Решения треугольников формулы: Решение треугольников, все формулы и примеры

III. Закрепление изученного материала.

1. Решение задач по готовым формулам

Определить формулу, по которой нужно найти данный неизвестный элемент:

карточки с формулами:

2. Решение задач, вытащив одну из карточек:

IV. Промежуточный контроль. Тест для всего класса по вариантам:

Вариант 1.

1. Поставить знак “+” рядом с верным утверждением:

а) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон;

б) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними;

в) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, минус произведение этих сторон на косинус угла между ними.

2. Для данного треугольника справедливо равенство…

3. Косинус угла 120° равен…

а) ;

б) -;

в) -;

г) нет правильного ответа.

4. Найти синус 29°30′. Подчеркнуть верный ответ:

а) 0,4919;

б) 0,8707;

в) 0,4924;

г) 0,8701.

5. Чтобы вычислить в треугольнике КМD, нужно знать…

а) КМ, МD, KD;

б) КМ, МD, ;

в) КD, МD, ;

г) нет правильного ответа.

6. Стороны треугольника 5 см и 4 см, а угол между ними равен 30°. Найти третью сторону треугольника.

а)см;

б)см;

в) 5 см;

г) 3 см.

Вариант 2

1. Поставить знак “+” рядом с верным утверждением:

а) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов;

б) Стороны треугольника обратно пропорциональны синусам противолежащих углов;

в) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

2. Для данного треугольника справедливо равенство…

3. Синус угла 135° равен…

а) ;

б) -;

в) 1;

г) нет правильного ответа.

4. Найти косинус 67°18′. Подчеркнуть верный ответ:

а) 0,3883;

б) 0,9222;

в) 0,9216;

г) 0,3859.

5. В треугольнике АВС известны длина стороны ВС и величина угла С. Чтобы вычислить АВ, нужно знать…

а) АС;

б) ;

в) ;

г) нет правильного ответа.

6. Стороны треугольника 5 см и 3 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника.

а) 2 см;

б);

в);

г) 4 см.

10.02.2006

Решение прямоугольных треугольников

Все треугольники состоят из трех сторон и трех углов. Если три угла треугольника помечены ∠ A , ∠ B и ∠ C , то три стороны треугольника должны быть помечены как a , b и c . На рис. 1 показано, как строчные буквы используются для обозначения сторон треугольника, противоположных углам, обозначенным соответствующими прописными буквами. Если известны любые три из этих шести измерений (помимо трех углов), то вы можете вычислить значения трех других измерений. Процесс нахождения пропущенных измерений известен как решение треугольника . Если треугольник прямоугольный, то один из углов равен 90°. Следовательно, вы можете решить прямоугольный треугольник, если вам известны меры двух из трех сторон или если вам известны меры одной стороны и одного из двух других углов.

              Рисунок 1
                              Чертеж для примера 1.

Пример 1 : Решите прямоугольный треугольник, показанный на рисунке (b), если ∠ B = 22°

Поскольку сумма трех углов треугольника должна составлять 180°, ∠ A = 90 ∠ B, таким образом, ∠ A = 68°.

Ниже приведен альтернативный способ решения для сторон a и c:

Это альтернативное решение может быть проще, поскольку в нем нет деления.

Пример 2 : Решите прямоугольный треугольник, показанный на рисунке (b), если b = 8 и a = 13.

Вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти недостающую сторону, но вместо этого используются тригонометрические отношения. Сначала будут найдены два отсутствующих измерения угла, а затем отсутствующая сторона.

Во многих приложениях определенные углы обозначаются специальными именами. Два из этих специальных имен — , угол подъема и , угол наклона . В примерах, показанных на рис. 2, используются эти термины.

Пример 3: Большой самолет (самолет A) , летящий на высоте 26 000 футов, видит самолет меньшего размера (самолет B) , летящий на высоте 24 000 футов. Угол депрессии 40°. Каково расстояние прямой видимости ( x ) между двумя плоскостями?

На рисунке 3 показаны условия этой проблемы.

  Рисунок 3
                Рисунок для примера 3.

Из рисунка 3 можно найти решение, используя синус 40°:

Пример 4: Лестница должна достигать вершины здания. Основание лестницы будет на расстоянии 25 футов от основания здания. Угол подъема от основания лестницы до верха здания составляет 64°. Найдите высоту здания (h) и длину лестницы ( м ).

На рисунке 4 показаны условия этой проблемы.

         
 
  Рисунок 4
               Чертеж для примера 4.

Пример 5: Дровосек хочет определить высоту высокого дерева. Он стоит на некотором расстоянии от дерева и определяет, что угол возвышения к вершине дерева равен 40°. Он приближается к дереву на 30′, и теперь угол возвышения составляет 50°. Если глаза дровосека находятся на высоте 5 футов над землей, какой высоты будет дерево?

Рисунок 5 может помочь вам визуализировать проблему.

Рисунок 5
              Чертеж для примера 5.

Из маленького прямоугольного треугольника и из большого прямоугольного треугольника очевидны следующие отношения:

Подстановка первого уравнения во второе дает:

Обратите внимание, что к значению x нужно добавить 5 футов, чтобы получить высоту дерева, или 90,06 футов в высоту.

Пример 6: Используя рисунок 6, найдите длины сторон x и y и площадь большого треугольника.

Рисунок 6
               Чертеж для примера 6.

Поскольку это равнобедренный треугольник, и равные стороны являются противоположными равными углами, значения x и y совпадают. Если треугольник разделить на два прямоугольных треугольника, основание каждого будет равно 6. Следовательно,

Тригонометрия треугольника: значение, формула и применение

Вы когда-нибудь задумывались, как устроена крыша здания? Или вы задавались вопросом, как измерить высоту дерева, не взбираясь на него? На все эти вопросы можно ответить с помощью тригонометрии треугольника. Находя углы и длины сторон в треугольниках, такие люди, как архитекторы, могут рассчитать уклон крыши.

Что такое определение тригонометрии треугольника?

Во-первых, давайте посмотрим, что такое тригонометрия треугольника.

Тригонометрия треугольника — это раздел математики, изучающий отношения между длинами сторон и углами в треугольнике.

Возможно, вы слышали о тождествах треугольников и тригонометрических тождествах и задавались вопросом, в чем разница.

Тождество треугольника — это правило, верное для всех треугольников. Это включает в себя такие правила, как: 9\circ\), также известный как \(\pi /2\) радианы; и

С другой стороны, тригонометрических тождеств верны ТОЛЬКО для прямоугольных треугольников. К ним относятся такие вещи, как:

• Закон синусов;
• Закон косинусов;
• Теорема Пифагора;
• и многое другое!

Формулы в тригонометрии треугольников

Формулы тригонометрии могут помочь вам найти недостающие длины сторон и недостающие углы в треугольниках. Существуют разные формулы, которые используются в зависимости от того, какую информацию вы получили о треугольнике.

Сначала давайте посмотрим, как вы обычно обозначаете прямоугольный треугольник.

• Гипотенуза — это сторона, лежащая против прямого угла. Это всегда сторона с наибольшей длиной в треугольнике.

• Выберите угол и дайте ему имя. В этом случае на картинке ниже она называется \(\theta\). Противоположная сторона — это сторона, противоположная углу \(\theta\).

• Соседняя сторона — это сторона, примыкающая к углу \(\theta\).

Рис. 1. Маркировка треугольника.

SOHCATOA

В тригонометрии треугольников существуют различные правила (также называемые тригонометрическими тождествами), которым вы можете следовать, чтобы использовать правильные тригонометрические функции. Глядя на прямоугольный треугольник, вы можете пометить каждую сторону, чтобы определить, какую функцию лучше всего использовать. Существует аббревиатура под названием SOHCATOA, которая может помочь вам запомнить, какую функцию использовать.

• SOH — S ine equals O pposite over H ypotenuse

• CAH — C osine equals A djacent over H ypotenuse

• TOA — T Angent равен O pposite над A djacent

SOHCAHTOA применяется только к прямоугольным треугольникам!

Формулы и SOHCATOA

После того, как вы пометили свой треугольник, вы можете определить, какую функцию лучше всего использовать, чтобы получить информацию о прямоугольном треугольнике, а также какую информацию подставить в формулу. Ниже вы можете увидеть шесть основных тригонометрических функций и формулы для каждой из функций:

\[ \begin{align} \sin \theta &= \frac {\mbox{противоположный}}{\mbox{гипотенуза}} \\ \cos \theta &= \frac{\mbox{adjacent}}{\ mbox{гипотенуза}}\\ \tan \theta &= \frac {\mbox{напротив}} {\mbox{смежный}} \\ \csc \theta &= \frac{\mbox{гипотенуза}}{\mbox { напротив}}\\ \sec \theta &= \frac {\mbox{гипотенуза}}{\mbox{смежный}} \\ \cot \theta &= \frac{\mbox{смежный}}{\mbox{напротив} }\end{align} \]

Для каждой функции вы можете видеть, что вам нужно ввести информацию из помеченного прямоугольного треугольника, чтобы найти значение функции.

Способ использования формулы можно разбить на этапы:

Шаг 1: Подпишите треугольник.

Шаг 2: Выберите правильную функцию.

Шаг 3: Введите переменные из треугольника и решите, что вам нужно.

Конечно, проще увидеть, как использовать эти вещи на примере.

Найдите значение функции синуса для угла \( \theta\).

Рис. 2. Нахождение угла в треугольнике.

Ответ:

Давайте работать по шагам.

Шаг 1: Обозначьте треугольник. Вам даны гипотенуза и противоположная сторона, так что отметьте их на схеме.

Рис. 3. Треугольник с гипотенузой и противоположными сторонами.

Шаг 2: Выберите правильную функцию.

Когда вам известны противоположность и гипотенуза, у вас есть все необходимое для использования функции синуса.

\[ \sin \theta = \frac{\mbox{напротив}} {\mbox{гипотенуза}} \]

Шаг 3: Введите переменные из треугольника и найдите \(\sin \theta \) .

В этом случае противоположная сторона равна \( 6 \; \text{см}\), а гипотенуза равна \( 8 \; \text{см}\), так что у вас есть

\[ \sin \theta = \ гидроразрыв {6} {8} = \ гидроразрыв {3} {4}. \]

Как насчет площади треугольника?

Площадь треугольников и тригонометрия

Площадь треугольника — это способ рассказать о пространстве внутри трех сторон треугольника. Взгляните на площадь треугольника для получения дополнительной информации и примеров!

Применение тригонометрии прямоугольного треугольника

Тригонометрия прямоугольного треугольника может быть применена ко многим различным сценариям реальной жизни. Его можно использовать, чтобы помочь людям понять расстояния. Высоту деревьев или расстояние от вершины утеса до подножия можно измерить с помощью тригонометрии, если вы знаете углы. Эти углы известны как угол возвышения или угол депрессии.

Угол возвышения — это угол от горизонтальной линии до объекта над линией.

Давайте рассмотрим пример.

Предположим, у вас есть дерево, и вы хотите узнать его высоту. От основания дерева вы отступаете на \(100\) футов и с помощью транспортира измеряете угол до вершины дерева от вашего текущего положения, который составляет \(60\) градусов. Насколько высокое дерево?

Ответ:

Вершина дерева находится выше вашего положения, поэтому в этой задаче используется угол возвышения. На самом деле в этом примере угол подъема к вершине дерева составляет \(60\) градусов. Поскольку вам не дали схему, вам нужно будет нарисовать свою собственную и подписать ее.

Рис. 4. Ваше положение относительно дерева.

Шаг 1: Расстояние до дерева составляет \(100\) футов, а угол возвышения составляет \(60\) градусов. Вас просят найти высоту дерева, которое является противоположной стороной. Для удобства дайте этой стороне имя \(h\).

Шаг 2: Выберите правильную функцию.

На картинке выше у вас есть угол и прилежащая сторона, и вас просят найти противоположную сторону. Это касается функции касательной! Помните, что

\[ \tan \theta = \frac{\mbox{напротив}} {\mbox{смежно}}. \]

Шаг 3: Введите переменные из треугольника и найдите \(h\).

Ввод того, что вы знаете,

\[ \tan 45 = \frac{h} {100}. \]

Вы можете использовать свои знания о тригонометрических функциях, чтобы получить

\[ \tan 45 = \frac{\sqrt{3}}{3} ,\]

, так что

\[ \frac{\ sqrt{3}}{3} = \frac{h}{100}\]

и

\[ h = 100 \frac{\sqrt{3}}{3} \, \text{ft}. \]

Это точный ответ. Вас могут попросить узнать приблизительную высоту дерева, поэтому вы можете ввести это в калькулятор, чтобы найти

\[ h \приблизительно 57,7 \, \text{ft}.\]

Как насчет угла депрессия?

Угол углубления — это угол от горизонтальной линии до объекта ниже линии.

Давайте рассмотрим пример.

Вы сегодня занимались скалолазанием! Ваш грузовик припаркован у подножия утеса, примерно в \(200\) ярдах от основания утеса. Это относительно отвесная скала, так что подъем почти вертикальный. Как только вы достигаете вершины утеса, вы оцениваете угол наклона вашего грузовика примерно в \(30\) градусов. Как вы думаете, как далеко вы находитесь?

Ответ:

Шаг 1: Это помогает рисовать! Введите информацию, которую вы знаете, например, что ваш грузовик находится в \(200\) ярдах от основания утеса, а угол наклона составляет около \(30\) градусов. Для удобства назовем высоту обрыва \(h\).

Рис. 5. Треугольник, показывающий вас на вершине утеса и местонахождение вашего грузовика.

Шаг 2: Выберите правильную функцию.

Вы хотите знать, насколько высока скала, другими словами, что такое \(h\)? Если вы посмотрите на расположение угла, у вас есть противоположная сторона \(200\) ярдов, и вы хотите знать соседнюю сторону. Это означает, что вы захотите использовать функцию касательной.

Шаг 3: Введите переменные из треугольника и найдите \(h\).

Используя тот факт, что

\[ \tan \theta = \frac{\mbox{противоположный}} {\mbox{смежный}}, \]

, вы можете ввести информацию, которую вы должны получить

\[ \tan 30 = \frac{200} {ч}. \]

Вы можете использовать свои знания о тригонометрических функциях, чтобы получить

\[ \tan 30 = \frac{\sqrt{3}}{3} ,\]

, так что

\[ \frac{\ sqrt{3}}{3} = \frac{200}{h}\] 92} \\ &= \frac{600\sqrt{3}}{3} \\ &= 200\sqrt{3} \, \text{yd}. \end{align}\]

Это точный ответ. Вас могут попросить определить примерное расстояние, которое, по вашему мнению, вы находитесь, поэтому вы можете ввести его в калькулятор, чтобы найти

\[ ч \приблизительно 346 \, \text{yd}.\]

Конечно, есть примеров никогда не бывает много!

Примеры тригонометрии треугольника

Иногда вас попросят найти значения всех шести тригонометрических функций для заданного угла.

Найдите значения шести тригонометрических функций относительно угла \(\theta\).

Рис. 6. Нахождение шести тригонометрических значений угла.

Ответ:

Как обычно, сначала нужно пометить прямоугольный треугольник.

Рис. 7. Треугольник с обозначенными углами и сторонами.

Затем вы можете использовать SOHCHATOA, чтобы найти значения трех тригонометрических функций для угла \(\theta\).

SOH:

\[ \begin{align} \sin \theta &= \frac {\mbox{противоположный}}{\mbox{гипотенуза}} \\ &= \frac{8}{10} \\ & = \фракция{4}{5}. \конец{выравнивание}\]

CAH:

\[\begin{align} \cos \theta &= \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{гипотенуза}}\\ &= \frac{6}{10} \\ & = \frac{3}{5}. \end{align}\]

TOA:

\[ \begin{align} \tan \theta &= \frac {\mbox{напротив}} {\mbox{смежно }} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}. \end{align} \]

Затем для остальных трех:

Косеканс:

\[ \begin{align} \csc \theta &= \frac{\mbox{гипотенуза}}{\mbox {напротив}} \\ &= \frac{10}{8} \\ &= \frac{5}{4}. \end{выравнивание} \]

Секанс:

\[ \begin{align} \sec \theta &= \frac {\mbox{гипотенуза}}{\mbox{adjacent}} \\ &= \frac{10}{6} \\ & = \фракция{5}{3}. \end{align} \]

Котангенс:

\[ \begin{align} \cot \theta &= \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{opposite}} \\ &= \frac{6 {8} \\ &= \frac{3}{4}. \end{align} \]

Иногда вас попросят найти недостающую сторону.

Найти \(x\).

Рис. 8. Треугольник с данным углом и противоположной стороной.

Ответ:Конечно, шутка в том, чтобы просто нарисовать стрелку к букве \(x\) на картинке! Однако то, что этот вопрос на самом деле просит вас сделать, это найти измерение \(x\) в сантиметрах.

Шаг 1: Подпишите треугольник. Это уже сделано!

Шаг 2: Выберите правильную функцию.

Информация, которая у вас есть, это угол и противоположная сторона, и то, что вы хотите найти, это гипотенуза. Это означает, что вы захотите использовать функцию синуса.

Шаг 3: Введите переменные из треугольника и найдите \(x\).

Используя часть SOH SOHCAHTOA, вы знаете, что

\[\sin \theta = \frac{\mbox{opposite}}{\mbox {гипотенуза}} .\]

Подстановка того, что вы знаете, дает вам

\[\sin 55 = \frac{16}{x} ,\]

, поэтому

\[ x = \frac{ 16}{\sin 55} \, \text{см}. \]

Если вас попросят найти приблизительное значение \(x\) с точностью до двух знаков после запятой, ответ будет таким:

\[ x = 19\circ\), а соседняя сторона имеет длину \(5\, \text{см}\). Таким образом, вы захотите использовать формулу

\[\cos \theta = \frac{\mbox{adjacent}}{\mbox{гипотенуза}}.\]

Подставляя то, что вы знаете,

\[ \cos 50= \frac{5}{x}, \]

поэтому

\[ x = \frac{5}{\cos 50} \, \text{см}.