икс плюс шесть. Дискриминант равен минус двадцати трем меньше нуля, значит, функция не имеет нулей. Парабола не имеет общих точек с осью Ох. Изображая схематически параболу, найдем, что решением неравенства является множество всех чисел.

Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы.

Из рисунка видно, что решением системы является объединение открытых числовых лучей от минус бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Ответ: объединение открытых числовых лучей от минуса бесконечности до минус трех и от двух до плюс бесконечности.

Текст.

Пример2.

Решить систему неравенств

х²+х-6>0;

х²+х+6>0.

Решение.

Решим первое неравенство х²+х-6>0.

Рассмотрим функцию у= х²+х-6. Нули функции:х₁= -3, х₂=2. Изображая схематически параболу

Найдем, что у>0 при х ∈(-∞;-3) U(2;+∞).

Решим второе неравенство системы х²+х+6>0. Рассмотрим функцию у= х²+х+6. D= -23

Найдем, что х²+х+6>0 при всех значениях х.

Изобразим на координатной прямой решения неравенств системы

Таким образом решением системы является (-∞;-3) U(2;+∞).

Ответ: (-∞;-3) U(2;+∞).

Запомните! Если в системе из нескольких неравенств одно является следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно отбросить.

Текст.

Рассмотрим пример решения неравенства системой.

Задание 3

Решить неравенство логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно единице.

Решение

ОДЗ неравенства задается условием икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше нуля. Представим число один как логарифм двух по основанию два и получим неравенство — логарифм выражения икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два по основанию два больше либо равно логарифму двух по основанию два.

Видим, что основание логарифма равно двум больше одного, то приходим к равносильному неравенству икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок два больше либо равно двум. Следовательно, решение данного логарифмического неравенства сводится к решению системы двух квадратных неравенств.

Причем легко заметить, если выполнено второе неравенство, то тем более выполняется первое неравенство. Поэтому первое неравенство – следствие второго, и его можно отбросить. Второе неравенство преобразуем и запишем в виде: икс квадрат минус тринадцать икс плюс сорок больше нуля. Решением его является объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.

Ответ: объединение двух числовых лучей от минус бесконечности до пяти и от восьми до плюс бесконечности.

открытых числовых лучей

Текст.

Пример 3.

Решить неравенство log₂(х² -13х +42)≥1.

Решение.

ОДЗ : х² -13х +42>0.

1= log₂2,

log₂(х² -13х +42)≥ log₂2

Т.к. 2>1, то получим

х² -13х +42≥ 2.

Имеем:

х² -13х +42>0,

х² -13х +42≥ 2.

х² -13х +40>0

х∈(-∞;5] U[8;+∞)

Ответ: (-∞;5] U[8;+∞)

Определение второе.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.

Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.

Множество всех частных решений совокупности неравенств представляет собой общее решение совокупности неравенств.

Текст.

Определение 2.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением, хотя бы одного из заданных неравенств.

Каждое такое значение переменной называют частным решением совокупности неравенств.

Запомните! Решение совокупности неравенств – объединение решений неравенств, входящих в совокупность.

Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.

Текст.

Запомните! Решение совокупности неравенств – объединение решений неравенств, входящих в совокупность.

Неравенства, входящие в совокупность, объединяются квадратной скобкой.

Алгоритм решения совокупности неравенств:

Первое — отдельно решить каждое неравенство.

Второе — найти объединение найденных решений.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Текст.

Алгоритм решения совокупности неравенств:

1)отдельно решить каждое неравенство;

2) найти объединение найденных решений.

Это объединение и является решением совокупности неравенств.

Задание 4

Решить совокупность неравенств:

ноль целых две десятых умноженное на разность двух икс и трех меньше икс минус два;

пять икс минус семь больше икс минус шесть.

Решение

Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность

икс больше семи третьих;

икс больше одной четвертой.

Для первого неравенства множеством решений служит промежуток от семи третьих до плюс бесконечности, а для второго – промежуток от одной четвертой до плюс бесконечности.

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенствам икс больше семи третьих и икс больше одной четвертой.

Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.

Ответ: открытый числовой луч от одной четвертой до плюс бесконечности.

Текст.

Задание 5

Решить совокупность неравенств:

два икс минус один меньше трех и три икс минус два больше либо равно десяти.

Решение

Преобразуем каждое из неравенств. Получим равносильную совокупность неравенств: икс больше двух и икс больше либо равно четырем.

Изобразим на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих этим неравенствам.

Находим, что объединением этих множеств, т.е. решением данной совокупности неравенств, является открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Ответ: открытый числовой луч от двух до плюс бесконечности.

Текст.

Пример5.

Решить совокупность неравенств

2х-1>3,

3х-2≥10.

Решение.

х>2,

х≥4.

(2;+∞) U [4;+∞)=( 2;+∞)

Ответ: (2;+∞).

Системы неравенств онлайн с решением. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Определение 1

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2 · x − 3 > 0 и 5 − x ≥ 4 · x − 11 . Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

количество неравенств системы;
количество переменных записи;
вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2 · x — 3 > 0 , 5 — x ≥ 4 · x — 11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x ≥ — 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 — x 2 — 4 · y 2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x , y , z . Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 и 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

При записи системы могут быть задействованы уравнения разных видов и с разным количеством переменных. Чаще всего встречаются целые неравенства разных степеней. При подготовке к экзаменам могут встретиться системы с иррациональными, логарифмическими, показательными уравнениями вида:

544 — 4 — x 32 — 2 — x ≥ 17 , log x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Такая система включает в себя показательное и логарифмическое уравнение.

Решение системы неравенств

Определение 2

Рассмотрим пример решения систем уравнений с одной переменной.

x > 7 , 2 — 3 · x ≤ 0

Если значение х = 8 , то решение системы очевидно, так как выполняется 8 > 7 и 2 − 3 · 8 ≤ 0 . При х = 1 система не решится, так как первое числовое неравенство во время подстановки имеет 1 > 7 . Таким же образом решается система с двумя и более переменными.

Определение 3

Решение системы неравенств с двумя и более переменными называют значения, которые являются решением всех неравенств при обращении каждого в верное числовое неравенство.

Если х = 1 и у = 2 будет решением неравенства x + y

При решении системы неравенств могут давать определенное количество ответов, а могут и бесконечное. Имеется ввиду множество решений такой системы. При отсутствии решений говорят о том, что она имеет пустое множество решений. Если решение имеет определенное число, тогда множества решений имеет конечное число элементов. Если решений много, тогда множество решений содержит бесконечное множество чисел.

Некоторые учебники дают определение частного решения системы неравенств, которое понимается как отдельно взятое решение. А общим решением системы неравенствсчитают все его частные решения. Такое определение используется редко, поэтому говорят «решение системы неравенств».

Данные определения систем неравенств и решения рассматриваются как пересечения множеств решений всех неравенств системы. Особое внимание стоит уделить разделу, посвященному равносильным неравенствам.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Системой неравенств принято называть любую совокупность двух или более неравенств, содержащих неизвестную величину.

Наглядно данную формулировку иллюстрируют, к примеру, такие системы неравенств :

Решить систему неравенств — означает найти все значения неизвестной переменной, при которых реализуется каждое неравенство системы, либо обосновать, что таких не бывает.

Значит, для каждого отдельного неравенства системы вычисляем неизвестную переменную. Далее из получившихся значений выбирает только те, которые верны и для первого и для второго неравенства. Следовательно, при подстановке выбранного значения оба неравенства системы становятся правильными.

Разберем решение нескольких неравенств:

Разместим одну под другой пару числовых прямых; на верхнею нанесем величину x , при которых первое неравенств о (x > 1) становиться верным, а на нижней—величину х , которые являются решением второго неравенства (х > 4).

Сопоставив данные на числовых прямых , отметим, что решением для обоих неравенств будет х > 4. 2-1)≥0\\x

Решение системы неравенств

Чтобы

решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.

Пример. Решим систему $\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}$
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше $4$. То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из $(4;\infty)$, или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, то есть любой икс из интервала $(-\infty;7]$ или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

Ответ: $(4;7]$

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.

Пример: (Задание из ОГЭ) Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)
Решение:

\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)	Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.


	Перевернем получившееся неравенство.
	Поделим все неравенство на $2$.

	Запишем ответ для первого неравенства.
$x∈(-∞;4)$	Теперь решим второе неравенство.
2) \((x-5)(x+8)	Неравенство уже в идеальном виде для применения .
	Запишем ответ для второго неравенства.
	Объединим оба решения с помощью числовых осей. 2\)
	Перед нами обычное – выразим $x$. Для этого перенесем $10$ в правую часть.
	Поделим неравенство на $-2$. Так как число отрицательное меняем знак неравенства.
	Отметим решение на числовой прямой.
	Запишем ответ к первому неравенству.
$x∈(-∞;5]$	На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.
2) $2-7x≤14-3x$	Опять линейное неравенство – опять выражаем $x$.
$-7x+3x≤14-2$	Приводим подобные слагаемые.
	Делим все неравенство на $-4$, перевернув при этом знак.
	Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства.
$x∈[-3;∞)$	А теперь объединим решения. 2-55x+2500\end{cases}\)

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения .

Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Важный момент

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

А у неравенства |x|

Для чего нужен калькулятор неравенств?

Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?

Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.

В этой статье собрана начальная информация о системах неравенств. Здесь дано определение системы неравенств и определение решения системы неравенств. А также перечислены основные виды систем, с которыми наиболее часто приходится работать на уроках алгебры в школе, и приведены примеры.

Навигация по странице.

Что такое система неравенств?

Системы неравенств удобно определить аналогично тому, как мы вводили определение системы уравнений , то есть, по виду записи и смыслу, вложенному в нее.

Определение.

Система неравенств – это запись, представляющая собой некоторое число записанных друг под другом неравенств, объединенных слева фигурной скобкой, и обозначающая множество всех решений, являющихся одновременно решениями каждого неравенства системы.

Приведем пример системы неравенств. Возьмем два произвольных , например, 2·x−3>0 и 5−x≥4·x−11 , запишем их одно под другим
2·x−3>0 ,
5−x≥4·x−11
и объединим знаком системы – фигурной скобкой, в результате получим систему неравенств такого вида:

Аналогично дается представление о системах неравенств в школьных учебниках. Стоит отметить, что в них определения даются более узко: для неравенств с одной переменной или с двумя переменными .

Основные виды систем неравенств

Понятно, что можно составить бесконечно много различных систем неравенств. Чтобы не заблудиться в этом многообразии, их целесообразно рассматривать по группам, имеющим свои отличительные признаки. Все системы неравенств можно разбить на группы по следующим критериям:

по числу неравенств в системе;
по числу переменных, участвующих в записи;
по виду самих неравенств.

По числу неравенств, входящих в запись, различают системы двух, трех, четырех и т.д. неравенств. В предыдущем пункте мы привели пример системы , которая является системой двух неравенств. Покажем еще пример системы четырех неравенств .

Отдельно скажем, что нет смысла говорить о системе одного неравенства, в этом случае по сути речь идет о самом неравенстве, а не о системе.

Если смотреть на число переменных, то имеют место системы неравенств с одной, двумя, тремя и т.д. переменными (или, как еще говорят, неизвестными). Посмотрите на последнюю систему неравенств, записанную двумя абзацами выше. Это система с тремя переменными x , y и z . Обратите внимание, что ее два первых неравенства содержат не все три переменные, а лишь по одной из них. В контексте этой системы их стоит понимать как неравенства с тремя переменными вида x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 соответственно. Заметим, что в школе основное внимание уделяется неравенствам с одной переменной.

Осталось обговорить, какие виды неравенств участвуют в записи систем. В школе в основном рассматривают системы двух неравенств (реже – трех, еще реже — четырех и более) с одной или двумя переменными, причем сами неравенства обычно являются целыми неравенствами первой или второй степени (реже – более высоких степеней или дробно рациональными). Но не удивляйтесь, если в материалах по подготовке к ОГЭ столкнетесь с системами неравенств, содержащими иррациональные, логарифмические, показательные и другие неравенства. В качестве примера приведем систему неравенств , она взята из .

Что называется решением системы неравенств?

Введем еще одно определение, связанное с системами неравенств, — определение решения системы неравенств :

Определение.

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, обращающее каждое из неравенств системы в верное , другими словами, являющееся решением каждого неравенства системы.

Поясним на примере. Возьмем систему двух неравенств с одной переменной . Возьмем значение переменной x , равное 8 , оно является решением нашей системы неравенств по определению, так как его подстановка в неравенства системы дает два верных числовых неравенства 8>7 и 2−3·8≤0 . Напротив, единица не является решением системы, так как при ее подстановке вместо переменной x первое неравенство обратится в неверное числовое неравенство 1>7 .

Аналогично можно ввести определение решения системы неравенств с двумя, тремя и большим числом переменных:

Определение.

Решением системы неравенств с двумя, тремя и т.д. переменными называется пара, тройка и т.д. значений этих переменных, которая одновременно является решением каждого неравенства системы, то есть, обращает каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

К примеру, пара значений x=1 , y=2 или в другой записи (1, 2) является решением системы неравенств с двумя переменными , так как 1+2

Системы неравенств могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений, а могут иметь и бесконечно много решений. Часто говорят о множестве решений системы неравенств. Когда система не имеет решений, то имеет место пустое множество ее решений. Когда решений конечное число, то множество решений содержит конечное число элементов, а когда решений бесконечно много, то и множество решений состоит из бесконечного числа элементов.

В некоторых источниках вводятся определения частного и общего решения системы неравенств, как, например, в учебниках Мордковича . Под частным решением системы неравенств понимают ее одно отдельно взятое решение. В свою очередь общее решение системы неравенств — это все ее частные решения. Однако в этих терминах есть смысл лишь тогда, когда требуется особо подчеркнуть, о каком решении идет речь, но обычно это и так понятно из контекста, поэтому намного чаще говорят просто «решение системы неравенств».

Из введенных в этой статье определений системы неравенств и ее решений следует, что решение системы неравенств представляет собой пересечение множеств решений всех неравенств этой системы.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2009. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 2-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2008. — 287 с. : ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
ЕГЭ -2013. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2012. – 192 с. – (ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе).

Система неравенств и ее решение

Определение и формулы систем неравенства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если требуется найти общие решения двух или нескольких неравенств, то они говорят, что необходимо решить систему неравенств.

Как и система уравнений, система неравенств записывается с использованием фигурной скобки.

Решением системы неравенств является значение переменных, которые преобразуют каждое неравенство системы в действительное числовое неравенство.

Все решения системы неравенств образуют множество решений системы неравенств. Если система не имеет решений, то говорят, что множество ее решений является пустым множеством: $\ x \in \emptyset $

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти пересечение наборов решений неравенств, входящих в систему, т. Е. Общих точек числовых интервалов.

Примеры решения систем неравенств

ПРИМЕР 1

Задача

Решить систему неравенств

$\ \left\{\begin{array}{l}{3 x-1>-7} \\ {3-4 x>-9}\end{array}\right. $

Решение.

Данная система может быть преобразована в форму.

$\ \left\{\begin{array}{l}{3 x>-6} \\ {-4 x>-12}\end{array}\right. $

или же

\(\ \left\{\begin{array}{l}{x>-2} \\ {x

Пример решения системы неравенств

Используя координатную линию, находим пересечение множеств решений неравенств этой системы, т. Е. Пересечение промежутков $\ (-2 ;+\infty) $и $\ (-\infty ; 3) $ (рис.1). Желаемое пересечение состоит из чисел, удовлетворяющих неравенству -2

Ответ (-2; 3)

ПРИМЕР 2

Задача

Чтобы найти домен определения функции

$\ y=\sqrt{3 x+3}-\frac{1}{\sqrt{15-5 x}} $

Решение.

Искомая область определения представляет собой набор системных решений.

$\ \left\{\begin{array}{l}{3 x+3 \geq 0} \\ {15-5 x>0}\end{array}\right. $

Преобразуем эту систему в форму \(\ \left\{\begin{array}{l}{x \geq-1} \\ {x (Фиг.2)

Область решения системы неравенств

Ответ $\ [-1 ; 3) $

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Логарифмические неравенства и их решение Квадратные неравенства и их решение Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и ее формулы Формула n-го члена геометрической прогрессии

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Определение решений систем линейных неравенств

Результаты обучения

Определение решений систем линейных неравенств

График системы двух неравенств

Помните из модуля по построению графиков, что график одного линейного неравенства разбивает координатную плоскость на две области. На одной стороне лежат все решения неравенства. С другой стороны решений нет. Рассмотрим график неравенства [latex]y<2x+5[/latex].

Пунктирная линия: [латекс]у=2х+5[/латекс]. Каждая упорядоченная пара в заштрихованной области под линией является решением [латекс]y<2x+5[/латекс], так как все точки под линией сделают неравенство верным. Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить в неравенство координаты x и y точек A и B; вы увидите, что они работают. Итак, заштрихованная область показывает все решения этого неравенства.

Линия границы делит координатную плоскость пополам. В этом случае она показана пунктирной линией, так как точки на прямой не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было [латекс]y\leq2x+5[/латекс], то граница была бы сплошной.

Теперь нарисуйте другое неравенство: [latex]y>−x[/latex]. Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону линии границы следует заштриховать. Проверка точек M и N дает верные утверждения. Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирная, так как точки на прямой не соответствуют действительности.

Чтобы создать систему неравенств, вам нужно построить два или более неравенства вместе. Давайте использовать [latex]y<2x+5[/latex] и [latex]y>−x[/latex], так как мы уже построили график каждого из них.

Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств. Эта область является решением системы неравенств. Любая точка в этой фиолетовой области будет верна как для [латекс]у>-х[/латекс], так и для [латекс]у<2x+5[/латекс].

В следующих видео-примерах показано, как построить график системы линейных неравенств и определить область решения.

В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств. Алгебраически проверим, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

На приведенном выше графике видно, что точки B и N являются решениями системы, поскольку их координаты делают оба неравенства верными.

Напротив, точки M и A лежат вне области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства [latex]y>−x[/latex], а точка A является решением неравенства [latex]y<2x+5[/latex], ни одна из точек не является решением система . В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.

Вот график системы в приведенном выше примере. Обратите внимание, что [латекс](2, 1)[/латекс] находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия двух неравенств.

Вот график системы выше. Обратите внимание, что [латекс](2, 1)[/латекс] не находится в фиолетовой области, которая является перекрывающейся областью; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).

В следующем видео мы покажем еще один пример определения того, входит ли точка в решение системы линейных неравенств.

Как показано выше, решение системы неравенств можно найти, изобразив каждое неравенство в виде графика и указав область, которую они разделяют. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графе для системы двух линейных неравенств. Общие шаги описаны ниже:

Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли она сплошной или пунктирной.
Определите, какая сторона каждой граничной линии представляет решения неравенства, проверив точки на каждой стороне.
Закрасьте область, представляющую решения для обоих неравенств.

Системы без решений

В следующем примере мы покажем решение системы двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу. Когда графики системы двух линейных уравнений параллельны друг другу, мы обнаружили, что система не имеет решения. Аналогичный результат мы получим для следующей системы линейных неравенств.

Примеры

График системы [латекс]\начало{массив}{с}у\ге2х+1\\у\lt2x-3\конец{массив}[/латекс]

Показать решение

Резюме

Решениями систем линейных неравенств являются целые области точек.
Вы можете проверить, является ли точка решением системы линейных неравенств, таким же образом, как вы проверяете, является ли точка решением системы уравнений.
Системы неравенств не могут иметь решений, если граничные линии параллельны.

4.2: Графические системы линейных неравенств

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 40131

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств.
Решите систему линейных неравенств с помощью графика.
Решите приложения систем неравенств.

Предварительные навыки

Прежде чем начать, пройдите этот обязательный тест.

1. Является ли $(3, 12)$ решением задачи $y>2x+3$?

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

Да, потому что $12>9$.

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите раздел 4.1 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

2. Нарисуйте все решения задачи $2x-3y<12$.

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите раздел 4.1 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

3. Где пересекаются прямые $y=2x+1$ и $y=-3x+6$?

Нажмите здесь, чтобы проверить свой ответ

$(1, 3)$

Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Раздел 3. 1 . (Обратите внимание, что это откроется в новом окне.)

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Два или более линейных неравенства, сгруппированные вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений содержит неравенства. Здесь показана система двух линейных неравенств.

\[\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y<12\end{array}\right.\nonumber\]

Для решения системы линейных неравенств , найдем значения переменных, являющихся решениями обоих неравенств. Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика. Мы найдем область на плоскости, которая содержит все упорядоченные пары $(x,y)$, которые делают оба неравенства верными.

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Решения системы линейных неравенств – это значения переменных, при которых все неравенства выполняются.

Решение системы линейных неравенств показано в виде заштрихованной области в системе координат x, y , которая включает все точки, упорядоченные пары которых делают неравенства верными.

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, подставим в каждое неравенство значения переменных. Если упорядоченная пара делает оба неравенства верными, это решение системы.

Пример $\PageIndex{1}$

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы $\left\{\begin{array} {l} x+4y\geq 10\\3x−2y <12\конец{массив}\справа.$

а. $(−2,4)$

б. $(3,1)$

Ответ

а. Является ли упорядоченная пара $(−2,4)$ решением?

Упорядоченная пара $(−2,4)$ сделала оба неравенства верными. Поэтому $(−2,4)$ является решением этой системы.

б. Является ли упорядоченная пара $(3,1)$ решением?

Упорядоченная пара $(3,1)$ сделала одно неравенство истинным, а другое ложным. Поэтому $(3,1)$ не является решением этой системы.

Пример $\PageIndex{2}$

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы: $\left\{ \begin{array} {l} x−5y>10\\2x+3y >−2 \end{массив} \right.$

а. $(3,−1)$

б. $(6,−3)$

Ответ: а. нет б. да

Пример $\PageIndex{3}$

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы: $\left\{ \begin{array} {l} y>4x−2\\4x−y <20 \end{массив} \right.$

а. $(−2,1)$

б. $(4,−1)$

Ответ: а. да б. №

Решение системы линейных неравенств с помощью графика

Решением одного линейного неравенства является область по одну сторону от граничной линии, содержащая все точки, подтверждающие истинность неравенства. Решением системы двух линейных неравенств называется область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы изобразим каждое неравенство отдельно, а затем найдем область, в которой они оба верны. Решение всегда отображается в виде графика.

РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА.

Нарисуйте первое неравенство.
- Нарисуйте линию границы.
- Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
На той же сетке изобразите второе неравенство.
- Нарисуйте линию границы.
- Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
Решение — это область, в которой затенение перекрывается.
Проверка путем выбора контрольной точки.

Пример $\PageIndex{4}$: как решить систему линейных неравенств с помощью графика

Решить систему с помощью графика: $\left\{\begin{array} {l} y\geq 2x− 1 \\ y $

Решение

Пример $\PageIndex{5}$

Решите систему, построив график: $\left\ {\begin{массив} {l} y<3x+2\\y>−x−1\end{массив}\right.$

Ответ

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{6}$

Решите систему, построив график: $\left\{\begin{array} {l} y<−\dfrac{1}{2}x+3 \\ y<3x−4\end{массив}\right.$

Ответ

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{7}$

Решите систему, построив график: $\left\{\begin{array} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{ массив}\справа.$

Ответить

The intercepts are x equal to three and y equal to minus three and the boundary line is dashed. Test with point with coordinates zero and zero which makes the inequality false so shade the side that does not contain this point in red.»>

$\left\{\begin{массив} {l} x−y>3\\y<−15x+4\end{массив}\right.$

График x − y > 3, путем построения графика x − y = 3
и проверки точки.

Точки пересечения составляют x = 3 и y = −3, а граничная линия
будет пунктирной.

Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому заштрихуйте
(красный) сторона, не содержащая (0, 0).

График $y<−15x+4$ путем построения графика $y=−15x+4$
с использованием наклона $m=−15$ и y -точка пересечения b = 4.
Граничная линия будет пунктирной

Проверка (0, 0), подтверждающая неравенство, поэтому
закрасьте (синим) сторону, содержащую (0, 0).

Выберите контрольную точку в решении и убедитесь, что она является решением обоих неравенств.

Точка пересечения двух линий не включена, поскольку обе граничные линии были пунктирными. Решением является область, заштрихованная дважды, которая выглядит как самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{8}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} x+y\leq 2 \\ y\geq \frac{2} {3}x−1\end{массив}\right.$

Ответ

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{9}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\leq 6\\y>−\frac{1} {4}x+5\end{массив} \right.$

Ответ

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{10}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} x−2y<5\\y>−4\end{array} \правильно. $

Ответить

$\left\{\begin{массив} {l} x−2y<5\\y>−4\end{массив}\right.$

Постройте график $x−2y<5$, построив график $x−2y=5$
и проверив точку. Точки пересечения равны
x = 5 и y = −2,5, а граничная линия
будет пунктирной.

Проверка (0, 0), которая делает неравенство верным, поэтому закрасьте
(красным) сторону, содержащую (0, 0).

Постройте график $y>−4$, изобразив $y=−4$ и
, признав, что это горизонтальная линия
, проходящая через $y=−4$. Линия границы будет
пунктирной.

Проверка (0, 0), которая делает неравенство
верным, поэтому закрасьте (синим) сторону, содержащую (0, 0).

Точка $(0,0)$ находится в решении, и мы уже нашли, что она является решением каждого неравенства. Точка пересечения двух линий не включена, так как обе граничные линии были заштрихованы.

Решение представляет собой область, заштрихованную дважды, которая выглядит как самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{11}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x−2 \\ y<−1\end{array }\право.$

Ответ

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{12}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} x>−4x−2 \\ y\geq −4 \end{ массив}\справа.$

Ответить

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Системы линейных неравенств, в которых граничные линии параллельны, могут не иметь решения. Мы увидим это в следующем примере.

Пример $\PageIndex{13}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4} {3}x+1\end{массив}\right. $

Ответ

	$\left\{\begin{array} {l} 4x+3y\geq 12 \\ y<−\frac{4}{3}x+1\end{array}\right. $
График $4x+3y\geq 12$ путем построения графика $4x+3y=12$ и проверки точки. Точки пересечения составляют x = 3· и y = 4, и линия границы будет сплошной. Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому закрасит (красным) сторону, не содержащую (0, 0).
График $y<−\frac{4}{3}x+1$ путем построения графика $y=−\frac{4}{3}x+1$ с использованием наклона $m= −\frac{4}{3}$ и y — точка пересечения b = 1. Линия границы будет пунктирной. Тест (0, 0), который делает неравенство верным, поэтому закрасит (синим) сторону, содержащую (0, 0).

В обеих заштрихованных областях нет точек, поэтому система не имеет решения.

Пример $\PageIndex{14}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} 3x−2y\geq 12 \\ y\geq \frac{3} {2}x+1\конец{массив}\справа.$

Ответ

Нет решения.

Пример $\PageIndex{15}$

Решите систему с помощью графика: $\left\{\begin{array} {l} x+3y>8\\y<−\frac{1}{ 3}x−2\end{массив}\right.$

Ответ

Нет решения.

Некоторые системы линейных неравенств, в которых граничные линии параллельны, будут иметь решение. Мы увидим это в следующем примере.

Пример $\PageIndex{16}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x −2y<−4\end{массив}\right.$

Ответ

The boundary line is dashed. Test with point with coordinates zero and zero which makes the inequality so the side that contains this point is shaded red. Next the graph of x minus two times y less than minus four is made by graphing x minus two times y equal to minus four. The intercepts are x equal to minus four and y equal to two. The boundary line is dashed.»>

$\left\{\begin{массив} {l} y>\frac{1}{2}x−4\\x−2y<−4\end{массив}\right.$

График $y>\frac{1}{2}x−4$ путем построения графика $y=\frac{1}{2}x−4$
с использованием наклона $m=\frac {1}{2}$ и точка пересечения
b = −4. Линия границы будет пунктирной.

Тест (0, 0), который делает неравенство верным, поэтому
закрасит (красным) сторону, содержащую (0, 0).

График $x−2y<−4$ с помощью графика $x−2y=−4$
и проверка точки.

Пересечения равны
x = −4 и y = 2, а граничная линия будет пунктирной.

Выберите контрольную точку в решении и убедитесь, что
является решением обоих неравенств.

Тест (0, 0), который делает неравенство ложным, поэтому
закрасит (синим) сторону, не содержащую (0, 0).

Ни одна точка на граничных линиях не включена в решение, так как обе линии заштрихованы.

Решением является дважды заштрихованная область, которая также является решением $x−2y<−4$.

Пример $\PageIndex{17}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} y\geq 3x+1 \\ −3x+y\geq −4 \end{массив}\right.$

Ответ

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Пример $\PageIndex{18}$

Решите систему графически: $\left\{\begin{array} {l} y\leq −\frac{1}{4}x+2\ \x+4y\leq 4\end{массив}\right. $

Ответить

Раствор — самая темная заштрихованная область.

Решение приложений систем неравенств

Первое, что нам нужно сделать для решения приложений систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы наносим систему на график, как мы делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичны только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому мы добавляем в систему неравенства в качестве дополнительных требований.

Пример $\PageIndex{19}$

Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 доллара, а каждая большая фотография — 10 долларов. Она не хочет тратить более 200 долларов на фотографии для показа.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
б. Нарисуйте систему.
с. Может ли она показать 10 маленьких и 20 больших фотографий?
д. Сможет ли она показать 20 больших и 10 маленьких фотографий?

Ответить

а.
$\begin{array} {ll} \text{Let} &{x=\text{количество маленьких фото.}} \\ {} &{y=\text{количество больших фото}}\ конец{массив}$

Чтобы найти систему уравнений, переведите информацию.

$ \qquad \begin{array} {l} \\ \\ \text{Она хочет иметь не менее 25 фотографий.} \\ \text{Количество маленьких плюс количество больших должно быть не менее }25 . \\ \hspace{45mm} x+y\geq 25 \\ \\ \\ $4 \text{ для каждого маленького и }$10\text{ для каждого большого должно быть не более }$200 \\ \hspace{40mm} 4x+10y\leq 200 \\ \\ \\ \text{Количество маленьких фотографий должно быть больше или равно }0. \\ \hspace{50mm} x\geq 0 \\ \\ \\ \text{ Количество больших фотографий должно быть больше или равно }0. \\ \hspace{50mm} y\geq 0 \end{array} $

У нас есть система уравнений.

$\hspace{65mm} \left\{\begin{array} {l} x+y\geq 25 \\4x+10y\leq 200\\x\geq 0\\y\geq 0\end{array }\право.$

б.
Поскольку $x\geq 0$ и $y\geq 0$ (оба больше или равны) все решения будут в первом квадранте. В результате на нашем графике показан только один квадрант.

Чтобы построить график $x+y\geq 25$, нарисуйте $x+y=25$ сплошной линией.

Выберите (0, 0) в качестве контрольной точки. Так как это не делает неравенство верным, заштрихуйте (красным) сторону, которая не включает точку (0, 0).

Чтобы построить график $4x+10y\leq 200$, нарисуйте $4x+10y=200$ сплошной линией.
Выберите (0, 0) в качестве контрольной точки. Поскольку это делает неравенство верным, заштрихуйте (синим) сторону, содержащую точку (0, 0).

Решением системы является область графика, закрашенная самым темным цветом. Участки граничной линии, которые ограничивают затемненный участок, включены в решение, как и точки на x — ось от (25, 0) до (55, 0).

в. Чтобы определить, будут ли работать 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим на график, чтобы увидеть, находится ли точка (10, 20) в области решения. Мы также можем проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением обоих уравнений.

Это не так, Кристи не будет отображать 10 маленьких и 20 больших фотографий.

д. Чтобы определить, будут ли работать 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим на график, чтобы увидеть, находится ли точка (20, 10) в области решения. Мы также можем проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением обоих уравнений.

Да, так что Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.

Обратите внимание, что мы также можем проверить возможные решения, подставив значения в каждое неравенство.

Пример $\PageIndex{20}$

Прицеп может перевозить максимальный вес 160 фунтов и максимальный объем 15 кубических футов. Микроволновая печь весит 30 фунтов и имеет объем 2 кубических фута, а принтер весит 20 фунтов и занимает 3 кубических фута.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
б. Нарисуйте систему.
с. Можно ли перевозить в этом прицепе 4 микроволновки и 2 принтера?
д. Можно ли перевозить в этом прицепе 7 микроволновок и 3 принтера?

Ответить

а. $\left\{\begin{массив} {l} 30m+20p\leq 160\\2m+3p\leq 15\end{массив}\right.$
b.

в. да
д. №

Пример $\PageIndex{21}$

Мэри нужно купить бланки для ответов и карандаши для стандартного теста, который будет сдан младшим классам ее средней школы. Необходимое количество листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей. Карандаши стоят 2 доллара, а листы для ответов — 1 доллар. Бюджет Мэри на эти расходные материалы предусматривает максимальную стоимость в 400 долларов.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
б. Нарисуйте систему.
с. Может ли Мэри купить 100 карандашей и 100 листов для ответов?
д. Может ли Мэри купить 150 карандашей и 150 листов для ответов?

Ответить

а. $\left\{\begin{массив} {l} a\geq p+5 \\ a+2p\leq 400\end{массив}\right.$
b.

в. №
д. №

Когда мы используем переменные, отличные от x и y , для определения неизвестной величины, мы также должны изменить имена осей графика.

Пример $\PageIndex{22}$

Омару необходимо съесть как минимум 800 калорий перед тем, как отправиться на тренировку своей команды. Все, что он хочет, это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше 5 долларов. В ресторане, где подают гамбургеры рядом с его колледжем, каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1 доллар 40 центов. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 доллара.

а. Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
б. Нарисуйте систему.
с. Сможет ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
д. Сможет ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?

Ответить

а.
$\begin{array} {ll} \text{Let} &{h=\text{количество гамбургеров.} \\ &{c=\text{количество файлов cookie}\end{array}$

Чтобы найти систему уравнений, переведите информацию.

Калории от гамбургеров по 240 калорий плюс калории от печенья по 160 калорий должны быть более 800.

$\qquad \begin{array} {l} \hspace{40mm} 240h+160c\geq 800 \\ \\ \\ \text{Сумма, потраченная на гамбургеры по }$1,40\text{ каждый, плюс потраченная сумма на cookies}\\\text{at }$0.50\text{ каждое должно быть не более }$5.00.\\ \hspace{40mm} 1.40h+0.50c\leq 5 \\ \\ \\ \text{Число гамбургеры должны быть больше или равны 0.} \\ \hspace{50mm} h\geq 0 \\ \text{Количество файлов cookie должно быть больше или равно 0.}\\ \hspace{50mm} c\ geq 0 \end{массив} $

$\text{У нас есть наша система уравнений.} \qquad \left\{ \begin{array} {l} 240h+160c\geq 800 \\ 1.40h+0.50c\leq 5 \\ h\geq 0 \\ c\geq 0\end{массив} \right.$

б.
Так как $h\geq 0$ и $c\geq 0$ (оба больше или равны) все решения будут в первом квадранте. В результате на нашем графике показан только один квадрант.

Чтобы построить график $240h+160c\geq 800$, нарисуйте $240h+160c=800$ сплошной линией.

График $1.40h+0.50c\leq 5$. Граница равна $1.40h+0.50c=5$. Мы проверяем (0, 0), и это делает неравенство верным. Заштриховываем сторону линии, включающую (0, 0).

в. Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 2) в области решения. Так и есть, поэтому Омар может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.

д. Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. То есть Омар может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.

Мы также можем проверить возможные решения, подставив значения в каждое неравенство.

Пример $\PageIndex{23}$

Напряжение необходимо потреблять как минимум дополнительно 1000 калорий в день, чтобы подготовиться к марафону. У него есть только 25 долларов, чтобы потратить на дополнительную еду, в которой он нуждается, и он потратит их на пончики за 0,75 доллара, каждый из которых содержит 360 калорий, и энергетические напитки за 2 доллара, которые содержат 110 калорий.

а. Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
б. Нарисуйте систему.
с. Сможет ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка и удовлетворить свою потребность в калориях?
д. Сможет ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка и удовлетворить свою потребность в калориях?

Ответить

а. $\left\{\begin{массив} {l} 0,75d+2e\leq 25\\360d+110e\geq 1000\end{массив}\right.$
b.

в. да
д. №

Пример $\PageIndex{24}$

Врач Филипа говорит ему, что он должен добавить к своему обычному рациону еще как минимум 1000 калорий в день. Филип хочет купить протеиновые батончики по 1,80 доллара за штуку и содержащие 140 калорий, а также сок по 1,25 доллара за бутылку и содержащий 125 калорий. Он не хочет тратить больше 12 долларов.

а. Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
б. Нарисуйте систему.
с. Может ли он купить 3 протеиновых батончика и 5 бутылок сока?
д. Может ли он купить 5 протеиновых батончиков и 3 бутылки сока?

Ответить

а. $\left\{\begin{массив} {l} 140p+125j\geq 1000\\1.80p+1.25j\leq 12\end{массив}\right.$
b.

в. да
д. №

Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем линейных неравенств с помощью графика.

Решение систем линейных неравенств графическим способом
Системы линейных неравенств

Ключевые понятия

Решения системы линейных неравенств: Решения системы линейных неравенств — это значения переменных, которые делают все неравенства верными. Решение системы линейных неравенств показано в виде заштрихованной области в системе координат x, y , которая включает все точки, упорядоченные пары которых делают неравенства верными.
Как решить систему линейных неравенств графически.
1. Нарисуйте первое неравенство.
  Нарисуйте линию границы.
  Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
2. На той же сетке изобразите второе неравенство.
  Нарисуйте линию границы.
  Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
3. Решение — это область, в которой затенение перекрывается.
4. Проверка путем выбора контрольной точки.

Глоссарий

система линейных неравенств: Два или более линейных неравенства, сгруппированные вместе, образуют систему линейных неравенств.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или страница
Показать страницу TOC
да
Теги
1. источник[1]-math-17394
2. источник[2]-math-17394

Решение систем равенств и неравенств и других текстовых задач

Решение систем равенств и неравенств и многое другое Проблемы

Системы уравнений

Определим линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными как

топор + по = с

дх + еу = е

Геометрия линейной системы 2 на 2 состоит из двух линий. Если прямые параллельны (одинаковый наклон), то они не будут пересекаться. В противном случае решение линейной системы 2 на 2 является точкой пересечения.

Ликвидация

Один из способов решения систем линейных уравнений называется подстановкой .

Пошаговый метод:

Шаг 1: Расположите уравнения так, чтобы переменные были выровнены вверх вертикально.
Шаг 2: Выберите переменную, которую проще всего исключить и умножить оба уравнения разными числами, так что коэффициенты этой переменной подобные.
Шаг 3: Вычтите два уравнения.
Шаг 4: Решите систему с одной переменной.
Шаг 5: Подставьте это значение обратно в любое уравнение, чтобы найти другое уравнение.
Шаг 6: Перечитайте вопрос и снова вставьте свои ответы в Проверьте.

Пример

Решать

2x = 3 года + 3

4x — 5 лет = 7

Решение

2x — 3г = 3
4x — 5 лет = 7
Умножьте первое уравнение на 2.
4х — 6у = 6
4х — 5у = 7
-у = -1 После вычитание уравнений.
у = 1
4x — 5(1) = 7 Подстановка 1 для у во втором уравнении.
4x = 12
Икс = 3
Ответ (3,1)
Мы видим, что
2(3) = 3(1) + 3
4(3) — 5(1) = 7

Упражнения

Решать:

у = 5x — 5
3x + 4y = 26
у = 4x + 2
8x — 2y = -3

Замена

Есть и второй способ решения таких систем. Мы называем этот альтернативный способ заменой .

Пошаговый метод

Шаг 1: Вычислите одну переменную явно через другую. Вставьте это уравнение в рамку.
Шаг 2: Подставьте это в другое уравнение.
Шаг 3: Решите, что получится.
Шаг 4: Подставьте этот результат в выражение в поле.
Шаг 5: Проверьте решение.

Пример

Решить

х — 2у = 2

3х — 5у = 7

Решение

Мы можем манипулировать первым уравнением, чтобы получить x с помощью сам.
х = 2 + 2y
3(2 + 2г) — 5г = 7 Подстановка в второе уравнение.
6+ 6 лет — 5 лет = 7
6 + у = 7
у = 1
х = 2 + 2 (1) = 4 Подключаемся к уравнению с шага 1.
Решение (4,1)
Проверяем:
4 — 2(1) = 2

и
3(4) — 5(1) = 7

Упражнения

Решить методом подстановки.

3x + y = 5
2x — 3y = -4
5x — 4y = 2
8x + 5y = 26

Решение систем неравенств

В прошлый раз мы решали неравенства. Если у нас есть система неравенств, мы выполняем те же шаги, за исключением того, что на этот раз мы рисуем все неравенства и взять пересечение определенных областей.

Пример

Изобразите систему неравенств:

3x + у > 12

3x + 2г < 15

у > 2

Решение

Мы рисуем Т-таблицы, чтобы отобразить две линии. Обратите внимание, что последние два линии горизонтальны.

3x + у = 12

х	г
0	12
4	0

3x + 2 года = 15

х	г
0	7,5
5	0

Решаем систему два на два, чтобы найти координаты пересечения.

у = 12–3 x

3x + 2(12 — 3x) = 15

3x + 24 — 6х = 15

-3x = -9

Икс = 3

Подключение обратно

у = 12 — 3(3) = 3

Следовательно, точка (3,3) является точкой пересечение.

График показан ниже.

Упражнения:

График:

х — у > 2
у — х > -1
3x + 2 года > 15
х > 3

Решение проблем

Пример

Сколько граммов чистого золота и сколько граммов сплав, который на 55% состоит из золота, следует переплавить вместе, чтобы получить 72 г сплава это 65% золота?

Позволять

х = грамм чистого золота

у = грамм сплава.

затем

х + у = 72

а также

х + 0,55 г = 0,65(72) = 46,8

Следовательно

х = 72-й

(72 — лет) + 0,55 лет = 46,8

72 — 0,45 г = 46,8

-0,45 г = -25,2

у = 56

Решение дает

у = 56

Теперь поместите это в «коробочное» уравнение, чтобы найти x.

х = 72 — 56 = 16

Приблизительно 16 грамм сплава и 56 грамм чистого золота необходимо использовать, чтобы иметь 72 г калибра .55 сплав.

График у < х у < 1

Назад на страницу квадратичных функций и линейных неравенств

Назад на страницу «Основная алгебра, часть II»

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

Решение систем неравенств: примеры и пояснения

Компания может захотеть выяснить, сколько конкретных продуктов, которые они производят, следует производить, чтобы максимизировать свою прибыль. Предполагая, что они приходят к выводу, его часто представляют в виде ассортимента продукции, так что любое количество продуктов сверх определенного числа должно приносить им прибыль. Этот диапазон представлен с помощью неравенств. Предприятия используют неравенство для управления запасами, планирования производственных линий, создания моделей ценообразования, а также для отгрузки/складирования товаров и материалов. В этой статье мы узнаем о системах неравенств и способах их решения.

Что такое система неравенств?

Система неравенств представляет собой набор неравенств, содержащих одну или несколько переменных.

Системы неравенств обычно используются для определения наилучшего решения проблемы.

Допустим, у нас возникла проблема с местами в автобусе. Автобус имеет левое сиденье (x) и правое сиденье (y) с максимальной вместимостью 48 человек. Это можно смоделировать математически как .

Теперь, если бы у нас было больше информации, что автобус почти полный и правое сиденье автобуса может вместить только 23 человека. Сколько человек сидит с левой стороны автобуса? Эта часть также может быть смоделирована математически как .

Это типичная системная проблема неравенства, которую можно решить с помощью некоторых способов, описанных в следующих разделах.

Как решать системы неравенств?

Решение систем неравенств может немного отличаться от систем линейных уравнений в связи с невозможностью использования метода подстановки и метода исключения . Это происходит исключительно из-за ограничений знаков неравенства <, >, ≤ и ≥. Однако решение неравенств требует, чтобы они были графически изображены, чтобы найти их решения.

В этом разделе мы узнаем, как решать системы неравенств, рисуя два или более линейных неравенства одновременно. Решением систем линейных неравенств называется область пересечения графиков всех линейных неравенств системы. Это означает, что каждая пара вида (x, y) является решением системы неравенств, если (x, y) проверяет каждое из неравенств . Пересечение множества решений каждого неравенства обозначается через ∩.

Этапы решения систем неравенств

Если вы хотите решить системы неравенств, вам нужно будет выполнить следующие шаги, описанные ниже.

Решение систем неравенств с двумя переменными

Ниже приведены примеры решения систем неравенств.

Решите следующие системы неравенств.

Решение

Поскольку у нас уже есть переменная y, изолированная в обоих неравенствах, мы продолжим и немедленно нарисуем ее. Давайте найдем точки, с которыми мы должны были бы построить их график. Здесь мы будем использовать метод перехвата. Каким будет значение x, когда y = 0? Каким будет значение у, если х = 0? Мы можем заменить знак неравенства на знак равенства, чтобы упростить решение.

Когда ,

0 9 теперь у нас есть координаты первой линии. Однако, поскольку здесь стоит знак ≤, линия графика будет сплошной. Мы также можем математически определить, какая сторона линии должна быть закрашена, подставив (0, 0) в уравнение, чтобы проверить, верно ли оно.

Это означает, что точка (0, 0) не меньше или равна -1, поэтому заштрихуем противоположную сторону линии, где (0, 0) не существует.

Область y = x – 1 — StudySmarter Original

Второе неравенство мы также начертим, найдя две точки методом перехвата. Каким будет значение x, когда y = 0? Каким будет значение у, если х = 0? Мы можем заменить знак неравенства на знак равенства, чтобы упростить решение.

Когда,

Теперь у нас есть координаты второй линии. Однако, поскольку здесь стоит знак <, линия графика будет пунктирной. Мы также определим, какая сторона линии должна быть закрашена математически, подставив (0, 0) в уравнение, чтобы увидеть, верно ли оно.

Это действительно так, поэтому мы заштрихуем ту часть линии, которая имеет точку (0, 0).

График системы y ≤ x – 1 и y < –2x + 1 - StudySmarter Original

Решением системы является пересечение двух заштрихованных областей.

Решите следующую систему неравенств.

Решение

Сначала нарисуем первое неравенство. Мы найдем точки, используя метод перехвата.

Когда ,

Поскольку , мы найдем достаточно точек для построения первой линии.

Область 6x – 2y ≥ 12 — StudySmarter Original

Второе неравенство также начертим, найдя две точки методом перехвата.

Когда,

, когда,

График системы 6x — 2y ≥ 12 и 3X + 4Y> 12 — Студийный исходной. пересечение двух заштрихованных областей.

Решите следующую систему неравенств.

Решение

Давайте сначала нарисуем первое неравенство, используя метод перехвата.

Когда ,

Поскольку у нас достаточно точек для построения первой линии, мы построим первую линию.

Область –4x + 6y > 6 — StudySmarter Original

Второе неравенство также построим, найдя две точки методом перехвата.

Когда,

, когда,

График –4x + 6y> 6 и 2x — 3 — 3 -Stysmartr обе прямые параллельны, следовательно, нет пересекающихся областей. Такие системы называются системами, не имеющими решений.

Решение систем неравенств с одной переменной

Системы неравенств с одной переменной заключаются в нахождении диапазона, в котором решение удовлетворяет неравенству. Однако важно еще раз заявить, что мы будем иметь дело с двумя одновременными неравенствами, поскольку это и есть системы. Эти два уравнения решаются по-разному и объединяются, чтобы получить окончательное решение. Приведем примеры того, как это делается.

Решите приведенное ниже неравенство и представите его на числовой прямой.

Решение

Как было сказано ранее, каждое неравенство будем решать отдельно. Итак, здесь мы возьмем первое неравенство.

Теперь мы решим это алгебраически, пытаясь изолировать переменную x. При этом из каждой части неравенства вычтем по 3.

Разделите обе части неравенства на 2, чтобы выделить x.

Обозначение интервала будет записано как

Теперь у нас есть решение для первого неравенства. Проделаем тот же процесс для второго.

Мы также хотим изолировать переменную x в этом неравенстве. Из каждой части неравенства вычтем по 2.

Теперь мы можем просто умножить каждую часть неравенства на –1. Однако правило работы с неравенствами гласит, что знак меняется на противоположный, когда обе стороны умножаются на отрицательное число. Следовательно, ≥ станет ≤.

Заметили, что знак выше изменился?

Обозначение интервала будет записано как

Пересечение этих наборов решений является набором;

Числовая линия множества пересечений [-1, 3], superprof.co.uk

Решите приведенное ниже неравенство и запишите его интервальное обозначение.

Решение

Решим оба неравенства по отдельности. Сначала мы сделаем первый.

Мы попытаемся выделить y, сначала вычитая 3 из каждой части неравенства.

Разделим каждую часть неравенства на 2.

Решение в интервальной записи равно .

Теперь решим второе неравенство.

Мы изолируем x, вычитая 6 из каждой части уравнения

Мы умножаем каждую часть неравенства на -1. Знак меняется на противоположный, когда обе части умножаются на отрицательное число. Следовательно, < станет > .

Решение, заданное в интервальной записи, равно .

Решение систем неравенств. Ключевые выводы

Система неравенств представляет собой набор из двух или более неравенств с одной или несколькими переменными.
Системы неравенств используются, когда проблема требует ряда решений, и на эти решения наложено более одного ограничения.
Область пересечения двух неравенств является его решением.
Если системы неравенств не имеют решений, их линии не пересекаются на координатной плоскости.

Система линейных неравенств – Объяснение и примеры

Прежде чем решать системы линейных неравенств , давайте посмотрим, что означает неравенство. Слово неравенство означает математическое выражение, в котором стороны не равны друг другу.

В основном существует пять символов неравенства, используемых для представления уравнений неравенства.

Это меньше (<), больше (>), меньше или равно (≤), больше или равно (≥) и символ не равно (≠). Неравенства используются для сравнения чисел и определения диапазона или диапазонов значений, которые удовлетворяют условиям данной переменной.

Что такое система линейных неравенств?

Система линейных неравенств – это система уравнений линейных неравенств, содержащих одни и те же переменные.

Некоторые методы решения систем линейных уравнений переводят в систему линейных неравенств. Однако решение система линейных неравенств несколько отличается от линейных уравнений тем, что знаки неравенства мешают решать методом подстановки или исключения. Возможно, лучший метод решения систем линейных неравенств — это графическое отображение неравенств.

Как решать системы линейных неравенств?

Ранее вы научились решать одно линейное неравенство с помощью графика. В этой статье мы узнаем, как находить решения для системы линейных неравенств путем одновременного построения графика двух или более линейных неравенств.

Решением системы линейных неравенств называется область, в которой пересекаются графики всех линейных неравенств в системе.

Чтобы решить систему неравенств, постройте график каждого линейного неравенства в системе на одной и той же оси x-y, выполнив следующие шаги: :

Изолируйте переменную y в каждом линейном неравенстве.
Нарисуйте и заштрихуйте область над границей, используя пунктирные и сплошные линии для символов > и ≥ соответственно.
Аналогичным образом нарисуйте и заштрихуйте область под границей, используя пунктирные и сплошные линии для символов < и ≤ соответственно.
Закрасьте область, где все уравнения перекрываются или пересекаются. Если области пересечения нет, то делаем вывод, что система неравенств не имеет решения.

Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы понять эти шаги.

Пример 1

Нарисуйте следующую систему линейных неравенств:

y ≤ x – 1 и y < –2x + 1

Решение

Нарисуйте первое неравенство y ≤ x − 1. сплошная граница и сделайте штриховку ниже линии.

Также отобразите второе неравенство y < –2x + 1 на той же оси x-y.

В этом случае наша граница будет пунктирной или пунктирной из-за символа меньше. Заштрихуйте область ниже границы.

Таким образом, решением этой системы неравенств является более темная заштрихованная область, бесконечно простирающаяся вниз, как показано ниже.

Пример 2

Решите следующую систему неравенства:

x — 5y ≥ 6

3x + 2y> 1

Раствор

в каждом неравенстве.

Для x – 5y ≥ 6;

=> x ≥ 6 + 5y

=> 5y ≤ x – 6

=> y ≤ 0,2 x – 1,2

И для 3x + 2y > 1;

=> 2 года > 1 – 3x

=> y > 0,5 – 1,5x

Мы изобразим y ≤ 2 x – 1,2 и y > 0,5 – 1,5x, используя сплошную и ломаную линии соответственно.

Решением системы неравенств является более темная заштрихованная область, которая является перекрытием двух отдельных областей решения.

Пример 3

Нарисуйте следующую систему линейных неравенств.

у ≤ (1/2) х + 1,

у ≥ 2х – 2,

y ≥ -(1/2) x – 3.

Решение

Эта система неравенств состоит из трех уравнений, связанных знаком «равно». Это говорит нам о том, что все границы будут твердыми. График трех неравенств показан ниже.

Заштрихованная область трех уравнений перекрывается прямо в средней части. Следовательно, решения системы лежат в ограниченной области, как показано на графике.

Пример 4

Нарисуйте следующую систему линейных неравенств:

x + 2y < 2, y > –1,

x ≥ –3.

Решение

Изолировать переменную y в первом полученном неравенстве;

y < – x/2 +1 Следует отметить, что неравенство y > –1 и x ≥ –3 будет иметь горизонтальные и вертикальные граничные линии соответственно. Давайте нарисуем график трех неравенств, как показано ниже.

Более темная заштрихованная область, заключенная в два отрезка пунктирной линии и один отрезок сплошной линии, дает три неравенства.

Пример 5

Решите следующую систему линейных неравенств:

-2x -y <-1

4x + 2y ≤ -6

Решение 900

110. неравенство.
–2x -y < -1 => y > –2x + 1
4x + 2y ≤ -6 => y ≤ -2x -3
Давайте построим график y > –2x + 1 и y ≤ — 2x -3:
Поскольку заштрихованные области двух неравенств не пересекаются, мы можем заключить, что система неравенств не имеет решения.

4.5 Графики систем линейных неравенств – бизнес/техническая математика
4. Системы уравнений
Линн Маречек и МэриЭнн Энтони-Смит
Ожидается, что к концу этого раздела вы сможете:
Определять, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
Решите систему линейных неравенств, построив график
Решить приложения систем неравенств
Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.
Два или более линейных неравенства, сгруппированные вместе, образуют систему линейных неравенств.
Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений содержит неравенства. Система двух линейных неравенств показана ниже.
Чтобы решить систему линейных неравенств, найдем значения переменных, являющихся решениями обоих неравенств. Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика. Найдем на плоскости область, содержащую все упорядоченные пары, для которых выполняются оба неравенства.
Решениями системы линейных неравенств являются значения переменных, при которых все неравенства верны.
Решение системы линейных неравенств показано в виде заштрихованной области в системе координат x-y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства верными.
Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, подставим в каждое неравенство значения переменных. Если упорядоченная пара делает оба неравенства верными, это решение системы.
Определить, является ли заказанная пара решением системы.
а) (−2, 4) б) (3,1)
Решение

а) Является ли упорядоченная пара (−2, 4) решением?
Упорядоченная пара (−2, 4) сделала оба неравенства верными. Поэтому (−2, 4) является решением этой системы.
б) Является ли упорядоченная пара (3,1) решением?
Упорядоченная пара (3,1) сделала одно неравенство истинным, а другое ложным. Поэтому (3,1) не является решением этой системы.
Определить, является ли заказанная пара решением системы.
Показать ответ
а) нет б) да
Решением одного линейного неравенства является область по одну сторону от граничной линии, содержащая все точки, подтверждающие истинность неравенства. Решением системы двух линейных неравенств называется область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы изобразим каждое неравенство отдельно, а затем найдем область, в которой они оба верны. Решение всегда отображается в виде графика.
Как решить систему линейных неравенств
Решите систему с помощью графика.
Решение
Решите систему с помощью графика.
Показать ответ
Нарисуйте первое неравенство.
Нарисуйте линию границы.
Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
На той же сетке изобразите второе неравенство.
Нарисуйте линию границы.
Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
Решение — это область, в которой затенение перекрывается.
Проверка путем выбора контрольной точки.
Решите систему с помощью графика.
Решение
» data-label=»»>
График x — y > 3, построение графика x — 9 = 5 точка 3 1 и 9 y 90.
x = 3 и 9.0196 y = −3, и линия границы
будет пунктирной.
Тест (0, 0). Это делает неравенство ложным. Итак,
закрашиваем сторону, не содержащую (0, 0) красного цвета.
График путем построения графика
с использованием наклона и y − точка пересечения
b = 4. Линия границы будет пунктирной.
Тест (0, 0). Это делает неравенство верным, поэтому закрасьте сторону, содержащую (0, 0), синим цветом.
Выберите контрольную точку в решении и убедитесь, что она является решением обоих неравенств.
Точка пересечения двух линий не включена, поскольку обе граничные линии были пунктирными. Решение представляет собой область, заштрихованную дважды, т.е. более темную заштрихованную область.
Решите систему с помощью графика.
Показать ответ
Решите систему с помощью графика.
Решение
График путем построения графика и проверки точки.
Интервалы x = 5 и y = −2,5, и линия границы будет пунктирной.
Тест (0, 0). Это делает неравенство верным. Итак, закрасьте сторону
, содержащую (0, 0) красным цветом.
Постройте график y > −4, построив график y = −4 и признав, что это горизонтальная линия
, проходящая через y = −4. Линия границы будет пунктирной.
Тест (0, 0). Это делает неравенство верным. Итак, закрасьте (синим)
сторону, содержащую (0, 0) синий цвет.
Точка (0, 0) находится в решении, и мы уже нашли, что это решение каждого неравенства. Точка пересечения двух линий не включена, так как обе граничные линии были заштрихованы.
Решение представляет собой область, заштрихованную дважды, т.е. более темную заштрихованную область.
Решите систему с помощью графика.
Показать ответ
Системы линейных неравенств, в которых граничные линии параллельны, могут не иметь решения. Мы увидим это в следующем примере.
Решите систему с помощью графика.
Решение
» data-label=»»>
График путем построения графика и проверки точки.
Точки пересечения: x = 3 и y = 4, а линия границы будет сплошной.
Тест (0, 0). Это делает неравенство ложным. Итак,
закрашиваем сторону, не содержащую (0, 0) красного цвета.
График с использованием наклона
и точки пересечения и b = 1. Линия границы будет пунктирной.
Тест (0, 0). Это делает неравенство верным. Итак,
закрашивают сторону, содержащую (0, 0), синим цветом.
В обеих заштрихованных областях нет точек, поэтому система не имеет решения. Эта система не имеет решения.

Решите систему с помощью графика.
Показать ответ
нет решения
Решите систему с помощью графика.
Раствор
График > путем построения графика
с использованием наклона и точки пересечения
b = −4. Линия границы будет пунктирной.
Тест (0, 0). Это делает неравенство верным. Итак,
закрашивают сторону, содержащую (0, 0) красным цветом.
График путем построения графика и проверки точки.
Точки пересечения: x = −4 и y = 2, а граничная линия
будет пунктирной.
Выберите тестовую точку в решении и проверьте
, что это решение обоих неравенств.
Ни одна точка на граничных линиях не включена в решение, так как обе линии заштрихованы.
Решением является дважды заштрихованная область, которая также является решением .
Решите систему с помощью графика.
Показать ответ
Первое, что нам нужно сделать, чтобы решить приложения систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы рисуем систему, как мы делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичными только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому их графики будут показывать только квадрант I.
Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 фунта стерлингов, а каждая большая фотография стоит ей 10 фунтов стерлингов. Она не хочет тратить более 200 фунтов стерлингов на фотографии для показа.
а) Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
b) Нарисуйте график системы.
в) Может ли она показать 15 маленьких и 5 больших фотографий?
г) Может ли она показать 3 большие и 22 маленькие фотографии?
Решение

а) Пусть количество маленьких фотографий.
количество больших фотографий
Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.

У нас есть своя система неравенств.
b)
The words say, “To graph x + y is greater than or equal 25, graph x + y = 25 as a solid line. Choose (0, 0) as a test point. Since it does not make the inequality true, shade (red) the side that does not include the point (0, 0). To graph 4x + 10y is less than or equal to 200, graph 4x + 10y = 200 as a solid line. Choose (0, 0) as a test point. Since it does make the inequality true, shade (blue) the side that include the point (0, 0). The graph show two line graphed on an x y-coordinte plane. One line has the area to the right shaded. The other line has the area to the left shaded. There is an area where the shaded areas overlap.» data-label=»»>
На график нарисуйте x + y = 25 сплошной линией.
Выберите (0, 0) в качестве контрольной точки. Так как это не делает неравенство
верным, закрасьте сторону, не содержащую точку (0, 0), красным цветом.
На графике график 4 x + 10 y = 200 в виде сплошной линии.
Выберите (0, 0) в качестве контрольной точки. Поскольку это не делает неравенство
верным, закрасьте сторону, содержащую точку (0, 0), синим цветом.

Решением системы является область графика, дважды заштрихованная и поэтому закрашенная темнее.
c) Чтобы определить, будут ли работать 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (10, 20) в области решения. Нет, это не так. Кристи не стала бы показывать 10 маленьких и 20 больших фотографий.
d) Чтобы определить, будут ли работать 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (20, 10) в области решения. Это. Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.
Обратите внимание, что мы также можем проверить возможные решения, подставив значения в каждое неравенство.
Мэри нужно купить бланки для ответов и карандаши для стандартного теста, который будет проводиться для младших классов ее средней школы. Необходимое количество листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей. Карандаши стоят 2 доллара, а листы для ответов — 1 доллар. Бюджет Мэри на эти расходные материалы предусматривает максимальную стоимость в 400 долларов.
а) Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
б) Нарисуйте график системы.
c) Может ли Мэри купить 100 карандашей и 100 листов для ответов?
г) Может ли Мэри купить 150 карандашей и 150 листов для ответов?
Показать ответ
а)
б)
в) нет
г) №
Омару нужно съесть как минимум 800 калорий, прежде чем идти на тренировку своей команды. Все, что он хочет, это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше 5 долларов. В ресторане, где подают гамбургеры рядом с его колледжем, каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1 доллар 40 центов. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 доллара.
а) Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
б) Нарисуйте график системы.
в) Мог ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
г) Мог ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?
Решение
а) Пусть количество гамбургеров.
количество файлов cookie
Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
Калории от гамбургеров по 240 калорий плюс калории от печенья по 160 калорий должны быть более 800.
Сумма, потраченная на гамбургеры по 1,40 доллара за штуку, плюс сумма, потраченная на печенье по 0,50 доллара за штуку, не должна превышать 5 долларов.
У нас есть своя система неравенств.
b)
There is an area where to the two shaded areas overlap.» data-label=»»>
Для построения графика в виде сплошной линии.
Выберите (0, 0) в качестве контрольной точки. это не делает неравенство верным.
Итак, заштрихуйте (красным) ту сторону, на которой нет точки (0, 0).
Для построения графика используйте сплошную линию.
Выберите (0,0) в качестве контрольной точки. Это делает неравенство верным. Итак, оттенок
(синий) сторона, на которой расположена точка.

Решением системы является область графика, дважды заштрихованная и поэтому закрашенная темнее.
c) Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 1) в области решения. Это. Он может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.
d) Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. Это. Он может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.
Мы также можем проверить возможные решения, подставив значения в каждое неравенство.
Напряжение необходимо съедать как минимум дополнительно 1000 калорий в день, чтобы подготовиться к марафону. У него есть только 25 долларов, чтобы потратить на дополнительную еду, в которой он нуждается, и он потратит их на пончики за 0,75 доллара, каждый из которых содержит 360 калорий, и энергетические напитки за 2 доллара, которые содержат 110 калорий.
а) Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
б) Нарисуйте график системы.
c) Может ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка?
г) Может ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка?
Показать ответ
а)
б)
в) да
г) №
Доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с графическими системами линейных неравенств.
Графическая система неравенств
Системы неравенств
Решение систем линейных неравенств с помощью графика
Решение системы линейных неравенств с помощью графика
Нарисуйте первое неравенство.
Нарисуйте линию границы.
Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
На той же сетке изобразите второе неравенство.
Нарисуйте линию границы.
Заштрихуйте ту сторону границы, где верно неравенство.
Решение — это область, в которой затенение перекрывается.
Проверка путем выбора контрольной точки.
В следующих упражнениях определите, является ли каждая упорядоченная пара решением системы.
В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью графика.
В следующих упражнениях переведите систему неравенств и решите.
Кейтлин продает свои рисунки на окружной ярмарке. Она хочет продать не менее 60 рисунков, у нее есть портреты и пейзажи. Она продает портреты за 15 долларов и пейзажи за 10 долларов. Ей нужно продать рисунки на сумму не менее 800 долларов, чтобы получить прибыль.
Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
Граф системы.
Получит ли она прибыль, если продаст 20 портретов и 35 пейзажей?
Получит ли она прибыль, если продаст 50 портретов и 20 пейзажей?
Рэйко нужно отправить свои рождественские открытки и посылки, и она хочет, чтобы ее почтовые расходы не превышали 500 долларов. Количество карт не менее чем в 4 раза превышает количество упаковок. Стоимость отправки открытки (с приложенными фотографиями) составляет 3 доллара, а стоимость посылки — 7 долларов.
Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
Граф системы.
Может ли она отправить по почте 60 открыток и 26 посылок?
Может ли она отправить по почте 90 открыток и 40 посылок?
Джоселин беременна, и ей нужно съедать как минимум на 500 калорий в день больше, чем обычно. Однажды, покупая продукты с бюджетом в 15 долларов на дополнительную еду, она покупает бананы, каждый из которых содержит 90 калорий, и шоколадные батончики-мюсли, содержащие 150 калорий. Бананы стоят 0,35 доллара за штуку, а батончики мюсли — 2,50 доллара за штуку.
Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
Граф системы.
Может ли она купить 5 бананов и 6 батончиков мюсли?
Может ли она купить 3 банана и 4 батончика мюсли?
Джоселин хочет увеличить потребление белка и калорий. Ей нужно как минимум 35 граммов белка в день и не более 200 дополнительных калорий в день. Унция сыра чеддер содержит 7 граммов белка и 110 калорий. Унция сыра пармезан содержит 11 граммов белка и 22 калории.
Напишите систему неравенств для моделирования этой ситуации.
Граф системы.
Может ли она съесть 1 унцию сыра чеддер и 3 унции сыра пармезан?
Может ли она съесть 2 унции сыра чеддер и 1 унцию сыра пармезан?
Билеты на матч Американской бейсбольной лиги для 3 взрослых и 3 детей стоят менее 75 фунтов стерлингов, а билеты для 2 взрослых и 4 детей стоят менее 62 долларов.
Напишите систему неравенств для моделирования этой задачи.
Граф системы.
Могут ли билеты стоить 20 долларов для взрослых и 8 долларов для детей?
Могут ли билеты стоить 15 долларов для взрослых и 5 долларов для детей?
правда
ложь
ложный
правда
правда
ложь
правда
правда
5.
6.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. Нет решения
17. Нет решения
18.
No related posts.
Навигация по записям
Предыдущая статьяКалькулятор рациональных: Калькулятор рациональных выражений
Следующая статьяТест с ответами по статистике 2 курс: Тесты с ответами по статистике – пройти тест онлайн бесплатно
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта